[ Baccalauréat A1 et B Nouvelle-Calédonie \ novembre 1994
EXERCICE1 4 points
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, on donnera tous les résultats sous forme de fractions irréduc- tibles.
Le coffre de jouets d’un enfant contient : - 7 balles : 2 rouges, 3 bleues et 2 vertes ; - 18 cubes : 7 rouges, 10 bleus et 1 jaune ; - 5 voitures : 1 rouge, 1 bleue, 2 vertes et 1 jaune.
1. Dans cette question, l’enfant tire au hasard un objet du coffre.
a. Déterminer les probabilités des évènements suivants : A : l’enfant a tiré une balle.
B : l’enfant a tiré un objet rouge.
b. Déterminer la probabilité pour que l’enfant ait tiré un objet bleu, sachant qu’il a tiré un cube.
2. Dans cette question, l’enfant choisit au hasard, simultanément, deux objets dans le coffre.
a. Déterminer la probabilité de l’évènement suivant :
« Il y a au moins un cube parmi les deux objets choisis. »
b. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de cubes tirés du coffre.
Déterminer la loi de probabilité de X, et son espérance mathématique.
EXERCICE2 SÉRIEB 6 points
Enseignement de spécialité
N. B.:Le détail des calculs intermédiaires nécessaires à l’obtention des résultats n’est pas exigé.
Le tableau suivant indique la cote de la voiture FORD « Fiesta 1,1 Fun » suivant le nombre d’années écoulées depuis la date de mise en circulation.
xdésigne le nombre d’années écoulées depuis la date de mise en circulation (âge de la voiture).
ydésigne la cote de la voiture en millier.
xi(en année) 1 2 3 4 5
yi(en milliers de francs) 43 33,6 24,75 19,7 14,7
1. Représenter graphiquement cette série statistique par un nuage de points.
En abscisse : 2,5 cm représentent 1 an.
En ordonnée : 1 cm représente 2 milliers de francs.
2. a. Donner une équation de la droite de régression dey enx. On rappelle que :
la droite de régression deyenxa pour équation : -
y−y=cov (x,y) σ2x
¡x−x¢ .
b. Tracer cette droite sur le graphique.
Baccalauréat A1 et B A. P. M. E. P.
c. Quel est le coefficient de corrélation linéaire entrexety? En donner une valeur décimale approchée à 10−3près.
d. En utilisant le résultat obtenu en 2. a. donner une estimation de la cotey d’une voiture de 6 ans.
3. On se propose de déterminer un nouvel ajustement de ce nuage de points.
On posezi=lnyi.
Pour tous les résultats, on donnera une valeur décimale approchée à 10−3 près.
a. Calculer lesziet dresser le tableau de valeurs de la série double (xi ;zi)16i65. b. Donner une équation de la droite de régression dezenx.
c. Quel est le coefficient de corrélation linéaire entrezetx?
d. À partir de la relation entrezetxobtenue en 3. b. et de l’égalitéz=lny, donner une nouvelle estimation de la coteyd’une voiture de 6 ans.
PROBLÈME 9 points
Soitf la fonction définie pour tout réelxde l’intervalle ]−4 ; 2[ par :
f(x)=ln µx+4
2−x
¶
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note (C) la représentation graphique def dans le plan muni d’un repère ortho- normé³
O,→− ı ,−→
´(unité graphique : 2 cm).
1. Déterminer la limite def(x) quandxtend vers−4 puis quandxtend vers 2.
(C) admet-elle des asymptotes ? Si oui, préciser leurs équations.
2. a. Calculerf′(x) et montrer quef′(x) est strictement positif pour tout réelx de l’intervalle ]−4 ; 2[.
b. En déduire le tableau de variation def.
3. Calculer une valeur décimale approchée à 10−1près def(x) pour les valeurs suivantes dex:−3 ;−2 ;−1 ; 0 ; 1.
4. Tracer soigneusement la courbe (C) ainsi que ses asymptotes.
5. Calculer l’abscisse du point A de (C) d’ordonnée 1. En donner une valeur dé- cimale approchée à 10−2près.
6. Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]−4 ; 2[ par :
g(x)=(x+4)ln(x+4)+(2−x)ln(2−x).
Montrer queg′(x)=f(x).
Calculer l’aire exacte, en cm2, au domaine limité par la courbe (C), l’axe des abscisses, la droite d’équationx= −1 et l’axe des ordonnées.
Nouvelle-Calédonie 2 novembre 1994
