D1844 − Homing(1) pour géomètre amateur[** à la main]
Dans un triangle ABC, on trace successivement l'orthocentre (H), le centre du cercle circonscrit (O), le point M à l'intérieur du segment OH tel que OM=2OH/3, le centre du cercle inscrit (I), le centre du cercle d'Euler (N) et le centre de gravite (G).
Le cercle tangent en G à la droite GH et passant par I coupe la droite [MI] en un deuxième point I₁. Sur cette même droite [MI], on trace le point I₂ sysmétrique de M par rapport à I₁, le points I₃ sysmétrique de I₁ par rapport à M et le point I₄ milieu du segement MI₁.
Démontrer que:
Q₁ Les points I,G,O,I₂ sont cocycliques, Q₂ Les points I,G,H,I₃ sont cocycliques, Q₃ Les points I,G,N,I₄ sont cocycliques,
(1)Nota: le homing est la capacité innée qu'a un animal (pigeon-voyageur,abeille,saumon,...) de naviguer vers son lieu d'origine,son territoire ou bien un lieu de reproduction en traversant des lieux inconnus.
Solution proposée par Bernard Vignes
Les points H,M,N et O sont alignés sur la droite d'Euler Δ du triangle ABC.
En posant OH = 6d, on a OM = 4d, HN = NO = 3d, HM = MG = 2d et MN = NG = d.
Q₁ Le cercle (IGI₁) tangent en G à Δ est tel que : MG² = 4d² = MI.MI₁.
Par construction MI₂ = 2MI₁.
Donc MI.MI₂ = 2MI.MI₁ = 8d².
Or MG.MO = 2d.4d = 8d².
Les quatre points I,G,O et I₂ sont donc cocycliques.
Q₂ On a la relation MI.MI₃ = MI.MI₁ = 4d².
Or MH.MG =(2d)² = 4d².
Les quatre points I,G,H et I₃ sont donc cocycliques.
Q₃ On a MI.MI₄ = MI.MI₂/2 = 2d² . Or MN.MG = d.2d = 2d².
Les quatre points I,G,N et I₄ sont donc cocycliques.
