Probabilités conditionnelles et indépendance
Classe de 1ère
I - Conditionnement
Définition :
Considérons deux événements A et B d’un univers Ωtels que A soit de probabilité non nulle.
La probabilité de B sachant que A est réaliséest notée pA(B) et est définie par : pA(B)= p(A∩B)
p(A)
Propriété : On en déduit facilement la propriété suivante permettant de calculer la probabilité d’une intersection :
p(A∩B)=pA(B)×p(A)
Remarque : Il est alors possible de représenter ces différentes probabilités sur un arbre pondéré :
A
A
B
B
B
B
p(A)
pA(B)
pA(B) p(A)
pA(B)
pA(B)
p(A∩B)
p(A∩B)
On obtiendra donc les probabilités des intersec- tions en multipliant les probabilités des branches menant à cet événement.
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Exemple : Dans un lycée, la répartition des élèves de première en fonction du sexe (Fille ou Garçon) et du choix de la spécialité Mathématiques est donnée par l’arbre ci-dessous :
F
G
M
M
M
M
0,55
0,45
0,42
0,58
0,63
0,37
La lecture de l’arbre nous donne, par exemple pF(M)=0,42 et pG(M)=0,37.
Nous pouvons également calculer :
p(F∩M)=p(F)×pF(M)=0,55×0,42=0,231
II - Partitions de l’univers
Définition :
Soit n un nombre entier naturel tel quen >2 et A1; A2; .... An un ensemble de n événements tels que :
• ils sont disjoints deux à deux
• A1∪A2∪....∪An =Ω
alors, on dit que A1; A2; .... ;An forment une partition de l’universΩ.
Remarque : Un événement A et son contraire A forment une partition de l’univers.
Propriété : Soient A et B deux évènements d’un universΩ et A et B leurs évènements contraires.
Dans ce cas, A et A forment une partition de l’univers et on a : p(B) = p(B ∩A)+p(B ∩A)
= pA(B)×p(A)+pA(B)×p(A)
Preuve : La démonstration est immédiate en ob- servant le diagramme de Venn ci-contre.
En effet, l’événement A∩B est en bleu et la réunion de A∩B et A∩B donne l’événement B .
Ω A∩B
A B
A∩B
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Remarque : Ce résultat peut être généralisé à une partition A1; A2; .... An de l’universΩ. En effet, pour une telle partition, la probabilité d’un évènement B sera :
p(B) = p(B∩A1)+p(B∩ A2)+...+p(B∩An)
= pA1(B)×p(A1)+pA2(B)×p(A2)+...+pAn(B)×p(An)
Exemple : En reprenant l’exemple précédent nous avons alors :
p(M)=p(F ∩M)+p(G∩M)=0,55×0,2+0,45×0,63=0,5145
La probabilité qu’un élève pris au hasard ait choisi la spécialité Maths est donc de 51,45 %.
III - Indépendance
Définition :
Soient A et B deux événements de probabilités non nulles, on dit que A et B sont indépendants lorsque p(A∩B)=p(A)×p(B).
Propriété : Soient A etB deux événements de probabilités non nulles, A et B sont indépendants si et seulement sipA(B)=p(B).
Preuve : Procédons par équivalences :
A et B sont indépendants ⇔ p(A∩B)=p(A)×p(B)
⇔ p(A∩B)
p(A) =p(B)(car p(A) est non nulle.)
⇔ pA(B)=p(B)
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