[ Baccalauréat STL Métropole juin 2000 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels
Durée : 4 heures Coefficient : 4
EXERCICE1 5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm).
Pour tout entier natureln, on noteMn le point d’affixezn=ei2π3 ·in où i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ
2 . (Par convention, pourn=0, i0=1.)
1. Déterminer la forme algébrique ainsi que le module et un argument de cha- cun des nombres complexesz0,z1,z2etz3.
Placer dans le plan les pointsM0,M1,M2etM3.
2. Exprimerzn+1en fonction dezn. En déduire queMn+1est l’image deMn, par une rotationrde centre O. Préciser une mesure de l’angle de cette rotation.
3. a. Exprimer un argument deznen fonction den.
b. Déterminer les entiers naturelsntels queMnsoit confondu avecM0. 4. Pour tout entier natureln, on noteQn, le point d’affixeωn=ei23π·
µi 2
¶n
. (par convention, pourn=0,
µi 2
¶0
=1).
a. Montrer que pour tout entier natureln, les points O, Mn, etQnsont ali- gnés.
b. Placer les pointsQ0,Q1,Q2etQ3dans le plan.
EXERCICE2 4 points
Les unités physiques utilisées sont le mètre (m) et le kilogramme (kg).
Un mobile de masse 16 kg, guidé rectilignement sur un banc à coussin d’air, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vautk=1.
Si l’on écarte le centre d’inertie G du solide de sa position d’équilibre O, alors G ef- fectue des oscillations autour de celle-ci.
À l’instantt, la position de G est repérée par le pointMd’abscissef(t) dans le repère
¡O,→−ı¢ .
G
O M
−
→ı f(t)
G
On admettra que la fonctionf est solution de l’équation différentielle : (E) : 16y′′+y=0.
Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés industriels A. P. M. E. P.
1. a. Résoudre l’équation différentielle (E).
b. On suppose qu’à l’instantt=0 le mobile est au point d’abscissef(0)=0,5 m et a une vitesse égale àf′(0)=0,125 m.s−1.
Montrer que la fonctionf est définie parf(t)=1 2
· cost
4+sint 4
¸ . c. Vérifier que, pour tout réelt : f(t)=
p2 2 cos
·1 4(t−π)
¸ . 2. Montrer que pour tout réelt, on a :−
p2
2 6f(t)6 p2
2 .
3. a. Donner la valeur positivet0detpour laquelle le pointMse trouve pour la première fois en O.
b. Combien de fois le pointMse trouve-t-il en O dans l’intervalle de temps [0 ; 35] ?
PROBLÈME 11 points
Partie A
1. On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x)= −2lnx+ax2+bx, oùaetbsont deux nombres réels.
On appelleCla représentation graphique def dans le plan muni d’un repère orthogonal³
O,−→ u,−→
v´
d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
Sachant que la courbeCpasse par le point A µ
1 ;−13 2
¶
et que le coefficient di- recteur de la tangente en A est égal à−6, déterminer les valeurs des nombres aetb.
2. Pour la suite du problème, on prendraf(x)= −2lnx+5 2x2−9x.
a. Déterminer la limite en 0 de la fonctionf. Que peut-on en déduire pour la courbeC?
b. Vérifier que l’on peut écrire :
f(x)=x2 µ
−2lnx x2 +5
2−9 x
¶ . En déduire la limite en+∞de la fonctionf.
Partie B
1. On désigne parf′la fonction dérivée def sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
a. Calculer f′(x).
b. Étudier le signe def′(x).
c. Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
2. a. Démontrer que, dans l’intervalle [3 ; 4], l’équation f(x)=0 admet une unique solution, notéex0.
b. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 0,01 de x0.
3. Déterminer une équation de la droite D tangente à la courbeC au point d’abscisse 1.
Métropole 2 juin 2000
Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés industriels A. P. M. E. P.
4. Tracer dans le repère³ O,→−
u,−→ v´
la droite D et la courbeC.
Partie C
1. On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : g(x)=xlnx−x.
Expliciter la dérivéeg′de la fonctiong.
2. Déduire de la question précédente une primitiveFde la fonctionf sur l’in- tervalle ]0 ;+∞[.
3. On appelleA la partie du plan située entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=x0etx=5 (x0est défini à la questionB. 2).
a. Hachurer sur la figure la partieA.
b. On désigne par A l’aire, en unités d’aire, de la partieA. Calculer A en fonction dex0puis calculer une valeur approchée de A en prenant 3,88 comme valeur approchée dex0.
Métropole 3 juin 2000
