CAHIER DE VACANCES 1
ère– Printemps
Exercice 1 : ETUDE DE SUITE
Ernesto a 40€ dans son porte-monnaie le 1er avril 2020 au matin. Tous les jours, il dépense 25% de ce qu’il a dans son porte-monnaie et retire 25€ le soir dans un distributeur pour mettre son porte-monnaie.
On note 𝑢' la somme qu’il aura dans son porte-monnaie 𝑛 jours après le 1er avril, au matin.
On a donc 𝑢) = 40.
1) a) Combien aura-t-il dans son porte-monnaie le 02 avril au matin ? b) Donner la valeur de 𝑢), 𝑢+ et 𝑢,.
c) La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ?
d) Justifier que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on a 𝑢'/+ = 0,75𝑢'+ 25.
2) Soit (𝑣') la suite définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par : 𝑣' = 𝑢'− 100.
a) Démontrer que (𝑣') est géométrique. On précisera le 1er terme et la raison.
b) En déduire l’expression de 𝑣' en fonction de 𝑛, puis celle de 𝑢' en fonction de 𝑛.
3) Combien Ernesto aura-t-il dans son porte-monnaie le 15 avril au matin ?
Exercice 2 : VARIATIONS DE FONCTION
Un charpentier doit construire un toit incliné (𝐷𝑀) au dernier étage d’une maison, en laissant un espace rectangulaire vide (𝑂𝐴𝐵𝐶) qui correspondra à la surface habitable de cet étage. Il observe qu’il peut faire varier l’inclinaison de ce toit tout en conservant l’espace habitable 𝑂𝐴𝐵𝐶 ; ainsi la hauteur 𝑂𝐷 va varier en fonction de la largeur au sol 𝑥.
Afin d’optimiser l’espace « rangement » 𝐵𝐶𝑀 et l’espace « grenier » 𝐴𝐵𝐷, l’expérience lui a montré qu’il faut minimiser la surface 𝑂𝑀𝐷 : il souhaite donc établir la largeur 𝑥 qui permettrait de minimiser cette surface.
1) A l’aide d’un théorème de géométrie, exprimer 𝑂𝐷 en fonction de 𝑥.
2) En déduire que l’aire du triangle 𝑂𝑀𝐷 peut être modélisée par la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle ]3; +∞[ par :
𝑔(𝑥) = 𝑥, 𝑥 − 3 3) a) Étudier les variations de 𝑔 sur ]3; +∞[.
b) Conclure en répondant au problème posé.
