presentation fractions egyptiennes

fractions égyptiennes

Cérémonie de remise des prix

des olympiades académiques

de mathématiques 25/05/2016

Richard Breheret

IA-IPR de mathématiques

Académie de Créteil

Arithmétique égyptienne

Les différents empires de la civilisation égyptienne débutent vers 3100 avant J.‐C. et se terminent avec la conquête grecque d’Alexandre en 332 avant J.‐C.

La structure de l’arithmétique égyptienne repose sur deux principes opérationnels : la multiplication ou division par 2, le calcul des 2₃ de n’importe quel nombre entier ou fractionnaire.

Multiplication égyptienne

La multiplication de deux entiers s’obtenait généralement par des opérations succes‐ sives de dédoublement, en partant implicitement du fait que tout nombre entier peut s’écrire comme somme de puissances de 2.

Out[52]= a b A = 37 × 59 A = 74 × 29 +37 A = 148 × 14 +111 A = 296 × 7 +111 A = 592 × 3 +407 A = 1184 × 1 +999 A = 2183

Fractions égyptiennes

Papyrus Rhind

L’application des opérations usuelles aux fractions était difficile du fait que ces dernières 2₃ peut‐être exceptée) étaient réduites en sommes de fractions unitaires. Leur réduction était rendue possible par la construction de tables contenant des frac‐ tions de la forme _n2.

Le papyrus d’Ahmes débute par une table exprimant _n2 (n ∈ 〚3; 101〛) comme somme de fractions unitaires, obtenues essentiellement à l’aide du principe de dédoublement : pour tout n ∈ ℕ*_, 1

n = 1

Out[53]=

Papyrus Rhind d’Ahmes, British Museum, XVIe _{siècle avant J.‐C.}

Exemples d’Ahmes

2 7 = 71 + 71 2 7 = 1 14 + 1 14 + 1 7 2 7 = 281 +  1 28 + 1 14 + 71 2 7 = 281 + 71 41 + 21 +1 2 7 = 1 28 + 1 4 Nous avons 13 = 8 + 4 + 1 2 13 = 131 + 131 2 13 = 261 + 1 26 + 1 13 2 13 = 1 52 + 1 52 + 1 26 + 1 13 2 13 = 1041 + 521 + 1041 + 261 + 1 13 2 13 = 1 104 + 1 52 + 1 13 ( 1 8 + 1 2 +1) 2 13 = 1041 + 521 + 81

Sur le même principe, on peut établir que 2₅ = ₂₀1 + ₁₀1 + ₄1 (en constatant que 5 = 4 + 1) mais Ahmes affirme que 2₅ = ₁₅1 + ₃1 à partir de l’égalité ₅1 = ₁₅1 + ₁₅1 + ₁₅1 et en écrivant

2

5 = 151 + 151 + 151 + 51.

Des décompositions multiples

Du fait que, pour tout entier a ≠ 0, _a1 = _a+11 + _a(a+1)1 , la décomposition d’un nombre rationnel en fractions égyptiennes n’est pas unique.

On trouvera ci‐dessous différentes décompositions obtenues à partir d’algorithmes variés.

Out[99]=

numérateur 23 dénominateur 41

méthode glouton impair

premier dénominateur dans la méthode harmonique

2 autoriser le redimensionnement dynamique

23 41 = 1 3 + 1 5 + 1 37+ 1 1627+ 1 1 609 669+ 1 29 796 892 720 283+ 1 1 775 709 631 568 078 282 466 479 895

Algorithme « glouton » de Fibonacci

Leonard de Pise, dit Fibonacci (1170 ‐ 1245)

Mise en œuvre

Soit x un nombre en écriture fractionnaire.

Une première démarche naturelle consiste à approcher x par une fraction unitaire aussi proche de x que possible puis d’utiliser la même démarche pour le reste.

Soit (x, y) ∈ ℕ*2

. Notons x_y le plus petit entier tel que x_y ≥ x_y, y[x] le reste dans la division euclidienne de y par x et montrons que, pour tout (x, y) ∈ ℕ*2_,

x y = 1 y_x + (-y[x])  y y x (ℛ) Pour tout (x, y) ∈ ℕ*2_{, (ℛ) équivaut à x }y

x =y + (-y[x]).

Soit q et r les quotient et reste respectifs dans la division euclidienne de y par x. Nous avons y = q x + r où r ∈ 〚0; x - 1〛 et y_x =  q si r = 0

q +1 sinon soit x y_x =  q x si r = 0

(q +1) x sinon D’autre part, -y = -q x - r.

Si r = 0, -y = -q x, -y[x] = 0 et y + (-y[x]) = q x donc x_y = 1

⌈yx⌉ + -y[x] y ⌈yx⌉ lorsque r = 0. Si r ≠ 0, -y = -q x - r, r ∈〛 0; x - 1〛 donc -r ∈ 〚1 - x; 0〚 -y = -(q +1) x + (x - r), x - r ∈ 〚1; x〚

donc -y[x] = x - r et y + (-y[x]) = q x + r + x - r soit y + (-y[x]) = (q + 1) x Dans ce cas, on a bien x_y = 1

⌈yx⌉ +

-y[x] y ⌈yx⌉.

Ce calcul réduit le numérateur de la fraction restante à développer -y[x]_{y ⌈}y

x⌉, donc son

itération est finie. On peut donc mettre en œuvre l’algorithme suivant :

❦ Choisir deux entier naturels non nuls x et y

❦ Calculer 1

x_y puis -y[x]

y×y_x que l’on associe à la fraction irréductible p q

❦ Reproduire le calcul tant que le numérateur de la fraction résultante est différent de 1.

Exemple

Out[100]= p q A =23 41 A =1 2 + 5 82 A =1 2 + 1 17 + 3 1394 A =1 2 + 1 17 + 1 465 + 1 648 210

Stan Wagon, Laurent Beeckmans (1991)

Pour tout entier k ∈ ℕ*_, 1 k + 1 k = 1 k + 1 k+1 + 1 k(k+1).

Toute fraction n_p ((n, p) ∈ ℕ*2_{) s’écrit naturellement sous la forme} n

p = ∑i=1n p1.

On peut donc mettre en œuvre l’algorithme suivant.

❦ choisir deux entiers naturels non nuls n et p et définir la liste L de n éléments tous égaux à

p.

❦ Tant que L contient deux éléments consécutifs égaux à un entier k, les remplacer par les éléments k, k + 1, k(k + 1) dans L et ordonner L.

Out[110]= n p {5, 5, 5, 5} 4 5 = 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5 {5, 5, 5, 6, 30} 4 5 = 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 6+ 1 30 {5, 5, 6, 6, 30, 30} 4 5 = 1 5+ 1 5+ 1 6+ 1 6+ 1 30+ 1 30 {5, 6, 6, 6, 30, 30, 30} 4 5 = 1 5+ 1 6+ 1 6+ 1 6+ 1 30+ 1 30+ 1 30 {5, 6, 6, 7, 30, 30, 30, 42} 4 5 = 1 5+ 1 6+ 1 6+ 1 7+ 1 30+ 1 30+ 1 30+ 1 42 {5, 6, 7, 7, 30, 30, 30, 42, 42} 4 5 = 1 5+ 1 6+ 1 7+ 1 7+ 1 30+ 1 30+ 1 30+ 1 42+ 1 42 {5, 6, 7, 8, 30, 30, 30, 42, 42, 56} 4 5 = 1 5+ 1 6+ 1 7+ 1 8+ 1 30+ 1 30+ 1 30+ 1 42+ 1 42+ 1 56 {5, 6, 7, 8, 30, 30, 31, 42, 42, 56, 930} 4 5 = 1 5+ 1 6+ 1 7+ 1 8+ 1 30+ 1 30+ 1 31+ 1 42+ 1 42+ 1 56+ 1 930 {5, 6, 7, 8, 30, 31, 31, 42, 42, 56, 930, 930} 4 5 = 1 5+ 1 6+ 1 7+ 1 8+ 1 30+ 1 31+ 1 31+ 1 42+ 1 42+ 1 56+ 1 930+ 1 930 {5, 6, 7, 8, 30, 31, 32, 42, 42, 56, 930, 930, 992} 4 5 = 1 5+ 1 6+ 1 7+ 1 8+ 1 30+ 1 31+ 1 32+ 1 42+ 1 42+ 1 56+ 1 930+ 1 930+ 1 992 {5, 6, 7, 8, 30, 31, 32, 42, 43, 56, 930, 930, 992, 1806} 4 5 = 1 5+ 1 6+ 1 7+ 1 8+ 1 30+ 1 31+ 1 32+ 1 42+ 1 43+ 1 56+ 1 930+ 1 930+ 1 992+1 / 1806 {5, 6, 7, 8, 30, 31, 32, 42, 43, 56, 930, 931, 992, 1806, 865 830} 4 5 = 1 5+ 1 6+ 1 7+ 1 8+ 1 30+ 1 31+ 1 32+ 1 42+ 1 43+ 1 56+ 1 930+ 1 931+ 1 992+1 / 1806+1 / 865 830

Deux résultats évidents

Le premier…

Pour tout entier n > 1, il existe trois entiers a, b et c (non nécessairement distincts) tels que _n2 = _a1 + _b1 + _c1.

… Et le second, encore plus fort !

Pour tout entier n > 1, il existe trois entiers a, b et c (non nécessairement distincts) tels que _n3 = _a1 + _b1 + _c1.

Conjecture d’Erdös ‐ Straus (1948)

Paul ERDÖS (1913 ‐ 1996)

Pour tout entier n > 1, il existe trois entiers a, b et c (non nécessairement distincts) tels que 4_n = _a1 + _b1 + _c1.

La résolution formelle dans ℕ3 _{de l’équation n(a b + b c + c a) = 4 a b c pour des valeurs}

de n données amène les résultats suivants (n ≤ 20).

Out[111]= n 4 11 = 1 6 + 1 6+ 1 33 4 11 = 1 4+ 1 12 + 1 33 4 11 = 1 4+ 1 11 + 1 44 4 11 = 1 3+ 1 66 + 1 66 4 11 = 1 3+ 1 44 + 1 132 4 11 = 1 3+ 1 42+ 1 154 4 11 = 1 4+ 1 9 + 1 396 4 11 = 1 3 + 1 36 + 1 396 4 11 = 1 3 + 1 34 + 1 1122

Les calculs sont longs (1776,66 secondes temps machine pour obtenir les 250 premiers ensembles de solutions, soit plus de 29 minutes).

La représentation graphique ci‐dessous indique, pour chaque valeur entière de n, le nombre de triplets (a, b, c) solutions de l’équation 4_n = _a1 + _b1 + _c1.

Out[105]= 50 100 150 200 250 200 400 600 800 1000 1200

Conjecture de Sierpiński (1956)

Wacław Sierpiński (1882 ‐ 1969)

Pour tout entier n > 1, il existe trois entiers a, b et c (non nécessairement distincts) tels que _n5 = _a1 + _b1 + _c1. Out[112]= n 5 12 = 1 6 + 1 8 + 1 8 5 12 = 1 6 + 1 6 + 1 12 5 12 = 1 4+ 1 12 + 1 12 5 12 = 1 4+ 1 10+ 1 15 5 12 = 1 4 + 1 9 + 1 18 5 12 = 1 5 + 1 6 + 1 20 5 12 = 1 4 + 1 8+ 1 24 5 12 = 1 3 + 1 24 + 1 24 5 12 = 1 3 + 1 21+ 1 28 5 12 = 1 3 + 1 20 + 1 30 5 12 = 1 3 + 1 18 + 1 36 5 12 = 1 4 + 1 7+ 1 42 5 12 = 1 3 + 1 16+ 1 48 5 12 = 1 5 + 1 5 + 1 60 5 12 = 1 3+ 1 15 + 1 60 5 12 = 1 3+ 1 14+ 1 84 5 12 = 1 3 + 1 13+ 1 156

Les calculs sont moins longs (1413,22 secondes temps machine pour obtenir les 250 premiers ensembles de solutions, soit moins de 24 minutes).

La représentation graphique ci‐dessous indique, pour chaque valeur entière de n, le nombre de triplets (a, b, c) solutions de l’équation 5_n = _a1 + _b1 + _c1.

Out[108]= 50 100 150 200 250 100 200 300 400 500 600 700