Correction devoir de contrôle n°1 4ème Sc Expérimentales Me Karboul 12 13

UNE CORRECTION POSSIBLE du devoir de contrôle n°1 de Mme Karboul du 12 / 13

Proposée par Kooli Mohamed Hechmi

Exercice 1 :

[ ]

( ) 2 ( ) 2 2013

1) La forme exponentielle de sin cos est En effet : cos( ) sin( ) sin cos

2 2

2013 3

2) Un argument de (1 ) est , alors un argument de (1 ) est 2

4 4 4 en effet i i z i e e i i z i i π θ π θ

θ

θ

π

_θ

π

_θ

_θ

_θ

π

π

_{π π}

− − = + = − + − = + = + + ≡ −

[ ]

[ ] [ ]

2 2 2 1 2 1 2 2 1 2013 3 2016 : 2 504 2 0 2 4 4 4 2 (1 1) 4 4 3) ainsi lim U 2 2 1 2 1 2 (2 1)(1 1) 0 ainsi lim U 0 2 2

( ) et ( ) convergent vers deux limites differentes , alors

n n n n n n n n n n U n n n U n U U

π

π

_{π π}

_{π π}

_π

→+∞ + _→+∞ + + + ≡ ≡ ≡ + = = = = + + + − = = = +

(U_n) n'admet pas de limite

Exercice 2 :

]

]

]

]

]

]

2 2

1) * la fonction: 4 est continue et positive sur IR en particulier sur , 0 alors la fonction: 4 est continue sur , 0

d'autre part la fonction: est continue en particulier sur , 0 d x x x x x x + −∞ + −∞ − −∞ a a a

]

]

]

[

]

[

2

onc la fonction: 4 est continue sur , 0

* la fonction: est continue en tout réel non nul , en particulier sur 0, alors la fonction: cos est continue sur 0, , comme étant composée

x x x x x x x π π + − −∞ +∞ +∞ a a a

]

[

]

[

[ ]

2

de deux fonctions continues donc la fonction: 2 cos est continue sur 0, .

2) étant continue sur 0, , alors elle est continue en particulier sur 1, 2 (1) 2 cos 2 1 1 et (2) 2 4 cos 2 0 2 2 x x x f f f f π π π + +∞ +∞ = + = − = = + = + = a

] [

2 2 2 3 3

(1) (2) alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires , l'équation ( ) admet au moins

2 2

une solution dans 1, 2

3)a/ Soit 0 , on a -1 cos 1 équivaut - cos équivaut

f f x x x x x x x π π = ≤ ≤ ≤ ≤ p p f 2 2 2 2 2 2 0 2 ₀ 0 2 0 0 0 0 2 - 2 cos 2 ainsi si 0 , 2 - ( ) 2 lim 2 - 2 b/ lim ( ) 2 lim 2 2

d'autre part lim ( ) lim 4 4 2 (0) lim ( ) lim ( ) (0) alors f est con

x x x x x x x x x x x x x f x x x f x x f x x x f f x f x f π + + + − − − + → → → → → → → ≤ + ≤ + ≤ ≤ +  = _ =  + = _ = + − = = = = = f tinue en 0

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2 0 2 2 2 lim 4 =+ 4) * lim ( ) lim ( ) lim 0 * lim cos 1 lim cos 1

alors lim 2 cos , ainsi lim ( )

( ) 4 4 * Si 0 , 1 x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x x x x x x x x π π π →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ → →+∞ →+∞  + ∞ = +∞  − = +∞ _  =  =   = _ + = +∞ = +∞ + − + ≤ = = − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 (1 ) 1 4 1 1 1 1 ( ) 4

alors lim lim 1 1 1 1 2

( 4 )( 4 ) 4 4

* lim ( ) 2 lim 4 lim lim lim 0

4 4 4 car lim 4 x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ + − + − = − = − + − = − + − = − − = − + + + − + − + = + + = = = = + − + − + − + − = + 2 0 0 0 0 0 0 0 cos ( ) 2

* lim lim lim cos

or pour x 0 , 1 cos 1 équivaut - cos lim ( ) 0

( ) 2 lim cos 0 , ainsi lim 0 lim 0 x x x x x x x x f x _x x x x x x x x x x x f x x x x x π π π π π + + + + + + + → → → → → → → ∞ − = = − ≤ ≤ ≤ ≤ − = _{ −} = =  = _ f Exercice 3 : 2 2 2 1 1 1 1 1 1) a/ 1 (1 )(1 ) ( )( ) 1 1 3 b/ D'après a/ 1 2 2 2 1 2 4 1 3 3 3 . . . k k k k k k k − + − = − + = − = × − = × 2 2 2 2 1 1 1 1

En éffectuant le produit membre à membre , on obtient :

1 1 1 1 1 1

1 1 . . . 1

2 3 2 2

1 1 donc lim lim

2 2 1 2) 1 n n n n n n n n n n n n U n n n n U n V →+∞ →+∞ − +     − =  ×      + +       = −   −   − = × =       + = = = + 1 . . . . .+ 1 2+ 3+ n

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1 1 2 termes 1 1 1 1 1 a/ 1 . . . . .+ = 2 3 1 1 1

alors 0 donc la suite ( ) est croissante. 1 1 1 1 b/ . . . + 1 2 2 1 1 Or 1 2 1 1 2 2 . . n n n n n n n n V V n n n V V V n V V n n n n n n n + + = + + + + + + + − = ≥ + − = + + + + ≥ + ≥ + 1444442444443 2 2 1 1 2 2 et on a 2 2 2 1 pour n *, 1 2 2 1 ainsi 2

c/ la suite ( ) est croissante, pour montrer qu'elle diverge vers (+ ) , il suffit de montrer qu'elle n'est pas maj

n n n n n n n n n n V V n n n IN n V V V ≥ ⇒ _{− ≥ =} ∈ ≥ ⇔ ≥ − ≥ ∞ 2 2 2 2 orée. Si la suite ( ) était majorée alors elle converge vers un réel dans ce cas la suite ( ) converge aussi vers

Alors lim 0

1 1 1

Or lim 0 ce qui est abs

2 2 2

,

n n n n n n n n n n V V V V V V V V →+∞ →+∞ − = − ≥ ⇒ _{− ≥} ⇒ _≥

l

l

urde Donc ( Vn) n'est pas majorée , alors elle diverge vers (+ ) ∞

Exercice 3 :

[ ]

[ ]

[ ]

2 3 2 3 1) a/ 2 cos 1 2 alors 2 sin 0 1 3 2 1 cos 2 2 2 alors 2 3 3 sin 2 1 3 2 1 cos 2 2 2 alors 2 3 3 sin 2 A i A B i B C i C Z Z e Z Z e Z Z e π π π

θ

θ π π

θ

θ

π

θ

π

θ

θ

π

θ

π

θ

− = = −  ≡ =  =  = + =  = − _ ≡ =   = _ = + =  = − _ ≡ − =   = − _

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{

}

[ ]

[ ]

( )

c/ 2 2

Les points , et appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.

2) tel que 2 2 est la médiatrice de 4 4 2 3) a/ ' 2 2 2 A B C Z A Z Z Z OA AB AC A B C D M Z Z Z Z Z Z Z OM AM M med OA D OA Z Z Z

ζ

= = = ⇔ = = = = = + = + ⇔ = − ⇔ = ⇔ ∈ − − + + + = + = + ( ) ( ) ( ') 4 2 2 2 2 2 alors ' 2 2 2 2 b/ 2 1 2 ' 2 2 ' 2 2 2

Ainsi si alors ' appartient au cercle de centre A et de rayon 2.

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z M D Z Z Z AM Z Z M D M = + + + = = + + ∈ ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = + + ∈ Γ

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