Février 2016

PanaMaths

[1 - 2]

Février 2016

Soit ( ) u

n

et ( ) v

n

deux suites réelles convergentes de limites l et ' l respectivement.

Etudier la suite ( ) w

n

définie par : ∀ ∈ n ` ^, w

n

= ^min ( u v

n

^,

n

) .

Analyse

On peut procéder de diverses façons… Un simple dessin peut aider à se faire une idée (en particulier lorsque les limites des suites

( )

un et

( )

vn sont distinctes…) mais on peut aussi se souvenir d’une « formule » donnant le minimum de deux réels !

Résolution

1

^ère

approche

On a classiquement :

2

n n n n

n

u v u v

w + − −

= .

D’où : n^lim

(

un vn

)

l l^'

→+∞ + = + , n^lim

(

un vn

)

l l^'

→+∞ − = − , lim _{n n} '

n u v l l

→+∞ − = − (car la fonction valeur absolue est continue sur \ et donc en l−l') et enfin :

' '

( )

lim lim min , '

2 2

n n n n

n n n

u v u v l l l l

w l l

→+∞ →+∞

+ − − + − −

= = =

2

^ème

approche

Supposons, dans un premier temps, l≠l'. On peut par exemple poser : l<l'. On va ici utiliser le fait qu’à partir d’un rang N suffisamment grand, les u_n seront suffisamment proches de l et les v_n suffisamment proches de 'l pour que l’on ait

( )

min u v_n, _n =u_n.

Choisissons un ε strictement inférieur à l'−l, par exemple ' 2 l l ε = − .

PanaMaths

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Février 2016

Il existe un entier naturel N tel que : n≥N⇒un∈ −

]

l ε^;l+ε

[

. Il existe également un entier naturel N' tel que : n≥N^'⇒ ∈ −vn

]

l^' ε^{; '}l +ε

[

. Alors, pour ^N''=max

(

^{N N, '}

)

^{on a :}

] [

'' _n ;

n≥N ⇒u ∈ −l ε l+ε et vn∈ −

]

l^' ε^{; '}l +ε

[

Comme ^'

2 l l

ε = ⁻ , il vient facilement : ' ' '

' '

2 2 2

l l l l l l

l+ < +ε l ⁻ = ⁺ = −l ⁻ < −l ε . Ainsi, pour n≥N'', on a : ^min

(

u vn^, n

)

=un et donc : lim _n lim _n

n w n u l

→+∞ = →+∞ = .

On a donc, les suites

( )

un et

( )

vn jouant des rôles symétriques : n^lim wn ^{min , '}

( )

l l

→+∞ = .

Supposons maintenant l=l'. Pour tout ε >0 :

• Il existe un entier naturel N tel que : n≥N ⇒un∈ −

]

l ε ^;l+ε

[

.

• Il existe un entier naturel N' tel que : n≥N^'⇒ ∈ −vn

]

l ε^;l+ε

[

.

Alors : n≥^max

(

N N^{, '}

)

⇒^min

(

u vn^, n

)

∈ −

]

l ε ^;l+ε

[

et on conclut immédiatement :

( )

lim _n min , '

n w l l l

→+∞ = = On retrouve le résultat obtenu précédemment.