A2840 – Récréations de première nécessité [* à la main]
A la sortie du collège à midi, Zig et ses camarades décident de se rendre au Salon des Récréations
Mathématiques. Estimées de première nécessité, elles échappent par bonheur au sinistre confinement. Zig estime qu’avec sa trottinette électrique il pourrait directement se rendre sur place en un quart d’heure. Tous ses camarades sont à pied. Que Zig soit seul ou avec un (seul) passager à bord, sa trottinette lui permet d’aller en moyenne sept fois plus vite que le marcheur à pied. Un rapide calcul lui montre que tout le monde peut arriver en même temps au Salon à treize heures.
Combien sont-ils au maximum?
Solution proposée par Daniel Collignon
Prenons pour unité de longueur la distance entre le collège et le salon.
Zig a donc une vitesse moyenne de 1/(1/4) = 4 unités/h, tandis que le marcheur à pied à une vitesse moyenne de 4/7 unités/h.
Pour maximiser le nombre de camarades, Zig sera en permanence sur sa trottinette pour les rapprocher.
Ainsi Zig va amener un camarade jusqu'à un point à une distance x du collège, d'où ce dernier finira à pied.
Puis Zig revient chercher un deuxième camarade parmi le groupe qui avait commencé à pied, à une distance y du collège, qu'il déposera au même niveau que le premier rejoint, d'où ils finiront ensemble à pied.
Et ainsi de suite jusqu'à ce que Zig et le dernier camarade arrivent au salon à 13h, au même moment que le groupe de ceux qui ont fini à pied.
Soit n-1>=1 le nombre de camarades de Zig. Nous avons les relations suivantes :
* (x+x-y)/4 = y/(4/7), le temps mis lorsque Zig rejoint le deuxième camarade qu'il s'apprête à prendre avec lui
* x/4 + (1-x)/(4/7) = 1, chaque camarade aura parcouru x avec Zig et 1-x à pied, le tout en 1h
* (n-1)x + (n-2)(x-y) = 4, Zig a parcouru 4, sous la forme de plusieurs A/R, en 1h Elles se réécrivent :
* x = 4y.
* x + 7(1-x) = 4, d'où x=1/2 et donc y=1/8.
* 7n = 42, d'où n=6.
Finalement, Zig est avec 5 camarades au maximum.
