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Submitted on 1 Jan 1908
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Étude théorique des phénomènes de diffraction présentés par des réseaux circulaires et des réseaux
rectilignes à traits espacés suivant une certaine loi
Augustin Boutaric
To cite this version:
Augustin Boutaric. Étude théorique des phénomènes de diffraction présentés par des réseaux circu- laires et des réseaux rectilignes à traits espacés suivant une certaine loi. J. Phys. Theor. Appl., 1908, 7 (1), pp.264-291. �10.1051/jphystap:019080070026401�. �jpa-00241296�
264
TABLEAU VII. - Magnétite.
La fige .4 représente de la même manière les expériences sur la magnétite. On a :
En résumé, pour le fer, le nickel et la magnétite, la température
à laquelle se manifeste une discontinuité de la chaleur spécifique
vraie coïncide avec celle de la perte du ferromagnétisme spontané,
et la grandeur de cette discontinuité concorde avec celle que l’on calcule à partir des propriétés magnétiques, en s’appuyant sur l’hypothèse du champ moléculaire.
ÉTUDE THÉORIQUE DES PHÉNOMÈNES DE DIFFRACTION PRÉSENTÉS PAR DES RÉSEAUX CIRCULAIRES ET DES RÉSEAUX RECTILIGNES A TRAITS ESPACÉS
SUIVANT UNE CERTAINE LOI ;
Par M. AUGUSTIN BOUTARIC.
Définitions preliminctires. - M. J .-L. Soret (1 ) a donné le nom de
réseaux circulaires à des écrans opaques percés d’une série d’ouver- tures présentant la forme d’anneaux concentriques.
(1) Annales de Chhnie et de Physique, 5e série, t. VII ; 1876.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019080070026401
265 Sur une lame de verre, on trace un grand nombre de circonfé-
rences concentriques, les rayons de ces circonférences étant propor- tionnels aux racines carrées des nombres entiers. Si l’on recouvre par
un écran opaque l’espace compris entre la 1re circonférence et la 2e,
entre la 3e et la 4~, la 5e et la 6e, etc., on obtient ce que M. Soret
appelle un réseau positif.
En recouvrant au contraire d’un écran opaque le petit cercle cen- tral, puis l’espace compris entre la 2e circonférence et la 3e, la 4~ et
la etc., on obtient un réseau négatif.
Les propriétés de ces réseaux sont d’ailleurs à peu près les
mêmes.
On peut aussi construire des réseaux rectilignes formés de bandes alternativement transparentes et opaques, dont les largeurs varient
comme la largeur des couronnes des réseaux circulaires.
I. - THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES RÉSEAUX CIRCULAIRES ET DES RÉSEAUX RECTILIGNES.
Considérons (fig. i) une droite AB formée de parties transparentes
et opaques, dont les largeurs varient comme la largeur des couronnes
Fm. 1.
dans les réseaux de M. Soret, et supposons qu’on éclaire par un
point lumineux P situé sur l’axe xy perpendiculaire au milieu de l’in- tervalle central.
On a ainsi réalisé un réseau linéaire, dont la rotation autour de l’axe xy engendrera un réseau de Soret, et dont le déplacement pa-
J. de Phys., 4e série, t. VII. (Avril 1908.) 18
’
266
ritllèlemedt à lui-même, dans un plan perpendiculaire à engen- drera un réseau rectiligne.
Si 1’on fait tomber sur ce réseau des ondes circulaires issues du
point P, on peut montrer qu’il existe, sur l’axe, divers points P’ tels
que les ondes issues de P, et qui ont traversé le réseau, arrivent con- cordantes au point P’.
Soient p et p’ les distances des points P et P’ au réseau ; a, la moi-
tié de l’intervalle central.
Evaluons la différence des chemins P Art+2P’,
On a :
D’OLLen retranchant :
et par suite :
Le réseau offrant une faible surface, PAn sont peu diffé-
1 rentes de p ; on a donc très sensiblement :
de même :
Par suite, la différence à des chemins est :
On peut supposer 2) qu’à tout point, ou mieux qu’à tout élé-
ment infiniment petit, dx, de l’intervalle on associe un élé- ment homologue dxr de A,l+~A,L ~3 ; les chemins correspondant aux
éléments dx et dx’ présenteront sensiblement le même retard A.
Par suite, si à est un multiple entier de la longueur d’onde pour la radiation considérée, les différents rayons qui auront traversé l’in-
tervalle pourront se grouper deux à deux avec les rayons de l’intervalle Ces couples de rayons seront concordants.
267
Or, dans l’expression du retard, rien ne précise quels sont les
intervalles consécutifs qu’on a envisagés; le retard relatif de deux rayons ayant traversé deux éléments homologues r~ et dx’ sera donc le même pour tous les couples d’intervalles consécutifs qu’on pourra considérer.
. FIG. 2.
Si ce retard vaut un multiple entier de longueur d’onde : *
les ondes issues de P qui arrivent en P’ après avoir traversé le réseau
seront concordantes.
En définitive, on observera un maximum d’intensité lumineuse en
divers points P’ déterminés par la relation :
Cette formule est analogue à celle qui relie les positions d’un point objet et du point image correspondant dans une lentille sphérique :
seulement, dans le cas des réseaux, on aura une infinité de distances focales déterminées par
oü h peut prendre toutes les valeurs entières.
Réseaux circulaires. --- Tous les plans passant par l’axe du réseau sont identiques.
Si donc on tait tomber des ondes sphérique, c"est-à-dire si 1 on éclaire par un point lumineux P situé sur l’axe, on observera des
268
maxima d’intensité aux points P’ définis par la relation :
La démonstration s’applique encore pour des rayons issus de points situés à une faible distance de l’axe principal ; de sorte que, pour de petits objets, les réseaux circulaires se comporteront comme
une lentille sphérique.
Réseaux rectilignes. - On fait tomber des ondes cylindriques,
c’est-à-dire on éclaire par une ligne lumineuse parallèle aux traits
du réseau et située sur l’axe ; la position des diverses images est
encore donnée par la relation : -.
Ici on peut étendre rigoureusement la démonstration à des points objets non situés sur l’axe principal.
FIG. 3.
Soit 3) AB la trace du réseau sur un plan perpendiculaire
aux traits; P, la trace d’une ligne lumineuse non située sur l’axe principal xy.
Si l’on désigne par i l’angle de l’axe principal xy avec l’axe secon-
daire relatif au point P, on a, par la considération des triangles POAn,
269 d’où:
La considération des triangles P’OAn, P’OAn+2 donnerait : d’où:
et on aura des maxima lorsque p et p’ vérifieront la relation :
Ces réseaux rectilignes se comportent donc comme des lentilles cylindriques.
Critiques. Si on fait l’expérience, on constate que les foyers
d’ordre pair n’existent pas.
FiG. 4.
Cette contradiction peut toutefois s’expliquer assez aisément :
si les rayons (fig. 4) passant par An et An+2 présentent un retard 2~,
les rayons An et An+q présenteront un retard n ; par suite, à tout élé-
ment dx de l’intervalle AnAn+1 correspondra un autre élément dcc’
du même intervalle, tel que les rayons passant par dx et dx’ auront une différence de marche ~ et se détruiront. Les divers intervalles
transparents envoyant au point P’ un mouvement nul, la résultante
de tous ces mouvements sera encore nulle.
Ceci serait analogue à ce qu’on dit pour les réseaux plans ordi-
naires : pour que le mouvement suivant une direction d soit maximum,
il ne suffit pas que les mouvements envoyés par les points homo-
270
logues des diverses fentes soient concordants ; il faut, en outre, qué la direction d ne corresponde pas à un minimum nul pour les rayons
qui auraient traversé chaque fente prise isolément.
b) Une autre critique qu’on peut adresser à cette méthode est la
suivante :
A chaque élément infiniment petit d~ de l’intervalle Ar.An+1’
on a fait correspondre un élément dx’ de En réalité, ces
intervalles n’étant pas égaux - surtout au voisinage du centre - il semble, ou bien que les éléments homologues dx et dx’ ne pourront
pas être pris égaux entre eux, ou bien que, dans l’intervalle le plus large, AnAll+1’ il restera un petit faisceau qu’on ne pourra pas grou- per avec aucun autre de An+2An+3° Et un fait semblable se reproduira
pour tous les couples d’intervalles consécutifs.
On pourrait répondre que, dans les réseaux circulaires, les diverses
zones transparentes ont même surface et laissent passer des mou- vements d’égale amplitude.
Mais cette explication n’est plus exacte pour les réseaux rectilignes :
aussi semble-t-il plus précis d’appliquer les méthodes de calcul
indiquées par Fresnel.
II. - THÉORIE ANALYTIQUE DES RÉSEAUX CIRCULAIRES.
Soit P un point lumineux situé sur l’axe du réseau ; on peut se
proposer d’étudier comment varie l’intensité lumineuse aux divers autres points P’ de l’axe. °
Soit : ~
Le mouvement vibratoire issu du point P, qui arrive en un point quelconque A d’un des intervalles transparents du réseau, présente
un certain retard 1 sur le mouvement issu du même point qui arrive
en O ; der même les chemins P’A et P’O présentent une certaine
différence ~’.
Si on désigne OA par r, on a :
Un mouvement vibratoire issu de P, qui arrive en P’ après avoir .
suivi le chemin PAP’, présente donc sur le mouvement qui a suivi le
271
- , - .- - -- - -
chemin direct POP’ un retard :
Au point P’, on a à composer des mouvements qui ont traversé le réseau aux divers éléments et possèdent des retards différents.
Les mouvements qui ont traversé le réseau sur une même cou-
ronne de largeur infiniment petite dr présentent le même retard. Les mouvements à composer ont donc des amplitudes proportionnelles
r’2 1 1 B
27rrdr et des retards r -- 1, ; r prend toutes les valeurs comprises
2nrdr et des
retards 2 (-p r prend toutes les valeurs comprises
entre 0 et a, av2 et a -3, ... , a 1l2 (n - 1 ) s’il y a
n intervalles,
D’après la méthode de Fresnel, chaque mouvement élémentaire
peut être décomposé en deux autres dont les amplitudes sont respec- tivement :
et les retards :
Les amplitudes des mouvements qui ont même retard s’ajoutent;
le mouvement résultant en P’ pourra donc être décomposé en deux
autres, dont les retards seront toujours 0 et - 4et les amplitudes :
les intégrales étant prises de 0 à a, a Y2 à a ,/3, ..., a i12 (n - 1) Ij à
a V2n - i. ’
’
Les intégrations sont ici faciles à effectuer : en posant :
272
on a:
Les différences de sinus ou de cosinus peuvent toutes se mettre
sous la forme d’un produit dans lequel apparaît un facteur constant;
si, pour simplifier l’écriture, on désigne Aa2 par x, on aura :
d’où, en effectuant ces sommes de sinus et de cosinus d’arcs en pro-
gression arithmétique :
L’intensité lumineuse au point P’ est donc :
1 se présente comme le produit d’un facteur constant a47r2 et de deux facteurs variables
Quand x croîtra à partir de 0, le facteur variera d’une manière continue : il décroîtra régulièrement.
Le facteur passera par des maxima et par des minima nuls. ’ ’ 1
Quand passera par un minimum nul pour la valeur
de x correspondante, l’intensité I sera aussi nulle.
273
Pour les valeurs de x qui rendent / maximum, il n’est
) corsx
plus évident que I doive aussi être maximum, et même, rigoureu-
sement, cela n’aura pas lieu. Toutefois, comme le facteur 2 décroît
,, . , p , sin nx
régulièrement, sans jamais être nul, les maxima du facteur /sin nx 2x cos-
auront lieu, très sensiblement, pour les mêmes valeurs de x que
ceux de l’intensité I.
Le problème est donc ramené à l’étude de la fonction :
La fonction y présentera un minimum nul pour les valeurs de x
qui annulent sin nx, c’est-à-dire pour
Toutefois, pour les valeurs de x qui annulent en même temps le dénominateur,
la fraction se présente sous la forme 0 et, en levant l’indétermination 0
par le rapport des dérivées, on trouve :
Les valeurs de ce ainsi déterminées, x = (2k’ + 1 ) x, correspondent
non pas à des minima, mais à des maxima que nous appellerons
maxima principaux.
Nous venons de constater l’existence de minima pour les valeurs
cc = k1t n et sauf pour x = (2k’ + 1) 7r, où l’on a des maxima. Ainsi,
entre 0 et 7c, par exemple, on aura n minima et un maximum pour d’où la nécessité d’admettre l’existence de n - 1 autres maxima que nous appellerons maxima secondaires ; cette dénomi-
nation sera justifiée plus loin.
274
Pour déterminer, au moins approximativement, la position de ces
maxima et les valeurs de y correspondantes, il est nécessaire d’étu- dier de plus près la fonction y.
La dérivée .
peut’être considérée comme le produit de deux facteurs.
Les racines de
correspondent aux minima.
L’équation
va nous donner la position des maxima ; pour en étudier les racines,
on peut construire les courbes :
les abscisses des points communs aux deux courbes seront les valeurs de x cherchées.
Fia. 5.
On a indiqué (Iîg. ~l l’allure générale de ces courbes pour n = 5.
275
Les abscisses des points d’intersection sont :
les quantités S2’ E3’ P-1 vont en croissant, mais restent inférieures Dans le cas général, les abscisses seront donc:
F-2, ....vont encore en croissant, mais restent inférieurs à 7c
Il est facile de trouver la valeur de y pour un maximum secondaire :
on a :
d’où :
ce qu’on peut transformer et écrire : -.
d’où : .
1
Pour x == (2k’ + 1) 7r, on a y = 4n : maximum principal.
Pour les autres maxima, les valeurs de y sont toujours inférieures à 4n2 ; dans le premier intervalle, 0 -- 1t, les abscisses des maxima secondaires sont :
(1) La droite x = ~ est asymptote aux deux courbes considérées : on a donc bien, suivant cette droite, un point commun.
D’ailleurs, pour x == rc et généralement pour x = (2k’ -~- 1) 7r, y’ se présente sous la en levant l’indéteimination par les procédés habituels, on
trouve que la vraie valeur de y’ est bien 0.
276
pour les valeurs de on aura :
les quantités nE t, nE2, ..., n En-1 vont en croissant et restent infé-
. , 7t
2°
Par suite, quand x croît de 0 à ’7t’, les valeurs de cos2 nx corres-
pondant aux maxima secondaires sont :
elles vont par suite en croissant de 0 à 1, et cela d’une façon sensi- blement continue si n est grand.
On aura des résultats analogues dans les intervalles 7r à 2r,
21t à 3zr, etc.
Fia. 6.
Les points correspondant aux divers maxima sont situés sur une
courbe ondulée ressemblant à une sinusoïde. Si n est grand, on peut considérer ces différents points comme formant une courbe continue
et dire que la variation de y est sensiblement représentée par une courbe ondulée ( fig. 6) présentant des maxima pour x = (~1~’ + 1 ) r.
L’intensité I était en réalité un produit :
le rôle de x 12 est d’amortir la valeur des maxima principaux à mesure
que x croît.
Ainsi, lorsque le point P’ se déplacera de façon que x aille en
croissant à partir de 0, on aura des variations d’intensité. Théori- quement, on devrait observer une série de maxima principaux et de
277
maxima secondaires ; mais, si le nombre n est grand, ces maxima secondaires, trop resserrés, ne pourront pas être distingués.
Toutefois, par analogie avec ce qui se produit pour les réseaux
plans, on devrait s’attendre à distinguer nettement les maxima
principaux. Il n’en est rien. Autour d’un maximum principal, l’inten-
sité lumineuse décroît régulièrement et le maximum est d’autant
plus difficile à saisir.
Aussi n’est-il pas étonnant que les réseaux circulaires ne donnent
point des images nettes des objets placés devant. Cela ne tient pas
aux imperfections des réseaux construits, ou, du moins, cette cause
n’est pas la seule qui intervienne. Même avec un réseau théorique-
ment parfait, on doit, au voisinage d’un maximum principal, observer
des maxima secondaires dont l’intensité est peu différente et qui
nuisent à la visibilité du phénomène.
III. - THÉORIES ANALYTIQUES DES RÉSEAUX RECTILIGNES.
On éclairera par une fente lumineuse parallèle aux traits du réseau ; mais, pour simplifier, on peut toujours considérer ce qui se produit
dans un plan perpendiculaire aux traits.
Soit P la trace de la fente sur ce plan à la distance p du réseau ;
on peut se proposer d’étudier l’intensité en un point P’ situé à la
distance p’. ’
Le,mouvement qui a traversé l’élément dr à la distance rt de l’axe et qui arrive en P’ peut se décomposer en deux :
Par suite, le mouvement résultant en P’ peut être décomposé en
deux autres, dont les amplitudes sont respectivement :
et les retards :
278
Les intégrales doivent être prises successivement entre 0 et a,
et V2 et c~ V3, ...
Ces intégrales X, et Y, ne peuvent pas être effectuées comme dans le cas plus simple des réseaux circulaires; mais on reconnaît ici les
intégrales étudiées par Fresnel :
où a, b, s remplacent ~, p’, r.
M. Cornu a trouvé une représentation graphique très simple de
ces intégrales.
On représente un mouvement vibratoire d’amplitude a, possédant,
par rapport à un mouvement pris pour origine, un retard ô, par un
segment OA de lan g ueur a faisant avec un axe fixe l’angle ce - ~~‘~~
Si on a plusieurs mouvements, d’amplitudes possédant des retards :
le mouvement résultant est représenté par la résultante géométrique
des vecteurs OA, OA’,
Ceci peut s’appliquer au cas où l’on a à composer des mouvements infiniment petits: le polygone 0 AA1 A2 ( f~’J. ~ ), qui servait à obtenir
la résultante, sera remplacé par une courbe dont la tangente en un
, 2n6
point fait avec 1 axe Ox un angle «. = 2013*
279 Dans le cas des intégrales de Fresnel, on a à composer une
infinité de mouvements d’amplitude ds et dont les retards étaient :
A chaque élément ds, on fait correspondre, sur la courbe repré- sentative, un arc
la tangente en da faisant avec l’axe O;x l’angle :
8.
Cette courbe, construite point par point par M. Cornu en s’aidant du tableau des intégrales de Fresnel, est une spirale, asymptote
.
d d, i 1 L
"
h. tl
aux points de coordonnées 111 Les points à tangente horizontale
correspondent aux valeurs de a : :
Or, les intégrales à étudier X, et Yi sont identiques aux intégrales
de Fresnel, à cela près qu’il faut les effectuer entre des limites bien déterminées et faire la somme..
Les mouvements issus de la moitié AoA. de l’intervalle central du réseau seront représentés par l’arc Oan et leur amplitude résultante
280
par le vecteur Oa~ 9) ; l’amplitude des mouvements issus des autres intervalles transparents AJtAr., sera représentée par
les vecteurs a2a3’ etc. La moitié de l’amplitude résultante en P’
sera la résultante géométrique de ces vecteurs a2a3’ ~, etc.
Dans le cas général, ceci ne paraît pas très simple (1).
FIG. 9.
Mais supposons le point P’ tel que :
c’est-à-dire supposons P’ à l’un des foyers, le premier par exemple, indiqué par la théorie élémentaire; on a alors :
Les mouvements issus des points du réseau : correspondant aux valeurs de r’ :
présenteront des retards :
et les points représentatifs correspondants seront les points de la
281 courbe à tangente horizontale. Le mouvement résultant aura une
amplitude égale à la somme :
ce qui correspond à un maximum (/zy. ~). -
On aura encore un maximum pour tous les foyers d’ordre impair (2k’ -~-- 1) À ; mais ces maxima auront des intensités décroissant es.
.
Si en effet k .- 3 :
Les mouvements issus, de A., A,, A21 A~ présenteront des retards 0, 3~r, 9~r, et correspondront aux points représentatifs 0, a3, ag, a9’ On aura donc à composer les vecteurs :
qui sont moindres que les vecteurs considérés pour k - ~.
Pour un foyer d’ordre pair, k == 2 par exemple, les mouvements
issus de Ao, Ail A2 présenteront des retards 0, 2r, 4r, 6~ ; les points représentatifs seront 0, a2, a1’ as, et les vecteurs composants : d’où une amplitude résultante minima.
Mais cette amplitude ne sera pas tout à fait nulle ; de plus, entre
un maximum et un minimum, l’amplitude variera régulièrement, ce qui explique pourquoi les maxima ne seront pas nets et seront dif- ficiles à saisir.
IV. - ETUDE DES ANOMALIES D’UN RÉSEAU PLAN ORDINAIRE.
Dans sa thèse de doctorat : Sur la détermination des
d’onde des rayons lumineu.x et ultra-violets (t), M. Mascart avait
remarqué que le réseau dont il s’était servi présentait certaines ano-
malies incompatibles avec la théorie habituelle.
Ainsi, en faisant tomber un faisceau de lumière parallèle norma-
lement au plan du réseau, M. Mascart obtenait deux images diffrac-
tées du même ordre : à droite de la normale, par exemple, on avait
(1) Annales de l’Ecole t. 1; 1864.
J. de Phys., 4e série, t. VIL (Avril ’1908.) 19
