Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1 Vecteurs de l'espace 3ème Sc Techniques
Dans tous les exercices l’espace est rapporté à un repère orthonormé , , Exercice 1
On considère les points (−1 , −1 , 3) , (2 , 1, 0) , (1 , 1 , −3) et (1 , 2 , −1)
1) a) Déterminer les composantes des vecteurs , ,
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés
2) a) Déterminer les coordonnées du point = ∗
b) Déterminer les coordonnées du point centre de gravité du triangle 3) a) Montrer que les points , , et ne sont pas coplanaires
b) Déterminer les coordonnées des points , et tel que = + , = − 3 et
= + 2 − 3
4) Soit le point ( , , !), montrer que si , , et sont coplanaires alors 3 − 6 − ! = 0 Exercice 2
On donne les points (1 , 1 , −1) , (1, −1 ,2) , (3 , 1, −1) et (2 , 1 , 1) 1) a) Déterminer les composantes des vecteurs , ,
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés
2) a) Calculer #é% , ,
b) Que peut-on conclure ?
3) Déterminer les coordonnées du point tel que 2 = − + 3
Exercice 3
Dans chacun des cas dire si les vecteurs & , ' et ( sont coplanaires ou non 1) & )−11 1 * , ' ) 2 1 −1* et ' ) 1 1 2* 2) & ) −1 2 3 * , ' ) 3 −1 1 * et ' ) −1 1 2 * 3) & ) 0 −2 4 * , ' ) −1 −1 2 * et ' ) 1 −3 1 * Exercice 4
on considère les points (2 , 1 , 0) , (0 , 1, 1) , (0 , 3 , 2) et le vecteur & ) 0 0 1* 1) Démontrer que les points , et ne sont pas alignés
2) Montrer que les vecteurs , et & ne sont pas coplanaires. 3) Déterminer les coordonnées du point , dans le repère , , , & Exercice 5
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 2 1) a) Montrer que les points , /% ne sont pas alignés
b) Déterminer les composantes des vecteurs , et c) Montrer que le quadrilatère est un parallélogramme
2) Soit ( , , !)montrer que , et sont coplanaires ssi + + ! + 4 = 0. Exercice 6
On considère les points (1 , 2 , 3) , (−1 , 3, 0) et (−2 , 2 , 5) 1) a) Déterminer les coordonnées des vecteurs et
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés
2) Déterminer les coordonnées du point pour que soit un parallélogramme
3) a) Calculer les coordonnées du point milieu du segment 0 1 b) Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle c) Déterminer les coordonnées du centre de gravité ’ du triangle d) Vérifier que est le milieu de 0 ′1
4) Dans la base 4 , 5 , 6 on considère le vecteur & ) −4
1 3 * a) Calculer #é% , , &
b) Justifier alors que le triplet , , & est une base de 7
c) Déterminer les composantes des vecteurs , et dans la base , , & d) Déterminer les coordonnées du point dans le repère , , , &
Exercice 7
On considère les points (0 , −1 , 0) ; (1 , 1 , 0) ; (0 , 0 , 1) et (−3 , 3 , −2) 1) a) Déterminer les composantes des vecteurs , , et
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés 2) a) Montrer que le triangle est rectangle
b) Calculer l’aire du triangle
3) a) Montrer que les points , , et ne sont pas coplanaires
b) Soit ( , , !)montrer que , et sont coplanaires ssi 2 − + ! − 1 = 0 Exercice 8
On considère les points (1 , −2 , −1) ; (3 , −3 , −2) ; (0 , −3 , 1) et (1 , 1 , 1) 1) a) Déterminer les coordonnées du point milieu du segment 0 1
b) Soit le centre de gravité du triangle , déterminer les coordonnées du point 2) a) Montrer que les points , , et ne sont pas coplanaires
