Optimisation géométrique
Samuel Rochetin
Samedi 15 septembre 2012
Exercice. [AB] est un segment de longueur `. M est un point de [AB]. AM P et M BQ sont des triangles équilatéraux.
Peut-on affirmer que l’aire du triangle P M Q est maximale lorsque la lon-gueur P Q est minimale ?
Solution. AP M Q= 1 2 × M P × M Q × sin \ P M Q = √ 3 4 x(` − x)
En posant x := M P et en utilisant les données de l’énoncé et les angles supplémentaires.
Une étude de fonction polynomiale du second degré montre que l’aire est maximale pour x = l
2.
Or, d’après le théorème d’Al-Kashi,
P Q2= M P2+ M Q2− 2 × M P × M Q × cosP M Q\ = 3x2− 3`x + `2
Une étude de fonction polynomiale du second degré montre que P Q2 donc P Q est minimale pour x = l
2. La réponse est donc : oui.
