Au bout de 1 an il y aura 287 jeunes et 437 adultes

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TS (spécialité) Correction PONDICHÉRY 2013 _2012-2013

EXERCICE 1 :

Enseignement de spécialité : Pondichéry 2013

1. (a) On aA×Un= 0,125jn+ 0,525an

0,625jn+ 0,625an

!

= jn+1

jn

!

=Un+1.

(b) Un an d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).

U1=A×U0= 0,125 0,525 0,625 0,625

!

× 200 500

!

= 25 + 262,5 125 + 312,5

!

= 287,5 437,5

! . Au bout de 1 an il y aura 287 jeunes et 437 adultes.

U2=A×U1= 0,125 0,525 0,625 0,625

!

× 287,5 437,5

!

= 35,9375 + 229,688 179,688 + 273,438

!

= 265,625 453,125

! . Au bout de 2 ans il y aura 265 jeunes et 453 adultes.

(c) Un en fonction deAⁿ et de U0.

Une récurrence simple permet de montrer que quel que soitn∈N, Un=Aⁿ×U0. Soit, pour tout entier natureln∈N, la propriétéP(n) :Un=AⁿU0.

•Initialisation:n= 0 etA⁰=I2 etU0=I2U0 doncP(0) est vraie.

•Hérédité: Démontrons que pour toutn∈N^∗P(n) vraie impliqueP(n+ 1) vraie.

P(n) est vraie ⇔Un =AⁿU0

⇒AUn=A×AⁿU0

⇔Un+1=Aⁿ⁺¹U0

⇔P(n+ 1) est vraie

•Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier natureln∈N^∗, Un =AⁿU0.

2. (a) Q×D= −1.75 3 1,25 5

! , puis

(Q×D)×Q⁻¹= −1,75 3 1,25 5

! 0,1 −0,06 0,1 0,14

!

= −0,175 + 0,3 0,105 + 0,42 0,125 + 0,5 −0,075 + 0,7

!

= 0,125 0,525 0,625 0,625

! . On retrouve bien la matriceA.

(b) Soit, pour tout entier natureln∈N^∗, la propriétéAⁿ=Q×Dⁿ×Q⁻¹.

•Initialisation:n= 1 et On a bienA¹=Q×D¹×Q⁻¹ (question précédente) doncP(1) est vraie.

•Hérédité: Démontrons que pour toutn∈N^∗P(n) vraie impliqueP(n+ 1) vraie.

P(n) est vraie ⇔Aⁿ=Q×Dⁿ×Q⁻¹

⇒A×Aⁿ =A×Q×Dⁿ×Q⁻¹

⇔Aⁿ⁺¹= (Q×D×Q⁻¹)(Q×Dⁿ×Q⁻¹)

⇔Aⁿ⁺¹=Q×D×(Q⁻¹Q)×Dⁿ×Q⁻¹

⇔Aⁿ⁺¹=Q×D×I2×Dⁿ×Q⁻¹

⇔Aⁿ⁺¹=Q×(D×Dⁿ)×Q⁻¹

⇔Aⁿ⁺¹=Q×Dⁿ⁺¹×Q⁻¹

⇔P(n+ 1) est vraie

•Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier natureln∈N^∗, Aⁿ =Q×Dⁿ×Q⁻¹.

My Maths Space 1 sur 3

(2)

(c) La matriceD est diagonale, donc les coefficients diagonaux de la matriceDⁿ (qui est aussi diagonale) sont obtenus en prenant les puissances des coefficients diagonaux deD :

Dⁿ= (−0,25)ⁿ 0

0 1

! . 3. (a) Quel que soitn∈N:

Un=Aⁿ×U0= 0,3 + 0,7×(−0,25)ⁿ 0,42−0,42×(−0,25)ⁿ 0,5−0,5×(−0,25)ⁿ 0,7 + 0,3 ×(−0,25)ⁿ

! 200 500

!

⇔Un = 60 + 140×(−0,25)ⁿ+ 210−210×(−0,25)ⁿ 100 +−100×(−0,25)ⁿ+ 350 + 150×(−0,25)ⁿ

!

= 270−70×(−0,25)ⁿ 450 + 50×(−0,25)ⁿ

! .

Ainsi, pour toutn∈N,

( jn = 270−70×(−0,25)ⁿ an = 450 + 50×(−0,25)ⁿ (b) Comme−1<−0,25<1, on sait que lim

n→+∞(−0,25)ⁿ= 0, donc :

n→+∞lim jn= 270 et lim

n→+∞an= 450 . (en utilisant les opérations sur les limites)

Le nombre d’animaux jeunes va tendre vers 270 et celui des adultes vers 450 au bout de quelques années.

EXERCICE 2 :

Pour tout entier naturelnnon nul, on considère les nombres :

an= 4×10ⁿ−1, bn= 2×10ⁿ−1 et cn= 2×10ⁿ+ 1 1. (a) Calcul dea1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3et c3.

an bn cn

n= 1 39 19 21

n= 2 399 199 201 n= 1 3999 1999 2001 (b) Nombre de chiffres des écritures décimales des nombresan, bn etcn

Les nombresan, bn etcn comportentn+ 1 décimales (10ⁿ comporten+ 1 décimales) an etcn sont divisibles par 3 car :

• 10≡1 (3)⇒10ⁿ≡1 (3)⇒4×10ⁿ≡1 (3)⇔an ≡0 (3)⇔3|an

• Même raisonnement pourcn. (c) b3est premier :

Si b3 n’est pas premier, il admet un diviseur premier compris entre 2 et 44 (√

1999 arrondi). Or aucun des nombres premiers inférieurs à 44 ne diviseb3, il est donc premier.

(d) Pour tout entier naturel non nuln:

bn×cn = (2×10ⁿ−1)(2×10ⁿ+ 1) = (2×10ⁿ)²−1 = 4×10²ⁿ−1 =a2n

D’après ce qui précède a6 = b3×c3 = 1999×2001. 1999 est premier et 2001 = 3×23×29, donc la décomposition en facteurs premiers dea6 est

a6= 3×23×29×1999

(e) Toujours le même principe : prouver que bn et cn d’une part, puis cn et 2 d’autre part, ont les mêmes diviseurs communs.

• Soitdun diviseur commun debnetcn, alorsd|cn−bn ⇒d|2. On a démontré quedest diviseur commun decn et 2.

• dest diviseur commun decn et 2, alorsd|cn−2⇒d|bn.

Les deux paires de nombres ont les mêmes diviseurs donc le même plus grand diviseur (PGCD) On a donc démontré que

PGCD(bn;cn)=PGCD(cn; 2)

Or,pour toutn,cn est impair, donc PGCD(cn,2)=1 et il s’en suit que PGCD(bn;cn)=1 doncbnet cn sont premiers entre eux.

(3)

2. On considère l’équation :

b3x+c3y= 1 [1]

d’inconnues les entiers relatifsxety.

(a) [1] possède au moins une solution car b3 et c3 sont premiers entre eux et le théorème de bézout assure l’existence d’une solution.

(b) Solution particulière de [1] : le couple (1000;−999).

(c) Les solutions de [1] : les couples (1000−2001k;−999 + 1999k) aveck∈R.