Section 7
Stratégies de résolution de problèmes Clé de correction
Exemple de solution - Mise en situation
1. Représentation
essentiellement, on me demande de calculer des surfaces à partir de 2 plans à l’échelle;
pour obtenir les dimensions réelles des surfaces à calculer, je dois établir des proportions avec l’échelle de chacun des plans;
coûts de construction pour l’atelier ≤ 1 000$;
espace libre entre 75% et 80% de l’espace total;
- espace total : toute la surface de l’atelier
- espace libre : la surface de l’atelier moins les meubles
espace à respecter pour la table de travail (entre 2 m² et 2,5 m²);
espace à respecter pour la machine-outil (entre 1 m² et 1,5 m²);
proposer des changements aux plans, s’ils ne respectent pas les exigences demandées;
2. Planification
mesurer, avec une règle (en cm), les dimensions des items suivants pour chacun des plans;
- atelier, table, machine-outil, rangement, lavabo
convertir les dimensions mesurées en dimensions réelles en utilisant l’échelle de chaque plan (établir des proportions et utiliser le produit croisé);
calculer les superficies pour chaque plan en utilisant les bonnes formules;
vérifier pour chaque plan si le budget est respecté (ne pas dépasser 1 000$);
vérifier si l’espace libre de chaque plan est entre 75% et 80% de l’espace total de l’atelier;
- additionner ensemble les surfaces des objets qui occupent de l’espace dans l’atelier afin d’obtenir la superficie de l’espace utilisée
- soustraire ce total de la surface de l’atelier afin d’obtenir la superficie de l’espace libre
- calculer le pourcentage de l’espace libre par rapport avec la surface totale de l’atelier
vérifier si la surface de la table est comprise entre 2 et 2,5 m²;
vérifier si la surface de la machine-outil est comprise entre 1 et 1,5 m²;
Pour chacun des plans, utiliser le tableau suivant pour inscrire les mesures et le résultat des calculs.
PLAN NUMÉRO Mesure
plan (cm)
Mesure réelle
(m)
Formule pour calculer la
superficie
Superficie (m²)
Atelier longueur
largeur
Table diamètre
rayon (r)
Lavabo base
hauteur Machine-outil longueur
largeur Rangement 1 longueur
largeur Rangement 2 longueur
largeur Espace occupé
Espace libre
Espace libre en %
3. Activation Plan 1
Atelier :
Les dimensions sur le plan sont : longueur 5 cm, largeur 5 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface de l’atelier :
Table :
Les dimensions sur le plan sont : diamètre 1,3 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface de la table :
Lavabo :
Les dimensions sur le plan sont : base 1 cm, hauteur 1 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface du lavabo :
Machine-outil :
Les dimensions sur le plan sont : longueur 1 cm, largeur 0,75 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface de la machine-outil :
Rangement 1 :
Les dimensions sur le plan sont : longueur 1,75 cm, largeur 1 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface du rangement 1 :
Rangement 2 :
Les dimensions sur le plan sont : longueur 3 cm, largeur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface du rangement 2 :
Espace occupé :
Espace occupé = table + lavabo + machine-outil + rangement 1 + rangement 2 Espace occupé = 2,07 + 0,78 + 1,17 + 2,74 + 2,34
Espace occupé = 9,1 Espace libre :
Espace libre = Surface de l’atelier – espace occupé Espace libre = 39,06 - 9,1
Espace libre = 29,96
Espace libre en %:
Coûts de construction :
976,50 $
Tableau
PLAN NUMÉRO 1 Mesure
plan (cm)
Mesure réelle
(m)
Formule pour calculer la superficie
Superficie (m²)
Atelier longueur 5 6,25
39,06
largeur 5 6,25
Table diamètre 1,3 1,625
2,07 rayon (r) 0,65 0,8125
Lavabo base 1 1,25
0,78
hauteur 1 1,25
Machine-outil longueur 1 1,25
1,17 largeur 0,75 0,9375
Rangement 1 longueur 1,75 2,19
2,74
largeur 1 1,25
Rangement 2 longueur 3 3,75
2,34
largeur 0,5 0,625
Espace occupé 9,1
Espace libre 29,96
Espace libre en % 76.7 %
Coût total de construction 976,50 $
Plan 2
Atelier :
Les dimensions sur le plan sont : longueur 5 cm, largeur 2 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface de l’atelier :
Table :
Les dimensions sur le plan sont : diamètre 0,8 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface de la table :
Lavabo :
Les dimensions sur le plan sont : base 0,5 cm, hauteur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface du lavabo :
Machine-outil :
Les dimensions sur le plan sont : longueur 1,25 cm, largeur 0,25 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface de la machine-outil :
Rangement 1 :
Les dimensions sur le plan sont : longueur 2 cm, largeur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface du rangement 1 :
Rangement 2 :
Les dimensions sur le plan sont : longueur 1,75 cm, largeur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles :
Calcul de la surface du rangement 2 :
Espace occupé :
Espace occupé = table + lavabo + machine-outil + rangement 1 + rangement 2 Espace occupé = 2,01 + 0,5 + 1,25 + 4 + 3,5
Espace occupé = 11,26
Espace libre :
Espace libre = Surface de l’atelier – espace occupé Espace libre = 40 - 11,26
Espace libre = 28,74
Espace libre en %:
Coûts de construction :
1000 $
Tableau
PLAN NUMÉRO 2 Mesure
plan (cm)
Mesure réelle
(m)
Formule pour calculer la superficie
Superficie (m²)
Atelier longueur 5 10
largeur 2 4 40
Table diamètre 0,8 1,6
2,01 rayon (r) 0,4 0,8
Lavabo base 0,5 1
hauteur 0,5 1 0,5 Machine-outil longueur 1,25 2,5
1,25 largeur 0,25 0,5
Rangement 1 longueur 2 4
largeur 0,5 1 4 Rangement 2 longueur 1,75 3,5
largeur 0,5 1 3,5
Espace occupé 11,26
Espace libre 28,74
Espace libre en % 71,85 %
Coût total de construction 1000 $
4. Réflexion
les deux plans respectent le budget (≤ 1 000 $)
les deux plans respectent les limites d’espace pour la table (entre 2 m² et 2,5 m²) et la machine-outil (entre 1 m² et 1,5 m²)
le plan numéro 1 respecte le % d’espace libre demandé (entre 75% et 80%)
le plan numéro 2 ne respecte pas le % d’espace libre demandé; l’espace libre est inférieur à 75 %
Conclusion :
Le plan 1 est conforme et sera présenté au client tel qu’il a été conçu par le stagiaire.
Le plan 2 doit être modifié avant d’être présenté au client. Il faut augmenter le
% d’espace libre afin de respecter la consigne.
Proposition de modification pour le plan 2 :
Une augmentation de 4 % en espace libre serait suffisante pour respecter la consigne. Nous obtiendrions ainsi un espace libre de 75,85%.
Une augmentation de 4 % en espace libre représente combien de m² dans l’atelier?
4% × superficie de l’atelier = 0,04 × 40 m² = 1,6 m²
Pour obtenir 1,6 m² de plus en espace libre, on peut soit réduire l’espace de
rangement numéro 1 ou le numéro 2 ou même les deux à la fois. Choisissons, par exemple, de réduire seulement l’espace de rangement 1. Il faut diminuer sa
superficie de 1,6 m².
Nouvelle superficie = 3,5 m² - 1,6 m² = 1,9 m²
La superficie est calculée en multipliant la longueur par la largeur ( ). On peut donc soit réduire la longueur ou la largeur du rangement ou même les deux mesures à la fois. Choisissions, par exemple, de conserver la largeur et de réduire seulement la longueur. La nouvelle longueur du rangement 1 deviendrait donc ainsi 1,9 m.
→
Le plan 2 deviendra conforme et pourra être présenté au client à la condition
que les dimensions de l’espace de rangement 1 deviennent 1,9 m par 1 m.
Exemple de solution – Situation – problème 1
1. Représentation
Pour la tâche 1, je dois tracer un plan à l’échelle. J’ai besoin de choisir une échelle convenable.
- Je dois établir une relation entre la longueur réelle la plus longue et la longueur maximale dont je dispose sur papier pour faire le plan.
Pour la tâche 2, je dois faire l’inventaire des planches de mélamine dont j’ai besoin pour monter le système de rangement. Ensuite, je choisis parmi les items présentés pour que la facture soit la moins élevée.
- Je dois optimiser mon choix selon les dimensions requises par le plan et les dimensions disponibles en magasin à des prix différents.
2. Planification
Tâche 1
- Je choisis l’échelle appropriée.
- Je transforme les mesures réelles en mesures sur le plan avec l’échelle (produit croisé).
- Je trace le plan à l’échelle.
Tâche 2
- Je fais l’inventaire de toutes les tablettes et panneaux horizontaux et verticaux dont j’ai besoin pour faire le système de rangement.
- Je compare les panneaux à acheter entre eux pour faire l’achat le moins dispendieux possible.
- Je donne ma solution d’achat.
3. Activation
Tâche 1
Choix de l’échelle :
La longueur réelle maximale à tracer est de 2,1 m. Sur le plan, on dispose au maximum de 26 carreaux verticalement pour représenter cette mesure. Afin de faciliter la conversion des mesures, je choisi que 21 carreaux correspondront à 2,1 m.
21 carreaux = 2,1m 1 carreau = 0,5 cm 0,5 cm = 0,1m Échelle
1 carreau = 0,1m 0,5 cm = 10 cm 1 ≙ 20
1 cm = 20 cm
Convertir 2,1 m :
Convertir 2 m :
Tâche 2
besoin d’une planche de 2 m (200 cm) de long par 30 cm de profondeur (planche du haut)
besoin de 3 planches de 2,1 m (210 cm) de long par 30 cm de profondeur (planches verticales)
besoin de 7 petites planches de 30 cm de long par 30 cm de profondeur (tablettes) Avec un panneau de 120 cm de large, on peut couper 4 planches de 30 cm de large. Le format panneau est donc plus économique que le format tablette (28,98$ 4×8,49$) 1 panneau 120 cm × 244 cm
Tablette en mélamine 30 cm × 244 cm 8,49 $
Panneau en mélamine 120 cm × 244 cm 28,98 $
Tablette en mélamine 30 cm × 183 cm 7,99 $
Tablette en mélamine 30 cm × 115 cm 6,95 $
30 cm 30 cm 30 cm 30 cm 210 cm 210 cm 210 cm 200 cm restes
120 cm
244 cm 34 cm 34 cm 34 cm
44 cm
Avec le panneau, on obtient les 4 planches verticales du rangement.
Avec les restes du panneau, on peut couper 4 tablettes de 30 cm de long chacune.
Il manque donc 3 tablettes de 30 cm (90 cm) par 30 cm de profondeur.
On utilisera 1 tablette 30 cm × 115 cm qu’on coupera en 3 tablettes de 30 cm de long chacune.
30 cm 115 cm 90 cm
Matériel non utilisé
4. Réflexion
L’achat qui donnera la facture la moins élevée est le suivant : 1 panneau 120 cm × 244 cm : 28,98$
1 tablette 30 cm × 115 cm : 6,95$
Le montant de la facture sera de 35,93$.
Exemple de solution – Situation – problème 2
1. Représentation
Je dois savoir si le camion passera sous le hauban.
J’annote le schéma pour clarifier la situation.
Je fais l’inventaire des données manquantes qui me permettront de trouver la
solution : distance entre la base de le hauban et le bord de la route 9,3 – (3 + 2,5) = 3,8.
Le schéma représente un triangle rectangle, je peux donc utiliser le théorème de Pythagore et les rapports trigonométriques.
2. Planification
Je dessine sur le schéma le camion entre les lignes qui représentent la largeur de la route.
Je vérifie la hauteur disponible pour le camion selon la position de celui-ci par rapport à la route (camion au milieu de la route, ou plus à droite de celle-ci).
Pour calculer chaque hauteur possible, je dois d’abord trouver l’angle d’élévation du
3 m
10 m
9,3 m
2,5 m 3,8 m
θ
3. Activation
Calcul de l’angle d’élévation :
4. Réflexion
Il sera possible de passer sous le hauban avec un camion de 2 m 5 m de haut à la
condition que le camion roule complètement à l’extrême droite de la route.
Exemple de solution – Situation – problème 3
1. Représentation
Je dois répondre à 2 questions :
- trouver la distance horizontale qui sépare le lieu de l'accident de l'hélicoptère lorsque le pilote aperçoit l'accident pour la première fois;
- trouvez la distance que l’hélicoptère pourrait parcourir en 15 secondes.
Je dessine un schéma qui représente la situation telle que décrite;
J’identifie sur mon schéma ce que je cherche et ce que je connais :
- Je connais les 2 angles de dépression 30° et 35° et l’altitude 300m.
- Je représente la distance parcourue par l’hélicoptère en 5 secondes par la lettre z.
- Je représente la distance séparant l’hélicoptère de l’accident 5 secondes après que le pilote l’ait aperçu par la lettre y.
- Je représente la distance qui sépare le lieu de l'accident de l'hélicoptère lorsque le pilote aperçoit l'accident pour la première fois par la lettre x.
Puisqu’on parle d’angles de dépression, de distance horizontale et d’altitude, je sais que je devrai utiliser des rapports trigonométriques pour trouver les mesures
manquantes.
2. Planification
J’étudie mon schéma afin d’identifier comment trouver ce que je cherche
Je calcule la distance x à l’aide du rapport trigonométrique suivant : ⇨
300 m
30° 35°
5 secondes
x z y
Je ne peux pas calculer la distance z à l’aide d’un rapport trigonométrique mais je peux la trouver si je connais x et y à l’aide de la relation suivante :
⇨
La distance z représente la distance parcourue en 5 secondes par l’hélicoptère. Pour répondre à la question, qui demande la distance qui pourrait être parcourue en 15 secondes, je dois établir une proportion.
3. Activation
Calcul de x :
Calcul de y :
Calcul de z :
Calcul de la distance parcourue par l’hélicoptère en 15 secondes
⇨
4. Réflexion
La distance horizontale qui sépare le lieu de l'accident de l'hélicoptère lorsque le pilote aperçoit l'accident pour la première fois est de 519,6 m.
La distance que l’hélicoptère pourrait parcourir en 15 secondes est de 273,6 m.
Exemple de solution – Situation – problème 4
1. Représentation
Je dois trouver le diamètre de la roue.
J’utilise le schéma fourni et j’y ajoute les valeurs numériques qui me sont données ainsi que des informations complémentaires (un triangle rectangle isocèle a 1 angle droit et 2 angles aigus de 45°).
Je sais que le diamètre correspond à la longueur du segment FE.
Je fais l’inventaire des données manquantes qui me permettront de trouver la solution. FE = FM + ME
Je dois déterminer la valeur de FM et de ME afin de trouver le diamètre de la roue.
M
45°
45°
AJ = 158,4 cm 45°
2. Planification
J’interprète les données que j’ai placées dans le schéma et j’y ajoute de l’information si nécessaire.
Les 2 triangles qui forment le support à vélo sont rectangles-isocèles. Donc dans chacun des triangles, les côtés de l’angle droit sont égaux et les angles aigus valent 45°.
Le triangle AKJ est semblable au triangle ABD. De plus, le triangle ABD est 2 fois plus petit que le triangle AKJ. Je peux donc trouver la longueur du segment AD du triangle ABD en établissant une proportion avec la longueur AJ du triangle AKJ.
⇨
Avec la mesure de AD, je peux trouver la mesure de DB à l’aide du rapport trigonométrique suivant.
⇨
Puisque les points C et D sont à la même hauteur du sol, et que M est situé sur le segment CD, alors le point M est aussi à la même hauteur du sol que C et D. Je peux en déduire que le segment ME est donc égal au segment DB.
ME représente un partie du diamètre, il me reste donc à calculer la valeur de FM.
Pour y arriver, je dois considérer le triangle CFD. On nous a indiqué que CF = FD alors on sait que ce triangle est donc isocèle. Cette information nous indique que le segment FM rencontre le segment CD perpendiculairement et le coupe en deux parties égales.
Nous pouvons également déduire que CD est égal à AB qui est égal à DB puisque le triangle ABD est rectangle isocèle.
Pour obtenir FM, il me faut établir un rapport trigonométrique dans le triangle FMD.
Puisque je peux calculer MD et que je cherche FM, je vais utiliser la fonction
tangente de l’angle MDF. J’ai donc besoin de connaitre cet angle pour calculer FM.
Je sais que l’angle ADJ est un angle plat donc de 180 . Je sais aussi que l’angle
CDA est de 45° puisque l’angle CDB est droit et que l’angle ADB est de 45°.
3. Activation
Calcul de AD :
Calcul de DB :
Calcul de ME :
Calcul de MD :
Calcul de ∠MDF :
Calcul de FM : ⇨
Calcul du diamètre de la roue :
4. Réflexion
Le diamètre de la roue est de 70 cm. Nous avons calculé cette valeur à partir des
AJ = 158,4 cm
Exemple de solution – Situation – problème 5
1. Représentation
Je dois vérifier les 2 plans qu’une entreprise en aménagement paysager a faits selon ma demande.
Ma première tâche consiste à vérifier si les exigences suivantes sont respectées : - L’espace patio au complet ne doit pas prendre plus de la moitié de la
superficie totale de l’arrière-cour.
- L’espace pour les arbustes doit couvrir au moins 10% de l’espace patio sans toutefois dépasser 15% de cet espace.
Ma deuxième tâche consiste à planifier l’achat de dalles pour l’espace patio au coût le moins élevé.
Je dois calculer des surfaces à partir de 2 plans.
Pour effectuer les calculs des surfaces, je devrai utiliser les formules d’aire associées à la forme des surfaces à calculer.
2. Planification
Tâche 1
Je calcule la superficie totale de l’arrière-cour à l’aide de la formule suivante :
Je calcule la superficie de l’espace patio complet pour les 2 plans. Il est possible que je doive décomposer l’espace en plusieurs formes de base afin de calculer la surface de chacune d’elle pour ensuite les additionner toutes ensemble.
Je calcule le % qu’occupe l’espace patio par rapport à la superficie de l’arrière-cour.
Je calcule l’espace occupé par les arbustes. J’utilise les formules d’aire des formes de base. Au besoin, je décompose l’espace en plusieurs formes de base.
Je calcule le % qu’occupent les espaces pour arbustes par rapport à la superficie du
patio complet.
Tâche 2
Je dois calculer la surface couverte en par chaque modèle de dalle.
Je transforme d’abord en cm les mesures données en pouces à l’aide de la relation
suivante: .
Je converti ensuite les cm en m pour finalement arriver à calculer la surface en .
Pour trouver le nombre de dalles de chaque modèle requis par chaque plan, je dois diviser la superficie à couvrir (air espace patio – aire espace pour arbustes) en m² par la superficie d’une dalle en m².
Je calcule finalement le coût de l’achat des dalles de chaque modèle pour chaque plan en multipliant le nombre de dalle requis par le prix unitaire d’une dalle.
3. Activation
Tâche 1
Aire de l’arrière-cour = 9m × 10m = 90m²
Plan 1 :
A1
A2
6,5 m
6 m 1 m
2 m
2,5 m
80 cm
80 cm
1,5 m 2,5 m
A3 A4
A5
6,5 m – 1 m – 3,5 m – 0,8 m = 1,2 m
