Devoir de synthèse n°2 4ème Sc Techniques Me Bayoudh 13 14

(1)

NB : La rédaction et le soin de la copie seront pris en compte dans l’évaluation ainsi que toute trace de recherche même non aboutie.

• Exercice 1 : (3 points)

Soit la fonction définie par ( ) = − _√

son ensemble de définition et C sa courbe représentative.

Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par vrai ou faux en justifiant votre choix.

1) On a = 0, +∞ .

2) La courbe C admet une asymptote oblique au voisinage de +∞ . 3) Pour tout ∈ , on a : ( ) < .

4) Pour tout ∈ , on a : ′( ) = + ₍ ₎ .

1) On considère la fonction définie sur 0, +∞ par ( ) = + 2 − 2 a/ Calculer ’( ) et dresser le tableau de variation de .

b/ En déduire le signe de ( ) pour 0, +∞

2) Soit la fonction définie sur 0, +∞ par : ( ) = +

On désigne par ( ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , !", #"). a/ Calculer lim

→(∞ ( ) et lim→)* ( )

b/ Calculer ′( ) et dresser le tableau de variation de .

c/ Montrer que la droite ∆ d’équation , = est une asymptote oblique à ( ) au voisinage de (+∞).

d/ Etudier la position de ( ) par rapport à ∆

3) a/ Déterminer les coordonnées du point - de ( ) sachant que ( ) admet en - une tangente T parallèle à ∆.

b/ Tracer ( ), ∆ et T dans le repère ( , !", #").

4) a/ Montrer que l’équation ( ) = 0 admet dans 0, +∞ une solution unique / . Vérifier que < / < 1

b/ Montrer que / = −1

5) a/ Montrer que la fonction F : ↦ + ( ) est une primitive de sur 0, +∞ . b/ Dresser le tableau de variation de F .

c/Déterminer la valeur minimale de F sur 0, +∞ .

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Lycée Pilote 15 octobre 1963 - Bizerte

Prof: Mme Bayoudh

Classe Classe Classe

Classe ::::4444èmeèmeèmeème SciencesSciencesSciences techniquesSciencestechniquestechniquestechniques1111

Mars Mars Mars Mars 2012012012014444

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(2)

On considère la fonction définie sur IR par ( ) = (1 + 34 ) +₅

On désigne par ( ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , !", #"). 1) a/ Déterminer lim

→(∞ ( )

b/ Montrer que la droite D d’équation , =₅ est une asymptote à la courbe ( ) au voisinage de (+∞).

c/ Etudier la position relative de D et ( ).

2) a/ Montrer que pour tout réel , ( ) = (3 + 1) −₅ . b/ En déduire lim

→4∞ ( )

c/ Montrer que ( ) admet au voisinage de (−∞) une asymptote oblique dont on déterminera une équation.

3) a/ Montrer que pour tout réel x , 6( ) =₅₍₇78₈4_{( )} . b/ Dresser le tableau de variation de .

c/ Tracer ( ) ainsi que les asymptotes à ( ).

4) a/ Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe ( ) au point d’abscisse 0. b/ Soient M et N deux points de la courbe (9:) d’abscisses non nulles et opposées . Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite T.

L’espace ξ_{est rapporté à un repère orthonormé direct ( , !", #", ;}<").

On considère les points -(8,0,8) ; ?(10,3,10) ainsi que la droite D d’équations paramétriques : A, = 1 + 2C= −5 + 3C

D = −2C E ; C ∈ FG

1) a/ Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (AB). b/ Montrer que D et (AB) ne sont pas coplanaires.

2) Soit P le plan contenant (AB) et parallèle à D.

a/ Montrer que le vecteur <" H4 I est un vecteur normal à P. b/Déterminer une équation cartésienne de P.

3) Soit S l’ensemble des pointsM(x , y ,z)de ξ tel que + , + D − 4 + 6, − 10D + 13 = 0 a/ Montrer que S est une sphère de centre I(2,-3,5).Préciser son rayon R.

b/ Montrer que S∩ P est un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon r. 4) Soit C(10,1,6) et M un point quelconque de la droite D.

Calculer le volume du tétraèdre MABC et vérifier qu’il est indépendant de M.

5) Soit S’ la sphère tangente à P au point C dont le centre Ω se trouve à la distance d=6 du

plan P , du même côté que O.

Donner l’équation cartésienne de S’.

Bon travail

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