Décembre 2001

PanaMaths

Décembre 2001

Simplifier : i i

i i

α β α β

β α β α ⁺ + ^{+ −} − où ( ) ^{α β , ∈\}

^.

Analyse

Plusieurs approches sont envisageables : on peut, par exemple, réduire les fractions au même dénominateur réel. Mais on peut également noter que cette somme est la somme de deux nombres complexes conjugués.

Résolution

1

approche : réduction au même dénominateur

Le dénominateur commun est le produit :

(

)(

)

On a alors :

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( ( ) )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

4

i i i i

i i

i i

i i

α β β α α β β α α β α β

β α β α β α β α

αβ β α αβ α β β α

αβ β α

+ − − +

+ + − = +

+ − + +

+ − + + −

= +

= +

La somme à simplifier est un réel.

2

approche : somme de deux complexes conjugués

On constate facilement que :

i i i

i i i

α β α β α β β α β α β α

⎛ + ⎞= + = −

⎜ + ⎟ + −

⎝ ⎠

Le calcul se récrit alors, en tenant compte de : ^{z+ = ℜz 2 e z}

( )

i i i i 2 i

i i i i e i

α β α β α β α β α β β α β α β α β α β α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + − = + +⎜ + ⎟= ℜ ⎜ + ⎟

+ − + ⎝ + ⎠ ⎝ + ⎠

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Il convient donc de déterminer la partie réelle de : i i α β

β α + +

On a :

( )( ) (

)

2 2 2 2

2 i

i i

i i

αβ β α α β β α

α β

β α β α β α

+ −

+ −

+ = =

+ + +

D’où :

2 2

2 e i

i

α β αβ β α β α

⎛ + ⎞ ℜ ⎜⎝ + ⎟⎠= +

Et, finalement :

2 2

2 4

i i i

i i e i

α β α β α β αβ β α β α β α β α

⎛ ⎞

+ + − = ℜ ⎜ + ⎟=

+ − ⎝ + ⎠ +

On retrouve le résultat obtenu précédemment.

Résultat final

2 2

4

i i

i i

α β α β αβ β α β α β α

+ + − =

+ − +