Devoir de synthèse n°3       4ème Sc Techniques Mr Boufares 10 11

Prof : Boufares Amor

Devoir de synthèse N°3

4

Techniques

ENONCE

Exercice 1

La courbe C ci-dessous représente une fonction g dérivable sur R, D et D’ sont les asymptotes de C et ∆ est la tangente à C au point d’abscisse 0.

∆

D

_C

D’

1) Calculer g′ (0).

2) Dresser le tableau de variation de g

3) La fonction g précédente est la fonction réciproque d’une fonction f. a) Déterminer le domaine de définition de f.

b) Montrer que f est dérivable sur D_f et calculer f ′ (0) c) Dresser le tableau de variation de f.

d) Tracer, dans le même repère, la courbe Г de f.

Exercice 2

Soit U et V les suites définies sur N par ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ − = = = + ₄5U ₄1U pour tout n 1 U 4 5 et U 1 U 1 -n n 1 n 1 0 et V_n =U_n+1−U_n 1) Montrer que V est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

2) En déduire le sens de variation de U. 3) En déduireU_n en fonction de n.

4) Calculer _n

nlim→+∞U

5) Soit S la suite définie sur N par

∑

= = n 0 p p n U S a) ExpliciterS_n. b) Calculer _n nlim→+∞S Exercice 3

ABCDEFGH est un cube, I, l, J et K sont les milieux respectifs des segments [AB], [DH], [BF] et [CG] comme indique la figure ci-contre :

On munit l’espace du repère (A,AB,AD,AE). 1) Lire les coordonnées des points I, J, L et K.

2) Déterminer les coordonnées des vecteurs JI,JL,JK et JL

JI∧

3) Calculer le produit scalaire JK.JL 4) Calculer le volume du tétraèdre IJKL. 5) Calculer l’aire du triangle IJL.

Exercice 4

Dans la plan complexe muni d’un repère orthonormé (O,u,v) on donne le triangle ABC comme indique la figure ci-contre :

1) Déterminer graphiquement les affixes des points A, B et C. 2) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe

A C A B z z z z − −

et calculer son module.

3) En déduire la nature du triangle ABC. 4) Soit I le point d’affixe 2 + 3i.

a) Montrer que I est le milieu du segment [BC]. b) Calculer IA

5) Déterminer et construire l’ensemble C des points M(z) tels que z-2-3i = 5.

Exercice 5

Soi F la fonction définie par F(x) =

∫

+ ) x ln( 0 _{2 sin(t)} dt . 1) Déterminer le domaine de définition D de F. 2) Montrer que F est une fonction paire.

3) a) Montrer que si 0 < x < 1 alors F(x) 3 ) ln(x ≤ b) En déduire limF 0+

4) a) Montrer que si x > 1 alors F(x) ln(x) 3 ln(x)_{≤ ≤} b) En déduire limF ∞ + c) Calculer x F(x) lim

x→+∞ et interpréter géométriquement le résultat.

5) Montrer que F est dérivable sur D et déterminer sa fonction dérivée F′ . 6) Dresser alors le tableau de variation de F.

7) Donner l’allure de la courbe C de F dans un repère orthogonal.

CORRIGE

Exercice 1

1) On sait que, dans un repère orthogonal, le nombre dérivé de g en 0 est la pente de la tangente à sa courbe au point d’abscisse 0 donc g′ (0) = 1.

2) Par simple lecture graphique on a :

3) a) D’après le tableau de variation de g on a D_f=]-1,1[.

b) Par lecture graphique on constate que C n’a pas de tangente horizontale donc la courbe de f n’a pas de tangente verticale donc f est dérivable sur]-1,1[.

Puisque ∆ est une tangente commune de la courbe de f et celle de g alors f ′ (0) = 1. c) On sait que f et g ont le même sens de variation d’où :

: x -∞ +∞ g′ (x) + g(x) 1 -1 x -1 1 f ′ (x) + f(x) +∞ -∞

Г

d)

_C

Exercice 2 1) _{n 1 n 2 n 1 n 1 n n 1 n 1 n} V_n 4 1 ) U U ( 4 1 U U 4 1 U 4 5 U U

V ₊ = ₊ − ₊ = ₊ − − ₊ = ₊ − = donc V est une suite géométrique de

raison 4 1 1 4 5 V rme premier te de et 4 1 0 = − = . 2) On a 0 4 1 U U 1 n 1 n ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + + n

donc U est strictement croissante. 3) On a 4 1 U U₁− ₀ = 2 1 2 4 1 U U ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ………. n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 4 1 U U_{n n-1}

En additionnant membre à membre ces égalités on obtient :

4 1 1 4 1 1 4 1 ... 4 1 4 1 1 U 1 2 n − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = + n n d’où n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 4 1 3 1 3 4 U_n 4) On sait que 3 4 U lim donc 0 4 1 lim _n n n ⎟⎠ = = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞ → +∞ → n 5) a) n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑

= + 4 1 9 1 9 8 3 n 4 4 1 ... 4 1 4 1 1 3 1 3 4 ... 3 4 3 4 4 1 3 1 3 4 S n 0 p 2 termes 1) (n p n 4 4 3 4 4 2 1 b) On sait que ⎟ = =+∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ +∞ → +∞ → +∞ → n n n n 4 0donc limS 1 lim et 9 8 3 4n lim n

Exercice 3 1) I ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1,1, K et 2 1 0,1, L , 2 1 1,0, J , 0 , 0 , 2 1 2) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 2 1 2 1 2 1 JL JI et 0 1 0 JK , 2 1 0 2 1 JI , 0 1 1 JL 3) JK.JL=0×(−1)+1×1+0×0=1 4) Soit V le volume de IJKL alors V =

12 1 6 2 1 JK ). JL JI ( 6 1 = = ∧

5) Soit S l’aire du triangle IJL alors S =

4 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 JL JI 2 1 2 2 2 _{= =} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∧

6) Soit d la distance de K au plan (IJL) alors V =

3 3 3 4 4 1 4 3 4 1 S 3V d où d' S d 3 1 _{× = = = × =} Exercice 4 1) z_A =1+i,z_B =4+2iet z_C =4i 2) 1 z z z z donc 10 10 ) 3 1 )( 3 1 ( ) 3 1 )( 3 ( 3 1 3 1 4 1 2 4 z z z z A C A B A C A B _{= =} − − − = − = − − + − − − + = + − + = − − − − + = − − i i i i i i i i i i i i i 3) On a iR AB AC z z z z z z AC AB A C A B _{= ⇔ ∈ ⇔ ⊥} − −

i de plus AB = AC donc le triangle est rectangle et isocèle de

sommet principal A. 4) a) On a B C _{2 3 zI} 2 4 2 4 2 z z + ₌ + + _{= + =} i i i

donc I est le milieu du segment [BC]. b) IA = z_A −z_I = 1+i−2−3i = −1−2i = (−1)²+(−2)² = 5

5) M(z)_∈C ⇔ z−2-3i = 5 ⇔ z_M −z_I = 5 ⇔IM=IA ⇔ M appartient au cercle de centre I et de rayon IA donc C est le cercle circonscrit au triangle ABC.

1) La fonction t

sint) 2

1 +

a est continue sur R donc la fonction U définie sur R par

∫

+ = x

02 sin(t)

dt

U(x) est sa

seule primitive qui s’annule en 0.On donc F(x) = U[ln(x)] et comme la fonction x _aln(x)est définie sur R* alors D_F = R*. 2) ☻ Puisque D_F = R*. alorsx∈D_F⇔(-x)∈D_F. ☻ F(-x) =

∫

∫

+ = + ) -x ln( 0 ) x ln( 0 _{2 sin(t)} dt sin(t) 2 dt

= F(x) donc f est paire. 3) a) Soit x un réel de]0,1[alors ln(x)=ln(x)< 0.

On sait que pour tout réel t,-1 ≤ sin(t) ≤ 1 donc 1 ≤ 2 + sin(t) ≤ 3 donc 1donc

sin(t) 2 1 3 1 _≤ + ≤

∫

∫

≤

∫

≤− ≤ ≤ + ≤ 0 ln(x) 0 ln(x) 0 ln(x) ₃ ln(x) F(x) donc ln(x) - F(x) 3 ln(x) -donc dt sin(t) 2 dt 3 dt b) on a = ∞ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∞ = ∈ ≤ + + → -F lim donc - 3 ln(x) lim ]0,1[ x pour tout 3 ln(x) F(x) 0 0 x

4) a) Soit x un réel de]1, +∞ [donc ln(x) = ln(x) > 0.

On sait que pour tout réel t,

∫

∫

≤

∫

+ ≤ ≤ + ≤ ln(x) 0 ln(x) 0 ln(x) 0 dtdonc sin(t) 2 dt 3 dt donc 1 sin(t) 2 1 3 1 ) ln( F(x) 3 ln(x) x ≤ ≤ b) On a =+∞ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ +∞ = > ≥ ∞ + +∞ → F lim donc 3 ln(x) lim 1 x pour tout 3 ln(x) F(x) x

c) D’après ce qui précède on a F(x) ln( )

3 ln(x)

x

≤

≤ pour tout x > 1 donc pour tout x > 1 on a

x ln(x) x F(x) 3x ln(x) ≤ ≤ on a donc 0 x F(x) lim donc 0 ) ln( lim et 0 3 ) ln( lim 1 pour x x ln(x) x F(x) 3x ln(x) x x x = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = > ≤ ≤ +∞ → +∞ → +∞ → _x x x

x donc la courbe de F admet

une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de +∞.

5) On a dit que F(x) = U[ln(x)] or la fonction x _aln(x)est dérivable sur R* et U est dérivable sur R donc F est dérivable sur R* et on a

)]) x sin[ln( 2 ( 1 )] x [ln( U x 1 (x) F + = ′ = ′ x 6)

7)

_C