staracines simples

ExeEeta.t88t8ot8otEtOXACxkdetCA-XIH.X4PuisqueMAdiviseXAsonaMnkl-XouX2arX3ouX4AtOdoncphtAtxMaisA2-Odonc1uAKkX220rglAl-3dmcdimkerA-2.DmcJAadmet2blocsdeJordan.0nsaitaussique1untxl-MdmcLataillemaxldesb1ocsdeJordandeAest2.0nendeduitoteja.foofEoftEd0naK8dlcKerAekerA2R4kerA-HkhEgt1AQI-l8dtgntn3tetEE.EHntEtnedkerA.retfEttED0nprendunss-ev.supplementairedeKerA.pexEvectsfEhfEBiRHFtokerA-V1-VzDmlunebasdeJordanestlAv.v.AVziHcia.dAl8d.ftodiAdif8D3OB.f0YEo8q8qjAetBsontsemb1ab6sssilapermutaticndesb1ocspreDe11esontlarnformedeJordan.Ba3blocs.maisA2b1ocsExerci@A2A2tA-I.DoncPW-X2X2-Xt1estunpdynomeannu1ateurdeA.MdinsetoutpdynomeannulateurdeAPlA-X4XH-k-H.LX-HUEttPlXt.Ut1PLXtH0rAestsymetriqugdancel1eestdiagonalisabk.DokMn.e

staracines _simples

MAK )

⁽ X

1) ^{on ( Xt} 1) ^{on LX}

Hkt 1)

2 MAHKX

^{1 , done A= In} At A MAKKKDLXH ⁾ =XI1 A±In=O ^{A = At}

MAKKX ^{+1 A}

^{In AKA}

Exercice3@N-ytzetnky4Eavecy.yEWetz.IeWt0nasCnky-zetStrD.y 't ^'

< SH ^{, n '} >=<y

^{z ,} y '+zy=<y,y>+G ^{, z ' >}

^{Lz ,} y ^' >

^{⇐ ,} zy

Or yew ^{et Eewt done <} _y ^{, =O} ety ^{' e Wet ZEWT done A ,} _y ^{' > -0}

GH , xD =<y ^, y ^' >

⇐ z7

De ^{rh :} < ^a , stKD=<y+z ^, y 't ^' >=<y,y ^{' >}

^{< y , -2>+4 ,} y ^' >

^{⇐ ,} -27

=g,yy

⁰⁺⁰

^Lz

^ZD

Done Fn _, KEV _< n _, s( xD >=< ^{SH ,} xD ^{. s est auto}

^adjoint

# ^#

GH , SW ⁾ >=<y

^{z ,} y ^'

^{z '} >=<y,y ^{' >}

Git -27--9,5>+477 ^{' >}

Czj ^{> + ⇐}

Cn _, n>=<y+z ^{, y 't -27}

^Cy ,yD+<y ^, -27+47>+4,27

gig >+ ⇐ zy

¥ to

<sH , s(nD=<n ^{, n '} > ^{s est une isometric}

So it _ntov ^vat

_pr

des de valeur _propre A ^: swan

^Akers , Pais que ^{s est une} isometric < ^SH , SH >=A ^{, n > An , in > = a} ,D ⁽ X-D ^{< nm} >=0

X=±1 ¥0

S est auto

adjoint ^{, dan (} diagonal ^is able

1usCXtXfDKtA@VyeWslytyetVzEWtslztxz.Dmc6ss-esppropredesdeval.pr1estWetless-esppr.desdeva1.prtestW.t

W=veH{ Ed ^, KB ^{et What} { (D)

^{On fait Gram}

^{Schmidt sur les vedeurs}

Y= ^{( 1 , -1,0} )

Vz= ( 1,0 ,

^I ) _, V3= ^{( l , 1,1} )

^{Et on db tent}

E ;Yfy=¥#) ^{; ei=v}

^{Hz ,eDe±=(! , )}

HA ^{) , Hop ftp..dk} , )=k ( ^k )

G- off ^{:D , 4=03 -43,4>4}

^{as ,eDez=b ↳ =¥H )}

Done une ban ^{des vat}

pr des est €# ^{; to} µ ^; * ⁾ )

Exercise

1 fklei )

^e _, ^{ai t.it k} [n]

^{La dem est} _par ^{recurrence Sark}

niIalisati-k-o.alasf0-idcnetf9eil-eiVheredite_Supposmsfkleil-eeuil-ttkcDfktYeD.fofklqt-HfkleiD.Stedoul-itkCD-EmaiM-ltIfDDmcmIltl-itlktDfDV@c.fHFtoiyEtddleD-f4eD-eeaititnCD-l-iChleil.q

.

His 1 _,

in C ?_ In

PKKX ^{" -1 est un} pdynsmeannulateur ^{de C}

^{Or ce pdynsme a n racines}

distinct s ^: exp (

H

%) oil

^{0,1 ,}

^{in -1 les name ravines d ' unite}

Or Cadmet un poly ^name annulakurscinde at racing simples

Done ^{C est} _diagonal is able

3 C est diagonal ^{is able}

Done FP ^inversibk t.q.FKP.to ^" th ) ^{=D diagonal e}

F 'CkP=(PtcDk=Dk= ET ^{: %) est diagonal}

^{Done C} est diagonal ^{is able}

4 M=a _. In ^a , C+azd+

_.+amCh=¥ES 9 _, Ck

MMP ⁼ _{¥0 ape} Pick P=¥jokD

^{les val}

propes de ^C sat

Xe=exp(2h%

)

^wl

Done Fo arietta Piet ^Plwl )

5 M=In

kc

kdt

^{Dmc Pkk} .{XhI{ ^{X +1}

Puisque ^{W "}

¹ , Wh

! W

1 wnkwt =D et wl=6d2l¥+iSm2h±

Plwl )=

£ ^Il

{ ^{wl +1}

^£ ( ^Cos _¥

i5Yh± ^{+ Cos ¥}

tisfnnd ^{) +1}

=

Cas # ₃₀

ksval

_{pr de} M ^Sant ₃₀ done M est une matrice symetriqwe 30

Exercise ⁵

.

@ ^A

JeH.DancAestnilpdent.DancAiestnilpotentViz1.Unematricenilpotenteestdiagcnalisab1essiel1eest0.PuisqueA-Jl4.onaMaW-Xl.DmcAi-OssiiZl.DmcAiestdiagonalisab1essiDl1@A-JetDaveckOetl1.Or

A

Podgy ^done ) ^{An =fbE* )}

Done ^In est la ^Seale valeur _propre de Am

Done si An etait _diagonal is able _, on aura it think ⁾

^X

^{In #}

AmdmIe-otXmhmpdynomeannu1ateurdeAMaiscepdynomeanracinesdisHnctes.quiimpliqneraitAdiagmalisableetdmcAtJeNaral7t1@SoitJAlaformedeJordandeAfameedesblocsJelHsur1adiagma1eSiAnestdiaganalisableAtaslJeAHmdiagonalisab6aussi.daxsoitX-Oetlfmouttoete.1zOAmdiagmalisabkialasJAtfoQjeyayg0.y

) ^{avec li fm alas Amt ' et semblable}

o

a JAM ^' = ⇐ ^! ¥ ^{diagonal .}