Problème 1 : Mesure de raideurs de ressorts
On étudie une méthode de mesure de raideurs de ressorts. Dans toute la suite, les ressorts seront considérés idéaux, et posséderont la même longueur à videl0. On négligera tout frottement dans l’étude du problème.
I Oscillations d’un système masse-ressort
On étudie tout d’abord une massemconsidérée ponc- tuelle attachée à l’extrémité d’un ressort de raideurk, l’ensemble étant mobile sans frottement sur un plan horizontal.
x 0
A k
M
`
0I.1. La masse est initialement à une distance notéel, supérieure àl0de l’extrémité fixe (A) du ressort, lâchée avec une vitesse nulle à l’instantt= 0.
(a) À quelle condition portant surl, la masse peut-elle atteindre le pointA? On suppose dans toute la suite que cette condition n’est pas réalisée, sauf mention explicite du contraire.
(b) Déterminer l’expression de l’instant où la longueur du ressort atteint pour la deuxième fois la longueurl0.
(c) Déterminer la valeur minimale de la vitesse à communiquer à la masse à l’instant initial pour que la masse atteigne le pointA. On la noteravmin(l). On pourra utiliser une représentation de Fresnel.
I.2. On mesure que pourl−l0=10 cm, il faut une durée∆t=1 s pour que la masse parcoure une distance 5 cm quand elle est lâchée sans vitesse initiale. Si maintenantl−l0=20 cm :
(a) la durée nécessaire pour parcourir 5 cm à partir de la position initiale est-elle supérieure, inférieure ou égale à∆t=1 s ?
(b) même question pour parcourir 10 cm, toujours avecl−l0=20 cm.
II Masse reliée à deux ressorts
La massem, de positionM, est cette fois-ci reliée à deux oscillateurs de raideurs res- pectivesk1 etk2, aveck1 > k2. On sup- pose que la masse n’atteint pas les extrémi- tés fixes des ressorts (notéesA1etA2) au cours de son mouvement.
0 x x= L
A1 k1 A2
M
k2
II.1. (a) Déterminer la distanceA1Mpour laquelle la masse est à l’équilibre.
(b) Établir l’équation différentielle vérifiée par la position notéexde la masse, et en déduire la pulsa- tion des oscillations du système.
(c) On étudie les oscillations quand on lâche la masse sans vitesse initiale après l’avoir décalée d’une distancedde la position d’équilibre. L’amplitude des oscillations est-elle inférieure, supérieure ou égale selon qu’on a initialement décalé la masse versA1ou versA2?
(d) Même question si on a décalé d’une distancedpar rapport au milieu du segmentA1A2(sans cependant dépasser la position d’équilibre). On supposera dans cette question queL >2l0.
II.2. On utilise ce dispositif pour déterminer la valeur de la raideur d’un ressort inconnu (le ressort2), celle du ressort1étant connuek1 = 10 N·m−1. Dans cette question, on ne suppose plus quek1> k2. La courbe ci-contre présente deux enregistrements des oscillations du dispositif :
en traits interrompus en l’absence du ressort2, la masse n’étant reliée qu’au ressort1
en trait continu quand la masse est reliée aux
deux ressorts. −100 0,5 1 1,5 2 2,5 3
−8
−6
−4
−2 0 2 4 6 8 10
t(s)
x(cm)
Déduire de ces courbes la valeur de la raideur du ressortk2.
II.3. Qu’observerait-on pourk2=0,5 N·m−1, pourk2=100 N·m−1. Commenter.
II.4. Le dispositif est-il adapté pour détecter une faible différence entre des valeursk2etk1proches ?
III Méthode différentielle
Dans le cas oùk2est proche dek1, on utilise le dispositif représenté à la figure 1 formé de deux systèmes masse-ressort. Les deux longueurs ont la même longueur à vide. Les masses sont identiques et sont reliées par un filFinfiniment extensible et sans masse qui exerce une force négligeable sur les masses. On observe un pointRsitué au milieu du fil, d’abscisse notéexR. On considère que les masses ne se touchent jamais au cours du mouvement, et qu’elles n’atteignent pas non plus les extrémitésA1etA2.
x1 xR x2
0 x= L
A1 k1 A2
M
1 FM
2k2
Fig. 1 : Deux systèmes masse-ressort reliés par un fil infiniment extensible et de masse négligeable.
III.1. On considère dans un premier temps que les deux raideurs sont égales :k1=k2≡k.
(a) Le ressort1et le ressort2sont initialement comprimés d’une longueur∆lipar rapport à leur position au repos. Déterminer le mouvement du pointR.
(b) Même question si le ressort1est initialement allongé de∆liet le ressort2initialement comprimé de la même longueur∆li.
III.2. On considère maintenant que la raideurk2est différente mais proche dek1.
(a) On utilise les conditions initiales de la questionIII.1a.
Justifier l’allure de la courbe ci-contre représen- tant l’évolution temporelle dexR.
(b) Déterminer la valeur de la différence relativek2− k1/k1pour la courbe ci-contre si on a toujours k1=10 N·m−1.
(c) Tracer l’allure de l’évolution temporelle dexR
pour les mêmes valeurs de k1 et k2 si les contions initiales sont maintenant celles de la questionIII.1b.
0 5 10 15 20
2 4 6
t(s) xR(cm)
III.3. On donnera des réponses brèves aux deux questions suivantes.
(a) Quel vous paraît être le principal avantage de la méthode de la Section III sur celle de la Section II pour comparer des constantes de raideur proches ?
(b) Quelle(s) imperfection(s) du dispositif limite(nt) la précision de la méthode III ?
Problème 2 : De la musique avec une barre
On étudie la production de sons à l’aide d’une barre solide qu’on fait vibrer. On établit quelques résultats généraux sur les signaux sinusoïdaux avant d’étudier différents modes de vibration de la barre.
I Oscillateur harmonique
On considère un système masse-ressort horizontal. La masse estm, le ressort est idéal de raideurket de lon- gueur à vide`0. On néglige tout frottement.
x 0
A k
M
`
0I.1. (a) Établir l’équation différentielle d’évolution de la longueur`du ressort. Donner ses solutions. On fera apparaître la pulsationωdu système.
(b) Donner les expressions des énergies cinétiqueEc, potentielleEpotet mécaniqueEmdu système.
Justifier brièvement que l’énergie mécanique est conservée. Retrouver par dérivation de l’expres- sion de l’énergie l’équation différentielle établie auI.1a.
I.2. On a enregistré l’évolution ci-contre.
(a) Déterminer la longueur à vide`0, la fréquence fet l’amplitudeXmet la phase à l’origine par rapport à un cosinus, notéeϕ, de ces oscilla- tions.
(b) Donner une expression de `(t) en utilisant entre autres ces paramètres.
(c) La masse estm=100 g, déterminer la valeur de la raideur du ressort.
(d) Quelle serait l’amplitude des oscillations pour une même longueur initiale (ieàt= 0) mais avec une vitesse initiale double ?
0 0,5 1 1,5 2
2 4 6 8
t(s)
`(cm)
II Oscillations de compression
On considère une barre horizontale de longueurL0et de section d’aireSpouvant être allongée ou compri- mée sous l’effet d’une force extérieure. On note∆L son allongement algébrique (négatif pour une com- pression).
x
L0 ∆L
F#»op
Tant que celui-ci reste faible devantL0on observe que la forceFopqu’un opérateur doit exercer pour la maintenir immobile à la longueurL=L0+ ∆Lest proportionnelle à∆L. On a :
Fop,x=SE∆L L0
, (1)
avecEune constante positive nomméemodule d’Young. La barre reste horizontale, on néglige son poids et tout frottement. Aucune masse n’est placée à son extrémité.
II.1. Montrer qu’on peut modéliser la barre par un ressort dont on précisera la raideur et la longueur à vide.
II.2. On étudie les vibrations longitudinales de la barre après que l’opérateur l’a initialement déformée puis abandonnée. Sa longueur varie donc par la suite.
On considère dans cette partie qu’au cours de son mouvement la déformation de la barre reste à chaque instant uniforme sur toute sa longueur. On admet qu’alors son énergie cinétique se met sous la forme :
Ec=1
6ML˙2, (2)
avecMla masse totale de la barre.
(a) Établir l’expression de l’énergie mécaniqueEmde la barre et en déduire l’équation différentielle d’évolution de sa longueurL. On fera apparaître une pulsation notée ωcdont on donnera l’ex- pression en fonction entre autres du module d’YoungE.
(b) Calculer la valeur de la fréquence des oscillations pour une barre de longueurL0=20 cm, d’aire 4 cm2dans les matériaux suivants :
acier: E=2·102GPa,ρ=8·103kg·m−3,
bois (palissandre): E=12 GPa,ρ=7·102kg·m−3. On rappelle qu’on a 1 Pa=1 N·m−2.
III Ondes de compression de la barre
On peut également observer des ondes de compres- sion longitudinales au sein de la barre : en chaque point la matière se translate de part et d’autre de sa position au repos. On notez(x , t)le déplacement al- gébrique à l’instanttde la tranche de barre située à l’abscissexquand elle est au repos.
0
L0
x x+z(x, t)
III.1. On considère une onde dont la déformationz(x , t)a pour expression :
z(x, t) =z0cos(ωt−kx). (3)
(a) Justifier qu’il s’agit d’une onde progressive. Que représentent les coefficientsωetk? Donner l’ex- pression de la célérité notéec. On admet dans toute la suite quecest une constante pour toute valeur deω.
(b) Proposer une expression dez(x , t)pour une onde se propageant en sens inverse.
(c) Proposer par analyse dimensionnelle une expression à une constante près decfaisant intervenir le module d’YoungEet la masse volumiqueρdu matériau. On admet que la constante vaut1.
III.2. On étudie désormais des ondes stationnaires dans la barre.
(a) La barre de longueurL0est tout d’abord rigidement fixée à ses deux extrémitésx= 0etx=L0. Déterminer les fréquences pour lesquelles on peut observer une onde stationnaire de déformation longitudinale. Représenter l’allure de la déformation pour les trois premiers modes.
(b) La barre de longueurL0est maintenant fixée enx = 0mais libre enx = L0. On admet que dans ces conditions les modes propres doivent présenter un ventre de déformation enx=L0. Déterminer les nouvelles fréquences pour lesquelles on peut observer une onde stationnaire et représenter l’allure de la déformation pour les trois premiers modes.
(c) Lequel de ces deux modèles vous semble-t-il le plus adapté pour une utilisation musicale ? III.3. (a) Comparer les fréquences obtenues à la questionIII.2et celle de la partie II.
(b) Peut-on décrire le mouvement de la partie II en utilisant les modes propres étudiés à la ques- tionIII.2?
(c) Décrire qualitativement l’évolution d’une barre initialement allongée uniformément de∆Let abandonnée sans vitesse initiale et en déduire sa fréquence fondamentale d’oscillation.
IV Oscillations de flexion de la barre
Dans les instruments musicaux dits « idiophones », (xylophone, glockenspiel, marimba…) des barres de bois ou de métal sont frappées transversalement avec des baguettes (nommées « maillets »).
Fig. 2 : xylophone Fig. 3 : glockenspiel
Fig. 4 : marimba Les vibrations sont ici transversales, comme dans une
corde de Melde. On notey(x , t)le déplacement de la barre d’abscissexà l’instantt. La barre est décrite comme un parallélépipède rectangle de longueur au
reposL0, de largeurbet de hauteurh. 0 x y(x, t)
h Les modes stationnaires qu’on observe ne sont pas harmoniques, et les extrémités de la barre ne consti- tuent pas un nœud de vibration. Les fréquences du mode fondamental et du premier harmonique sont par exemple données par :
f1= α1h L20
s E
ρ; f2=α2h L20
s E
ρ, (4)
avecα1'1,0 etα2'2,8 des constantes sans dimension.
IV.1. Quelle doit être la longueur d’une barre de palissandre d’épaisseurh=2,3 cm pour qu’elle produise une note à 220 Hz ?
IV.2. Sur la photographie du marimba, on distingue des tubes métalliques verticaux placés sous chacune des barres. Leur rôle est d’amplifier le mode fondamental par rapport au premier harmonique.
On considère le cas d’un tube ouvert à son extrémité supérieure et fermé à son extrémité inférieure.
On admet que les ondes sonores dans l’air s’y comportent comme les modes de compression dans la questionIII.2b. On rappelle la vitesse du son dans l’air, égale àcs = 3,4·102m·s−1. Déterminer la longueur du tube qu’on doit placer sous la barre de la questionIV.1pour amplifier le mode fondamental sans amplifier le premier harmonique. En quoi le phénomène aurait-il été différent si les vibrations avaient été harmoniques ?
Correction du problème 1
I Oscillations d’un système masse-ressort
I.1. La loi de la quantité de mouvement s’écrit : md2x
dt2 =−k(x−l0).
L’unique solution vérifiant les conditions initialesx0=letx˙= 0est : x(t) =l0+ (l−l0)cos(ωt), avecω=p
k/mla pulsation etT = 2π/ωla période.
(a) La masse oscillera avec une amplitude del−l0autour del0. On doit donc avoirl > 2l0pour qu’elle puisse atteindre le pointAd’abscissex= 0.
(b) La fonctionx(t)prend initialement sa valeur maximale. Comme toute oscillation sinusoïdale, elle passera ensuite par sa valeur moyenne,x=l0au bout d’un quart de période, en décroissant. Elle y repassera ensuite une demi-période plus tard, soit ent= 3T/4.
(c) Notonsvx0la composante selone# »xde la vitesse initiale. La solution avec les conditions initiales x(0) =l0,x(0) =˙ vx0est alors :
x(t) =l0+ (l−l0)cos(ωt) +vx0
ω sin(ωt)
| {z }
=cos(ωt−π/2)
≡Xcos(ωt+ϕ).
l−l0
vx0/ω X
La construction de Fresnel ci-dessus montre que l’amplitude X de l’oscillation sera q
(l−l0)2+ (v0x/ω)2.
La masse pourra donc atteindre le pointAquandx= 0, soit si :
(l−l0)2+v0
ω 2
>l02→l2−2l0l+v0
ω 2
>0
I.2. La distancel−l0 =10 cm représente l’amplitude des oscillations. Parcourir 5 cm correspond donc à avoir cos(ωt) = 1/2, soitωt=π/3 =ϕ1.
(a) Sil−l0 =20 cm, parcourir 5 cm représente une plus faible fraction de l’amplitude et donc une plus faible fraction de la période, soit une durée inférieure à∆t=1 s. Plus précisément, on aura cos(ωt) = 3/4, soitωt=41,4°=0,72 rad≡ϕ2et donc une durée 1 s×ϕ2/ϕ1=0,69 s.
(b) Parcourir 10 cm sur 20 cm durera le même temps que 5 cm sur 10 cm, soit 1 s.
II Masse reliée à deux ressorts
II.1. Les longueurs des ressorts1et2sont respectivementxetL−x.
(a) À l’équilibre, la tension du ressort1est égale en norme à celle du ressort2. En notantxla position deM(avecx= 0enA1), on a donc :
k1(x−l0) =k2(L−x−l0)→x=Lk2+ (k1−k2)l0
k1+k2
≡xeq.
On peut en particulier vérifier que sik1=k2,x=L/2, que sik1k2,x=l0et que sik2k1, x=L−l0.
(b) Les forces de tension des ressorts1et2sont respectivement−k1(x−l0)e# »xet−k(L−x−l0)(−e# »x).
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit, en projection sur l’axeOx: m¨x=−k1(x−l0) +k2(L−x−l0)→¨x+ω2x=ω2xeq, sous forme canonique, avec (après calculs)ω2=p
(k1+k2)/met l’expression précédente pour xeq.
(c) Les oscillations sont toujours symétriques par rapport à la position d’équilibre, quelles que soient les valeurs dek1etk2. L’amplitude sera toujours dedqu’on se soit initialement décalé versA1ou A2.
(d) Commek1 > k2, le point d’équilibre est plus proche deA1 queA2 si les deux ressorts sont étendus, ce qui est le cas pourL >2l0(on peut le vérifier sur l’expression dexeqqui est alors inférieur àL/2). Se déplacer versA1revient alors à lâcher la masse d’une position plus proche de la position d’équilibre : les oscillations auront une amplitude moindre.
II.2. La période dans le cas où le ressort1(donc quand ω = p
k1/m) est seul estT1 = 1,1 s, elle vaut T1+2=0,7 s quand les deux agissent (et donc quandp
(k1+k2)/m). On en déduit qu’on a : k1+k2
k1
= T2
T1
2
→k2
k1
= T2
T1
2
−1 =1,5→k2=15 N·m−1.
II.3. Pourk2=0,5 N·m−1: la somme des raideursk1+k2sera peu différente dek1et la pulsation cor- respondante encore plus proche dep
k1/m(en raison de la racine carrée). L’observation d’un enregistrement tel que celui de la question précédente demandera une précision bien supérieure pour pouvoir mesurer la différence des deux raideurs.
Pourk2=100 N·m−1: la pulsation du signal sera√
11fois plus importante que dans la question pré- cédente. Il faudra donc disposer d’une meilleure précision ici aussi.
II.4. L’expérience étant sensible à la somme des constantes de raideur, elle n’est pas très adaptée pour me- surer des valeurs proches.
III Méthode différentielle
III.1. (a) Chaque masse n’est soumise qu’à la force d’un ressort (respectivementT# »1 =−k1(x1−l0)e# »xet T# »2=−k2(L−x2−l0)(−e# »x)). Les équations différentielles d’évolution dex1etx2sont donc :
mx¨1=−k1(x1−l0) mx¨2=k(L−x−l0).
Les solutions vérifiant les conditions initialesx1=l0−∆l,x2=L−l0+ ∆l,x˙1= ˙x2= 0sont : x1=l0−∆lcos(ω1t) x2=L−l0+ ∆lcos(ω2t),
avecω1=p
k1/metω2=p k2/m.
L’abscisse du pointRest alors : xR=x1+x2
2 =L
2 + ∆l(−cos(ω1t) +cos(ω2t)) = L 2, dans le cas oùω1=ω2≡ω.
(b) La condition initiale sur la position deM1 est maintenantx1 = l0+ ∆l, celle deM2 étant inchangée. La position deM1 évolue alors selon x1 = l0 + ∆lcos(ω1t)et on a désormais xR=L/2 + ∆lcos(ωt).
III.2. (a) On reprend l’expression : xR=L
2 + ∆l(−cos(ω1t) +cos(ω2t)) = L
2 + ∆lsin
(ω1+ω2)t 2
sin
(ω1−ω2)t 2
. Définissons la valeur moyenneω0≡(ω1+ω2)/2et la différenceω1−ω2≡∆ω. On a∆ω/ω0 1puisque les deux raideurs sont proches. On observe donc un phénomène de battements avec un signal évoluant rapidement à ω0, dont l’amplitude évolue lentement, à∆ω, comme représenté sur la figure ci-contre.
On vérifie qu’on a bienxR(0) = 0comme imposé par les conditions initiales choisies.
(b) En utilisantω0et∆ω, on peut réécrire : xR=L
2 + ∆lsin(ω0t)sin
∆ωt 2
.
On lit sur la courbe que les oscillations rapides ont une période deT0=12,0(5)s/20soit une fré- quencef0= 1/T0=1,600(3)Hz. L’enveloppe de la courbe est une sinusoïde de pulsation∆ω/2 mais la pulsation des oscillations de l’amplitude est double, égale donc à∆ω. On lit pour ces os- cillations une périodeTa =12,75(25)s. On en déduit∆ω/(2π) = 1/Ta =7,84(15)·10−2Hz.
Remarquons également qu’on aurait aussi bien pu écrire∆ω/(2π) =−7,84(15)·10−2Hz du fait de la périodicité de la fonction cos. On ne peut pas donc pas a priori savoir sik1est supérieur ou inférieur àk2.
On peut donc écrire :
∆ω=
rk1
m− rk2
m
= rk1
m
1− s
k2
k1
.
Commek1etk2sont proches, la pulsationω0est peu différente dep
k1/met on a donc :
1− s
k2
k1
=∆ω ω0
=4,72(9)·10−2 k2
k1
=
1±∆ω ω0
2
'1±2∆ω ω0
= 1±9,45(20)·10−1.
On a donck2=1,094(2)k1ouk2=9,055(2)·10−1k1. Pour choisir entre ces deux valeurs, il suffit de regarder le démarrage de la courbe. Elle commence par décroître, ce qui indique que le point Rcommence par se déplacer vers la gauche, c’est donc que le pointM2revient plus rapidement vers sa position d’équilibre, donc quek2> k1. Finalementk2=1,094(2)k1=10,94(2)N·m−1. III.3. (a) La méthode de la Section III détermine la différence entre deux raideurs en mesurant une grande
durée. Cette différence sera donc mesurée avec une plus grande précision relative que par la mé- thode II.
(b) Les différences entre les masses et la raideur non nulle du fil sont les principales causes d’impré- cision dans ce protocole.
Correction du problème 2
I Oscillateur harmonique
I.1. (a) Comme vu en cours, on a, en notant :
m`¨+k(`−`0) = 0→`¨+ω2(`−`0) = 0. (5) Ses solutions sont :
`=`0+Xmcos(ωt+ϕ). (6) (b) On a :
Ec=m`˙2
2 Epot=k(`−`0)2
2 Em=Ec+Epot. (7) En dérivant l’expression de l’énergie mécanique par rapport au temps, on retrouve (5) :
0 =dEm
dt = d dt
m`˙2
2 +k(`−`0)2 2
!
=m`¨`˙+k`(`˙ −`0).
→m`¨+k(`−`0) = 0. (8) I.2. (a) L’expression (6) assure que`oscille autour de`0qui représente donc la valeur moyenne du signal.
On lit donc`0 = 5,0 cm. On lit de même`max−`min = 2Xm =6,0 cm soitXm = 3,0 cm. La période estT =1,25 s/2 =6,3·10−1s. On lit un retard∆t=−0,2 s, correspondant à une phase deϕ= 2π∆t/T =−2,0 rad.
(b) On a donc :
`=5+3 cos 2πt 0,63−2.0
. (9)
(c) On a identifiéω=p
k/m, et lu la valeur deT = 1/f. On calcule donc :
k=mω2=m 2π
T 2
=10,0 N·m−1. (10)
(d) On lit l’élongation initiale∆`0=−1,0 cm. Pour la vitesse initiale, on peut mesurer la pente initiale ou dériver l’expression de`, on obtient :
`˙0= −3×2π
0,63 sin(0−2) =2,7·10−1m·s−1. (11) On utilise ensuite l’expression de`en fonction des conditions initiales :
`=`0+ ∆`0cos(ωt) +2 ˙`0
ω sin(ωt).
La nouvelle amplitudeXm0 s’obtient immédiatement par une construction de Fresnel par exemple :
Xm0 = s
∆`20+ 4
`˙20
ω2 =5,5 cm. (12)
Notons qu’on aurait tout aussi bien pu établir ce résultat en écrivant la conservation de l’énergie entre l’état initial et l’état d’élongation maximale du ressort.
II Oscillations de compression
II.1. La force que doit exercer l’opérateur pour maintenir le système déformé est proportionnelle à la défor- mation : on retrouve la loi de Hooke avec une raideur :
k=SE L0
, (13)
et une longueur à videL0. II.2. (a) On exprime :
Em=Ec+Epot= k∆L2 2 +ML˙2
6 =SE∆L2 2L0
+ML˙2 6
→∆L˙ 2+ω2c∆L2=cste avec:ω= s
3SE M L0
. (14)
(b) On calcule la masseMà l’aide de la masse volumiqueρ, on en déduit la fréquence :
M=L0S →fc= ωc
2π = 1 2π
s3E
ρL20 =6,9 kHz pour l’acier,
=5,7 kHz pour le palissandre. (15)
III Ondes de compression de la barre
III.1. (a) Le coefficient ωest sa pulsation,kest son vecteur d’onde. La position du point de phaseϕest x=ωt/k−ϕ/k. Elle progresse à la céléritéc=ω/kdans le sens desxcroissants.
(b) L’onde de déformation donnée parzr =z0cos(ωt+kx)se propage dans le sens desxdécrois- sants.
(c) On détermine une expression decpar équation aux dimensions.
E:Pa=N·m−2=kg·m−1·s−2 ρ:kg·m−3→c= s
E
ρ :m·s−1. (16) III.2. (a) On peut former une onde stationnaire en par somme d’ondes progressive et régressive éventuel-
lement déphasées et de même amplitude :
z(x, t) +zr(x, t) =z0cos(ωt−kx+ϕ+) +z0cos(ωt+kx+ϕ−)
= 2z0cos
ωt+ϕ++ϕ−
2
+ 2z0cos
kx+ϕ+−ϕ−
2
. (17) La fonction spatiale obtenue est sinusoïdale. Les conditions aux limites imposent qu’elle s’annule enx= 0etx=L0. On peut donc l’écrire :
sin(knx) avec:knL0=nπ→kn= nπ L0
→fn=ωn
2π =ckn
2π = nc 2L0
n∈N?. L’allure de la déformation correspondante est représentée sur la figure 5.
(b) Les conditions aux limités imposent maintenant que la fonction sinusoïdale s’annule enx = 0 mais qu’elle vaille±1enx=L0. Elle est donc de la forme sin(knx)avec :
knL0=π
2+nπ→kn= π 2L0
+nπ L0
→fn=ωn
2π =ckn
2π =(2n+ 1)c 4L0
n∈N.
L’allure de la déformation correspondante est représentée sur la figure 6.
n = 1 n = 2 n = 3
Fig. 5
n = 1 n = 2 n = 3
Fig. 6
(c) Seule la déformation de la figure 6 peut être excitée simplement, en frappant l’extrémité enx=L0
avec un maillet par exemple. Notons cependant que dans les instruments à percussion, ce sont les modes de flexion (étudiés à la section suivante) qu’on excite habituellement.
III.3. (a) Pour une compression en bloc, la fréquence des oscillations étaitfc= q
3E/(ρL20)/(2π). Pour les modes ondes de compression, les fréquences sontn
q
E/(4L20ρ)et(2n+ 1) q
E/(16L20ρ): elles ne sont en particulier pas commensurables à celle de la compression en bloc.
(b) On pourrait envisager de décrire la compression en bloc comme une somme des ondes station- naires décrites à la questionIII.2b. Néanmoins celles ci ont des fréquences qui sont toutes des multiples impairs deq
E/(4L20ρ)qui n’est pas commensurable àfc. On ne peut donc pas décrire l’oscillation en bloc de la Section II à l’aide d’ondes de compression.
(c) On décompose la déformation initiale à l’aide des déformations représentées à la Figure 6. Chacun de ces modes oscille à sa propre fréquence donnée par les expressions (III.2a). La déformation ultérieure est la somme des déformations correspondant à ces modes propres. En particulier elle sera périodique de périodeq
E/(4L20ρ) = 2,5 kHz (pour le palissandre, 6,2 kHz pour l’acier), différente defc.
IV Oscillations de flexion de la barre
IV.1. La note sera un La2à 220 Hz si cette fréquence est celle de son mode fondamental, soit :
f1=220 Hz=fLa2→L0= s
α1h fLa2
4
s E
ρ =66 cm. (18)
IV.2. Le tube sera le siège d’une onde stationnaire similaire à l’onde de compression de la questionIII.2b: sa longueurLdoit donc correspondre à1/4de la longueur d’onde d’un La2 dans l’air, soitL = cson/(4fLa2) =39 cm.
