Systemes d'équations

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

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Fiche méthode 4 : seconde générale – Résolution de systèmes d’équations.

 Méthode de substitution : La méthode consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation et à substituer l'expression trouvée dans l'autre équation qui aura alors une seule inconnue. Exemple :        135 5 5 . 7 22 y x y x ) 2 ( ) 1 (

On exprime x en fonction de y dans (1):

       135 5 5 . 7 22 y x y x

Attention : on conserve toujours 2 équations

On remplace son expression dans (2) :

         135 5 ) 22 ( 5 . 7 22 y y y x

Résolution de (2) (qui est à présent une équation à une inconnue):

        135 5 ) 22 ( * 5 . 7 22 y y y x ssi         135 5 5 . 7 165 22 y y y x ssi        135 5 . 2 165 22 y y x ssi         165 135 5 . 2 22 y y x ssi         30 5 . 2 22 y y x ssi          5 . 2 30 22 y y x ssi       12 22 y y x

On remplace la valeur de y obtenue dans (1) :

      12 12 22 y x On calcule x :      12 10 y x Vérification : 10+12=22 et 7.5105127560135. Conclusion : S = {(10 ; 12)}.

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

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Méthode de combinaison : On peut remplacer un système par un système équivalent en remplaçant l'une des égalités par la somme des 2 égalités du système. La méthode consiste à faire apparaitre le même facteur devant l’une des inconnues dans les deux équations en multipliant les deux équations par un facteur adapté, puis à soustraire (ou ajouter) les deux équations afin d’éliminer cette inconnue. Penser à toujours

conserver 2 équations. Exemple :        5 3 9 5 2 y x y x ) 2 ( ) 1 (

On multiplie la seconde égalité par 5 (pour faire apparaître le même coefficient devant y dans (1) et (2):        25 5 15 9 5 2 y x y x

Attention : on multiplie toute l’égalité par 5

On remplace (1) par (1) + (2) (addition membre à membre) :

          25 5 15 25 9 5 15 5 2 y x y x y x

Attention : on conserve toujours 2 équations

On résout la première égalité car elle ne comporte plus qu'une inconnue :

      25 5 15 34 17 y x x        25 5 15 2 y x x

On remplace x par sa valeur dans la seconde égalité et on la résout car elle ne comporte plus qu'une inconnue:        25 5 2 15 2 y x        25 5 30 2 y x         5 5 2 y x       1 2 y x Vérification :225459et321 61 5 Conclusion : S 

 

 