Epreuve du 11 janvier 2017

(1)

Série S

Durée de l'épreuve : 4 h

11 janvier 2017

Bac Blanc de Mathématiques

---

- Enseignement spécifique -

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 : (5 points)

( ) est le suite définie par = 0 et pour tout entier naturel : = . 1. On considère l'algorithme suivant :

Variables : est un réel

et sont deux entiers naturels

Entrée : Saisir

Traitement : Sorties :

Affecter à la valeur 0 Pour allant de 0 à Afficher

Affecter à la valeur Fin Pour

Applique l'algorithme à la main lorsque la valeur saisie en entrée est = 3 ? Interpréter les résultats.

2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : ≥ . b) En déduire la limite de la suite ( ).

3. Démontrer que la suite ( ) est croissante sur N.

4. Soit ( ) la suite définie, pour tout entier naturel par : = . a) Démontrer que la suite ( ) est géométrique.

b) En déduire que, pour tout entier naturel : = . 5. Soit A un réel positif.

a) Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe un entier tel que : ≥ ⇒ ≥ A ?

b) Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier tel que : ≥ ⇒ ≥ . c) Proposer un algorithme qui permet d'afficher la valeur de obtenue à la question précédente.n0

U

N K

N U

K N

3U ¡2K + 3

n un n u_n

un

vn n vn un¡n+ 1

vn

n un 3ⁿ+n¡1

n0 n n0 un

n0 n n0 un 10³ U

U

un u0 n un+1 3un¡2n+ 3

N

(2)

1. Résoudre dans C l'équation :

( )( ) = 0.

Donner les solutions sous forme algébrique.

2. On se place dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O; , ) d'unité 3 cm. On considère les nombres complexes = et = - . On note A et B les points d'affixes respectives et . a) Montrer que les points A et B appartiennent à un même cercle de centre O dont on précisera rayon.

b) Placer les points A et B.

c) Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle.

d) K est le milieu du segment [AB]. Placer K et déterminer son affixe . 3. Soit C le point du plan tel que = .

a) Calculer l'affixe du point C.

b) Placer le point C.

c) Démontrer que le quadrilatère OACB est un carré.

4. Soit un nombre complexe distinct de . On pose : = .

a) Déterminer et tracer l'ensemble e des points M d'affixe du plan complexe tels que est un imaginaire pur.

b) Déterminer et tracer l'ensemble f des points M d'affixe du plan complexe tels que | | = 1.

Embarqué en mer sur son voilier, Arthur reçoit un sms de sa petite amie Bulle qui l'attend impatiemment au Monumen Nasional de Jakarta. Il se met donc à ramer à toute vitesse pour la rejoindre. En mer, Arthur

progresse à la vitesse de 4 km.h mais il sait qu'une fois qu'il aura mis pied à terre, il pourra continuer à pied à la vitesse de 5 km.h . La situation est schématisée ci-dessous :

Arthur est en A tandis que Bulle est en B. On prend pour origine du repère le point O situé à la perpendiculaire de la côte passant par A. On souhaite déterminer la position du point H tel que le trajet A – H – B soit le plus rapide possible. Le trajet [AH] est parcouru à la rame, le trajet [HB] est parcouru à pied.

On rappelle la formule = qui permet d'exprimer la vitesse en fonction de la distance et du temps.

1. On note OH = , en km, et la durée totale du parcours A – H – B, en heures.

Montrer que pour tout réel de l'intervalle [0 ; 6] on a : = – ( ) 2. Montrer que : =

3. A quel endroit de la côte, Arthur doit-il accoster pour rejoindre Bulle au plus vite ? z

iz+ 1 +ip

3 z²¡2z+ 4

1 +ip 3

a b p

3 +i a b

~ u ~v

k

¡!OC

¡!OK ¹₂ c

Z ^z_z^¡_¡^a_b

Z

z Z

z b

-1 -1

x t(x)

x t(x) p

x² + 1 1

4

1 5 x¡6 v ^d_t

t⁰(x) ^5x^¡⁴

px²+1 20p

x²+1

(3)

On se place dans l'espace, muni du repère orthonormé (O; , , ).

On donne les points A'(2;0;0), B'(0;2;0) et C'(0;0;3).

1. Justifier qu'une représentation paramétrique du plan (A'B'C') est :

avec ∈ R et ∈ R.

2. Donner une représentation paramétrique des droites (AC) et (BC).

3. La droite (AC) coupe le plan (A'B'C') en K.

a) Placer K.

b) Calculer les coordonnées de K.

4. On donne L(0;4;-3).

a) Montrer que L, B et C sont alignés.

b) Montrer que L appartient au plan (A'B'C').

c) Placer L.

5. Déterminer l'intersection des plans (ABC) et (A'B'C')

6. Démontrer que les droites (AB), (A'B') et (KL) sont parallèles.

¡!OA ¡!OB ¡!OC

8<

:

x= 2¡t¡2s y=t

z = 3s

t s

(4)

est la fonction définie sur ]-∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[ par : = .

Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique de la fonction ci-dessous :

1. Utiliser cette capture d'écran pour conjecturer : a) Les limites de en -∞, +∞ et en 3.

b) Une équation de l'asymptote verticale à cf.

2. Vérifier par le calcul l'exactitude de vos conjectures.

3. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de . 4. Soit un réel strictement positif.

Justifier que l'équation = admet exactement deux solutions sur R.

5. a) Déterminer les réels , et tels que, pour tout réel ≠ 3 : = + .

b) Déterminer [ ] et [ ].

Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?

f f(x) ^2(x^¡⁴⁾

2

x¡3

cf

f

x

a b c f(x) _x^c

¡3 ax+b

x!lim-1f(x)¡(ax+b) lim f(x)¡(ax+b)

x!+1

f

f m

f(x) m

(5)

Correction du bac blanc de janvier 2017 Exercice 1 :

( ) est le suite définie par = 0 et pour tout entier naturel : = . 1. On considère l'algorithme suivant :

Variables : est un réel

et sont deux entiers naturels

Entrée : Saisir

Traitement : Sorties :

Affecter à la valeur 0 Pour allant de 0 à Afficher

Affecter à la valeur Fin Pour

Applique l'algorithme à la main lorsque la valeur saisie en entrée est = 3 ? Interpréter les résultats.

Valeur de 0 1 2 3

Valeur de affichée 0 3 × 0 – 2 × 0 + 3 = 3 3 × 3 – 2 × 1 + 3 = 10 3 × 10 – 2 × 2 + 3 = 29 Les valeurs affichées correspondent à : = 0 ; = 3 ; = 10 et = 29

2. a) On note : p( ) : « ∀ ∈ N, ≥ »

Démontrons que la propriété p( ) est vraie par récurrence :

▪ Initialisation :

Pour = 0 on a : = 0 ≥ 0. Donc p(0) est vraie.

▪ Hérédité : Soit ∈ N.

Démontrons que si p( ) est vraie alors p( ) l'est aussi, c'est-à-dire que ≥ . Si p( ) est vraie alors : ≥

≥ car > 0 ≥

≥ Or : ∀ ∈ N, = et : >

On en déduit : ≥ .

Ce qui signifie que p( ) est vraie.

▪ Conclusion : p(0) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N, ≥ b) ∀ ∈ N, ≥ et : = +∞.

On en déduit, d'après le théorème de comparaison : = +∞.

3. Démontrons que la suite ( ) est croissante sur N, c'est-à-dire que : ∀ ∈ N, ≥ .

∀ ∈ N, – = – = =

Or, on a démontré à la question 2a que : ∀ ∈ N, ≥ ⇔ ≥ 0

On en déduit : ∀ ∈ N, ≥ ≥ 0 ⇔ – ≥ 0 ⇔ ≥ . Ainsi, la suite ( ) est croissante sur N.

4. Soit ( ) la suite définie, pour tout entier naturel par : = .

a) ∀ ∈ N, = = =

= =

On en déduit que la suite ( ) est géométrique de raison 3.

b) La suite ( ) est géométrique de raison = 3.

Calcul du 1^er terme : = = 0 – 0 + 1 = 1 On en déduit : ∀ ∈ N, = =

Or : ∀ ∈ N, = ⇔ = = .

un n

vn n vn un¡n+ 1

vn

K

n n

n u0

n k

k k+ 1

k

uk+1 k+ 1 uk k

3uk 3k 3 3uk¡2k 3k¡2k 3u_k¡2k+ 3 k+ 3 uk+1

uk+1 3uk¡2k+ 3 k+ 3 k+ 1 k

k+ 1 k+ 1

n n un n

n un n lim n

n!+1

n!lim+1u_n

un n un+1 un

n un+1 un 3u_n¡2n+ 3 un 2u_n¡2n+ 3 2(u_n¡n) + 3 n u_n n u_n¡n 2(un¡n) + 3

n un+1 un un+1 un

un

3

n vn+1 un+1¡(n+ 1) + 1 3un¡2n+ 3¡n¡1 + 1 3un¡3n+ 3 3(un¡n+ 1)

vn+1 3vn

v_n

v0 u0¡0 + 1

n vn v0 £qⁿ 3ⁿ q

vn u_n¡n+ 1 un 3ⁿ+n¡1 n

u_n u₀ n un+1 3u_n¡2n+ 3

U

N K

N U

K N

U

U 3U ¡2K + 3

U

N

u0 u1 u2 u3

v_n+n¡1

(6)

5. Soit A un réel positif.

a) On a démontré à la question 2b que : = +∞.

On en déduit que, par définition d'une suite divergente vers +∞, il existe un entier tel que : ≥ ⇒ ≥ A.

b) En utilisant le tableur de la calculatrice on voit que : = et = ≥ = . De plus, la suite ( ) est croissante sur N.

On en déduit que le plus petit entier tel que : ≥ ⇒ ≥ est : =

c) L'algorithme suivant permet d'afficher la valeur de obtenue à la question précédente : Variables : est un réel

est un entier naturel Traitement : Affecter à la valeur 0

Affecter à la valeur 0 Tant que <

Affecter à la valeur + 1

Affecter à la valeur (*) Fin Tant que

Sortie : Afficher

(*) ou Affecter à la valeur Exercice 2 :

1. Résolvons dans C l'équation :

( )( ) = 0.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Donc :

( )( ) = 0 ⇔ = 0 ou = 0

= 0 ⇔ = - ⇔ = = = = -

Résolvons à présent l'équation = 0 dans C :

∆ = = = = - < 0

L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

= = = = et : =

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation ( )( ) = 0 est :

S = {- ; ; }

2. On se place dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O; , ) d'unité 3 cm. On considère les nombres complexes = et = - . On note A et B les points d'affixes respectives et .

a) OA = | | = | | = = = = 2

De même : OB = | | = | - | = = = 2

OA = OB = 2. On en déduit que les points A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.

b) Les points A et B sont sur le cercle c de centre O et de rayon 2.

De plus, A a pour affixe = tandis que B a pour affixe = - . On en déduit que A est le point du cercle d'abscisse 1 et que B et celui d'ordonnée 1.

Ce qui permet de placer A et B (voir figure en fin d'exercice).

n0

n n0 un

n0 n n0 un 10³ n0

iz+ 1 +ip

3 z²¡2z+ 4

~ u ~v a 1 +ip

3 b p

3 +i a b

n!lim+1un

un

u6 734 u7 2193 1000 10³ n0 7

U N

U U 1000

N

N N

U 3^N +N ¡1 N

iz+ 1 +ip

3 iz 1¡ip

3 z ^-1^¡ⁱ p3 i

(-1¡ip 3)i i²

-i¡i²p 3 -1 z²¡2z+ 4

b²¡4ac

p3 +i

(-2)²¡4£1£4 4¡16 12 z1

-b¡i

p

j¢j 2a

2¡ip 12 2

2¡2ip 3

2 1¡ip

3 1 +ip

3 z2

iz+ 1 +ip

3 z²¡2z+ 4 p3 +i 1 +ip

3 1¡ip 3 iz+ 1 +ip

3 z²¡2z+ 4 iz+ 1 +ip

3 z²¡2z+ 4

1 +ip 3

q

1²+ (p

3)² p

1 + 3 p 4 p4 p3 +i

q (-p

3)²+ 1² a¡0

b¡0

a 1 +ip

3 b p

3 +i 3U ¡2(N ¡1) + 3

U

(7)

c) OA = OB = 2. Donc le triangle OAB est isocèle en O.

De plus : BA = | | = | | = | |

BA = = = =

D'une part : AB = 8

D'autre part : OA + OB = 2 + 2 = 4 + 4 = 8 Donc : AB = OA + OB

On en déduit, d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle OAB est rectangle en O.

d) K est le milieu du segment [AB] donc : = = = + 3. Soit C le point du plan tel que = .

a) = ⇔ = 2 ⇔ = ⇔ = = +

b) On a : = si et seulement si K est le milieu de [OC], c'est-à-dire si et seulement si C est le symétrique de O par rapport à K. Ce qui permet de placer le point C.

c) Le quadrilatère OACB est un parallélogramme puisque ses diagonales [AB] et [OC] se coupent en leur milieu K. On a démontré à la question 2c que le triangle OAB est à la fois rectangle et isocèle en O.

On en déduit que les côtés consécutifs [OA] et [OB] sont à la fois perpendiculaires et de même longueur. Par conséquent, le parallélogramme OACB est un carré.

4. Soit un nombre complexe distinct de . On pose : = . a) Soit ≠ . On pose : = où et sont deux réels.

= = = =

= = =

= +

M ( ) ∈ e ⇔ est un imaginaire pur ⇔ ∈ R ⇔ Re ( ) = 0

M ( ) ∈ e ⇔ = 0 ⇔ = 0

M ( ) ∈ e ⇔ = 0

M ( ) ∈ e ⇔

M ( ) ∈ e ⇔ ⇔

On reconnaît l'équation cartésienne du cercle c' de centre K ( ; ) et de rayon . doit être distinct de = - . Vérifions si le point B (- ; 1) appartient à ce cercle :

= =

= = = . Ainsi, B appartient au cercle c'.

Finalement, l'ensemble e est le cercle de centre K ( ; ) et de rayon , privé du point B.

¡!OK ¹₂ ¡!OC

z b Z ^z^¡^a

z¡b a¡b 1 +ip

3 +p

3¡i (1 +p

3) +i(p 3¡1) q

(1 +p

3)²+ (p

3¡1)² p

1 + 2p

3 + 3 + 3¡2p

3 + 1 p

8 2p 2

2

2 2 2 2

2 2 2

k ^a+b₂ ¹⁺ⁱ

p3¡p 3+i 2

1¡p 3

2 i

p3+1 2

¡!OK ¹₂ ¡!OC ¡!OC ¡!OK c¡0 2(k¡0) c 2k 1¡p i 3 (p

3 + 1)

¡!OK ¹₂ ¡!

OC

Z ^z_z^¡^a

¡b

z b z x+iy x y

x+iy¡1¡ip 3 x+iy+p

3¡i

x+iy¡1¡ip 3 (x+p

3)+i(y¡1)

(x+iy¡1¡ip

3)[(x+p

3)¡i(y¡1)]

[(x+p

3)+i(y¡1)][(x+p

3)¡i(y¡1)]

Z Z Z Z ^x

2+x(p

3¡1)+y²¡y(1+p 3) (x+p

3)²+(y¡1)² i^x(1^¡

p3)+y(p

3+1)¡4 (x+p

3)²+(y¡1)²

z Z Z

z ^x

2+x(p

3¡1)+y²¡y(1+p 3) (x+p

3)²+(y¡1)² x²+x(p

3¡1) +y²¡y(1 +p 3)

z (x+ ^p³₂^¡¹)²¡(^p³₂^¡¹)² + (y¡ ¹⁺2^p³)²¡(¹⁺₂^p³)² z (x+ ^p³₂^¡¹)²¡ ³^¡²^p4³⁺¹ + (y¡ ¹⁺2^p³)²¡ ¹⁺²^p4³⁺³

z (x+ ^p³₂^¡¹)²+ (y¡ ¹⁺2^p³)² = ⁸₄ z

1¡p 3 2

1+p 3 2

p2

(-p

3 + ^p³₂^¡¹)² + (1¡ ¹⁺2^p³)² (^-2^p³⁺₂^p³^¡¹)²+ (²^¡¹₂^¡^p³)² (^-^p³₂^¡¹)²+ (¹^¡₂^p³)² (^-^p³₂^¡¹)²+ (¹^¡₂^p³)² ³⁺²^p₄³⁺¹ + ¹^¡²^p₄³⁺³ ⁸₄

(x+ ^p³₂^¡¹)²+ (y¡ ¹⁺2^p³)² = 2

2

p3

1¡p 3 2

1+p 3 2

p2

(x+ ^p³₂^¡¹)²+ (y¡ ¹⁺2^p³)² =p 2² Z i

[(x¡1)+i(y¡p

3)][(x+p

3)+i(1¡y)]

(x+p

3)²+(y¡1)² (x¡1)(x+p

3)¡(y¡p

3)(1¡y)+i[(y¡p

3)(x+p

3)+(x¡1)(1¡y)]

(x+p

3)²+(y¡1)² (x²+p

3x¡x¡p

3¡y+y²+p 3¡p

3y)+i(xy+p 3y¡p

3x¡3+x¡xy¡1+y) (x+p

3)²+(y¡1)²

z b p

3 +i

(8)

b) M ( ) ∈ f ⇔ | | = 1 ⇔ | | = 1 ⇔ ≠ et | | = | | M ( ) ∈ f ⇔ M ≠ B et AM = BM

Un point est équidistant des extrémités d'un segment si et seulement s'il appartient à la médiatrice de ce segment. De plus, A et B étant distincts, si M appartient à la médiatrice de [AM], M est nécessairement distinct de B. On en déduit que l'ensemble f est la médiatrice de [AB].

Exercice 3 :

Embarqué en mer sur son voilier, Arthur reçoit un sms de sa petite amie Bulle qui l'attend impatiemment au Monumen Nasional de Jakarta. Il se met donc à ramer à toute vitesse pour la rejoindre. En mer, Arthur

progresse à la vitesse de 4 km.h mais il sait qu'une fois qu'il aura mis pied à terre, il pourra continuer à pied à la vitesse de 5 km.h . La situation est schématisée ci-dessous :

Arthur est en A tandis que Bulle est en B. On prend pour origine du repère le point O situé à la perpendiculaire de la côte passant par A. On souhaite déterminer la position du point H tel que le trajet A – H – B soit le plus rapide possible. Le trajet [AH] est parcouru à la rame, le trajet [HB] est parcouru à pied.

On rappelle la formule = qui permet d'exprimer la vitesse en fonction de la distance et du temps.

1. On note OH = , en km.

Le triangle OAH étant rectangle en O on a, d'après le théorème de Pythagore : AH = OH + OA = + 1. On en déduit : AH = .

On note la durée totale du parcours A – H – B, en heures. = ⇔ =

En mer, Arthur avance à la vitesse de 4 km.h , tandis qu'à pied il avance à 4 km.h . Donc :

∀ ∈ [0 ; 6], = + = + = + = – ( )

z Z ^z_z^¡_¡^a_b z b z¡a z¡b

z

e f

c

-1 -1

v ^d_t x

t(x) v ^d_t t ^d_v

-1 -1

t(x)

x ^AH₄ ^BH₅

px²+1 4

OB¡OH 5

px²+1 4

6¡x 5

1 4

px²+ 1 ¹₅ x¡6

2 2 2 x2 p

x²+ 1

(9)

2. ∀ ∈ [0 ; 6], = – ( ) = –

On en déduit : = – = × – × 1

= – =

3. ∀ ∈ [0 ; 6], ≥ 0. On en déduit que a le même signe que . > 0 ⇔ > 0 ⇔ > ⇔ >

> 0 ⇔ > 0 ⇔ > 0

Le polynôme du 2^nd degré est du signe contraire de 9 entre ses racines (- et ).

On en déduit le tableau de variations suivant :

0 6

– +

La fonction admet un minimum en = .

Ainsi, pour rejoindre Bulle au plus vite, Arthur doit accoster au point H de [OB] tel que OH = km.

Exercice 4 :

On se place dans l'espace, muni du repère orthonormé (O; , , ).

On donne les points A'(2;0;0), B'(0;2;0) et C'(0;0;3).

1. Le point A'(2;0;0) appartient au plan (A'B'C').

De plus, les vecteurs non colinéaires et dirigent le plan (A'B'C').

Le vecteur étant colinéaire au vecteur , on en déduit que :

, avec ∈ R et ∈ R, est une représentation paramétrique du plan (A'B'C').

Autre méthode : On peut également vérifier que le système donné a des solutions lorsqu'on remplace , et par les coordonnées des points A', B' et C'.

2. La droite (AC) passe par A (1 ; 0 ; 0) et est dirigée par .

Donc : , avec ∈ R, est une représentation paramétrique de la droite (AC).

La droite (BC) passe par B (0 ; 1 ; 0) et est dirigée par .

Donc : , avec ∈ R, est une représentation paramétrique de la droite (BC).

3. La droite (AC) coupe le plan (A'B'C') en K.

a) Le point K est le point d'intersection des droites (AC) et (A'C') qui est incluse dans le plan (A'B'C').

¡!OA ¡!OB ¡!OC t⁰(x)

5x¡4p x²+1 20p

x²+1 t(x) ¹

4

px² + 1 ¹

5 x¡6 ¹₄p ¹₅ u(x) v(x) 1

4

1 5 u⁰(x) 2

p

u(x) v⁰(x) ¹₄ ^2x ¹₅ 2p

x²+1 t⁰(x) ¹^£⁴^£

px²+1 5£4p

x²+1 5£x

5£4p x²+1

x 20p

x² + 1 t⁰(x) 5x¡4p

x²+ 1 5x¡4p

x²+ 1 5x 4p

x²+ 1 25x² 16(x² + 1) t⁰(x)

t⁰(x) 9x²¡16 (3x¡4)(3x+ 4) 9x²¡16

x

x ⁴

3

4 3

t⁰(x) t(x)

O

4

t x 3

4 3

¡¡!A’B’

0

@ -2

2 0

1

A ¡¡!A’C’

0

@ -2

0 3

1 A

~

u ¡¡!

A’B’

0

@-1 1 0

1 A 8<

:

x = 2¡t¡2s y =t

z = 3s

t s

¡!AC 0

@ -1

0 1

1 A

k 8<

:

x = 1¡k y = 0 z =k

¡!BC 0

@0 -1

1 1 A 8<

:

x = 0 y = 1¡k⁰ z =k⁰

k⁰

x y z

(10)

b) K est le point d'intersection de (A'B'C') : et de (AC) : Pour déterminer K on résout le système suivant :

⇔ ⇔ ⇔

Puis on remplace par -3 dans le système d'équations paramétriques de (AC) : ⇔ Finalement, K a pour coordonnées (4 ; 0 ; -3).

4. On donne L(0;4;-3).

a) On a : et : . On constate que : =

Les vecteurs et sont colinéaires donc les droites (LC) et (LB) sont parallèles, avec un point commun. On en déduit que les points L, B et C sont alignés.

b) On a L(0;4;-3) et (A'B'C') : , avec ∈ R et ∈ R,

⇔ ⇔

On en déduit que L est le point du plan (A'B'C') de paramètres = 4 et = -1.

c) L(0;4;-3). On note P (0 ; 4 ; 0) et Q (0 ; 0 ; -3) On place L en construisant le parallélogramme OPLQ.

Remarque : On peut aussi placer L en tant que point d'intersection des droites (BC) et (B'C'). Ces droites étant sécantes, leur point d'intersection est également le point d'intersection de (BC) et du plan (A'B'C').

5. On sait que L appartient à (A'B'C').

De plus, puisque les points L, B et C sont alignés, L appartient à (BC) qui est incluse dans (ABC).

Donc : L ∈ (ABC) ∩ (A'B'C'). De même : K ∈ (ABC) ∩ (A'B'C').

On en déduit que : (KL) = (ABC) ∩ (A'B'C').

6. On a , et

On en déduit : = 2 = 4

Ces trois vecteurs étant colinéaires, les droites (AB), (A'B') et (KL) sont parallèles.

8<

:

x= 2¡t¡2s y=t

z = 3s

8<

:

x= 1¡k y= 0 z=k 8<

:

1¡k = 2¡t¡2s 0 =t

k = 3s

8<

:

1¡3s= 2¡2s t= 0

k = 3s

8<

:

-s= 1 t= 0 k= 3s

8<

:

s= -1 t= 0 k= -3 8 k

<

:

x = 1 + 3 y = 0 z = -3

8<

:

x= 4 y= 0 z= -3

¡!LB 0

@0 -3

3 1

A ¡!

LC 0

@0 -4

4 1

A ¡!

LC ⁴₃ ¡!

LB

¡!LC ¡!LB

8<

:

x= 2¡t¡2s y=t

z = 3s

t s

8<

:

0 = 2¡t¡2s 4 =t

-3 = 3s

8<

:

0 = 2¡4¡2s t= 4

s= -1

8<

:

s= -1 t= 4 s= -1

t s

¡¡!A’B’

0

@-2 2 0

1

¡! A AB

0

@-1 1 0

1

A ¡!KL

0

@-4 4 0

1 A

¡!KL ¡¡!A’B’ ¡!AB

(11)

Exercice 5 :

est la fonction définie sur ]-∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[ par : = .

Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique de la fonction ci-dessous :

1. Utiliser cette capture d'écran pour conjecturer :

a) On peut conjecturer : = -∞ = +∞ = -∞ = +∞

b) La droite d'équation = 3 semble être asymptote verticale à cf.

2. ∀ ∈ ]-∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[, = = =

La limite en l'infini d'une fonction rationnelle est celle du quotient de ses termes de plus hauts degrés.

Donc : = = = = -∞.

De même : = = +∞.

Etude des limites à gauche et à droite de 3 :

= = = > 0

De plus, on a : < 3 ⇔ < 0. On en déduit : = et =

Ainsi, par quotient de limites, on a : = = -∞ et : = = +∞

3. ∀ ∈ ]-∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[, = =

= =

= = =

2 > 0 et ∀ ∈ ]-∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[, > 0.

Donc a le même signe que le polynôme du 2^nd degré .

∆ = = 36 – 32 = 4 > 0 On en déduit deux racines distinctes :

= = = = 2 et = = = 4

Le trinôme est du signe de = 1 > 0 à l’extérieur des racines.

f f(x) ^2(x^¡⁴⁾

2

x¡3 f

cf

f(x)

xlim!-1 lim f(x)

x!+1 lim

x!3 x<3

f(x) limf(x)

x!3 x>3

x

f(x) ^2(x^¡⁴⁾

2

x¡3

x ^2(x

2¡8x+16) x¡3

2x²¡16x+32 x¡3

xlim!-1f(x) lim

x!-1

2x²¡16x+32

x¡3 lim

x!-1

2x²

x lim

x!-12x f(x) 2x

x!lim+1 lim

x!+1

xlim!32(x¡4)2 2(3¡4)2 2£(-1)² 2

xlim!3 x<3

x¡3 lim x¡3 0⁺

x!3 x>3

0^¡

xlim!3 x<3

f(x) lim

x!3 x<3

2(x¡4)²

x¡3 f(x) ^2(x^¡⁴⁾

2

x¡3

xlim!3 x>3

x¡3 x

x f(x) ^2x

2¡16x+32 x¡3

u(x) v(x) f⁰(x) ^u⁰^(x)v(x)^¡^v⁰^(x)u(x)

v²(x)

(4x¡16)(x¡3)¡1(2x²¡16x+32) (x¡3)²

4x²¡12x¡16x+48¡2x²+16x¡32 (x¡3)²

f⁰(x) ^2x

2¡12x+16 (x¡3)²

x (x¡3)²

f⁰(x)

2(x²¡6x+8) (x¡3)² x²¡6x+ 8 b²¡4ac

x1 -b¡p

¢ 2a

6¡p 4 2

6¡2

2 x2 -b+p

¢ 2a

6+2 2

x²¡6x+ 8 a

(12)

Enfin : = = = -8 et : = = = 0 On en déduit le tableau de variations de :

-∞ 2 3 4 +∞

+ – – +

-8 -∞ -∞

+∞ +∞ 0 4. Soit un réel strictement positif.

▪ D'après le tableau de variations, on sait que le maximum de la fonction sur ]-∞ ; 3[ est -8.

étant strictement positif, l'équation = n'a pas de solution sur ]-∞ ; 3[.

▪ La fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]3 ; 4].

∀ ∈ ]3 ; 4], ∈ [0 ; +∞[ et > 0.

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une unique solution sur ]3 ; 4].

▪ La fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]4 ; +∞[.

∀ ∈ ]4 ; +∞[, ∈ ]0 ; +∞[ et > 0.

Donc l'équation = admet une unique solution sur ]4 ; +∞[

Finalement, l'équation = admet exactement deux solutions sur R.

5. a) Déterminons les réels , et tels que, pour tout réel ≠ 3 : = + .

= + = = =

Or : =

On en déduit, par identification : ⇔ ⇔

⇔ ⇔

Finalement, pour tout réel ≠ 3 : = + . b) Pour tout réel ≠ 3, on a : = +

Donc : =

On a : = -∞ et = +∞.

On en déduit, par quotient de limites : = et = .

Ainsi : [ ] = et [ ] = .

On en déduit que la droite d'équation = est asymptote oblique à la courbe c en -∞ et en +∞ m

f(x) m

a b c x f(x) ax+b ^c

x¡3

x!lim-1 lim

x!+1

f x

f⁰(x) f(x) f(2) ²⁽²^¡⁴⁾

2

2¡3

2£4

-1 f(4) ²⁽⁴^¡⁴⁾

2

4¡3

2£0 1

f(x) m m

f f

x f(x) m

f(x) m

® f

x f(x) m

¯ f(x) m

f(x) ax+b _x^c

¡3

(ax+b)(x¡3)+c x¡3

ax²¡3ax+bx¡3b+c x¡3

ax²+(b¡3a)x+(c¡3b) x¡3

f(x) ^2x

2¡16x+32

x¡3 8

<

:

a= 2

b¡3a= -16 c¡3b= 32

8<

:

a= 2 b¡6 = -16 c¡3b= 32

8<

:

a= 2 b= -16 + 6 c¡3b= 32 8<

:

a= 2 b= -16 + 6 c¡3b= 32

8<

:

a= 2 b= -10 c+ 30 = 32

8<

:

a= 2 b= -10 c= 2 x f(x) 2x¡10 _x²

¡3 f(x) 2x¡10 _x²

¡3 x

f(x)¡(2x¡10) _x²

¡3 x¡3

xlim!-1 lim x¡3

x!+1

xlim!-1 lim

x!+1

2 x¡3

0^¡ 0⁺

f(x)¡(2x¡10) 0^¡ f(x)¡(2x¡10) 0⁺ 2x¡10

y f