ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

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CONCOURS D’ADMISSION 2020

LUNDI 22 JUIN 2020 - 8h00–12h00 FILIERE PC - Epreuve 1

MATHEMATIQUES (XEULC)

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

NOTATIONS

Dans tout le problème, pour tout(a, b)∈N²tel quea≤b, on noteraJa, bK={i∈N|a≤i≤b} l’ensemble des entiers compris entreaetb.

Soientp, q∈N_∗ deux entiers strictement positifs. On note Mp,q(R)l’ensemble des matrices à coefficients réels de taillep×q(plignes etqcolonnes). Lorsquep=q, on noteraMp(R)l’ensemble des matrices carrées de taillep×p.

Pour tout A ∈ Mp,q(R), A^T ∈ Mq,p(R) désignera la transposée de A. Un vecteuru ∈ R^p pourra être identifié à un vecteur colonne de Mp,1(R) et u^T sera le vecteur ligne associé de M1,p(R).

Pour tousA, B∈ Mp,q(R), on noteA⊙B la matrice deMp,q(R)définie pour tous1≤i≤p et1≤j ≤q par :

(A⊙B)_ij =A_ijB_ij

où pour toute matriceM ∈ Mp,q(R),M_ij désigne le coefficient de la ligneiet de la colonnej.

Pour toutA ∈ Mp,q(R), on définit A⁽⁰⁾ ∈ Mp,q(R) la matrice telle que A⁽⁰⁾_ij = 1 pour tous 1≤i≤pet1≤j ≤qpuis par récurrence,A⁽ⁿ⁺¹⁾=A⁽ⁿ⁾⊙Apour toutn∈N.

Enfin, on dira qu’une matriceA∈ Mp(R)est symétrique positive siA^T =Aetu^TAu≥0pour toutu∈ Mp,1(R). L’ensemble des matrices symétriques positives deMp(R)sera noté Sym⁺(p).

DÉPENDANCE DES PARTIES

Les parties III et IV sont indépendantes des parties I et II et la partie V dépend des parties précédentes.

PARTIE I

(1) Montrer que pour toutes matrices A et B dans Sym⁺(p)et tous réels positifs aet b, on a aA+bB∈Sym⁺(p).

(2) Montrer que si v ∈ R^p alors la matrice A = (A_ij)_{(i,j)∈J1,pK}2 définie par A =vv^T est dans Sym⁺(p).

(3) (a) Montrer que pour tous u, v∈R^p, on a(uu^T)⊙(vv^T) = (u⊙v)(u⊙v)^T.

(b) Soit A ∈Sym⁺(p). On note λ₁, . . . , λ_p les valeurs propres (avec multiplicité) de A et (u₁, . . . , u_p)une famille orthonormale de vecteurs propres associés. Montrer queλ_k≥0 pour toutk∈J1, pKet queA=∑p

k=1λ_ku_ku^T_k.

(c) En déduire que siA, B∈Sym⁺(p)alorsA⊙B ∈Sym⁺(p).

PARTIE II

Pourf :R→RetA∈ Mp(R), on notef[A]∈ Mp(R)la matrice définie parf[A]ij=f(Aij) pour tout(i, j)∈J1, pK².

(4) Soientn∈N etP : R→Rdéfini parP(x) =∑n

k=0akx^k oùak ≥0pour tout k∈J0, nK un polynôme à coefficients positifs.

(a) Vérifier queP[A] =∑n

k=0akA^(k)pour toute matrice A∈ Mp(R).

(b) Montrer que si A∈Sym⁺(p)alorsP(A)∈Sym⁺(p)

On pose, pour toutn≥0 et toutx∈R,Pn(x) =∑n k=0

x^k

k! oùk!désigne la factorielle dek.

(5) Soit A∈Sym⁺(p).

(a) Montrer que pour tout (i, j)∈J1, pK², on a

n→lim+∞P_n[A]_ij = exp(A_ij)

(b) Montrer que exp[A]∈Sym⁺(p).

(c) Soit u∈R^p. Montrer queexp[A]⊙(uu^T)∈Sym⁺(p).

(6) Soit d∈N_∗. On considère unp-uplet(xi)1≤i≤p d’éléments de R^d et la matrice A= (⟨x_i, x_j⟩)_{(i,j)∈J1,pK}2

où ⟨a, b⟩ désigne le produit scalaire usuel entre deux vecteurs a et b de R^d. On notera

|a|=√

⟨a, a⟩la norme dea.

(a) Montrer queA∈Sym⁺(p).

(b) On note u∈R^ple vecteur de coordonnées (exp(−^|x₂^1|2), . . . ,exp(−^|xp₂^|2)). Montrer que (exp[A]⊙(uu^T))_ij = exp(−^|xi−₂^xj|2)pour tout(i, j)∈J1, pK².

(c) Soient λ > 0 et K ∈ Mp(R) la matrice définie par K_ij = exp(−^|xi−_2λ^xj|2) pour tout (i, j)∈J1, pK². Montrer queK∈Sym⁺(p).

PARTIE III

Soitλ >0 fixé. On considère ici l’espaceC(R,R)des fonctions continues deR dansR. Dans toute la suite, on désigne parE le sous-espace vectoriel deC(R,R)(on ne demande pas de vérifier ce fait) défini par

E ={f ∈ C(R,R)|∃(a, A)∈(R⁺_∗)² tel que∀y∈R|f(y)| ≤Aexp(−y²/a)}

Pour toutx∈R, on noteτ_x : C(R,R)→ C(R,R)l’application définie pour toutf ∈ C(R,R) par

τ_x(f)(y) =f(y−x) pour touty∈R. Enfin on définit la fonctionγ_λ : R→Rpar

γλ(y) = exp(−y²/λ) (7) Pour tout (f, g)∈ E², montrer quef gest intégrable surR.

Pour tousf, g∈ E, on définit

(f|g) =

∫ +∞

−∞

f(y)g(y)dy .

(8) (a) Montrer que pour tout f ∈ E, on a(f|f)≥0avec égalité si et seulement sif = 0.

(b) Montrer que pour tout x∈R,τx(γλ)appartient àE.

(9) (a) Soit a >0. Montrer qu’il existec≥0 tel que pour toutx∈Ron a

∫ +∞

−∞

exp (

−(y−x)² λ

) exp

(

−y² a

)

dy=cexp (

− x² a+λ

) .

Indication : On pourra montrer l’égalité

(y−x)² λ +y²

a =a+λ

aλ (y− ax

a+λ)²+ x² a+λ .

(b) Soit g∈ E. On considèreC(g) : R→Rdéfinie pour toutx∈Rpar C(g)(x) = (τx(γ)|g)

Montrer queC(g)∈ E.

(c) Montrer queC : E → E définit un endomorphisme deE.

PARTIE IV

Soitλ >0fixé. On considère maintenant l’ensembleG des fonctionsgs’écrivant sous la forme g=∑n

i=1αiτx_i(γλ)oùn est un entier strictement positif et((xi, αi))1≤i≤n est une famille d’élé- ments deR² :

G={

∑n

i=1

α_iτ_xi(γ_λ)|n∈N_∗, ∀i∈J1, nK(x_i, α_i)∈R×R}

On noteraH=C(G)l’image de G par l’endomorphismeC introduit dans la question (9b).

(10) Montrer queGest un sous-espace vectoriel deEet que c’est le plus petit sous-espace vectoriel deE qui contient toutes les fonctionsτx(γλ)pourx∈Rarbitraire.

(11) (a) Montrer qu’il existe cλ>0telle que pour tout(x, x^′)∈R×Ron a (τ_x(γ_λ)| τ_x′(γ_λ) =c_λγ_2λ(x−x^′)

Indication : On pourra remarquer que _λ¹((y−x)²+ (y−x^′)²) = _λ²(y−(x+x^′)/2)²+

1

2λ(x^′−x)².

(b) En déduire que pour toutx∈R

C(τx(γλ)) =cλτx(γ2λ) et que

H={

∑n

i=1

αiτx_i(γ2λ)|n∈N_∗, ∀i∈J1, nK(xi, αi)∈R×R}

(12) (a) Soient n ∈ N_∗ et (x_i)_1≤i≤n une famille de réels telle que pour tous i, j ∈ J1, nK on a x_i̸=x_j lorsquei̸=j. Montrer que la fonction∑n

i=1α_iτ_xi(γ_2λ)est nulle si et seulement siα_i = 0pour tout1≤i≤n(Indication : On pourra procéder par récurrence surn).

(b) En déduire qu’il existe une unique application linéaireD deHdansG telle que D◦C(g) =gpour toutg∈ G etC◦D(h) =hpour touth∈ H.

(c) Montrer que pour tout h∈ H, on a pour toutx∈Rqueh(x) = (τx(γλ)|D(h)).

(13) Pour tout (h₁, h₂)∈ H × H, on note (h₁|h₂)_H =c_λ(D(h₁)|D(h₂))oùc_λ est introduit dans la question (11a).

(a) Vérifier que(|)_H définit un produit scalaire surH.

(b) Montrer que pour tous x∈Ret h∈ Hon a h(x) = (τ_x(γ_2λ)|h)_H. (c) Montrer que pour tout h∈ Hon a

∥h∥_∞≤ ∥h∥_H où on a posé∥h∥∞=sup_x∈R|h(x)|et∥h∥H= (h|h)^1/2_H .

PARTIE V

On fixe dans cette partie deuxp-uplets(xi)_i∈J1,pKet(ai)_i∈J1,pK de réels. On suppose que lesxi

sont deux à deux distincts. On noteS ={h∈ H |h(xi) =ai} l’ensemble desh∈ Hqui valentai

enxi pour touti∈J1, pK(on dira qu’une telle fonction est une interpolante). On noteJ : H →R défini parJ(h) = 1

2∥h∥²_H et J_∗=inf{J(h)|h∈ S}.

On veut montrer dans cette partie qu’il existe une unique interpolante h_∗ ∈ S qui atteint le minimum deJ c’est-à-dire telle queJ(h_∗) =J_∗. On noteraS_∗={h∈ S | J(h) =J_∗}.

(14) Monter queS_∗ a au plus un élément.

(15) SoientH0={h∈ H |h(xi) = 0∀i∈J1, pK} et˜h∈ S_∗ (on suppose iciS_∗non vide).

Montrer que(˜h|h0)_H= 0pour touth0∈ H0.

(16) On noteH^⊥0 ={h∈ H | ∀h0∈ H0(h|h0)_H= 0} le sous-espace orthogonal àH0 dansH. (a) Montrer queS_∗=S ∩ H^⊥0.

(b) Montrer que H^⊥0 contient le sous-espace vectoriel de H engendré par les fonctions τ_xi(γ_2λ)pouri∈J1, pK.

(17) Soient α ∈ R^p (resp. a ∈ R^p) le vecteur de coordonnées (α_i)_i∈J1,pK (resp. (a_i)_i∈J1,pK) et h_α=∑p

i=1α_iτ_xi(γ_2λ).

(a) Montrer que h_α est une interpolante si et seulement si Kα = a où K est la matrice introduite dans la question (6) (ici dans le casd= 1).

(b) Montrer que K est inversible

(18) En déduire qu’il existeα_∗∈R^p tel queS∗={h_α∗}et calculer la valeur deJ_∗ en fonction de K et dea.