Analyse numérique des options américaines dans un modèle de diffusion avec sauts

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Analyse numérique des options américaines dans un

modèle de diffusion avec sauts

Xiaolan Zhang

To cite this version:

Xiaolan Zhang. Analyse numérique des options américaines dans un modèle de diffusion avec sauts. Mathématiques [math]. Ecole des Ponts ParisTech, 1994. Français. �tel-00006407�

de Diusion avec des Sauts

Xiaolan ZHANG

CERMA{Ecole Nationale des Ponts et Chaussees

email : zhang@clio.enpc.fr

Resume

3

Summary

5

Introduction

7

1 Modele

11

1.1 Le Modele : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.2 Probabilite minimale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 1.3 L'egaliteV t= u  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21

2 Put perpetuel

29

3 Inequation Variationnelle

43

3.1 Le generateur innitesimal d'une diusion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44

3.2 Formulation variationnelle et proprietes des operateursA et B : : : : : : : 46

3.2.1 Proprietes des Aet B : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46

3.2.2 Formulation Variationnelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49

3.3 L'existence et L'unicite de la solution du probleme : : : : : : : : : : : : : : 50

3.3.1 Le probleme penalise : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

3.3.2 Demonstration du Theoreme d'existence et l'unicite : : : : : : : : : : 55

3.3.3 Lemmes de monotonie et de continuite L 1 : : : : : : : : : : : : : : : 58 3.4 Theoreme de regularite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 3.5 L'egaliteu  = u : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65 3.6 Smooth t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76

4 Localisation, Discretisation et Convergence

83

4.1 Localisation du probleme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83 4.2 L'egaliteu l  = u l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86

4.2.1 L'existence, l'unicite et la regularite du probleme localise : : : : : : : 86

4.2.2 L'egaliteu l  = u l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89 4.3 Discretisation du probleme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95 1

4.3.1 Approximation dea(
;
); K et  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 100

4.3.2 Approximation de l'operateur ~B l et de

f : : : : : : : : : : : : : : : : 101

4.3.3 Discretisation du temps : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102

4.4 Convergence de la solution du probleme discretise : : : : : : : : : : : : : : : 107

4.4.1 Etude des proprietes desB h et

A h

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107

4.4.2 Theoreme de convergence : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113

4.4.3 Monotonie de la solution discretisee : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 132

4.4.4 Aaiblissement de l'hypothese sur : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137

5 Formules d'approximations quasi-explicites

149

5.1 Approximation de Mac-Millan : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 149

5.2 Une forme approchee du prix du put americain : : : : : : : : : : : : : : : : 157

6 Resultats Numeriques

161

6.1 Volatilite implicite: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161

6.2 Resolution du probleme discretise : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 165

6.2.1 Probleme de Complementarite Lineaire : : : : : : : : : : : : : : : : : 165

6.2.2 L'algorithme de Cryer : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 166

6.2.3 L'algorithme de Brennan-Schwartz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 169

6.3 Mise en uvre des algorithmes de Brennan-Schwartz et Cryer pour le put americain: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 171

6.4 Put europeen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174

6.5 L'algorithme du put perpetuel et de Mac-Millan : : : : : : : : : : : : : : : 176

6.5.1 Put perpetuel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 176

6.5.2 L'algorithme de Mac-millan : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 177

6.6 Comparaisons du modele de Black-Scholes et du modele avec sauts : : : : : 179

6.7 Prix en fonction du temps : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 182

Resume

Le but principal de cette these est de traiter l'evaluation des options americaines dans un modele de diusion avec des sauts et de developper les methodes numeriques permettant de calculer des prix. Elle comprend d'abord une presentation de ce modele et des discus-sions des formules de prix. Puis une formule quasi-explicite d'evaluation du prix dans le cas ou l'echeance est innie (i.e : \put perpetuel") est etablite. Le chapitre 3 et le chapitre 4 presentent une methode de calcul du prix du put americain fondee sur les inequations varia-tionnelles (I.V.). Nous montrons que le prix de l'option americaine concide avec la solution d'une I.V. Nous nous interessons aux problemes de l'existence, de l'unicite et des proprietes de regularite de la solution de l'I.V. Nous etudions ensuite l'approximation de la solution de l'I.V. En localisant le probleme, nous nous ramenons a une I.V. denie dans un intervalle borne de R, qui est ensuite discretisee par la methode des dierences nies. Dans un cadre

general, R. Glowinsky, J. L. Lions et R. Tremolieres ont etudie les schemas de discretisation des inequations variationnelles et montre des theoremes de convergence sous une hypothese de coercivite assez forte. Cette hypothese n'est pas veriee dans notre probleme et le principal resultat de ce chapitre est un theoreme de convergence forte, qui semble nouveau, m^eme dans le cas d'un modele sans sauts. Dans le chapitre 5, nous proposons des formules approchees quasi-explicites s'inspirant de travaux sur le modele de Black-Scholes. Dans un premier temps, nous generalisons la methode de Mac Millan, puis nous donnons une formule exprimant le prix du put americain a l'aide du prix critique. Enn, le dernier chapitre presente les courbes de volatilite, les algorithmes de resolution du probleme discretise, l'implementation des methodes d'approximation et des resultats numeriques.

Summary

The aim of this thesis is to deal with the problem of American options pricing in a jump-diusion model and to develop some numerical methods which allow us to calculate the price. Its rst part consists of a presentation of this model and some discussions about the price formulas. Then a quasi-explicit formula for the prices of American options with innite maturity has been established. The third and fourth chapters present a method to calculate the price of an American option with the help of the variational inequalities (V.I.). We show that the price of an American option is the solution of a variational inequality. We are interested in the problem of existence, uniqueness and some regularities of the variational inequality's solution. Then we study the approximation of the solution of V.I. In a general case, R. Glowinsky, J. L. Lions et R. Tremolieres have studied the approximation schemes for variational inequalities and have proved the convergence theorem under a coercive hypothesis which is rather strong. This hypothesis is not satised in our case and the principal result in this chapter is a strong convergence theorem, which seems new even in the model without jumps. In the fth chapter, we propose two quasi-explicit formulas for the price of American options with nite maturity in this model. At rst, we generalize the Mac Millan method. And then we give an approximated formula for the American put's value with the help of the critical price. In the last chapter, we present some volatility curves, some algorithms of resolution for the discretized problem, and implementation of the approximation methods. We give also some numerical results.

Avec le developpement des marches nanciers, l'etude des options n'a pas cesse de prendre de l'importance.

Une option d'achat ou de vente (i.e call ou put ) est un titre nancier conditionnel qui donne le droit, mais non l'obligation d'acheter ou de vendre un actif determine a un prix convenu a l'avance -le prix d'exerciceK- a ou avant (selon qu'il s'agit d'une option europeenne

ou americaine) une date d'echeance determinee T -appele la maturite ou l'echeance-.

Pour obtenir ce droit d'acheter ou de vendre l'actif sous-jacent a un prix xe a l'avance, l'acheteur paie immediatement au vendeur la valeur de l'option, souvent appelee la prime. La question de la determination de la prime est le probleme du pricing : a quel prix vendre l'option a sa naissance (t = 0), ainsi qu'a l'importe quel moment dans sa vie (0  t T).

Il faut donc pouvoir determiner la prime a tout instant. Pour ce faire, on a besoin d'une modelisation mathematiques des marches nanciers.

La plupart des modeles d'evaluation d'option sont bases sur le modele de Black et Scholes. Dans ce modele, le prix de l'actif risque est une fonction continue du temps t. Plus

precise-ment, il est donne par la solution (S

t)t0 d'une equation dierentielle stochastique de la

forme : dS t S t =dt+dW t ;

ou  et  sont des constantes et (W

t)t0 un mouvement Brownien standard. Une propriete

essentielle du modele de Black-Scholes (et peut-^etre la raison de son succes) est que les formules de prix et de couverture qu'il fournit ne dependent que du seul parametre , appele

\volatilite" par les praticiens. En fait, on distingue, en pratique, deux types de \volatilite" correspondant a deux methodes d'estimation de :

 la volatilite historique est obtenue a partir des donnees historiques concernant le cours

du sous-jacent, par des methodes statistiques.

 la volatilite implicite est obtenue en inversant la formule de prix, c'est a dire qu'a un

prix d'option et a un niveau de cours donnes, on associe la valeur de qui, introduite

dans la formule de Black et Scholes, avec le cours observe du sous-jacent, donne comme prix de l'option celui observe sur le marche.

On observe que ces deux mesures de la volatilite donnent des resultats tres dierents et que la volatilite implicite varie d'une option a l'autre : on peut, par exemple, tracer une courbe de volatilite donnant la volatilite implicite en fonction du prix d'exercice et on constate que cette courbe n'est pas une droite horizontale, ce qui est en contradiction avec le modele de Black-Scholes.

Le modele que nous allons etudier permet, d'une part, d'introduire des processus a tra-jectoires discontinues pour modeliser l'evolution des cours, ce qui permet de rendre compte de variations brutales dues a des evenements rares (publications de chires economiques, evenements politiques), et, d'autre part, de fournir des formules de prix dependant de plusieurs parametres, dont l'ajustement permet de \coller" davantage aux donnees de marche. Il a ete introduit par Merton [32] en 1976. Dans [32] Merton propose des formules de prix pour les options europeennes dans un modele de diusion avec sauts. Le but principal de cette these est de traiter l'evaluation des options americaines dans ce type de modele et de developper les methodes numeriques permettant de calculer des prix. Notre travail comprend six chapitres. Les resultats principaux de cette these sont mentiones dans [42].

Nous consacrons le premier chapitre a une presentation du ce modele et des formules de prix. Contrairement au modele de Black-Scholes, le modele de diusion avec sauts de Merton n'est pas un modele de marche complet. Autrement dit, il existe des actifs conditionnels non simulables, pour lesquels il n'y a pas de couverture parfaite. Les techniques de pricing par construction d'un portefeuille simulant l'option ne sont donc pas applicables. Les formules de prix que nous adoptons correspondent a la construction de strategies minimisant le risque quadratique (cf. [21], [7]) ou localement minimisantes au sens de Schweizer (cf. [39], [40]). Pour ces dernieres strategies, on peut utiliser la notion de probabilite minimale introduite par Follmer et Schweizer dans (cf. [20], [41]). Nous discutons de l'existence d'une probabilite minimale pour le modele etudie et nous montrons que lorsque la probabilite minimale ^P

existe, le modele reste, sous ^P, un modele de diusion avec sauts.

Le deuxieme chapitre consiste a etablir une formule quasi-explicite d'evaluation du prix dans le cas ou l'echeance est innie (i.e : \put perpetuel").

Le chapitre 3 et le chapitre 4presentent une methode de calcul du prix du put americain fondee sur les inequations variationnelles.

Dans le chapitre 3, nous montrons que le prix de l'option americaine concide avec la solution d'une I.V. Les dicultes viennent des termes de sauts qui font appara^tre un operateur integral dans l'inequation parabolique. Nous commencons par expliciter pourquoi les operateurs qui vont appara^tre dans cette inequation interviennent de facon naturelle dans notre modele. Nous nous interessons ensuite aux problemes de l'existence, de l'unicite et des

proprietes de regularite de la solution de l'I.V. Les resultats obtenus etendent ceux de [24]. Dans le chapitre 4, nous etudions l'approximation de la solution de l'I.V. En localisant

le probleme, nous nous ramenons a une I.V. denie dans un intervalle borne de R, qui est

ensuite discretisee par la methode des dierences nies. Dans un cadre general, R. Glowinsky, J. L. Lions et R. Tremolieres ont etudie les schemas de discretisation des inequations varia-tionnelles(cf. [22]) et montre des theoremes de convergence sous une hypothese de coercivite assez forte. Cette hypothese n'est pas veriee dans notre probleme et le principal resultat de ce chapitre est un theoreme de convergence forte, qui semble nouveau, m^eme dans le cas d'un modele sans sauts (la demonstration de [24] se referant simplement a [22]).

Danslechapitre5, nous proposons des formules approchees quasi-explicites s'inspirant de

travaux sur le modele de Black-Scholes. Dans un premier temps, nous generalisons la methode de Mac Millan [30], puis nous donnons une formule exprimant le prix du put americain a l'aide du prix critique (cf. [34] corollaire 3.1).

Lechapitre 6presente les courbes de volatilite, les algorithmes de resolution du probleme

Modele

1.1 Le Modele

Dans le modele d'evaluation des options de Black et Scholes [5], le prix de l'actif risque est une fonction continue du temps. En 1976, Merton a introduit un modele dans lequel des discontinuites interviennent et il a propose des formules facilement calculables pour le prix des options europeennes dans ce cadre (cf. [32], [28], [6]). L'objet de notre travail est de developper des methodes numeriques permettant de calculer les formules analogues pour les options americaines.

Nous considerons des options sur un actif dont le prix est un processus stochastique (S t)t0 solution de l'equation : 8 > > < > > : S 0 = y dS t S t ? = dt+dB t+ d( Nt X j=1 U j) (1.1) ou y est le \prix spot" a l'instant 0, (B

t)t0 est un mouvement Brownien standard a valeurs

dansR, (N

t)t0 est un processus de Poisson d'intensite , (U

j)j1 est une suite de variables

aleatoires independantes equidistribuees, a valeurs dans ]?1;+1[, de carre integrable,, 

deux constantes, avec >0. LesU

j representent les valeurs relatives des sauts. Le parametre represente la frequence des sauts.

Nous supposons les tribus engendrees respectivement par (B t)t0, ( N t)t0, ( U j)j1 inde-pendantes. On noteF

t la tribu engendree par les variables aleatoires B s, N s, U j 1 f jNsg pour stet j1.

Nous supposerons de plus que le taux d'inter^et r est une constante strictement positive

et que l'on a la relation :

=r?EU 1

Cette egalite entra^ne que le prix actualise (e ?rt

S

t)t0 est une martingale de carre integrable

par rapport a la ltration (F t).

Contrairement au modele de Black-Scholes, ce modele n'est pas un modele de marche complet et le prix des options ne peut pas ^etre determine par construction d'un portefeuille de replication. Cependant, lorsque le prix actualise de l'actif risque est une martingale de carre integrable, on peut denir des strategies de couverture minimisant le risque quadra-tique (cf. [7], [21], [39]). Si on considere une option europeenne d'echeance T denie par une

variable aleatoire positiveh, F T

-mesurable et de carre integrable, la valeur a l'instantt d'un

portefeuille de couverture minimisant le risque quadratique est donnee par :

V e t = E(e ?r(T?t) hjF t)

C'est cette quantite que nous prendrons comme denition du prix de l'option a la date t. De

plus, nous verrons dans la partie numerique que ce prix nous donne des courbe \smile" sur la volatilite implicite dans le modele avec des sauts ou les variables aleatoires U

j+ 1 suivent

une loi Log-normal. Ce phenomene rapporte deux avantages.

 Premierement, il est coherent avec le point qu'on a deja indique dans l'introduction :

sur la marche reel, la courbe de volatilite sur une m^eme action n'est plus une droite horizontale, elle varie avec le prix d'exercice.

 Deuxiemement, ce phenomene nous permet d'expliquer la surestimation (resp.

sous-estimation) de la prime reelle (supposons le marche entre dans le cadre de ce modele avec sauts) en terme de surestimation (resp. sous-estimation) de la volatilite Brownienne (Voir le chapitre 6).

Notons que Merton [32] ne fait pas l'hypothese que =r?EU

1, mais ses formules de

prix peuvent s'ecrire comme des esperances conditionnelles par rapport a une probabiliteP 

equivalente a la probabilite initiale Pdu modele, telle que, sous P , (

S

t) est solution d'une

equation du m^eme type que (1.1), mais avec =r?EU

1. Du point de vue des calculs, on

est donc ramene a la situation dans laquelle nous nous placons.

Considerons maintenant une option americaine d'echeance T, permettant un prot de la forme h(S

t) quand elle exercee a l'instant t. (Pour un put :

h(y) = (K ?y)

+, pour un

call : h(y) = (y?K)

+, ou K est le prix d'exercice). Par analogie avec le cas europeen, nous

prendrons pour valeur de l'option americaine a la date t, la quantiteV t, avec V t = supess 2T t;T E(e ?r(?t) h(S ) jF t) (1.2) ouT

t;T est l'ensemble des temps d'arr^et de la ltration ( F

s)s0a valeurs dans [

t;T] et (S s)s0

est le processus deni par :

S s= ye (?  2 2 )s+B s Ns Y j=1 (1 +U j)

Le prix d'option americaineV

t deni par (1.2) est plus grand que le prix europeen V

e t . Ceci

1.2. Probabilite minimale 13

europeenne pour le droit d'exercer de maniere anticipee. Moralement, si l'on fait le choix d'une maturite aleatoire dans [0;T] (i.e. le temps d'arr^et), selon la raisonnement precedente,

le prix d'option a l'instant tdoit ^etre : E(e ?r(?t) h(S ) jF t)

En revenant a la denition d'une option americaine, il est assez naturelle de prendre le \sup" de tous ces valeurs comme le prix d'option americaine. (cf. [2], [16], [25], [39]).

Comme il n'existe pas de formule explicite pour calculer le prix d'une option americaine, on doit avoir recours a des methodes d'approximation numerique. Le but principal de cette these est l'etude de ces methodes.

1.2 Probabilite minimale

Avant etudier les methodes pour chercher le prixV

t d'une option americaine, nous faisons une

remarque sur la notion de probabilite minimale (cf. [20], [39], [41], [40]) pour ce modele. Quand la relation  =r?EU

1 n'est pas veriee, ( e

?rt S

t)t0 est seulement une semi-martingale.

Follmer et Schweizer (cf. [20], [39]) ont etudie les problemes de couverture dans les modeles de marches incomplets denis par des semi-martingales. En general, il n'y a pas de strategie de couverture minimisant le risque quadratique. Mais il y a une notion de strategie \localement de risque minimum" et de probabilite minimale introduites par Follmer et Schweizer (cf. [20], [39], [40], [41]). Il est a noter que Colwell et Elliott ont introduit une \pricing mesure" [10] qui concide avec la mesure minimale de Follmer et Schweizer [41].

Maintenant, nous considerons un espace probabilite(;F;P) muni d'une ltration (F

t)0tT.

On suppose que le processus de prix

t est une semi-martingale de la forme :  t =  0+ M t+ A t ou M

t est une martingale de carree integrable, A

t est un processus a variation nie,

absol-ument continue par rapport a < M > t, i.e A t = R t 0  s d < M > s ou  est un processus

previsible d<M > integrable. Schweizer denit (cf. [41]) une probabilite minimale ^Pde la

facon suivante :

i). ^Pest une probabilite equivalente a P.

ii). 

t est une martingale sous ^ P.

iii). P= ^PsurF 0.

iv). Toute martingale de carre integrable et orthogonale aM t sous

P est encore une

Il montre que ^Pexiste si et seulement si la solution de l'EDS : G t= 1 ? Z t 0 G s ? s dM s

est une martingale de carre integrable strictement positive. Dans ce cas, ^Pest donne par : dP^ dP      F t =G t (1.3) D'autre part, si (H 0 t ;H

t) denote une strategie veriant la condition d'integrabilite : E Z T 0 H 2 u d<M > u +( Z T 0 jH u j
djAj u) 2 ! <1 (1.4)

Alors la valeur de cette portefeuille a l'instant t: 1 V t = H 0 t + H t  t (0 tT)

et son processus de co^ut est :

C t = V t ? Z t 0 H u d u

La denition d'une strategie \localement de risque minimum" est donnee par Schweizer (cf. [40]). Nous rappelons qu'une strategie est dite \optimale" si son processus de co^utC

t est une

martingale de carre integrable et orthogonale a M t sous

P. Schweizer (cf. [41]) montre que

les trois conditions suivants sont equivalents.

 Il existe une strategie \optimal" pour l'actif conditionnelh.

 Il existe une strategie \localement de risque minimum" pour l'actif conditionnelh.  L'actif conditionnelh admet une decomposition :

h=h 0+ Z T 0 H h u d u+ L h T avech 0 2L 2( ;F 0 ;P), etH h u veriant (1.4) et L

hest une martingale de carre integrable

et orthogonale a M t sous

P.

Sous une de ces trois conditions, la strategie optimal concide avec la strategie \localement de risque minimum". Elle est donne par :

H = H h ; H 0 = V ?H
 et V t = h 0+ Z t 0 H h u
d u+ L h t (0 tT)

1.2. Probabilite minimale 15

De plus, il montre que la valeur a l'instanttde cette strategie peut s'ecrire comme l'esperance

conditionnelle sous la probabilite minimale donnee au-dessus, i.e :

V

t = ^

E

( hjF

t)

Naturellement, deux problemes se posent dans notre cas :

 Y a-t-il une probabilite minimale?  Quelle est la loi du processus (S

t) sous cette probabilite quand elle existe ? En

partic-ulier, sous cette probabilite minimale, est-ce queS

t est encore solution d'une E.D.S du

type : dS t S t ? = ^dt+ ^dW t+ d( ^ Nt X j=1 ^ U j) ouW t, ^ N t et ^ U

j ont les m^emes proprietes que B

t, N

t et U

j, mais sous la probabilite ^

P

?

On verra, d'abord, que l'existence d'une probabilite minimale entra^ne des conditions restric-tives sur ,r, et la loi des U

j.

Proposition 1.1

Si le support deU j est]

?1;+1[, alors l'existence de la probabilite minimal

^

P

equivaut a la condition suivante :

?10 (1.5) avec : = +

E

U 1 ?r  2+ 

E

U 2 1 :

Demonstration :

Considerons le prix actualise ~S t = e ?rt S t, on a, en utilisant la formule d'Ito et (1.1), dS~ t= ~ S t ?(?r+

E

U 1) dt+S~ t ?dB t+ ~ S t ?d( Nt X j=1 U j ?t

E

U 1) (1.6)

Il est clair que ~S

t admet la decomposition : ~ S t = S 0+ M t+ A t avec : A t = Z t 0 ~ S s ?(?r+

E

U 1) ds M t = Z t 0 S~ s ?dB s+ Z t 0 ~ S s ?d( Ns X j=1 U j ?s

E

U 1)

et :  s= dA s d<M > s = S~ s ?(?r+EU 1) (~S s ?) 2(  2+ EU 2 1) =  ~ S s ?

D'apres les resultats de Schweizer enonces avant, nous avons la probabilite minimale ^Pdonne

par (1.3) si et seulement si la solution de l'E.D.S.

G t= 1 ? Z t 0 G s ? s dM s

est une martingale de carre integrable strictement positive.

Donc, il sut de montrer que la solution de l'E.D.S. ci-dessus est une martingale de carre integrable strictement positive equivaut a la condition (1.5). Maintenant, notons :

~ M s = ?(B s+ ( Ns X j=1 U j ?sEU 1))  on peut ecrire : G t = 1 + Z t 0 G s ?dM~ s

Il est facile de voir que ~M

sest une martingale sous

P, et ~M 0

?= 0:En utilisant \l'exponentielle

de Doleans-Dade" (cf. [15], [19] le theoreme 13.5, ou [36] le theoreme 36 page 77), on a :

G t = exp( ?B t ?( N t X j=1 U j ?tEU 1) ? 1 2 2  2 t) Y 0st (1 +
~M s) e ?
~ Ms On peut ecrire : Y 0st (1 +
~M s) e ?
~ Ms = N t Y j=1 (1?U j) e Uj ce qui entra^ne : G t = exp( ?B t ? 1 2 2  2 t) N t Y j=1 (1?U j) e tEU1 (1.7)

D'autre part, puisque ~M

s est une martingale, de dG

t = G

s ?dM~

s, on voit facilement que G

t

est une martingale. Par ailleurs, il n'est pas dicile de voir que G

t est strictement positive

equivaut a la condition suivante :

1?
U j

>0 p.s. (1.8)

Pour conclure la demonstration de cette proposition, il nous reste a montrer que cette con-dition (1.8) est equivalente a la concon-dition (1.5).

La raisonnement est le suivant :

1.2. Probabilite minimale 17

- Quand = 0, il est clair qu'on a (1.8).

- Quand?1<0, on a : f1?U j 0g=fU j  1  g et 1  ?1

Or rappelons que lesU

j sont i.i.d et a valeurs dans ]

?1;+1[, on deduit : P(U j ?1) = 0 Ce qui entra^ne : 1?U j >0 p:s:

 D'autre part, supposons que  <?1 ou  >0, on voit que la condition (1.8) ne peut

jamais ^etre veriee. Parce que,

- dans le premier cas, comme f < ?1g= f 1 

>?1g, et en tenant compte du fait

que le support deU j est ] ?1;1[, on voit queP(U j  1 ) >0. Orf1?U j 0g= fU j  1  g, donc : P(1?U j 0) >0

ce qui entra^ne qu'on n'a pas (1.8). - dans le deuxieme cas, on a :

P(U 1 > 1  )>0 8 

ce qui implique aussi qu'on n'a pas (1.8).

Par ailleurs, rappelons que =

?r+EU 1  2 +EU 2 1

, il est a noter qu' une fois les parametres r, , ,,EU

1, et EU

2

1 sont xes,

 est une constante. Il est clair qu'on peut toujours bien choisir

les valeurs de ces parametres tel que la condition ?1 0 soit veriee. Par exemple, on

peut prendreEU

1 = 0, et choisir les restes tel qu'ils verient : r? 2 ?EU 2 1 r

ceci nous permet de deduire?10.

En conclusion, la condition (1.8) est une condition raisonnable, qui est veriee si et seule-ment si?10.

Maintenant, si l'on note  = 2+

EU 2 1, 

 est la variance du processus (~S

t)t0 (voir la

chapitre 6). Avec cette notion, la condition (1.8) devient : (?r+EU 1) U j < 2

Sous cette condition, on sait queG

t est une martingale positive. Ce qui nous donne l'existence

de la probabilite minimale sous cette condition restrictive (1.8). Ensuite, pour voir la loi du processus (~S

t) sous ^

P

, nous posons : W t = B t + t, alors (1.6) devient : dS~ t= ~ S t ? (

E

U 2 1 ?

E

U 1) dt+S~ t ?dW t+ ~ S t ? d( N t X j=1 U j)

La proposition suivante nous permet de repondre a la deuxieme question enonce au-dessus.

Proposition 1.2

Soit ~

P

une probabilite sous laquelle 1). W

t est un mouvement Brownien,

2). N

t est un processus de Poisson d'intensite ^

=(1?

E

U 1), 3). lesU j sont i.i.d et d

P

~ U 1( x) = 1?x 1?

E

U1 d

P

U 1( x), 4). (W t)t0, ( N t)t0, ( U j)j1 sont independant, alors, on a : ^

P

j F T = ~

P

j F T

Demonstration :

 Pour montrer que (W

t)0tT est un mouvement Brownien sous ^

P

, il sut de montrer

que : 8 2

R

,

L t

def_{= exp(}iW t+ 12

 2

t)

est une martingale sous ^

P

. Par (1.3), cela revient a montrer queL t

G

test une martingale

sous

P

. Partons de la denition de G t, remarquons W t = B t+ t, on a : L t G t = exp( iW t+ 12  2 t)
exp(?B t ? 1 2 2  2 t) Nt Y j=1 (1?U j) e t

E

U 1 = exp((i?)B t ? 1 2(i?) 2 t) Nt Y j=1 (1?U j) e t

E

U 1 Pour st, on a :

E

(N s Y j=1 (1?U j) e s

E

U1 jF t) =

E

0 @ N s ?N t Y j=1 (1?U j) e (s?t)

E

U1
N t Y j=1 (1?U j) e t

E

U1 jF t 1 A

1.2. Probabilite minimale 19 = Nt Y j=1 (1?U j) e tEU 1
E 0 @ Ns?Nt Y j=1 (1?U j) e (s?t)EU 1 1 A = N t Y j=1 (1?U j) e tEU1 D'ou Q N t j=1(1 ?U j) e

tEU1 est une martingale sous P.

D'autre part, le fait queB

t est un mouvement Brownien sous

P entra^ne que exp((i? )B t ? 1 2( i?) 2

t) est une martingale sous P. Donc, on deduit que L t

G

t est une P-martingale. D'ouW

t est un mouvement Brownien sous ^ P.  Pour verier que (N

t)0tT est encore un processus de Poisson sous ^

P, il sut de

montrer l'egalite suivante, pourst, s 1 s 2 


s k s, et u>0, ^ E(u Nt?Ns '(N s 1 ;N s 2 ;


;N s k)) = exp[^ (t?s)(u?1)]
E^('(N s 1 ;N s 2 ;


;N s k)) (1.9)

ou 'est une fonction borelienne, positive.

Rappelons la denition de la probabilite ^P (voir (1.3) et (1.7)), et remarquons les

hypotheses sur (B t)t0, ( N t)t0 et ( U j)j1, on deduit : ^ E(u N t ?N s '(N s 1 ;N s 2 ;


;N s k)) = E 0 @ u Nt?Ns '(N s 1 ;N s 2 ;


;N s k)
exp(?B t ? 1 2 2  2 t) N t Y j=1 (1?U j) e tEU1 1 A = Eexp(?B t ? 1 2 2  2 t)
E 0 @ u N t ?N s '(N s1 ;N s2 ;


;N s k) Nt Y j=1 (1?U j) e tEU 1 1 A Or : E 0 @ u Nt?Ns '(N s 1 ;N s 2 ;


;N s k) Nt Y j=1 (1?U j) e tE U 1 1 A = E 0 @ u Nt?Ns '(N s 1 ;N s 2 ;


;N s k) e tEU1
E[ N t Y j=1 (1?U j) jN t] 1 A = E  u Nt?Ns '(N s1 ;N s2 ;


;N s k) e tEU1(1 ?E U j) Nt  = E  u Nt?Ns(1 ?EU j) Nt?Ns 
E  '(N s 1 ;N s 2 ;


;N s k)(1 ?EU j) Ns  e tE U1 = e (t?s)[u(1?E U 1 )?1] e (t?s)EU 1
E('(N s1 ;N s2 ;


;N s k)(1 ?EU j) Ns) e sE U1 = exp[(t?s)(1?EU 1)( u?1)]
E  '(N s 1 ;N s 2 ;


;N s k)(1 ?EU j) Ns e sE U1 

en utilisant le fait que E(v N

t) = exp(

t(v ?1)). Comme ^ = (1 ?EU

1) et en

 Il est facile de voir l'independance entre (W t)0tT et (N t ;U j 1 f jN T g) sous ^ P.

Main-tenant, pour achever la demonstration, il sut de montrer que : pour t 1 t 2 


 t l T, on a l'egalite : ^ E('(U 1 ;U 2 ;


;U k)
1 fN T kg ( N t 1 ;N t 2 ;


;N t l)) = ~E('(U 1 ;U 2 ;


;U k)
1 f N T kg ( N t 1 ;N t 2 ;


;N t l)) (1.10)

Or, par (1.3), (1.7), et les hypotheses sur (B t)t0, ( N t)t0 et ( U j)j1, on a : ^ E('(U 1 ;U 2 ;


;U k)
1 f N T kg ( N t 1 ;N t 2 ;


;N t l)) = E(exp(?B t ? 1 2 2  2 t))
E 0 @ '(U 1 ;U 2 ;


;U k) 1 fN T kg ( N t 1 ;N t 2 ;


;N t l) Nt Y j=1 (1?U j) e TEU 1 1 A = E(exp(?B t ? 1 2 2  2 t))
E 0 @ '(U 1 ;U 2 ;


;U k) k Y j=1 (1?U j) 1 A
E 0 @ 1 fN T kg ( N t 1 ;N t 2 ;


;N t l) N T Y j=k+1 (1?U j) e TEU1 1 A = E '(U 1 ;U 2 ;


;U k) Q k j=1(1 ?U j) (1?EU 1) k !
E(exp(?B t ? 1 2 2  2 t))
E  1 fN T kg ( N t1 ;N t2 ;


;N t l)(1 ?EU 1) N T e TEU1  = E('(V 1 ;V 2 ;


;V k))
E~(1 f N T kg ( N t 1 ;N t 2 ;


;N t l)) ou V j a pour loi : dP V j( X) = 1 ?U j 1?EU 1 dP U j( X) D'ou (1.10).

L'egalite (1.10) a prouve aussi que, sous ^P, (N t ;t  T) et (U j ;j  N T) sont independants.

Ce qui conclut la demonstration.

En resume, dans notre cadre, sous la condition restrictive (1.8), il existe une probabilite minimale ^P. De plus, sous cette probabilite minimale ^P, S

t est encore solution d'une E.D.S

du m^eme type que (1.1).

Comme on se trouve dans un cadre de marches incomplets, le prix d'option n'est pas unique. Les formules de prix que nous adoptons correspondent a la construction de strategies

1.3. L'egaliteV t

=u 21

minimisant le risque quadratique (cf. [21], [7]) ou localement minimisantes au sens de Schweizer (cf. [39], [40]). C'est un prix possible, mais ce n'est pas le seul prix. Pour les autres prix pos-sible, nous renvoyons aux travaux de N. El Karoui et M.C. Quenez ([17], [37]). Il est a noter que les prix qu'on propose ici sont encadres par le prix maximal et le prix minimal de [17], [37].

1.3 L'egalite V t

= u



Nous revenons a la section 1.1, et nous faisons le changement de variable en posant : X t =

logS

t, alors (1.1) peut ^etre ecrit sous la forme suivante : ( X 0 = x dX t = ( ?  2 2 ) dt+dB t+ d( P N t j=1 Z j) avec Z j = ln(1 + U j) et x= lny. De plus, on pose : (x) =h(e x). On note (X t;x s (

!)) l'unique solution de l'equation dierentielle stochastique (1.11) : ( X x t = x dX s = ( ?  2 2 ) ds+dB s+ d( P Ns j=1 Z j) pour st (1.11) Elle peut ^etre explicite de la facon suivante :

X t;x s = x+ (?  2 2 )(s?t) +(B s ?B t) + Ns X j=Nt+1 Z j

On rappel que, generalement, si l'application (t;s;x) 7! X t;x s (

!) est continue pour presque

tout!, on dit que (X t;x

s ) est une version continue du ot de (1.11).

Proposition 1.3 Supposons (x) est une fonction continue sur R telle que : j (x)j  Me

Mjxj

o u M est uneconstante positive. Soit :

u ( t;x) = sup 2T t;T E(e ?(?t)r ( X t;x  )) et V(t) = supess 2T t;T E(e ?(?t)r (X ) jF t) alors u 

estfonction continue sur [0;T]R , et : V(t) =u

( t;X

t)

p:s:

La diculte de cette demonstration vient du fait que les temps d'arr^et de T

t;T peuvent

dependre du passe. Donc, on introduit, d'abord, des notations suivantes : 

T

t;T : L'ensemble des temps d'arr^et de la ltration ( F

t;s)tsT ou F

t;s est la tribu engendree

par les accroissements B u ?B t, N u ?N t, tus et U j 1 fN t <jN s g;

^

Tt;T : L'ensemble des elements deTt;T qui peuvent ^etre ecrits sous la forme = P

n

1

Annou

(An) est une suite d'evenements Ft?mesurables deux a deux disjoints etn2Tt;T.

De plus, ils ont les proprietes suivants :

(i). Les tribusFt et Ft;s sont independantes.

(ii). Pours2[t;T], on aFs=Ft_Ft;s.

(iii). On a de plus les inclusions : Tt;T T^t;T Tt;T.

Avant de montrer la proposition 1.3, on aura besoin du le lemme suivant :

Lemme 1.4

Pour tout  appartenant a Tt;T, il existe une suite (n) d'element de ^Tt;T telle

que :

n?! p:s quand n!1

Pour montrer ce lemme, il faut utiliser le resultat suivant qui peut ^etre trouve dans le livre de Neveu [35] (Voir Ex I-5-1 ).

Remarque 1.5

Si A 2F _G, alors 8">0, il existe une partition A 1 ;


;Ap de formee d'elements de F et B 1 ;


;Bp 2G tels que :

P

(A4(A 1 B 1+ A 2 B 2+


+ApBp))<"

Maintenant, on commence a montrer le lemme 1.4.

Demonstration :

(

Demonstration du lemme 1.4

)

Il sut en fait de demontrer la convergence en probabilite, qui entra^ne la convergence presque sure d'une sous-suite.

Pour un element quelconque appartient aTt;T, on peut supposer que est de la forme :  = N X j=1

1

Ajtj (1.12) avec tt 1

<


<tN T etAj deux a deux disjoint etAj 2Ftj. En eet, on peut toujours

approcher  par : m= X k

1

f k 2m< k +1 2m g k+ 1 2m

D'autre part, remarquant que les tribus Ft et Ft;tj sont independantes et Ftj =Ft _Ft;tj,

1.3. L'egaliteV t =u 23 de forme d'elements A 0 1, A 0 2 ;


, A 0 p 2 F t et pour chaque j, des evenements B j 1, B j 2 ;


, B j p 2F t;tj tels que : 2 P(A j 4(A 0 1 B j 1 [A 0 2 B j 2 [


[A 0 p B j p)) < 1 n (1.13) Maintenant, on introduit n de la facon suivante :  n= p X k=1 1 A 0 k# k (1.14) avec # k deni par : # k= t 1 1 B 1 k+t 2 1 (B 1 k)c\B 2 k +


+t N 1 (B 1 k)c


\(BN ?1 k )cBNk + T1 (B 1 k)c


(BNk)c (1.15) Evidemment, nappartient a ^ T

t;T. Donc, il sut de montrer que 

ndonne par (1.14) converge

vers  en probabilite. A partir de (1.12) et (1.14), on a : P( 6= n) = N X j=1 P(A j \f n 6 =t j g) = N X j=1 P(A j \([ p k=1( A 0 k \f# k 6 =t j g)) (1.16) Or la denition de# k (1.15) entra^ne que : f# k 6 =t j g=[ l <j B l k [(B j k) c (1.17)

2Normalement, selon la remarque 1.5, on sait que la partitionA0 1,A

0 2;

,A 0

pdepend dej, alors, pourquoi

peut-on parler d'une partition independante dej?

On prend ici un exemple pour expliquer concretement. Supposonsj= 1,Ft 1= Ft_Ft;t 1, on a une partition A1 1,A 1 2,A 1 3,A 1 4;j= 2, Ft 2= Ft_Ft;t 2, on a une partitionA 2 1,A 2 2,A 2 3,A 2 4,A 2 5; Alors, on reconstruit, de la

facon suivante, une nouvelle partitionA0 1,A 0 2,A 0 3,A 0 4,A 0 5,A 0 6,A 0 7,A 0

8 qui ne depend pas dej.

A A A A A A A A A A A A A A A 3 1 A₁2 _A2 2 3 8 0 1 1 2 1 4 1 2 4 2 5 2 1 0 2 0 3 0 0 4 5 0 7 0 6 0

Donc, si j est un nombre ni, par cette methode, on peut toujours choisir une partition A0 1, A 0 2;


,A 0 p

independante de j. D'autre part, pour chaque j, d'apres la remarque 1.5, on aB1j, B

j

2;

, Bjm 2 Ft;t j ou

mp, maismn'est pas forcement egale ap. On peut, cependant, couperBji tel quem=p. Pour l'exemple

au-dessus, on sait que, pourj= 1, on aB1 1,B 1 2,B 1 3,B 1

4, mais on peut diviserB 1

i (i= 1;2;3;4) tel qu'on a

une nouvelle partition ~B1 1, ~B 1 2, ~B 1 3, ~B 1 4, ~B 1 5, ~B 1 6, ~B 1 7, ~B 1

En eet : f# k 6 =t j g=f# k= t j g c = (\ l <j( B l k) c \B j k) c =[ l <j B l k [(B j k) c De plus, comme A 0 1, A 0 2 ;


, A 0

p sont deux a deux disjoints, de (1.16) et (1.17), et puis en

utilisant aussi les faits que :

 A j A c l 8l<j.  [ p k=1( A 0 k( B j k) c) \ p k=1(( A 0 k) c [(B j k) c) = ( [ p k=1 A 0 k B j k) c on a :

P

( 6= n) = N X j=1

P

(A j \f[ p k=1[ A 0 k \([ l <j B l k [(B j k) c)] g)  N X j=1 X l <j

P

(A j \([ p k=1 A 0 k B l k)) + N X j=1

P

(A j \([ p k=1 A 0 k( B j k) c ))  N X j=1 X l <j

P

(A c l \([ p k=1 A 0 k B l k)) + N X j=1

P

(A j \([ p k=1 A 0 k B j k) c))

Maintenant, revenant a la denition de \4

00 et utilisant (1.13), on obtient :

P

( 6= n)  N X j=1 X l <j

P

(A l 4([ p k=1 A 0 k B l k)) + N X j=1

P

(A j 4([ p k=1 A 0 k B j k))  N(N + 1) 2
1 n

Ce qui entra^ne que

n converge vers

 en probabilite quand ntend vers1.

Demonstration :

(

Demonstration de la proposition 1.3

) A partir des denitions deV(t) et u

( t;x), on sait que : V(t) = supess 2T t;T

E

(e ?(?t)r (X ) jF t) u ( t;x) = sup 2T t;T

E

(e ?(?t)r ( X t;x  ))

Puis en utilisant le lemme 1.4, et compte tenu des hypotheses sur , on peut ecrire que :

V(t) = supess 2 ^ T t;T

E

(e ?(?t)r (X ) jF t) u ( t;x) = sup 2 ^ Tt;T

E

(e ?(?t)r ( X t;x  ))

1.3. L'egaliteV t

=u 25

Soit un element  2 T^

t;T qui peut ^etre ecrit de la facon suivante :  = P n 1 An  n avec A 1 ;


;A n F t

?mesurables, deux a deux disjoints et  n 2T t;T, on a : E(e ?(?t)r ( X ) jF t) = X E(1 A n
e ?(n?t)r ( X  n) jF t) = X n 1 An E(e ?(n?t)r ( X n) jF t)  sup n E(e ?(n?t)r ( X  n) jF t)

D'autre part, en utilisant l'independance des n et de F t, E(e ?(?t)r ( X t;x  )) = X (E(1 A n
e ?( n ?t)r ( X t;x n)) = X P(A n)
E(e ?(n?t)r ( X t;x n))  sup n E(e ?(n?t)r ( X t;x n)) X n P(A n)  sup n E(e ?(n?t)r ( X t;x n)) Or :  T t;T T^ t;T T t;T On a, donc : V(t) = supess 2  T t;T E(e ?(?t)r ( X ) jF t) u ( t;x) = sup 2  T t;T E(e ?(?t)r ( X t;x  )) Comme le processus (X

t) est la solution de l'equation (1.11), on a, alors : X s= X t;X t s pour st

ce qui donne, pour tout temps d'arr^et  2T t;T, E(e ?(?t)r ( X ) jF t) = E(e ?(?t)r ( X t;Xt  ) jF t) De plus, si 2T t;T, utilisant l'independance de  et F t, on a : E(e ?(?t)r ( X t;Xt  ) jF t) = F t;Xt( ) avec F t;x( ) =E(e ?(?t)r ( X t;x  )) D'ou : V(t) = supess 2  T t;T F t;X t( )

Or u ( t;x) = sup 2  T t;T F t;x(

), pour acheve la demonstration, il sut de montrer le supess

s'identie au sup. Pour cela, on regarde :

jF t;x( )?F t;y( )j 

E

je ?(?t)r( ( X t;x  ) ? (X t;y  )) j 

E

j (X t;x  ) ? (X t;y  ) j 

E

( sup ts<T j (X t;x s ) ? (X t;y s ) j) or : X t;x s = x+ (?  2 2 )(s?t) +(B s ?B t) + N s X j=Nt+1 Z j X t;y s = y+ (?  2 2 )(s?t) +(B s ?B t) + N s X j=N t +1 Z j

et x 7! (x) est une fonction continue, on a, alors, que : pour t xe, la famille de fonction x7!F

t;x(

) est equicontinue. D'autre part, puisque j (x)j Me

Mjxj, on deduit : sup 2  T t;T

E

(e ?(?t)r (X t;x  )) M sup 2  T t;T

E

e MjX t;x  j <1

En utilisant le lemme 1.6 [23] suivant, et remarquant que :

u  (t;x) = sup 2  T t;T F t;X t( ) on sait que x 7!u (

t;x) est continue et qu'il existe une partie denombrableT 0 de  T t;T telle que : u ( t;x) = sup 2T 0 F t;Xt( ) = supess 2  T t;T F t;Xt( ) =V(t) La continuite deu

 peut ^etre obtenue par la m^eme technique que dans le cas sans sauts (Voir

[24]).

Lemme 1.6

Soit ('

j)j2J une famille equicontinue de fonction de

R

n dans

R

, telle que

supj2J '

j(

x)<1pour toutx. Alors la fonction denie par(x) = sup j2J

' j(

x) est continue.

De plus, il existe une partie denombrable J 0 de

J telle que(x) = sup j2J

0

'(x) pour tout x.

Avant de terminer ce chapitre, on enonce un corollaire de la proposition 1.3, qui se sert dans le chapitre de Put perpetuel. NotonsT

0;1l'ensemble de tous les temps d'arr^et de la ltration

de F

t denie dans la section 1.1. T

t;1 l'ensemble des elements de T

0;1 a valeurs superieures

a t (pour t0).

Corollaire 1.7

Sous les m^eme hypotheses que la proposition 1.3, et de plus supposons est une fonction bornee. Soit :

V 1 = supess 2T t;1

E

(e ?(?t)r

1

f<1g ( X ) jF t) U 1( x) = sup 2T 0;1

E

(e ?r

1

f <1g ( X 0;x  ))

1.3. L'egaliteV t =u 27 Alors, V 1 =U 1 (X t)

Demonstration :

Tout d'abord, il n'est pas dicile de voir que : sup 2Tt;1

E

(e ?(?t)r

1

f<1g ( X t;x  ))

a une valeur independante det. On peut donc ecrire : U 1 (x) = sup 2Tt;1

E

(e ?(?t)r

1

f <1g ( X t;x  ))

Gr^ace a la proposition 1.3, on sait que :

V(t) =u  (t;X t) avec : V(t) = supess 2T t;T

E

(e ?(?t)r ( X ) jF t) u ( t;x) = sup 2T t;T

E

(e ?(?t)r ( X t;x  ))

pour quelconquet xe. Posons :

~ V(T;t) = V(t) = supess 2T t;T

E

(e ?(?t)r (X ) jF t) ~ U(T;t;X t) = u ( t;X t) = sup 2T t;T

E

(e ?(?t)r ( X t;x  )) j x=X t

Il n'est pas dicile de voir que ~V(T;t), ~U(T;t;x) sont des fonctions croissantes deT

respec-tivement et 8T, on a : ~ V(T;t)V 1 ; U~(T;t;X t) U 1 (X t)

D'autre part, soit  2F

t;1, puisque est bornee, on a :

E

(e ?r(?t)

1

f=1g ( X t;x  )) = 0 Ce qui entra^ne :

E

(e ?r(?t)

1

f<1g ( X t;x  )) =

E

(e ?r(?t) ( X t;x  )) =

E

(e ?r(^T?t) (X t;x ^T)

1

f Tg) +

E

( e ?r(?t) (X t;x  )

1

f>Tg) =

E

(e ?r(^T?t) ( X t;x ^T)) +

E

( e ?r(?t) ( X t;x  ) ?e ?r(^T?t) ( X t;x ^T))

1

f >Tg)

A partir des denitions de ~U(
;
;
) etU 1(

), et remarquons que est borne, on deduit, alors, U 1( X t) U~(T;t;X t) + Ce ?rT 8 T D'ou : lim T!1 ~ U(T;t;X t) = U 1( X t)

De m^eme, on peut montrer que :

lim T!1 ~ V(T;t) =V 1 Or : ~ V(T;t) = ~U(T;t;X t) donc, on a : V 1= U 1( X t)

En resume, apres les analyses qu'on a fait dans cette section, on sait que, pour calculer le prixV

t d'une option americaine dans ce modele, il sut de determiner la fonction u

 denie

Put perpetuel

Ce chapitre est une version detail de [43]. Le but de cette section est d'etablir une formule quasi-explicite pour calculer le prix d'un put \perpetuel" dans ce modele. Cette formule est une generalisation de celle de Merton ([31] page 173-174). Nous rappelons qu'un put \perpetuel" signie que nous pouvons exercer l'option a tout moment sans limite d'echeance. C'est a dire que la date d'echeance T est egale a l'inni.

Il n'est pas dicile de voir que l'expression suivante : sup 2T t;1 E[e ?r(?t)( K?ye (?  2 2 )(?t)+(B?Bt) N  Y j=Nt+1 (1 +U j))+ 1 f <1g]

a une valeur independante det. Notons : V 1( y) = sup 2T0;1 E[e ?r( K?ye (?  2 2 )+B  N Y j=1 (1 +U j))+ 1 f <1g] V 1( S

t) s'interprete naturellement comme le prix d'un put \perpetuel" a l'instant

t, avec le

prix d'exerciceK.

Le but de ce paragraphe est d'expliciter la fonctionV 1(

y). On verra, (dans le lemme 2.5)

qu'il est commode de faire le changement de variable :x= lny. Dans le cas du put, rappelons

que : (x) = (K?e x) +, et si l'on note : u 1( x) = sup 2T0;1 E[e ?r ( x+ (?  2 2 ) +B + N X j=1 Z j) 1 f<1g] (2.1) avec Z j = ln(1 + U

j), il est evident que : V 1( y) =u 1(ln y) = u 1( x). Maintenant, il sut d'expliciter la fonction u 1(

x). Pour cela, on introduit, d'abord, le systeme (2.2) ci-dessous,

(dans lequel x  est inconnue) : 8 > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > : Au+Bu = 0 pour x>x  u(x) = K?e x pour xx  u(x) est continue en x  du(x) dx est continue en x  Au =  2 2 d 2 u d 2 x + (?  2 2 ) du dx ?ru Bu =  Z (u(x+z)?u(x))(dz) x   lnK (2.2)

ou  est la loi de Z

1. On cherche une solution du systeme (2.2) ci-dessus, sous la forme :

 u(x) = ( K?e x si xx  e x si x>x  ou , , x

 sont des constantes a preciser. Supposons que

E

e

Z1

< 1, on verra, dans la

proposition 2.1, que cette solution u a une forme quasi-explicite. De plus, elle est egale, en

fait, a la valeur de u 1(

x). (Voir le theoreme 2.3).

Proposition 2.1

Une solution de (2.2) est donnee par les formules suivantes :  u(x) = ( K?e x si xx  (K?e x  )e (x?x  ) si x>x  (2.3) avec x  = ln( ?K 1? ) et  est l'unique solution negative de l'equation suivante :

 2 2  2 + (?  2 2 )?(r+) +

E

(e Z 1) = 0 (2.4)

Demonstration :

 Tout abord, on doit montrer que l'equation (2.4) a une et une seule racine negative. En

eet, posons : () =  2 2  2+ ( ?  2 2 )?(r+) +

E

(e Z 1) On voit que :  0 () =  2 + (?  2 2 ) +

E

(e Z 1 Z 1)  00( ) =  2+ 

E

(e Z1 Z 2 1)  2 >0

ce qui entra^ne que la fonction  7! () est une fonction convexe. Or (0) =?r est

strictement negative, et lim!?1

() = +1, on peut donc dire que (2.4) a une et une

seule racine negative.



Determination de



.

Puisque l'on cherche une solution du (2.2) de la forme suivante :  u(x) = ( K?e x si xx  e x si x>x  En remplacant u(x) pare

x dans la premiere equation de (2.2), on obtient :  2 2  2 e x+ ( ?  2 2 )e x ?re x+  Z (e (x+z) ?e x) (dz) = 0 pour x>x  D'ou :  2 2  2 + (?  2 2 )?(r+) +

E

e Z 1 = 0

Selon la premiere partie de cette demonstration, on sait deja que cette equation a une et une seule racine negative. On la note.



Determination de



et

x 

.

D'autre part, puisqueu(x) est continue en x , du(x) dx est continue en x , on a : e x  = K?e x  e x  = ?e x  D'ou  = K?e x  e x  x  = ln( ?K 1? ) De plus, comme est negative,x



lnK et  0. On obtient nalement les resultats

enonces dans la proposition.

Proposition 2.2

La fonction u(x) donnee par (2.3)verie : 8 > < > : Au+Bu0  u (Au+Bu)(u? ) = 0

Demonstration :

On verie, d'abord, que :Au+Bu0. A partir de la forme explicite de



 si xx , 

u(x) =K?e

x, en revenant aux denitions des operateurs

Aet B, on a : Au = ?  2 2 e x ?(?  2 2 )e x ?r(K?e x) = ?(?r)e x ?rK Bu =  Z (K?e x+z ?K+e x)) (dz) = e x Z (1?e z )(dz) = ?e x EU 1

D'ou, en utilisant la relation ?r+EU 1 = 0, Au+Bu = ?(?r+EU 1) e x ?rK = ?rK  0  Si x> x ,  u(x) = e x avec  = K?e x  e x

 , en revenant, de nouveau, aux denitions des

operateursA et B, on a : Au = (  2 2  2 e x+ ( ?  2 2 )e x ?re x) = e x(  2 2  2+ ( ?  2 2 )?r) Bu =  Z (e (x+z) ?e x) (dz) = e x E(e Z ?1) D'ou, en remarquant (2.4), Au+Bu = e x(  2 2  2+ ( ?  2 2 )?r?+Ee Z1) = 0 ce qui impliqueAu+Bu0.

Maintenant, il nous reste a verier u(x) (x). A partir de la denition de u(x), on sait

que :  si xx ,  u(x) =K?e x = ( x) ;  si x > x ,  u(x) = e x avec  = K?e x  ex 

 0, on a aussi u(x)  (x). En eet, pour x>lnK, (x) = 0, on deduit :



u(x) =e x

0 = (x)

Il, donc, reste a verier le cas oux  <x<lnK. Si l'on note : (x) =e x ?(K?e x)

On voit que : 0 (x) = e x +e x 00( x) =  2 e x+ e x 0

Ce qui implique que 0(

x) est une fonction croissante dans [x  ;lnK], et de plus, comme la fonction du(x) dx est continue en x , on a : e x  =?e x  D'ou : 0( x

) = 0. Ce qui entra^ne que 0(

x) 0 pour [x 

;lnK]. On deduit donc que

(x) est une fonction croissante dans [x  ;lnK]. Or (x ) = e x  ?(K ?e x  ) = 0 a cause de la continuite de u(x) en x . D'ou (

x) 0, ce qui dit, pour x  < x <lnK, on a aussi :  u(x) (x)

Theoreme 2.3

Soit u 1(

x) la fonction deniepar (2.1), on a alors : u

1(

x) = u(x) o u u(x) est donnepar (2.3).

Ce theoreme peut ^etre montre par les methodes de [3], [4], [23]. Le point essentiel de la demonstration de ce theoreme est de montrer :

e ?rt u(X x t) ? Z t 0 e ?rs( Au+Bu)(X x s) ds

est une martingale. Pour cela, on aura besoin utiliser la formule d'Ito. Il est clair que la fonction u donnee par (2.3) n'est pas de classeC

2, mais on a : du dx = ( ?e x pour xx  (K?e x  )e (x?x  ) pour x>x  et d 2 u dx 2 = ( ?e x pour xx   2( K?e x  )e (x?x  ) pour x>x 

au sens des distributions. En plus, par calcul, il n'est pas dicile de verier que u donnee

par (2.3) appartient a W 2;2;(

R

), pour  0, ouW 2;2;(

R

) = ff 2L 2(

R

; e ?jxj dx)jf (j) 2 L 2(

R

; e ?jxj

dx) j= 1;2g(pour la denition plus general de cet espace, voir la section 3.2.1).

On a donc :

ju(x)jCe  2

par consequent de la remarque 3.21. En plus, la fonction u a les proprietes suivant : 0u(x)K j du(x) dx je x  j d 2 u(x) dx 2 jC (2.6) ouC = maxfe x  ; ?e x 

g. Pour verier (2.6), il sut de remarquer les faits0,negative

et les relations entre ,  et x

 (Voir les processus pour obtenir les valeurs de

,  dans la

demonstration de la proposition 2.1). Avant de commencer a montrer la theoreme 2.3, on introduit, d'abord, deux lemmes suivants.

Lemme 2.4

Soit u(x) une fonction de classe C

2 bornee ainsi que ses derivees et X t une solution de ( X 0 = x dX t = ( ?  2 2 ) dt+dB t+ d P N t j=1 Z j alors, le processus M t = e ?rt u(X x t ) ? Z t 0 e ?rs( Au+Bu)(X x s) ds

est une martingale.

Demonstration :

Ce lemme est un resultat classique. On donne ici seulement des grandes lignes dans sa demonstration.

En utilisant la formule d'Ito et en remarquant les denitions des operateurs A et B, on

peut ecrire : M t = u(x) + Z t 0 e ?rs @u @x dB s+ L t ou : L t = N t X j=1 [e ?e j( u(X  j) ?u(X  ? j ))]? Z t 0 e ?rs Z (dz)(u(x+z)?u(x))

Par l'hypothese du lemme, il n'est pas dicile de voir que :

E

(Z t 0  2 e ?2rs( @u @x )2 ds)<1

ce qui entra^ne que :u(x) + R t 0 e ?rs @u @x dB

s est une martingale. D'autre part,comme

u(x) est bornee, on deduit :

E

(Z t 0 ds Z (dz)(e ?rs (u(x+z)?u(x)) 2 )<1

En appliquant le lemme 2-2 Chapitre 7 dans [28], on voit que L

Le lemme suivant nous donne une estimation et qui se sert dans la demonstration du theoreme 2.3 quand nous faisons passer a la limite. Mais avant de le montrer, rappelons, d'abord, que X

s est le ot de l'equation dierentielle stochastique (1 :11) : 8 > > < > > : X t = x 0 dX s = ( ?  2 2 ) ds+dB s+ d( N s X j=1 Z j) pour st Soient p(t;x 0; s;x) la densite du ot X s et g(t;x 0;

s;x) la densite de la variable aleatoire x 0+ ( ?  2 2 )( s?t) +(B s ?B t), alors, on a :  la fonction de la densiteg(t;x 0;

s;x) est donne par : g(t;x 0; s;x) = 1 p 2(s?t) exp ? (x?[x 0+ ( ?  2 2 )( s?t)]) 2 2(s?t) 2 ! (2.7)

 D'apres l'independance entre (B s)s0

; (N

s)s0 et ( U

j)j1, on peut ecrire la densite du

otX s sous la forme : p(t;x 0; s;x) = Z g(t;x 0; s;x?y) t;s( dy) = ( t;s g(t;x 0; s;
))(x) (2.8) ou 

t;s est la loi de la variable aleatoire Ns X j=Nt+1 Z j

Lemme 2.5

Soit'2L 2 l oc(

R

), et soit pour R>0,

Rle temps de sortie de l'intervalle ouvert O R =] ?R ;+R[ :  R= inf fs0jX s 62O R g On a alors :

E

[Z  R 0 e ?rs j'(X s) jds]Ck'k L 2 (O R )

ou C est une constante ne dependant ni de ' ni de R.

Demonstration :

A partir de la denition de

R et la fonction p(0;x 0; s;x), il est facile de voir que :

E

(Z  R 0 e ?rs j'(X s) jds) 

E

Z 1 0 e ?rs j'(X s) j

1

fjXsjRg ds = Z 1 0 ds Z O R dx
e ?rs j'(x)j
p(0;x 0; s;x)

De plus, en utilisant l'inegalite de Holder et (2.8),

E

(Z  R 0 e ?rs j'(X s) jds)  ( Z 1 0 e ?rs dsk'k 2 L 2 (O R )) 1=2( Z 1 0 ds Z O R e ?rs( p(0;x 0; s;x)) 2 dx) 1=2  r ? 1 2 k'k L 2 (O R )( Z 1 0 e ?rs k 0;s g(0;x 0; s;
)k 2 L 2 ds) 1=2 puisque

0;s est une mesure de probabilite, on deduit : k 0;s g(0;x 0; s;
)k L 2 = k Z g(0;x 0; s;
?y) 0;s( dy)k L 2  Z kg(0;x 0; s;
?y)k L 2 0;s( dy) = kgk L 2 En utilisant (2.7), on a : Z 1 0 e ?rs kgk 2 L 2 ds = Z 1 0 dse ?rs Z dy 1  p 2 p s exp(? [y?(y 0+ ( ?  2 2 ) s)] 2 2 2 s ) ! 2 = Z 1 0 dse ?rs Z dz
( 1  p 2 p s )2 e ? z 2  2 s = Z 1 0 ds p s e ?rs Z dz
( 1  p 2 )2 e ? z 2  2  C D'ou :

E

[Z  R 0 e ?rs j'(X s) jds]Ck'k L 2 (O R )

Maintenant, on va montrer le theoreme 2.3.

Demonstration : ( Demonstration du theoreme 2.3 )

On le fait en deux etapes :

1). Le point essentiel est de montrer l'egalite :

E

(e ?r u(X )) =

E

 u(X 0) +

E

( Z  0 (Au+Bu)e ?rs ds) (2.9)

pour tout temps d'arr^et  a valeur dans [0;1[:

Il n'est pas dicile de voir que la fonction denie par :  u(x) = ( K?e x pour xx  (K?e x  )e (x?x  ) pour x>x 

est une fonction uniformement continue surR. De plus, par (2.6), on sait que uj O R 2 W2;2( OR), pour tout R >0.

Maintenant, soit (m) une suite de fonction de classe C1 sur

R a support compact, m  0 et R mdx = 1 avec suppm ]? 1 m; 1 m[. On pose : um = um, alors um appartient aC1(

R), um converge uniformement vers u sur R. Aum converge vers Au

dansL2(

OR) du fait que u2W 2;2(

OR) et lemme 3.22, et en plus, on peut deduire que

Bum converge vers Bu dansL2(

OR). En eet, puisque : jBum?Buj = j Z [um(x+z)?u(x+z)](dz)?[um(x)?u(x)]j  ( Z kum?ukL 1(dz) + kum?ukL 1)  2kum?ukL 1 D'ou kBum?Buk 2 L2 (O R ) = Z O R jBum?Buj 2dx  4 2mes( OR)kum?uk 2 L1

En utilisant le fait queum converge vers u uniformement surR, on obtient Bum

con-verge vers Budans L2( OR).

Par ailleurs, commeum = um= R  u(x?y)m(y)dy, d'ou : jumjjujL 1 Z m(y)dy=jujL 1 C

par consequent des faits queR

mdy= 1 et 0uK,Cest une constante independant

de m.

Maintenant, pour montrer (2.9), on remarque queum 2C 1(

R), ce qui permet d'utiliser

le lemme 2.4, on a donc : Mt =e?r(t^R)u m(Xt^ R) ? Z t ^ R 0 e?rs(Au m+Bum)(Xs)ds

est une martingale. D'ou, par le theoreme d'arr^et, pour tout temps d'arr^et  a valeur [0;1[, E(e ?r(^ R )u m(X^ R)) = E(um(X 0)) + E( Z  ^ R 0 e?rs(Au m+Bum)(Xs)ds) (2.10)

En utilisant le lemme 2.5 et remarquant les faits queAumconverge versAudansL2( OR)

et Bum converge vers Bu dansL2(

OR), on a : E[ R ^ R 0 e ?rs(Au m+Bum)(Xs)ds? R ^ R 0 e ?rs(Au+Bu)(X s)ds]  CkAum+Bum?Au?BukL2 (O R ) ! 0 m!1

De plus, puisqueum converge uniformement vers u surR, d'ou : E(e ?r(^ R ) um(X ^ R)) ?! E(e ?r(^ R ) u(X ^ R)) E(um(X 0)) ?! E(u(X 0))

On obtient (2.10) pouru au lieu de um.

Pour obtenir (2.9), il faut faire tendre R vers l'inni. Remarquons la proposition 2.2,

on sait que Au+Bu 0, alors R ^ R 0 e ?rs( Au+Bu)(Xs)ds est decroissant en R. On a, donc, E Z  ^ R 0 e ?rs( Au+Bu)(Xs)ds?!E Z  0 e ?rs( Au+Bu)(Xs)ds

en appliquant le theoreme de convergence monotone. D'autre part, on a aussi :

E(e ?r(^ R ) u(X ^ R)) ?!E(e ?r u(X))

a cause de (2.6) et le theoreme de Lebesgue. D'ou (2.9).

2). Selon la proposition 2.2, on sait queAu+Bu0. De plus, en tenant compte de l'egalite

(2.9), on deduit quee ?rt

u(Xt) est une sur-martingale. D'autre part, en remarquant, de

nouveau, la proposition 2.2, on voit que u majore . D'ou :



u(Xt)u 1

(Xt) p:spour t2[0;1[

En eet, pourtquelconque xe dans [0;1[, on a : e ?rt u(Xt)  E(e ?r u(X)jFt)  E(e ?r ( X)jFt) D'ou :  u(Xt)  supess 2T t;1 E(e ?r(?t) 1 f<1g ( X)jFt) = supess 2T t;1 E(e ?r(?t) 1 f<1g ( Xt;x)) = u 1( Xt)

Par ailleurs, si on pose :

t = inffst j (Xs) = u(Xs) g

= inffst j Xsx 

g

Alors, on a : (Au+Bu)(X s) = 0 p:ssur fs< t g puisque 8x>x  ( Au+Bu)(x) = 0 Ce qui donne : Z  t e ?rs (Au+Bu)ds= 0 p:s D'ou, on conclut : E(e ?rt  u(X t)) = E(e ?r t 1 f t <1g u(X t))

Par ailleurs, de (2.6) et les inegalites 0 u  K, 0  (x) = (K?e x) +  K, on a alors : 0E(e ?rt 1 f t=1g u(X t)) KE(e ?rt 1 f t=1g) = 0 avec la convention e ?r1= 0. D'ou : E(e ?r t 1 f t=1g u(X t)) = 0 De m^eme : E(e ?rt 1 ft=1g( X  t)) = 0

Maintenant, en utilisant le fait que u(X

t) = ( X t) et le corollaire 1.7, on deduit : E(e ?rt u(X t)) = E(e ?rt u(X  t)) = E(e ?r t ( X t)) = E(e ?rt 1 ft<1g ( X t)) = E(E(e ?rt 1 f t <1g ( X  t) jF t))  Ee ?rt u 1 (X t) D'ou :  u(X t) u 1( X t) p:s Par consequent :  u(X t) = u 1 (X t) p:s Ce qui donne, u et u 1 etant continue :  u(x) =u 1 (x)

Le theoreme 2.3 donne une majoration du prix d'un put americain d'echeance nie. Puisque le prix du put americain est donne par :

u(t;x) = sup 2T t;T E(e ?r(?t) (K?xe (?  2 2 )(?t)+(B  ?B t ) N Y j=Nt+1 (1 +U j))+)  sup 2T t;1 E(e ?r(?t)( K?xe (?  2 2 )(?t)+(B?Bt) N  Y j=Nt+1 (1 +U j))+ 1 f<1g)

On verra, dans le chapitre 6, les resultats numeriques sont concide avec cet inequalite. D'autre part, il est clair que ce theoreme nous permet de calculer numeriquement le prix d'un put \perpetuel". Evidemment, le calcul essentiel est de resoudre l'equation (2.4), ce qui peut se faire, par exemple, par la methode de Newton.

On note encore la fonction () egale au membre gauche de (2.4), on sait que (0) <

0, lim!?1

() > 0 et la derivee second  00(

) est strictement positive, en plus, on a

lim!?1 

0(

)<0, on peut donc choisir une valeur initial

0 telle que  0(  0) <0 et prendre :  n+1=  n ? ( n)  0(  n)

En plus, on verra qu'on peut expliciter la valeur de dans certains cas speciaux :  On suppose que U

1 a m^eme loi que e

g

?1 ou g est la loi exponentielle de parametre 

0. C'est a dire de loi 1 fx>0g  0 e ?0x dx. Comme Z 1 = ln(1 + U 1), d'ou Z 1 a pour loi 1 fx>0g  0 e ? 0 x dx. On calcule : E(e Z1) =  0 Z x>0 e x
e ?0x dx = ?  0 ? 0 si < 0

Alors l'equation (2.4) peut s'ecrire sous la forme suivante :

 2 2  2+ ( ?  2 2 )?(r+)?  0 ? 0 = 0

Par un petit arrangement, l'equation precedente peut s'ecrire sous la forme suivante :

 2 2  3 + (?(1 + 0)  2 2 ) 2 ?(r++ 0( ?  2 2 ))+r 0 = 0 (2.11) Posant : a 3 =  2 2 >0 a 2 = ?(1 + 0)  2 2 a 1 = ?(r++ 0( ?  2 2 )) a 0 = r 0

En divisant par a

3 dans l'equation (2.11) et en posant

y=+ a 2 3a 3 , on obtient : y 3+ py+q = 0 (2.12) ou : p = ? a 2 2 3a 2 3 + a 1 a 3 =? 1 3a 2 3 (a 2 2 ?3a 1 a 3) q = 2 a 3 2 27a 3 3 ? a 2 a 1 3a 2 3 +a 0 a 3 = 1₂₇ a 3 3 (2a 3 2+ 27 a 0 a 2 3 ?9a 1 a 2 a 3)

Les trois solutions de (2.12) sont alors donnees par :

y 1 = 3 s ? q 2 + r (q 2)2+ ( p 3)3+ 3 s ? q 2? r (q 2)2+ ( p 3)3 y 2 = w 3 s ? q 2 + r (q 2)2+ ( p 3)3+ w 2 3 s ? q 2 ? r (q 2)2+ ( p 3)3 y 3 = w 2 3 s ? q 2 + r (q 2)2+ ( p 3)3+ w 3 s ? q 2 ? r (q 2)2+ ( p 3)3 ou : w= ?1 +i p 3 2 ; w 2 = ?1?i p 3 2 (i 2 = ?1) on obtient alors :  1 = y 1 ? a 2 3a 3  2 = y 2 ? a 2 3a 3  3 = y 3 ? a 2 3a 3

Il n'est pas dicile de voir que 

1 est la solution cherchee.  On suppose que U

1 a m^eme loi que e

g

?1 ou g est la loi de  2 a

n degre de liberte,

c'est a dire de loi 1 fx>0g 1 2n=2?( n 2) x n 2 ?1 e ? x 2

dx. On etudie deux cas speciaux : n= 2 et n= 4. Quandn= 2, c'est un cas particulier du cas precedent.

Quandn= 4, E(e Z1) = 1 4?(2) Z fx>0g xe x? 1 2 x dx= 1 4?(2)(? 1 2) 2 si < 1 2 alors, l'equation (2.4) peut s'ecrire sous la forme suivante :

 2 2  2+ ( ?  2 2 )?(r+) + 1 4?(2)(? 1 2) 2 = 0

i.e :  2 2  4 +(? 2 ) 3 +( 5 8  2 ??r?) 2 +( 1 4 (?  2 2 )+r+)? 1 4 (r+? 1 ?(2) )=0 (2.13) Posant : a =  2 2 b = ? 2 c = 5 8  2 ??r? d = 1 4 (?  2 2 )+r+ e = ? 1 4 (r+? 1 ?(2) )

Onpeutecrire (2.13) par:

a 4 +b 3 +c 2 +d+e=0

Inequation Variationnelle

Selon la proposition 1.3, le calcul du prix d'une option americaineV

t se ramene au calcul de la

fonctionu (

t;x). Le lien entre le probleme d'arr^et optimal et les inequations variationnelles a

ete degage par A. Bensoussan et J.-L. Lions (cf. [3], [4] ), et ces methodes ont ete appliquees aux options americaines pour les modeles de diusion dans [24]. Dans ce chapitre, nous utilisons la methode des inequations variationnelles pour chercher une valeur approchee de

u (

t;x). Et on montrera u (

t;x) est la solution unique de l'inequation parabolique suivante,

sous certains hypotheses de regularite a preciser.

8 > > > > > > < > > > > > > : @u @t +Au+Bu  0 u  (@u @t +Au+Bu)( ?u) = 0 9 > > > = > > > ; p.p. dans [0,T] R u(T;
) = (3.1) On peut l'ecrire sous une forme plus simple suivant :

8 < : maxf @u @t +Au+Bu; ?ug = 0 dans [0,T] R u(T;:) = (3.2) ou Au=  2 2 @ 2 u @x 2 + ( ?  2 2 ) @u @x ?ru Bu= Z (u(t;x+z)?u(t;x))(dz)

ou  est la loi de variable aleatoire Z

1= ln(1 + U

1).

Le travail qu'on va faire sera en deux parties en suivant les methodes de [3], [4], [24]. 1. Montrer l'existence et l'unicite de la solution du probleme (3.1) (voir la section 3.3). 2. Montrer que la solution de (3.1) est egale au

(

t;x) sous certaines hypotheses.

Les dicultes viennent des termes de sauts qui font appara^tre un operateur integral dans l'inequation parabolique. Avant d'etudier le probleme (3.1), (3.2), nous expliquons pourquoi les operateurs A et B interviennent de facon naturelle dans notre modele.

3.1 Le generateur innitesimal d'une diusion

Comme dans le chapitre 1, on note (X

t)t0 la solution de l'equation dierentielle

stochas-tique (1.11). Maintenant, on calcule son generateur innitesimal.

Proposition 3.1

Le generateur innitesimal de (X

t)t0 est donnee par :

(A+B)f(x) =  2 2 @ 2 f @x 2 + ( ?  2 2 ) @f @x + Z (f(x+z)?f(x))(dz)

pour toute fonction f bornee ainsi que ses derivees.

Demonstration :

D'apres la denition du generateur innitesimal, on voit qu'il sut de calculer d dt

E

(f(X x t))     t=0 . CommeX

t est une solution de (1.11), on a :

E

(f(X x t)) =

E

( f(x+ (?  2 2 )t+B t+ Nt X j=1 Z j))

alors, on peut ecrire :

E

(f(X x t) ?f(X x 0)) =

E

( f(X x t) ?f(x)) =

E

((f(x+ (?  2 2 )t+B t) ?f(x))

1

fNt=0g) + (f(x+ (?  2 2 )t+B t+ Z 1) ?f(x))

1

fNt=1g + (f(x+ (?  2 2 )t+B t+ N t X j=1 Z j) ?f(x))

1

fNt2g) def₌ I 1+ I 2+ I 3 et d dt

E

(f(X x t))     t=0 = lim t!0 I 1+ I 2+ I 3 t

Puisque les processus (B

t)t0, ( N t)t0 et ( U j)j1 sont independants, et

P

( N t = 0) = e ?t, on a : lim t!0 I 1 t = lim t!0 e ?t

E

f(x+ (?  2 2 ) t+B t) ?f(x) t = lim t!0

E

f(x+ (?  2 2 ) t+B t) ?f(x) t =  2 2 @ 2 f @x 2 + ( ?  2 2 ) @f @x

3.1. Le generateur innitesimal d'une diusion 45

D'autre part , comme P(N

t = 1) = te

?t et qu'il y a independance entre ( B t)t0 ;(N t)t0 et (U j)j1 , on voit que : I 2 = te ?t E f(x+ (?  2 2 )t+B t+ Z 1) ?f(x) !

Or f est bornee, par le theoreme de Lebesgue, on a :

lim t!0 I 2 t = lim t!0 e ?t E(f(x+ (?  2 2 )t+B t+ Z 1) ?f(x)) = E(f(x+Z 1) ?f(x)) =  Z (f(x+z)?f(x))(dz)

Par ailleurs, on sait que P(N t 2) =o(t). En eet : P(N t 2) = 1 X j=2 P(N t = j) = 1 X j=2 e ?t( t) j j! = t 2 1 X j=2  2 e ?t( t) j?2 j! = O(t 2)

On a, donc, en utilisant le fait quef est bornee : jI 3 j = jE(f(x+ (?  2 2 )t+B t+ N t X j=1 Z j) ?f(x))1 fNt2g) j  2jfj 1 P(N t 2) = o(t) On obtient, nalement : d dt E(f(X x t))     t=0 = lim t!0 I 1+ I 2+ I 3 t =  2 2 @ 2 f @x 2 + ( ?  2 2 ) @f @x + Z (f(x+z)?f(x))(dz)

3.2 Formulation variationnelle et proprietes des operateurs

A

et

B

3.2.1 Proprietes des A et B

Nous etudions l'inequation parabolique souvent a partir de sa formulation variationnelle. Or pour l'ecrire, on introduit les espaces H,V,Wm;p;(

R

) pour0 avec :

H = L2 (

R

; e?jxjdx ) V = ff 2Hj @f @x 2Hg Wm;p;₍

_R

_{) =} ff 2L p₍

_R

_{; e}?jxjdx) j pour jm; f (j) 2L p₍

_R

_;e?jxjdx) g Noter que H =W0;2;(

R

) et V  = W1;2;(

R

). On note (
;
) le produit scalaire de H et k
k;j
j les normes respectives deV et H. On enonce, d'abord, un resultat classique, qui

est un consequence du theoreme de Rellich.

Lemme 3.2

Si  < , l'injection canonique de V dans H est compact.

Demonstration :

Supposons que =+. Comme < , d'ou >0. Il n'est pas dicile de voir qu'une suite bornee dans V reste encore bornee dansV .

Maintenant, on prend une suite fn bornee dans V qui converge faiblement vers 0 dans

H . Alors, il sut de montrer quefn converge fortement vers 0 dansH .

SoitR >0, on regarde : kfnk 2 H = Z (fn(x))2e? jxjdx = Z R ?R (fn(x))2e? jxjdx+ Z jxj>R (fn(x))2e? jxjdx Puisque =+, d'ou : Z jxj>R (fn(x))2e? jxjdx = Z jxj>R (fn(x))2e?jxje?jxjdx  e ?R
Z jxj>R (fn(x))2e?jxjdx  e ?R kfnkV   Ce ?R

D'autre part, pourRxe,fnj

]?R;R[reste bornee dansW 1;2(] ?R;R[), en utilisant le theoreme de Rellich, on deduit : limsupkfnk 2 H Ce ?R 8 R

3.2. Formulation variationnelle et proprietes des operateursAetB 47 Posons : a ( u;v) =  2 2 Z @u @x @v @x e ?jxj dx+r Z uve ?jxj dx ? Z ( 2  2 sgn(x) + (?  2 2 )) @u @x ve ?jxj dx b  (u;v) = ? Z (Bu)
ve ?jxj dx

Alors, on peut ecrire, par une integration par parties, que : (Au;v)  = ?a ( u;v) 8 u, v2D(

R

) (Bu;v)  = ?b ( u;v) 8 u, v2D(

R

)

Il est clair quea (

u;v) est une forme bilineaire continue surV

 et que l'on a : ja  (u;v)j  Ckuk  kvk 

avec C ne dependant pas de u et v. Le lemme suivant nous permet de dire que B est un

operateur lineaire continu deH  a H  et qu'on a : jb ( u;v)j  Cjuj  jvj 

Nous supposons l'hypothese suivante : (

H

) :

E

e

jZj

<1 pour tout.

Lemme 3.3

Sous (

H

),alors, on a : 8 u2H  ; jBuj  Cjuj 

o u C estune constante independante deu.

Demonstration :

A partir de la denition de l'operateur B, on peut ecrire, en utilisant

l'inegalite de Cauchy-Schwartz et le fait (a?b) 2 2(a 2+ b 2), que : jBuj 2  = Z (Bu) 2 e ?jxj dx   2 Z dxe ?jxj
Z (u(x+z)?u(x)) 2 (dz)
Z 12 (dz)   2 Z dxe ?jxj
Z 2(u 2( x+y) +u 2( x))(dz)