CHAP I - LE COURANT ELECTRIQUE ET LA LOI D'OHM

CHAP I - LE COURANT ELECTRIQUE ET LA LOI D'OHM

1. Vecteur densité de courant. Intensité du courant.

 considérons des charges en mouvement dans un conducteur.

Désignons par

v 

leur vitesse moyenne à un instant t et en un point P du conducteur où la densité volumique de ces charges mobiles est ρm.

La quantité d'électricité dq qui traverse une surface élémentaire dS définie autour de P, pendant le temps dt, est contenue dans le cylindre de base dS et de génératrices

v   dt

:

dq 

_m

 dS  n   v   dt



Le vecteur

i 

_m

v 





est le vecteur densité de courant à I’instant t et au point P.

 La quantité

dI  dq dt  i   n   dS

/

est I’intensité du courant qui traverse la section dS. A travers une surface S non fermée à l’intérieur du conducteur on a :

I ^ 

S

i  ^ n  ^ dS

 Dans un conducteur métallique ρm < 0, le sens du courant est l’inverse du sens de déplacement des électrons.

2. Loi d'Ohm.

 si les charges sont en mouvement, c'est qu'il existe dans le conducteur un champ électrostatique É. En désignant par γ la conductivité du conducteur, la loi d'ohm locale s’écrit:

E i  



 

 En appliquant la relation précédente à une portion de conducteur de résistance R, la loi d'Ohm s'écrit :

I R V

V

₁



₂

 

 La loi d'ohm n'est valable qu'en régime permanent.

3. Résistance des conducteurs.

 La résistance d'un conducteur est fonction de sa conductivité et de sa forme géométrique.

 Pour un conducteur cylindrique de section S et de longueur l :

S R   l

 1

_S

R    l

 Elle varie aussi avec la température.

 ^{  t} 



  



₀

1



0

:

résistivité à 0 °C



: coefficient de température

t

: température en °C

 Association des résistances.

En série :

R ^ 

i

R

i ; en parallèle :

 





i

R

i

R 1 /

1

_.

4. Unités.

 L'unité d'intensité est I'ampère (A). Le module du vecteur densité de courant s'exprime en ampères par mètre carré

 ^{A  m}

^2



.

 Les résistances s'expriment en ohms (Ω). La conductivité d'un milieu s'exprimera donc en

1

1 





 m

_.

CHAP II - ENERGIE ELECTROCINETIQUE 1. Loi de Joule.

 Dans un conducteur, la puissance dissipée sous forme de chaleur, à l’intérieur d’un volume élémentaire dV, est donnée par la loi de Joule sous forme locale :

 E

²

ⁱ 

²

dV

dP   

 La loi de Joule pour une portion de conducteur de résistance R s'écrit :

I

2

R I

U

P    

- ^{U  V}

¹

^{ V}

² : différence de potentiel aux bornes de la résistance.

- La puissance s'exprime en watts (W) si R est exprimé en Ω et I en A.

2. Générateur - Récepteur.

 Un générateur de force éIectromotrice E, de résistance interne négligeable et traversé par un courant d'intensité I, fournit au circuit extérieur une puissance électrique égale à:

I E P  

 Un récepteur de force contre-électromotrice E’, parcouru par un courant d'intensité I, absorbe une puissance P telle que :

I E P   

Les grandeurs E et E' s'expriment en volts.

3. Loi d'Ohm généralisée.

 Entre deux points A et B d'un circuit où se

trouvent placés des générateurs et des récepteurs, la loi d'Ohm généralisée s'écrit :





 ^{   }



 V R I E E

V

_{A B}

 L’expression ci-dessus est générale à condition d’adapter les conventions suivantes :

- I est positif si le courant circule de A vers B;

négatif dans le cas contraire.

- E a le signe de la borne par laquelle on sort du générateur quand on va de A vers B.

- E' a le signe de I.

CHAP III - Les régimes permanents sinusoïdaux

1. Grandeur sinusoïdale du temps.

C’est un signal de la forme

x  A

_m

 cos   t    ou

 ^{  } 



 A t

x

_m

sin

 ω est la pulsation en radian par seconde (rad/s).

 ωt+φ est la phase instantanée et φ la phase à l’origine des temps.

La période du signal définie par x(t+T) = x(t), vaut T = 2π/ω. La fréquence est f = 1/T.

2. Valeur moyenne, valeur efficace.

Pour un signal x(t) périodique de période T, on définit

 la valeur moyenne

  ^x   ^{t dt}

t T

x  

0^T



1

 la valeur efficace :

  ^x   ^{t dt}

t T x

X

_eff



²

 ¹ 

^{0T 2}



Pour un signal sinusoïdal, la valeur moyenne est nulle et la valeur efficace vaut : ^A₂^m

.

3. Vecteur tournant, vecteur de Fresnel.

Dans le plan Oxy, on considère un vecteur

OM

de norme

A

m tournant à la vitesse angulaire ω, l’angle θ(t) valant ωt+φ.

On obtient ainsi un vecteur tournant dont la projection sur l’axe Ox fournit la vibration sinusoïdale

^{x  A}

_m

^{ cos}  ^{ t  } 

et celle sur Oy la vibration

^{x  A}

_m

^{ sin}  ^{ t  } 

_.

On peut également figer cette représentation en choisissant t=0.

On obtient alors un point Mo fixe et un vecteur

OM

0 qui ne tourne plus : c’est le vecteur de Fresnel associé à la grandeur sinusoïdale

 ^{  } 



 A t

x

_m

cos

_ou

^{x  A}

_m

^{ sin}  ^{ t  } 

_.

4. Grandeur complexe.

Le vecteur de Fresnel a pour affixe le nombre complexe X = a + jb dont le module est par définition,

2

A

m

et l’argument φ.

X est la grandeur complexe associée à la grandeur x(t) instantanée.

5. Dipôles passifs en régime sinusoïdal.

Soit un dipôle passif utilisé en convention récepteur parcouru par un courant

  ^{t I t}

i 

_eff

2 cos 

pris en référence de phase et présentant une ddp

u   t  U

_eff

2 cos   t   

_entre

ses bornes.

A ces deux grandeurs instantanées, on associe les complexes I et U :

eff j

eff

e I

I

I  

⁰



_et

U  U

_eff

 e

^j _.

L’impédance du dipôle passif est définie par : U = Z I.

Résistance Z=R |Z|=R Arg Z =0 Bobine

d’inductance L

Z=jLω |Z|=Lω Arg Z =+ π/2 Condensateur

de capacité C

Z=1/jCω |Z|=1/Cω Arg Z =- π/2

Dans le cas d’un dipôle passif quelconque, on note l’impédance

Z = R + j X et l’admittance

Y = 1/Z = G + j B R : est la résistance

X : est la réactance G : est la conductance B : est la susceptance.

Remarque : G n’est pas l’inverse de R.

6. Les puissances.

Soit un dipôle parcouru par un courant i(t) et présentant entre ses bornes une ddp u(t) :

A B

i(t) Z

u(t)

A B

i(t) Z

u(t)

La puissance instantanée p(t) reçue par ce dipôle est :

      t u t i t

p  

La puissance moyenne reçue s’écrit

  ^{t u}     ^{t i t}

p

P   

Dans le cas d’un régime sinusoïdal, en choisissant i(t) en référence de phase, on a

  ^{t I t}

i 

_eff

2 cos 

  t  U   t   

u

_eff

2 cos

Soit

  t  U  I   t    t   

p 2

_{eff eff}

cos cos

  ^{t  U  I }  ^cos  ^{2  t  }  ^{ cos } 

p

_{eff eff}

On peut alors scinder p(t) en deux parties :

  ^{t P p}

_f

p  

avec



 cos



 U

_eff

I

_eff

P

 ^{  } 





 U I t

p

_{f eff eff}

cos 2

P est la puissance moyenne appelée aussi puissance active Pa, et pf représente la puissance fluctuante, fonction du temps et de la pulsation 2ω.



 cos







_{eff eff}

a

P U I

P

La puissance réactive Pr est définie par :



 sin





_{eff eff}

r

U I

P

Remarquons que la puissance active absorbée par un condensateur est nulle de même que celle consommée par une bobine puisque φ=-π/2 dans le premier cas et φ=π/2 dans le second, soit cosφ=0.

On peut aussi Remarquer que la puissance réactive absorbée par une résistance est nulle puisque φ=0, soit sinφ=0.

CHAP IV - Réseaux linéaires

I - Définition :

Un réseau est dit linéaire quand il existe une relation linéaire entre l’intensité qui traverse le circuit et Ia différence de potentiel appliquée.

Un élément linéaire présente une impédance indépendante de l’intensité du courant qui le traverse.

II – Diviseur de tension, diviseur de courant 1) Diviseur de tension

CB AC

AB U U

U  



Z Z



I I

Z I

Z

E  ₁   ₂   ₁  ₂ I

Z V₂  ₂ 

Z E Z

V Z

2 1

2

2  

Z E Z

V Z

2 1

1

1  

2) Diviseur de courant

Z I Z

Z I Z

Z I

Z U_AB

2 1

2 1 2

2 1

1 

 









Z I Z

I Z

2 1

2

1  

et

Z I Z

I Z

2 1

1

2  

II – Théorème de superposition

Soit un réseau linéaire qui renferme plusieurs générateurs. Le courant qui traverse une branche quelconque est la somme des courants que fournirait chacun des générateurs agissant isolément, les autres générateurs étant remplacés par leur impédance équivalentes.

Exercice 1 : Calculer le courant I.

III – Théorème de Thévenin

Ce théorème a pour but de représenter tout ou une partie d’un réseau actif linéaire sous la forme

simplifiée d’un générateur de tension quelconque.

1) Théorème :

Un réseau linéaire actif vu de deux bornes de sortie quelconque A et B peut être remplacé par un générateur de tension idéal ETh en série avec une impédance ZTh :

- la source idéale ETh représente la force électromotrice du réseau, vue des bornes A et B,

- l’impédance ZTh représente l’impédance vue des bornes A et B lorsque les sources situées dans le réseau sont passives c à d court- circuitées pour les sources de tension, ouvertes pour les sources de courant.

Dans le cas où la charge est une impédance, la tension aux bornes est donnée par la loi du pont diviseur de tension.

2) Application : si on branche une résistance R entre les points A et B, Ie courant qui traverse R est égal à : Z R

I E

TH TH

R  

3) Exercice 2 : déterminer à l'aide du théorème de Thévenin le courant qui traverse la résistance R de l’exercice 1.

IV – Théorème de Norton

Il permet de remplacer le réseau ci-dessus par un générateur de courant quelconque.

Tout circuit actif linéaire possédant deux bornes de sortie A et B peut être remplacé par un générateur de courant idéal I en parallèle avec une admittance.

La valeur du générateur de courant est égale au courant mesuré lorsque les sorties A et B sont court-circuitées.

La valeur de l’admittance est égale à l’admittance interne vue des points A et B lorsque l’on a rendu passives les sources contenues dans le réseau (voir Thévenin).

Remarque : IN = courant dans la branche AB en court-circuit.

Dans le cas où la charge est une admittance, le courant dans cette admittance est donné par la loi des diviseurs de courant :

N CH

CH

N Y Y

I Y

I   

Les théorèmes de Norton et de Thévenin sont équivalents.

N N

TH I Z

E   et IN  ETH / ZN

N TH Z

Z 

^et

^{ZN  ZTH}

2) Exercice 3 : Calculer Ie courant qui traverse la résistance R de l’exercice 1 en appliquant le théorème de Norton.

V - Théorème de Kennely (transformation étoile- triangle)

Le circuit en Δ est équivalent au réseau en Y :



BC AC

AB

AC AB

A Z Z Z

Z Z Z





 

BC AC

AB

BC AB

B Z Z Z

Z Z Z





 

BC AC

AB

BC AC

C Z Z Z

Z Z Z





 



C

C B C

A B

A

AB Z

Z Z Z

Z Z

Z Z  



A

C B C

A B

A

BC Z

Z Z Z

Z Z

Z Z  



B

C B C

A B

A

AC Z

Z Z Z

Z Z

Z Z  



VI - Calcul d’un réseau : 1) Lois de Kirchoff :

a) Loi des noeuds : La somme algébrique des courants relatifs à un noeud est nulle : I = 0.

i > 0 pour les courants qui se dirigent vers le nœud ;

i < 0 dans le cas contraire.

b) Loi des mailles : la somme algébrique des tensions le long de toute maille fermée est nulle.

2 ) Méthode des mailles indépendantes :

Soit un circuit qui comporte un nombre b de branches, un nombre n de noeuds. On peut calculer toutes les variables de ce circuit avec un nombre d’équations m tel que :

m = b – n + 1

On peut donc choisir m mailles indépendantes pour écrire ces équations avec les ’’courants fictifs’’ de maille I1, I2, I3.

Exemple :

Ecrivons les lois de Kirchoff dans les trois mailles :

 _{1 3}

3 1 1

1 Z I Z I I

E     

 _{2 3}

5 2 2

2 Z I Z I I

E     

 _{1 3} _{6 3 5}  _{3 2} _{4 3}

0Z3  I I Z I Z  I I Z I

 _{1 3} _{1 3 3}

1 Z Z I Z I

E     

 _{2 5} _{2 5 3}

2 Z Z I Z I

E     

 _{3 4 5 6} ₃

2 5 1

0Z3 I Z I  Z Z Z Z I

















 













































0 0

0

2 1

3 2 1

6 5 4 3 5

3

5 5

2

3 3

1

E E I

I I Z Z Z Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

















 































3 2 1

3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

V V V I

I I Z

Z Z

Z Z

Z

Z Z

Z

De cet exemple, on déduit :

Les impédances Zmm de la maille m sont égales à la somme des impédances de cette maille ; Les impédances Zmn., sont les impédances communes aux deux mailles m et n ; elles sont affectées du signe + si les courants sont de même sens, sinon du signe -. Les impédances Zmn et Znm sont égales.

La tension Vm est la somme des forces électromotrices appartenant à la maille m ; elles sont affectées du signe + si elles ont le même sens que le courant Im, sinon du signe -.

Exercice 5 : calculer en appliquant la méthode des mailles le courant qui traverse la résistance R de l’exercice 1.

3) Méthode des Noeuds :

Avec l'exemple précédent, on appelle V1, V2, V3, Les potentiels aux différents noeuds en prenant le potentiel de référence au noeud 0. Les générateurs de tension sont remplacés par des générateurs de courant équivalents (Théorème de Norton), on remplace Les impédances Z par leur admittance Y = 1/ Z,

Ecrivons la loi des noeuds.

 _{1 3} _{1 4}  _{1 2}

1

1 Y Y Y V Y V V

E       

 _{2 1}  _{2 5}  _{2 3}

4 2

2 Y Y V V Y Y V V

E        

 _{2 5}  _{3 2} _{6 3}

2

2 Y Y Y V V Y V

E       



 _{1 3 4} _{1 4 2}

1

1 Y Y Y Y V Y V

E       

 _{2 4 5} ₂  _{2 5} ₃

1 4 2

2 Y Y V Y Y Y V Y Y V

E           

 _{2 5} ₂  _{2 5 6} ₃

2

2 Y Y Y V Y Y Y V

E         



 

  ^























 























































2 2

2 2

1 1

3 2 1

6 5 2 5

2

5 2 5

4 2 4

4 4

3 1

0

0

Y E

Y E

Y E V

V V Y Y Y Y

Y

Y Y Y

Y Y Y

Y Y

Y Y

















 































3 2 1

3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

I I I V

V V Y

Y Y

Y Y

Y

Y Y

Y

L’admittance Ymm est égale à la somme des admittances qui aboutissent au noeud m.

L’admittance Ymn, est l’admittance changée de signe qui joint les nouds m et n. Les admittances Ymn et Ynm sont égales.

Le courant Im est la somme des intensités de courant des générateurs de courant qui aboutissent au noeud m. elles sont affectées du signe + si les générateurs de courant correspondants sont dirigés vers le nœud m, sinon du signe -.

Exercice 6 : Calculer le courant qui traverse la résistance R de l’exercice 1 en appliquant la méthode des noeuds.

Remarque : on constatera que cette méthode est la plus rapide pour cet exercice, car il n'y a que deux noeuds dans le circuit (dont 1 sera pris pour référence).

VII - Théorème de Mill Mann

Ce théorème, qui n'est rien d'autre qu'une loi des nœuds, permet d'effectuer des calculs très rapides en simplifiant considérablement le nombre d’inconnues dans la mise en équation d’un circuit.

Grâce à ce théorème, il est possible d'atteindre le potentiel d’un point en lequel concourent plusieurs branches modélisées par leur équivalent de Thévenin.

Ecrivons que la somme des courants débités par chaque branche est nulle ⁰

1

 



 n

i i

i AB

Z E U







 _n

i i

n

i i

i

AB

Z Z E U

1 1

1 ou











 _n

i i n

i

i i AB

Y E Y U

1 1

i

i Z

Y 1



VIII - Théorème de réciprocité (MAXWELL)

Dans un réseau linéaire à source unique, le rapport de La grandeur d’entrée (excitation) à La grandeur de sortie (réponse) est constant, quelles que soient Les positions respectives de la source d'excitation et de l’endroit où l’on mesure la réponse.

Soit Ir Ie courant circulant dans la maille r. 0n peut écrire :

Z sr s Z

rr r Z

r Z

r

r V V V V

I 

 



 

 



 

 

 



 ₁ ¹ ₂ ²  

avec ΔZ déterminant matrice impédance

Si Le réseau ne comporte que La source Vs, il vient :

Z sr s

r V

I 

 



d’où ^sr

sr Z r

s Ztr

I

V 



 

Ztr

sr _est l’impédance de transfert entre la maille s et la maille r.

En intervertissant les sources, il faut évaluer

s r

I V

avec

Z rs r

s V

I 

 



Is est le courant circulant dans la branche s et Vr est la source

d’où : ^rs

rs Z s

r Ztr

I

V 



 

Ztr

rs _est l’impédance de transfert entre la maille r et la maille s.

Or, dans un réseau linéaire passif la matrice impédance est symétrique par rapport à la diagonale principale et les cofacteurs Δrs et Asr sont égaux.

Donc le courant dans la maille r dû à la source de tension placée dans la maille s est identique au courant dans la maille s Lorsque la même source de tension est située dans la maille r.

Par contre, les courants dans les autres parties du réseau sont modifiés.

Ce théorème continue à s’appliquer dans le cas où les réseaux contiennent une source de courant.

La tension entre les extrémités M et N d’un réseau due à une somme de courant placée entre les points A et B de ce réseau est la même que la tension mesurée entre les points A et B lorsque la même source de courant est placée entre les extrémités M et N.

Dans ce cas, les potentiels dans les autres parties du réseau sont modifiés.

CHAP IV - Les quadripôles

1 - Définition :

Un quadripôle Q est un réseau qui communique avec l’extérieur par deux paires de bornes.

L’entrée sera le coté où sont appliqués les signaux.

Comme pour les dipôles, on ne s’intéresse q’aux Q linéaires c à d composés d’éléments linéaires (sources et dipôles passifs). On pourra distinguer les Q passifs, actifs, réactifs, symétriques. On suppose que les sources sont liées (à des grandeurs internes).

2- Courant et tension dans un quadripôle

Conventionnellement on comptera positivement les courants entrants.

3- Paramètres d'un quadripôle

Ce sont des fonctions des éléments du quadripôle qui permettent d’exprimer les relations entre les grandeurs d’entrée et de sortie. Chaque grandeur peut être exprimée en fonction de deux des trois autres grandeurs. Soit six groupes de paramètres.

3.1- paramètres chaîne

Ce sont les grandeurs qui vérifient les relations linéaires :

2 2

1 A V B I

V    

2 2

1 C V D I

I    

Ou sous forme matricielle

  _



 





 

 



 





 



 



 



 





2 2 2

2 1

1

I a V

I V D

C B A I

V

 

^a est la matrice chaîne directe du quadripôle.

3.2- paramètres chaîne inverse

 

a_i

  _



 





 

 



 





 



 



 



 





1 1 1

1 2

2

I a V

I V D

C B A I

V

i i

i i i

On peut facilement vérifier que

   

a  a ^1

3.3- paramètres impédance

  _



 





 



 







 



 



 





2 1 2

1 22

21

12 11

2 1

I Z I I

I Z

Z

Z Z

V V

3.4- paramètres admittance

  _



 





 



 







 







 





2 1 2

1 22

21 12 11

2 1

V Y V V

V Y

Y

Y Y I

I

3.5- paramètres hybrides

  _



 





 



 







 



 



 





2 1 2

1 22

21 12 11

2 1

V h I V

I h

h

h h

I V

3.6- paramètres hybrides inverse

  _



 





 



 







 



 



 





2 1 2

1 22

21

12 11

2 1

I g V I

V g

g

g g

V I

On voit immédiatement que

   

^{g  h 1}

4- Détermination des paramètres Soit par exemple

2 12 1 11

1 h I h V

V    

2 22 1

21

2 h I h V

I    

1 0 1 11

2



 



  I V

h V soit la sortie court-circuitée

1 0 2 21

2



 



 I V

h I soit la sortie court-circuitée

2 0 1 12

1



 



 V I

h V soit l’entée circuit-ouvert

2 0 2 22

1



 



  V I

h I soit l’entée circuit-ouvert

Remarque : Toutes les relations linéaires que nous avons utilisées concernent le même quadripôle. Il est donc possible d’exprimer un groupe de paramètres en fonction des paramètres d’un autre groupe.

Par exemple : passage des paramètres h aux paramètres Z

(1) V1  h11I1 h12 V2

^et

^{V1  Z11I1 Z12 I2}

(2) I2  h21I1 h22 V2

^{V2 Z21I1 Z22 I2}

(2) => V2 ^I2 ^h21^I1^/h22 ^

(1) =>V1  h11I1 h12 ^I2 h21I1^/h22 2

22 12 1

22

21 12 22 11

1 I

h I h h

h h h

V h      



22

21 12 22 11

11 h

h h h

Z h   

 et

22 12

12 h

Z  h

2 22 1

22 21 2

1 I

I h h

V   h   

22 21

21 h

Z   h et

22 22

1 Z  h

On peut refaire ce calcul pour tous les autres groupes de paramètres (tableau de correspondance).

5- Quadripôles passifs

Les quadripôles passifs constituent un cas particulier de réseaux passifs, le théorème de réciprocité s’applique. Ceci se traduit par une relation supplémentaire entre les paramètres nécessaires pour définir un Q passif.

Exemples

5.1- paramètre chaîne

On a

2 2

1 A V B I

V     V1 0 AEBI2 ^I2 ^{ AE B} 2

2

1 C V D I

I    

^{I1 CEDI2}

^{I1 CEDAE B}

 

B E D A C

I  B   

 ₁

Plaçons maintenant la source E à l’entrée.

2 2

1 A V B I

V     V1 E BI2 ^I2 ^E/B

2 2

1 C V D I

I    

^{I1 DI2}

^{I1 DE/B}

B I   E

 ₂

Théorème de réciprocité : i1 = i2

 

B E E

B D A C

B    

^{ADBC 1}

1



 a

5.2- deuxième exemple paramètre hybride

2 12 1 11

1 h I h V

V    

^{V1 0h11I1 h12E}

^{I1 h12E h11}

2 22 1

21

2 h I h V

I    

^{I2 h21I1 h22E}

^{I2 h21h12E h11h22E}

h E I h

11 12

1  



2 12 1 11

1 h I h V

V    

^{V1 E h11I1}

^{I1 E/h11}

2 22 1

21

2 h I h V

I    

^{I2 h21I1}

^{I2 h21E/h11}