Partiel de rattrapage d’Analyse 2

Master MEEF 2020 Analyse 2

Partiel de rattrapage d’Analyse 2

Exercice 1On d´efinit pour ndansN^∗ les fonctionsgn: [0,^π₂]−→R par gn(t) =n(sint)ⁿcost

1. Montrer que la suite de fonctions (g_n)n∈N^∗ converge simplement sur [0,^π₂] vers une fonction gque l’on d´eterminera.

2. Calculer Z ^π₂

0

g_n(t)dt pour toutndansN^∗.

3. En d´eduire que la convergence de la suite de fonctions (g_n)n∈N^∗ vers g n’est pas uniforme sur [0,^π₂].

4. Soita dans [0,^π₂[. Montrer que la convergence de la suite de fonctions (g_n)n∈N^∗ est uniforme sur [0, a].

Exercice 2Soitn≥1 un entier. On notean le nombre de permutationsτ de{1,2, ..., n}

v´erifiant τ ◦τ =id (On appelle ces permutations des involutions). On pose a₀ = 1.

1. Que valenta1, a2 eta3 ?

2. Montrer quean+2=an+1+ (n+ 1)an pour tout n≥0.

(On distinguera les permutations de {1,2, ..., n+ 2} qui envoientn+ 2 surn+ 2, et celles qui envoient n+ 2 sur un ´el´ementk dans{1,2, ..., n+ 1}.)

3. On introduit la s´erie enti`ere f(x) =X

n≥0

a_n n!xⁿ.

Montrer que son rayon de convergence R v´erifie R ≥ 1 (on pourra commencer par chercher un encadrement dea_n) et que

f⁰(x) = (x+ 1)f(x) pour |x|< R.

4. Montrer quef(x) =e^x

2

2 +x pour tout|x|< R.

(On pourra remarquer que la d´eriv´ee de x7→e^−x

2

2 −xf(x)) est nulle) 5. Quelles sont les coefficients de la s´erie enti`ere e^x

2

2 ? En d´eduire une expression de a_n pour tout n entier naturel non nul (on laissera la r´eponse sous forme de somme qu’on ne cherchera pas `a simplifier).

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