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Analyse multifractale de la divergence de séries d'ondelettes

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Academic year: 2021

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(1)

d’ondelettes

Céline ESSER

Celine.Esser@univ-lille1.fr

Université Lille 1 – Laboratoire Paul Painlevé

Séminaire d’analyse fonctionnelle Lille – 6 novembre 2015

(2)

Introduction

Introduction

Séries de Fourier

• Du Bois Raymond (1873) : Il existe une fonction deC(T)dont la série de Fourier diverge en un point.

• Kahane et Katznelson (1966) : Si

A ⊂ Test unFσde mesure de

Lebesgue nulle, il existef ∈ C(T)dont la série de Fourier diverge en tout point deA.

• Carleson et Hunt (1967) : Sif ∈ Lp(T)

(p > 1), sa série de Fourier converge presque partout.

Séries d’ondelettes

• Haar (1910) : Construction d’un base orthonormée deL2(T)dans laquelle l’expansion de toute fonction deC(T)

converge uniformément sur tout compact.

• Base d’ondelettes et convergence uniforme de l’expansion de toute fonction deC(T)(Walter 1995). • Kelly, Kon et Raphale (1994) : Si

f ∈ Lp

(T)(p ≥ 1), son expansion en ondelettes converge presque partout. Question commune.

Soitxun point de divergence du développement def ∈ Lp

(T). Caractérisation du taux de divergence ? Taille de l’ensemble des points ayant un taux de divergence donné ?

(3)

Introduction

Introduction

Séries de Fourier

• Du Bois Raymond (1873) : Il existe une fonction deC(T)dont la série de Fourier diverge en un point.

A ⊂ Test unFσde mesure de

Lebesgue nulle, il existef ∈ C(T)dont la série de Fourier diverge en tout point deA.

• Carleson et Hunt (1967) : Sif ∈ Lp(T)

(p > 1), sa série de Fourier converge presque partout.

Séries d’ondelettes

• Haar (1910) : Construction d’un base orthonormée deL2(T)dans laquelle l’expansion de toute fonction deC(T)

converge uniformément sur tout compact.

• Base d’ondelettes et convergence uniforme de l’expansion de toute fonction deC(T)(Walter 1995). • Kelly, Kon et Raphale (1994) : Si

f ∈ Lp

(T)(p ≥ 1), son expansion en ondelettes converge presque partout. Question commune.

Soitxun point de divergence du développement def ∈ Lp

(T). Caractérisation du taux de divergence ? Taille de l’ensemble des points ayant un taux de divergence donné ?

(4)

Introduction

Introduction

Séries de Fourier

• Du Bois Raymond (1873) : Il existe une fonction deC(T)dont la série de Fourier diverge en un point.

• Kahane et Katznelson (1966) : Si

A ⊂ Test unFσde mesure de

Lebesgue nulle, il existef ∈ C(T)dont la série de Fourier diverge en tout point deA.

• Carleson et Hunt (1967) : Sif ∈ Lp(T)

(p > 1), sa série de Fourier converge presque partout.

Séries d’ondelettes

• Haar (1910) : Construction d’un base orthonormée deL2(T)dans laquelle l’expansion de toute fonction deC(T)

converge uniformément sur tout compact.

• Base d’ondelettes et convergence uniforme de l’expansion de toute fonction deC(T)(Walter 1995). • Kelly, Kon et Raphale (1994) : Si

f ∈ Lp

(T)(p ≥ 1), son expansion en ondelettes converge presque partout. Question commune.

Soitxun point de divergence du développement def ∈ Lp

(T). Caractérisation du taux de divergence ? Taille de l’ensemble des points ayant un taux de divergence donné ?

(5)

Introduction

Introduction

Séries de Fourier

• Du Bois Raymond (1873) : Il existe une fonction deC(T)dont la série de Fourier diverge en un point.

• Kahane et Katznelson (1966) : Si

A ⊂ Test unFσde mesure de

Lebesgue nulle, il existef ∈ C(T)dont la série de Fourier diverge en tout point deA.

(p > 1), sa série de Fourier converge presque partout.

Séries d’ondelettes

• Haar (1910) : Construction d’un base orthonormée deL2(T)dans laquelle l’expansion de toute fonction deC(T)

converge uniformément sur tout compact.

• Base d’ondelettes et convergence uniforme de l’expansion de toute fonction deC(T)(Walter 1995).

f ∈ Lp

(T)(p ≥ 1), son expansion en ondelettes converge presque partout. Question commune.

Soitxun point de divergence du développement def ∈ Lp

(T). Caractérisation du taux de divergence ? Taille de l’ensemble des points ayant un taux de divergence donné ?

(6)

Introduction

Introduction

Séries de Fourier

• Du Bois Raymond (1873) : Il existe une fonction deC(T)dont la série de Fourier diverge en un point.

• Kahane et Katznelson (1966) : Si

A ⊂ Test unFσde mesure de

Lebesgue nulle, il existef ∈ C(T)dont la série de Fourier diverge en tout point deA.

• Carleson et Hunt (1967) : Sif ∈ Lp(T)

(p > 1), sa série de Fourier converge presque partout.

Séries d’ondelettes

• Haar (1910) : Construction d’un base orthonormée deL2(T)dans laquelle l’expansion de toute fonction deC(T)

converge uniformément sur tout compact.

• Base d’ondelettes et convergence uniforme de l’expansion de toute fonction deC(T)(Walter 1995).

• Kelly, Kon et Raphale (1994) : Si

f ∈ Lp

(T)(p ≥ 1), son expansion en ondelettes converge presque partout. Question commune.

Soitxun point de divergence du développement def ∈ Lp

(T). Caractérisation du taux de divergence ? Taille de l’ensemble des points ayant un taux de divergence donné ?

(7)

Introduction

Introduction

Séries de Fourier

• Du Bois Raymond (1873) : Il existe une fonction deC(T)dont la série de Fourier diverge en un point.

• Kahane et Katznelson (1966) : Si

A ⊂ Test unFσde mesure de

Lebesgue nulle, il existef ∈ C(T)dont la série de Fourier diverge en tout point deA.

• Carleson et Hunt (1967) : Sif ∈ Lp(T)

(p > 1), sa série de Fourier converge presque partout.

Séries d’ondelettes

• Haar (1910) : Construction d’un base orthonormée deL2(T)dans laquelle l’expansion de toute fonction deC(T)

converge uniformément sur tout compact.

• Base d’ondelettes et convergence uniforme de l’expansion de toute fonction deC(T)(Walter 1995). • Kelly, Kon et Raphale (1994) : Si

f ∈ Lp

(T)(p ≥ 1), son expansion en ondelettes converge presque partout.

Soitxun point de divergence du développement def ∈ Lp

(T). Caractérisation du taux de divergence ? Taille de l’ensemble des points ayant un taux de divergence donné ?

(8)

Introduction

Introduction

Séries de Fourier

• Du Bois Raymond (1873) : Il existe une fonction deC(T)dont la série de Fourier diverge en un point.

• Kahane et Katznelson (1966) : Si

A ⊂ Test unFσde mesure de

Lebesgue nulle, il existef ∈ C(T)dont la série de Fourier diverge en tout point deA.

• Carleson et Hunt (1967) : Sif ∈ Lp(T)

(p > 1), sa série de Fourier converge presque partout.

Séries d’ondelettes

• Haar (1910) : Construction d’un base orthonormée deL2(T)dans laquelle l’expansion de toute fonction deC(T)

converge uniformément sur tout compact.

• Base d’ondelettes et convergence uniforme de l’expansion de toute fonction deC(T)(Walter 1995). • Kelly, Kon et Raphale (1994) : Si

f ∈ Lp

(T)(p ≥ 1), son expansion en ondelettes converge presque partout. Question commune.

Soitxun point de divergence du développement def ∈ Lp

(T). Caractérisation du taux de divergence ? Taille de l’ensemble des points ayant un taux de divergence donné ?

(9)

Introduction

Dimension de Hausdorff

SoitB ⊂ Rnets > 0. On pose Hsδ(B) = inf    X j∈N diam(Bj)s : (Bj)j∈N δ −recouvrement deB    .

et on définit la mesure extérieure de HausdorffHspar

Hs(B) = sup δ>0 Hs δ(B) = lim δ→0+H s δ(B)

dimension de HausdorffdimH(B)deBest définie par

(10)

Introduction

Dimension de Hausdorff

SoitB ⊂ Rnets > 0. On pose Hsδ(B) = inf    X j∈N diam(Bj)s : (Bj)j∈N δ −recouvrement deB    .

et on définit la mesure extérieure de HausdorffHspar

Hs(B) = sup δ>0 Hs δ(B) = lim δ→0+H s δ(B)

Il existe une valeur critique pour laquelles 7→ Hs(B)“saute” de l’infini à0. La dimension de HausdorffdimH(B)deBest définie par

dimH(B) = sup{s ≥ 0:Hs(B) = ∞}

(11)

Introduction

Cas des séries de Fourier

Sif ∈ Lp(T),

kSnf k∞≤ Cpn1/pkf kp

Question.

Soitβ ∈ [0, 1/p]. Que peut-on dire sur la taille de l’ensemble des pointsxtels que |Snf (x)| ≈ nβ? Sip > 1et sif ∈ Lp(T), alors dimH  x : lim sup n→∞ n−β|Snf (x)| > 0  ≤ 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

(12)

Introduction

Cas des séries de Fourier

Sif ∈ Lp(T),

kSnf k∞≤ Cpn1/pkf kp

Question.

Soitβ ∈ [0, 1/p]. Que peut-on dire sur la taille de l’ensemble des pointsxtels que |Snf (x)| ≈ nβ?

Aubry (2006)

Sip > 1et sif ∈ Lp(T), alors dimH  x : lim sup n→∞ n−β|Snf (x)| > 0  ≤ 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

(13)

Introduction

Siβ ∈ [0, 1/p]est fixé, le résultat d’Aubry est optimal.

Aubry (2006)

Étant donné un ensembleEtel quedimHE < 1 − βp, il existef ∈ Lp(T)tel que

lim sup

n→∞

n−β|Snf (x)| = +∞ ∀x ∈ E.

βf(x) = infβ ≥ 0 : |Snf (x)| = O(nβ) = lim sup n→+∞ log |Snf (x)| log n

Bayart, Heurteaux (2011)

Quasi-toute fonctionf ∈ Lp (T)satisfait dimH{x : βf(x) = β} = 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

Pour ces fonctions, on a en particulier dimH  x : lim sup n→∞ n−β|Snf (x)| > 0  = 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

(14)

Introduction

Siβ ∈ [0, 1/p]est fixé, le résultat d’Aubry est optimal.

Aubry (2006)

Étant donné un ensembleEtel quedimHE < 1 − βp, il existef ∈ Lp(T)tel que

lim sup

n→∞

n−β|Snf (x)| = +∞ ∀x ∈ E.

Indice de divergence au pointx:

βf(x) = infβ ≥ 0 : |Snf (x)| = O(nβ) = lim sup n→+∞ log |Snf (x)| log n

Bayart, Heurteaux (2011)

Quasi-toute fonctionf ∈ Lp (T)satisfait dimH{x : βf(x) = β} = 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

Pour ces fonctions, on a en particulier dimH  x : lim sup n→∞ n−β|Snf (x)| > 0  = 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

(15)

Siβ ∈ [0, 1/p]est fixé, le résultat d’Aubry est optimal.

Aubry (2006)

Étant donné un ensembleEtel quedimHE < 1 − βp, il existef ∈ Lp(T)tel que

lim sup

n→∞

n−β|Snf (x)| = +∞ ∀x ∈ E.

Indice de divergence au pointx:

βf(x) = infβ ≥ 0 : |Snf (x)| = O(nβ) = lim sup n→+∞ log |Snf (x)| log n

Bayart, Heurteaux (2011)

Quasi-toute fonctionf ∈ Lp (T)satisfait dimH{x : βf(x) = β} = 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

Pour ces fonctions, on a en particulier 

(16)

Divergence de séries d’ondelettes

Divergence de séries d’ondelettes

SoientΦetΨtels que les fonctions

( Φ

k: x 7→ Φ(x − k), k ∈ Z

Ψj,k: x 7→ 2j/2Ψ(2jx − k), j ∈ N, k ∈ Z

forment une base orthonormée deL2

(R).

Base d’ondelette deL2

(T). Une base orthonormée deL2

(T)est donnée par la fonction constante égale à 1 et les ondelettes périodisées

ψj,k: x 7→

X

l∈Z

Ψj,k(x − l), j ∈ N, k ∈0, . . . , 2j− 1 .

Sif ∈ L2

(T), ses coefficients d’ondelettes sont notéscj,k= < f, ψj,k>.

Hypothèse.Ψest à décroissance rapide.

(17)

Divergence de séries d’ondelettes

Divergence de séries d’ondelettes

SoientΦetΨtels que les fonctions

( Φ

k: x 7→ Φ(x − k), k ∈ Z

Ψj,k: x 7→ 2j/2Ψ(2jx − k), j ∈ N, k ∈ Z

forment une base orthonormée deL2

(R).

Base d’ondelette deL2

(T). Une base orthonormée deL2

(T)est donnée par la fonction constante égale à 1 et les ondelettes périodisées

ψj,k: x 7→

X

l∈Z

Ψj,k(x − l), j ∈ N, k ∈0, . . . , 2j− 1 .

Sif ∈ L2

(18)

Divergence de séries d’ondelettes

Divergence de séries d’ondelettes

SoientΦetΨtels que les fonctions

( Φ

k: x 7→ Φ(x − k), k ∈ Z

Ψj,k: x 7→ 2j/2Ψ(2jx − k), j ∈ N, k ∈ Z

forment une base orthonormée deL2

(R).

Base d’ondelette deL2

(T). Une base orthonormée deL2

(T)est donnée par la fonction constante égale à 1 et les ondelettes périodisées

ψj,k: x 7→

X

l∈Z

Ψj,k(x − l), j ∈ N, k ∈0, . . . , 2j− 1 .

Sif ∈ L2

(T), ses coefficients d’ondelettes sont notéscj,k= < f, ψj,k>.

Hypothèse.Ψest à décroissance rapide.

(19)

Divergence de séries d’ondelettes Sif ∈ Lp (T), |cj,k| ≤ Cψ2j( 1 p− 1 2)kf kp =⇒ kcj,kψj,kk≤ Cψ2 j p Sip > 1et sif ∈ Lp (T), alors dimH    x : lim sup J →∞ 2−βJ J X j=0 2j−1 X k=0 |cj,kψj,k(x)| > 0    ≤ 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

Réciproquement, siψest l’ondelette de Haar, étant donné un ensembleEtel que dimHE < 1 − βp, il existef ∈ Lp(T)tel que

lim sup J →∞ 2−βJ J X j=0 2j−1 X k=0 cj,kψj,k(x) = +∞ ∀x ∈ E.

(20)

Divergence de séries d’ondelettes Sif ∈ Lp (T), |cj,k| ≤ Cψ2j( 1 p− 1 2)kf kp =⇒ kcj,kψj,kk≤ Cψ2 j p

Aubry (2006)

Sip > 1et sif ∈ Lp (T), alors dimH    x : lim sup J →∞ 2−βJ J X j=0 2j−1 X k=0 |cj,kψj,k(x)| > 0    ≤ 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

Réciproquement, siψest l’ondelette de Haar, étant donné un ensembleEtel que dimHE < 1 − βp, il existef ∈ Lp(T)tel que

lim sup J →∞ 2−βJ J X j=0 2j−1 X k=0 cj,kψj,k(x) = +∞ ∀x ∈ E.

(21)

Sif ∈ Lp (T), |cj,k| ≤ Cψ2j( 1 p− 1 2)kf kp =⇒ kcj,kψj,kk≤ Cψ2 j p

Aubry (2006)

Sip > 1et sif ∈ Lp (T), alors dimH    x : lim sup J →∞ 2−βJ J X j=0 2j−1 X k=0 |cj,kψj,k(x)| > 0    ≤ 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

Réciproquement, siψest l’ondelette de Haar, étant donné un ensembleEtel que dimHE < 1 − βp, il existef ∈ Lp(T)tel que

lim sup J →∞ 2−βJ J X j=0 2j−1 X k=0 cj,kψj,k(x) = +∞ ∀x ∈ E.

(22)

Divergence de séries d’ondelettes

Analyse multifractale de la divergence

Exposant de divergence defenx: df(x) = sup{γ : ∃C > 0, ∃(in, jn, kn), |cjn,knψjn,kn(x)| ≥ C2 γjn} Spectre de divergence def Df: γ 7→ dimx : df(x) = γ

Remarque. Un exposant de divergence ne donne une divergence de la série

d’ondelette que s’il est positif ! Néanmoins, les résultats que nous obtenons sont aussi valides pour des exposants négatifs.

(23)

Analyse multifractale de la divergence

Exposant de divergence defenx: df(x) = sup{γ : ∃C > 0, ∃(in, jn, kn), |cjn,knψjn,kn(x)| ≥ C2 γjn} Spectre de divergence def Df: γ 7→ dimx : df(x) = γ

Remarque. Un exposant de divergence ne donne une divergence de la série

d’ondelette que s’il est positif ! Néanmoins, les résultats que nous obtenons sont aussi valides pour des exposants négatifs.

(24)

Divergence de séries d’ondelettes

Espaces de Besov

On utilise une ondeletteψsuffisamment régulière (au moins continue par morceaux) et une normalisationL∞des ondelettes, i.e. on pose

ψj,k= ψ(2jx − k), j ∈ N, k ∈ Z .

Les coefficients d’ondelettes def sont donnés par cj,k= 2j

Z

R

f (x)ψ(2jx − k)dx.

Caractérisation des espaces de Besov. Soients ∈ Retp, q > 0. Alors

f ∈ Bps,q⇐⇒ X k∈Z cj,k2 (s−1 p)j p!1/p = εj avec εj∈ lq

(25)

Espaces de Besov

On utilise une ondeletteψsuffisamment régulière (au moins continue par morceaux) et une normalisationL∞des ondelettes, i.e. on pose

ψj,k= ψ(2jx − k), j ∈ N, k ∈ Z .

Les coefficients d’ondelettes def sont donnés par cj,k= 2j

Z

R

f (x)ψ(2jx − k)dx.

Caractérisation des espaces de Besov. Soients ∈ Retp, q > 0. Alors

f ∈ Bps,q⇐⇒ X k∈Z cj,k2 (s−1 p)j p!1/p = εj avec εj∈ lq

(26)

Divergence de séries d’ondelettes f ∈ Bps,q⇐⇒ X k∈Z cj,k2 (s−1 p)j p!1/p = εj avec εj∈ lq En particulier, ∃C > 0 : ∀j 2j−1 X k=0 |cj,k2(s− 1 p)j|p≤ C =⇒ |c j,k| ≤ C 1 p2(1p−s)j Conséquence. Sif ∈ Bps,q, alors df(x) ≤ 1 p− s, ∀x ∈ R .

(27)

f ∈ Bps,q⇐⇒ X k∈Z cj,k2 (s−1 p)j p!1/p = εj avec εj∈ lq En particulier, ∃C > 0 : ∀j 2j−1 X k=0 |cj,k2(s− 1 p)j|p≤ C =⇒ |c j,k| ≤ C 1 p2(1p−s)j Conséquence. Sif ∈ Bps,q, alors df(x) ≤ 1 p− s, ∀x ∈ R .

(28)

Divergence de séries d’ondelettes

E., Jaffard (2015)

Sif ∈ Bs,q

p , alors pour toutγ ∈ [−s,1p− s], on a

dimHx : df(x) ≥ γ ≤ 1 − sp − γp.

En particulier, le spectre de divergence def satisfait Df(γ) ≤ 1 − sp − γp. Preuve. On pose Ej,γ:=k : |cj,k| ≥ 2γj , Ej,γε := [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j, k2−j+ 2(ε−1)jh Eε γ:= lim sup j→+∞ Eεj,γ. PuisqueP k|cj,k2 (s−1 p)j|p≤ C, on a #Ej,γ≤ C · 2(1−sp−γp)j, et donc dimH(Eγε) ≤ 1 − sp − γp 1 − ε .

(29)

Divergence de séries d’ondelettes

E., Jaffard (2015)

Sif ∈ Bs,q

p , alors pour toutγ ∈ [−s,1p− s], on a

dimHx : df(x) ≥ γ ≤ 1 − sp − γp.

En particulier, le spectre de divergence def satisfait Df(γ) ≤ 1 − sp − γp. Preuve. On pose Ej,γ:=k : |cj,k| ≥ 2γj , Ej,γε := [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j, k2−j+ 2(ε−1)jh Eε γ:= lim sup j→+∞ Eεj,γ. Puisque k|cj,k2 | ≤ C, on a #Ej,γ≤ C · 2(1−sp−γp)j, et donc dimH(Eγε) ≤ 1 − sp − γp 1 − ε .

(30)

Divergence de séries d’ondelettes

E., Jaffard (2015)

Sif ∈ Bs,q

p , alors pour toutγ ∈ [−s,1p− s], on a

dimHx : df(x) ≥ γ ≤ 1 − sp − γp.

En particulier, le spectre de divergence def satisfait Df(γ) ≤ 1 − sp − γp. Preuve. On pose Ej,γ:=k : |cj,k| ≥ 2γj , Ej,γε := [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j, k2−j+ 2(ε−1)jh Eε γ:= lim sup j→+∞ Eεj,γ. PuisqueP k|cj,k2 (s−1 p)j|p≤ C, on a #Ej,γ≤ C · 2(1−sp−γp)j, et donc dimH(Eεγ) ≤ 1 − sp − γp 1 − ε .

(31)

Divergence de séries d’ondelettes Si on a {x : df(x) > γ} ⊂ Eγε ∀ε > 0, on aura alors dimH{x : df(x) > γ} ≤ 1 − sp − γp ∀γ. dimH{x : df(x) ≥ γ} ≤ dimH{x : df(x) > γ − δ} ≤ 1 − sp − (γ − δ)p d’où dimH{x : df(x) ≥ γ} ≤ 1 − sp − γp.

(32)

Divergence de séries d’ondelettes

Si on a

{x : df(x) > γ} ⊂ Eγε ∀ε > 0,

on aura alors

dimH{x : df(x) > γ} ≤ 1 − sp − γp ∀γ.

Par conséquent, pour toutδ > 0, on aura

dimH{x : df(x) ≥ γ} ≤ dimH{x : df(x) > γ − δ} ≤ 1 − sp − (γ − δ)p

d’où

dimH{x : df(x) ≥ γ} ≤ 1 − sp − γp.

(33)

Divergence de séries d’ondelettes Montrons que x /∈ Eε γ =⇒ df(x) ≤ γ Eγε= lim sup j→+∞ [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j, k2−j+ 2(ε−1)jh 1.k /∈ Ej,γi.e.|cj,k| < 2γj, alors|cj,kψj,k(x)| ≤ 2γj.

2.k ∈ Ej,γi.e.|cj,k| ≥ 2γj Vu la décroissance rapide des ondelettes,

∀N, ∃CN tel que |ψ(2jx − k)| ≤ CN (1 + |2jx − k|)N. Commex /∈ Eε γetk ∈ Ej,γ, on a|2jx − k| ≥ 2εjsij et donc |ψ(2jx − k)| ≤ CN2−εN j.

Rappelons que|cj,k| ≤ C2−(s−1/p)j, d’où

(34)

Divergence de séries d’ondelettes

Montrons que

x /∈ Eε

γ =⇒ df(x) ≤ γ

On estime|cj,kψj,k(x)|. Rappelons que

Eγε= lim sup j→+∞ [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j, k2−j+ 2(ε−1)jh 1.k /∈ Ej,γi.e.|cj,k| < 2γj, alors|cj,kψj,k(x)| ≤ 2γj.

2.k ∈ Ej,γi.e.|cj,k| ≥ 2γj Vu la décroissance rapide des ondelettes,

∀N, ∃CN tel que |ψ(2jx − k)| ≤ CN (1 + |2jx − k|)N. Commex /∈ Eε γetk ∈ Ej,γ, on a|2jx − k| ≥ 2εjsij et donc |ψ(2jx − k)| ≤ CN2−εN j.

Rappelons que|cj,k| ≤ C2−(s−1/p)j, d’où

|cj,kψj,k(x)| ≤ CNC2−(s−1/p)j2−εN j≤ 2γj si j  .

(35)

Divergence de séries d’ondelettes

Montrons que

x /∈ Eε

γ =⇒ df(x) ≤ γ

On estime|cj,kψj,k(x)|. Rappelons que

Eγε= lim sup j→+∞ [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j, k2−j+ 2(ε−1)jh 1.k /∈ Ej,γi.e.|cj,k| < 2γj, alors|cj,kψj,k(x)| ≤ 2γj. ∀N, ∃CN tel que |ψ(2jx − k)| ≤ CN (1 + |2jx − k|)N. Commex /∈ Eε γetk ∈ Ej,γ, on a|2jx − k| ≥ 2εjsij et donc |ψ(2jx − k)| ≤ CN2−εN j.

Rappelons que|cj,k| ≤ C2−(s−1/p)j, d’où

(36)

Divergence de séries d’ondelettes

Montrons que

x /∈ Eε

γ =⇒ df(x) ≤ γ

On estime|cj,kψj,k(x)|. Rappelons que

Eγε= lim sup j→+∞ [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j, k2−j+ 2(ε−1)jh 1.k /∈ Ej,γi.e.|cj,k| < 2γj, alors|cj,kψj,k(x)| ≤ 2γj.

2.k ∈ Ej,γi.e.|cj,k| ≥ 2γj Vu la décroissance rapide des ondelettes,

∀N, ∃CN tel que |ψ(2jx − k)| ≤ CN (1 + |2jx − k|)N. Commex /∈ Eε γetk ∈ Ej,γ, on a|2jx − k| ≥ 2εjsij et donc |ψ(2jx − k)| ≤ CN2−εN j.

Rappelons que|cj,k| ≤ C2−(s−1/p)j, d’où

|cj,kψj,k(x)| ≤ CNC2−(s−1/p)j2−εN j≤ 2γj si j  .

(37)

Optimalité du résultat

Optimalité du résultat

E., Jaffard (2015)

Quasi-toute fonctionf ∈ Bs,q p satisfait df(x) ∈  −s,1 p− s  ∀x et Df(γ) = dimHx : df(x) = γ = 1 − sp − γp, ∀γ ∈  −s,1 p− s  . ondelettesψj,k,j ∈ N,k ∈ {0, . . . , 2j− 1}. Fonction de saturationFa: cj,k=    1 ja2 (1 p−s)j2−1pJ avec k 2j = K 2J, K /∈ 2 Z 0 si k = 0

(38)

Optimalité du résultat

Optimalité du résultat

E., Jaffard (2015)

Quasi-toute fonctionf ∈ Bs,q p satisfait df(x) ∈  −s,1 p− s  ∀x et Df(γ) = dimHx : df(x) = γ = 1 − sp − γp, ∀γ ∈  −s,1 p− s  .

Remarque. On se place dans un premier temps sur[0, 1[et on considère les ondelettesψj,k,j ∈ N,k ∈ {0, . . . , 2j− 1}. Fonction de saturationFa: cj,k=    1 ja2 (1 p−s)j2−1pJ avec k 2j = K 2J, K /∈ 2 Z 0 si k = 0

(39)

Optimalité du résultat

E., Jaffard (2015)

Quasi-toute fonctionf ∈ Bs,q p satisfait df(x) ∈  −s,1 p− s  ∀x et Df(γ) = dimHx : df(x) = γ = 1 − sp − γp, ∀γ ∈  −s,1 p− s  .

Remarque. On se place dans un premier temps sur[0, 1[et on considère les ondelettesψj,k,j ∈ N,k ∈ {0, . . . , 2j− 1}. Fonction de saturationFa: cj,k=   1 ja2 (1 p−s)j2−1pJ avec k 2j = K 2J, K /∈ 2 Z

(40)

Optimalité du résultat Montrons que (1) Fa ∈ Bps,q (2) dFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

(3) dimHx : dFa(x) = γ = 1 − sp − γp pour toutγ ∈ h

−s,1

p− s

i

(4) Construction duGδdense à partir deFa

Lemme

Sia >1p +1q, alorsFa∈ Bps,q.

Preuve. Pour toutJ ≤ j, il y a2Jcoefficients tels que k

2j = K 2J. Donc 2j−1 X k=0 |cj,k2(s− 1 p)j|p= 1 jap j X J =1 2J(2−Jp)p= j1−ap, et il faut X j≥1 (j1p−a)q < ∞. Ok si(1p− a)q < −1i.e. sia >p1+1q.

(41)

Montrons que (1) Fa ∈ Bps,q (2) dFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

(3) dimHx : dFa(x) = γ = 1 − sp − γp pour toutγ ∈ h

−s,1

p− s

i

(4) Construction duGδdense à partir deFa

Lemme

Sia >1p +1q, alorsFa∈ Bps,q.

Preuve. Pour toutJ ≤ j, il y a2Jcoefficients tels que k

2j = K 2J. Donc 2j−1 X k=0 |cj,k2(s− 1 p)j|p= 1 jap j X J =1 2J(2−Jp)p= j1−ap, et il faut X j≥1 (j1p−a)q < ∞.

(42)

Optimalité du résultat Montrons que (1) Fa ∈ Bps,q  (2) dFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

(3) dimHx : dFa(x) = γ = 1 − sp − γp pour toutγ ∈ h

−s,1

p− s

i

(4) Construction duGδdense à partir deFa

Lemme

Sia >1p +1q, alorsFa∈ Bps,q.

Preuve. Pour toutJ ≤ j, il y a2Jcoefficients tels que k

2j = K 2J. Donc 2j−1 X k=0 |cj,k2(s− 1 p)j|p= 1 jap j X J =1 2J(2−Jp)p= j1−ap, et il faut X j≥1 (j1p−a)q < ∞. Ok si(1p− a)q < −1i.e. sia >1p +1q.

(43)

Optimalité du résultat

Lemme

Il existeC > 0et(jl, kl),l ∈ {1, . . . , L}, tels que

∀x ∈ [0, 1] ∃l ∈ {1, . . . , L} :

ψ(2jlx − k

l)

≥ C.

Preuve. Pour toutx ∈ [0, 1], il existe une ondeletteψj,ktelle queψ(2jx − k) 6= 0.

Par continuité, il existe un voisinageIxdexsur lequel

∀y ∈ Ix, |ψ(2jy − k)| ≥ Cx> 0.

Puisque ces boules recouvrent[0, 1], on peut en extraire un recouvrement fini.

0 l∈{1,...,L} l telle que|j0− j| ≤ J 0et|ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C. On a alors |cj0,k0ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C 1 j0a2 (1 p−s)j 0 2−1pJ 0 ≥ 2 −sj0 j0a . Par conséquent, dFa(x) ≥ −s, ∀x.

(44)

Optimalité du résultat

Lemme

Il existeC > 0et(jl, kl),l ∈ {1, . . . , L}, tels que

∀x ∈ [0, 1] ∃l ∈ {1, . . . , L} :

ψ(2jlx − k

l)

≥ C.

Preuve. Pour toutx ∈ [0, 1], il existe une ondeletteψj,ktelle queψ(2jx − k) 6= 0.

Par continuité, il existe un voisinageIxdexsur lequel

∀y ∈ Ix, |ψ(2jy − k)| ≥ Cx> 0.

Puisque ces boules recouvrent[0, 1], on peut en extraire un recouvrement fini. SoitJ0= maxl∈{1,...,L}jl. Pour toutxet toutj, il existe une ondeletteψ(2j

0 x − k0) telle que|j0− j| ≤ J 0et|ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C. On a alors |cj0,k0ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C 1 j0a2 (1 p−s)j 0 2−1pJ 0 ≥ 2 −sj0 j0a . Par conséquent, dFa(x) ≥ −s, ∀x.

(45)

Lemme

Il existeC > 0et(jl, kl),l ∈ {1, . . . , L}, tels que

∀x ∈ [0, 1] ∃l ∈ {1, . . . , L} :

ψ(2jlx − k

l)

≥ C.

Preuve. Pour toutx ∈ [0, 1], il existe une ondeletteψj,ktelle queψ(2jx − k) 6= 0.

Par continuité, il existe un voisinageIxdexsur lequel

∀y ∈ Ix, |ψ(2jy − k)| ≥ Cx> 0.

Puisque ces boules recouvrent[0, 1], on peut en extraire un recouvrement fini. SoitJ0= maxl∈{1,...,L}jl. Pour toutxet toutj, il existe une ondeletteψ(2j

0 x − k0) telle que|j0− j| ≤ J 0et|ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C. On a alors |cj0,k0ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C 1 j0a2 (1 p−s)j 0 2−1pJ 0 ≥ 2 −sj0 j0a . Par conséquent,

(46)

Optimalité du résultat (1) Fa ∈ Bps,q  (2) dFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx 

(3) dimHx : dFa(x) = γ = 1 − sp − γp pour toutγ ∈ h

−s,1

p− s

i

(4) Construction duGδdense à partir deFa

(47)

(1) Fa ∈ Bps,q  (2) dFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx 

(3) dimHx : dFa(x) = γ = 1 − sp − γp pour toutγ ∈ h

−s,1 p− s

i

−→Approximation par les dyadiques

(48)

Optimalité du résultat

Approximation par les dyadiques

Remarque. Vu les hypothèses surψ, on peut considérerC > 0et un sous-intervalle ν ⊂ [0, 1[tels que

∀x ∈ ν, |ψ(x)| ≥ C.

Points de typeα ≥ 1. On notex ∈ Tαs’il existe(Jn, Kn)tels que

1. Kn∈ 2 Z/ , 2. x ∈ Kn 2Jn, Kn+ 1 2Jn  , 3. x − Kn 2Jn ≤ 1 2[αJn],

4. sikncorrespond à l’intervalle dyadique de taille2−[αJn]qui contientx, alors

2[αJn]x − k

n∈ ν.

(49)

Approximation par les dyadiques

Remarque. Vu les hypothèses surψ, on peut considérerC > 0et un sous-intervalle ν ⊂ [0, 1[tels que

∀x ∈ ν, |ψ(x)| ≥ C.

Points de typeα ≥ 1. On notex ∈ Tαs’il existe(Jn, Kn)tels que

1. Kn∈ 2 Z/ , 2. x ∈ Kn 2Jn, Kn+ 1 2Jn  , 3. x − Kn 2Jn ≤ 1 2[αJn],

4. sikncorrespond à l’intervalle dyadique de taille2−[αJn]qui contientx, alors

2[αJn]x − k

(50)

Optimalité du résultat

1 – 3 : Définit l’ensembleDαdes pointsα-approximables par les dyadiques

cj,k= 1 ja2 (1 p−s)j2− 1 pJn j = [αJ n], k = kn

4 : l’ondelette correspondante est suffisamment grande au point considéré |ψj,k(x)| ≥ C où j = [αJn], k = kn.

Lemme

Six ∈ Tα, alors l’exposant de divergence enxest plus grand que 1p− s −αp1 , i.e.

Tα⊆  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  .

(51)

Optimalité du résultat

1 – 3 : Définit l’ensembleDαdes pointsα-approximables par les dyadiques

cj,k= 1 ja2 (1 p−s)j2− 1 pJn j = [αJ n], k = kn

4 : l’ondelette correspondante est suffisamment grande au point considéré |ψj,k(x)| ≥ C où j = [αJn], k = kn.

Six ∈ Tα, alors l’exposant de divergence enxest plus grand que 1p− s −αp1 , i.e.

Tα⊆  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  .

(52)

Optimalité du résultat

1 – 3 : Définit l’ensembleDαdes pointsα-approximables par les dyadiques

cj,k= 1 ja2 (1 p−s)j2− 1 pJn j = [αJ n], k = kn

4 : l’ondelette correspondante est suffisamment grande au point considéré |ψj,k(x)| ≥ C où j = [αJn], k = kn.

Lemme

Six ∈ Tα, alors l’exposant de divergence enxest plus grand que 1p− s −αp1 , i.e.

Tα⊆  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  .

(53)

Optimalité du résultat

Question. Calcul dedimHTα?

• On aTα⊂ Dα

H α H α

• Techniques d’ubiquité :Tα=ensemble limsup dont les éléments sont les

intervalles2−[αj](ν + k)de côtér

j= c2−[αj]

• Ces intervalles “recouvrent bien”[0, 1[: siD > 0est choisi suffisamment grand, les intervalles dyadiques de même centre et de côtéDrj1/αrecouvrent[0, 1[

=⇒ dimHTα= 1 α Puisque Tα⊆  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  , on en tire que dimH  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  = 1 α

(54)

Optimalité du résultat

Question. Calcul dedimHTα?

• On aTα⊂ Dα

• dimHDα= α1 (en fait,H

1

α(Dα) > 0)=⇒ dimHTα≤ 1

α

• Techniques d’ubiquité :Tα=ensemble limsup dont les éléments sont les

intervalles2−[αj](ν + k)de côtér

j= c2−[αj]

• Ces intervalles “recouvrent bien”[0, 1[: siD > 0est choisi suffisamment grand, les intervalles dyadiques de même centre et de côtéDrj1/αrecouvrent[0, 1[

=⇒ dimHTα= 1 α Puisque Tα⊆  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  , on en tire que dimH  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  = 1 α

(55)

Optimalité du résultat

Question. Calcul dedimHTα?

• On aTα⊂ Dα

• dimHDα= α1 (en fait,H

1

α(Dα) > 0)=⇒ dimHTα≤ 1

α

• Techniques d’ubiquité :Tα=ensemble limsup dont les éléments sont les

intervalles2−[αj](ν + k)de côtér

j= c2−[αj]

les intervalles dyadiques de même centre et de côtéDrj1/αrecouvrent[0, 1[ =⇒ dimHTα= 1 α Puisque Tα⊆  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  , on en tire que dimH  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  = 1 α

(56)

Optimalité du résultat

Question. Calcul dedimHTα?

• On aTα⊂ Dα

• dimHDα= α1 (en fait,H

1

α(Dα) > 0)=⇒ dimHTα≤ 1

α

• Techniques d’ubiquité :Tα=ensemble limsup dont les éléments sont les

intervalles2−[αj](ν + k)de côtér

j= c2−[αj]

• Ces intervalles “recouvrent bien”[0, 1[: siD > 0est choisi suffisamment grand, les intervalles dyadiques de même centre et de côtéDrj1/αrecouvrent[0, 1[

=⇒ dimHTα= 1 α Puisque Tα⊆  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  , on en tire que dimH  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  = 1 α

(57)

Question. Calcul dedimHTα?

• On aTα⊂ Dα

• dimHDα= α1 (en fait,H

1

α(Dα) > 0)=⇒ dimHTα≤ 1

α

• Techniques d’ubiquité :Tα=ensemble limsup dont les éléments sont les

intervalles2−[αj](ν + k)de côtér

j= c2−[αj]

• Ces intervalles “recouvrent bien”[0, 1[: siD > 0est choisi suffisamment grand, les intervalles dyadiques de même centre et de côtéDrj1/αrecouvrent[0, 1[

=⇒ dimHTα= 1 α Puisque Tα⊆  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  , on en tire que dimH  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  = 1 α

(58)

Optimalité du résultat

Raffinement du résultat précédent

On a même plus... • Hα1,2(Tα) > 0 • n x : df(x) > 1p − s −αp1 o = [ n∈N  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp+ 1 n  | {z } dimH=α1−1p =⇒ Hα1,2  x : dFa(x) > 1 p− s − 1 αp  = 0 • Tα |{z} Hα1,2>0 ⊂nx : dFa(x) = 1 p − s − 1 αp o ∪  x : dFa(x) > 1 p− s − 1 αp  | {z } Hα1,2=0 =⇒ dimH  x : dFa(x) = 1 p− s − 1 αp  = 1 α

(59)

Optimalité du résultat

Raffinement du résultat précédent

On a même plus... • Hα1,2(Tα) > 0 • n x : df(x) > 1p− s −αp1 o = [ n∈N  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp+ 1 n  | {z } dimH=α1−1p =⇒ Hα x : dF a(x) >p− s −αp = 0 • Tα |{z} Hα1,2>0 ⊂nx : dFa(x) = 1 p − s − 1 αp o ∪  x : dFa(x) > 1 p− s − 1 αp  | {z } Hα1,2=0 =⇒ dimH  x : dFa(x) = 1 p− s − 1 αp  = 1 α

(60)

Optimalité du résultat

Raffinement du résultat précédent

On a même plus... • Hα1,2(Tα) > 0 • n x : df(x) > 1p− s −αp1 o = [ n∈N  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp+ 1 n  | {z } dimH=α1−1p =⇒ Hα1,2  x : dFa(x) > 1 p− s − 1 αp  = 0 • Tα |{z} Hα1,2>0 ⊂nx : dFa(x) = 1 p − s − 1 αp o ∪  x : dFa(x) > 1 p− s − 1 αp  | {z } Hα1,2=0 =⇒ dimH  x : dFa(x) = 1 p− s − 1 αp  = 1 α

(61)

Optimalité du résultat

Raffinement du résultat précédent

On a même plus... • Hα1,2(Tα) > 0 • n x : df(x) > 1p− s −αp1 o = [ n∈N  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp+ 1 n  | {z } dimH=α1−1p =⇒ Hα1,2  x : dFa(x) > 1 p− s − 1 αp  = 0 • Tα |{z} Hα1,2>0 ⊂nx : dFa(x) = 1 p − s − 1 αp o ∪  x : dFa(x) > 1 p− s − 1 αp  | {z } Hα1,2=0 =⇒ dimH x : dFa(x) = p− s −αp =α

(62)

Optimalité du résultat

Raffinement du résultat précédent

On a même plus... • Hα1,2(Tα) > 0 • n x : df(x) > 1p− s −αp1 o = [ n∈N  x : dFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp+ 1 n  | {z } dimH=α1−1p =⇒ Hα1,2  x : dFa(x) > 1 p− s − 1 αp  = 0 • Tα |{z} Hα1,2>0 ⊂nx : dFa(x) = 1 p − s − 1 αp o ∪  x : dFa(x) > 1 p− s − 1 αp  | {z } Hα1,2=0 =⇒ dimH  x : dFa(x) = 1 p− s − 1 αp  = 1 α

(63)

Optimalité du résultat dimH  x : dFa(x) = 1 p− s − 1 αp  = 1 α, ∀α ≥ 1 =⇒ dimH{x : dFa(x) = γ} = 1 − sp − γp, ∀γ ≥ −s p  (2) dFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx 

(3) dimHx : dFa(x) = γ = 1 − sp − γp pour toutγ ∈ h

−s,1

p− s

i 

(64)

Optimalité du résultat dimH  x : dFa(x) = 1 p− s − 1 αp  = 1 α, ∀α ≥ 1 =⇒ dimH{x : dFa(x) = γ} = 1 − sp − γp, ∀γ ≥ −s (1) Fa ∈ Bps,q  (2) dFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx 

(3) dimHx : dFa(x) = γ = 1 − sp − γp pour toutγ ∈ h

−s,1

p− s

i 

(4) Construction duGδdense à partir deFa

(65)

Optimalité du résultat

Construction de l’ensemble résiduel

Casp, q < +∞ kf kBs,qp =    X j≥0   2j−1 X k=0 cj,k2 (s−1 p)j p   q/p   1/q dense dansBs,q p

• On considère une suite croissante(Nn)ntelle que les coefficients d’ondelettes

defnsont nuls pourj ≥ Nn

• gn= fn+N1

nFaa les mêmes propriétés de divergence queFaet(gn)n∈Nest dense dansBs,q p • On considère leGδdense R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp

(66)

Optimalité du résultat

Construction de l’ensemble résiduel

Casp, q < +∞ kf kBs,qp =    X j≥0   2j−1 X k=0 cj,k2 (s−1 p)j p   q/p   1/q

• L’ensemble(fn)n∈Ndes séries d’ondelettes finies à coefficients rationnels est

dense dansBs,q p

• On considère une suite croissante(Nn)ntelle que les coefficients d’ondelettes

defnsont nuls pourj ≥ Nn

• gn= fn+N1

nFaa les mêmes propriétés de divergence queFaet(gn)n∈Nest dense dansBs,q p • On considère leGδdense R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp

(67)

Optimalité du résultat

Construction de l’ensemble résiduel

Casp, q < +∞ kf kBs,qp =    X j≥0   2j−1 X k=0 cj,k2 (s−1 p)j p   q/p   1/q

• L’ensemble(fn)n∈Ndes séries d’ondelettes finies à coefficients rationnels est

dense dansBs,q p

• On considère une suite croissante(Nn)ntelle que les coefficients d’ondelettes

defnsont nuls pourj ≥ Nn

Nn n∈N dense dansBs,q p • On considère leGδdense R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp

(68)

Optimalité du résultat

Construction de l’ensemble résiduel

Casp, q < +∞ kf kBs,qp =    X j≥0   2j−1 X k=0 cj,k2 (s−1 p)j p   q/p   1/q

• L’ensemble(fn)n∈Ndes séries d’ondelettes finies à coefficients rationnels est

dense dansBs,q p

• On considère une suite croissante(Nn)ntelle que les coefficients d’ondelettes

defnsont nuls pourj ≥ Nn

• gn= fn+N1

nFaa les mêmes propriétés de divergence queFaet(gn)n∈Nest dense dansBs,q p • On considère leGδdense R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp

(69)

Construction de l’ensemble résiduel

Casp, q < +∞ kf kBs,qp =    X j≥0   2j−1 X k=0 cj,k2 (s−1 p)j p   q/p   1/q

• L’ensemble(fn)n∈Ndes séries d’ondelettes finies à coefficients rationnels est

dense dansBs,q p

• On considère une suite croissante(Nn)ntelle que les coefficients d’ondelettes

defnsont nuls pourj ≥ Nn

• gn= fn+N1

nFaa les mêmes propriétés de divergence queFaet(gn)n∈Nest dense dansBs,q p • On considère leGδdense R = \ [ B(gn, rn), où rn = 1 2−Nnp

(70)

Optimalité du résultat R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp f ∈ B(gn, rn) =⇒ X j≥0  2(sp−1)j 2j−1 X k=0 fj,k− gj,kn p   q/p < rnq =⇒ 2(s−p1)Nn fNn,k− cNn,k Nn < rn =⇒ fNn,k− cNn,k Nn < 1 2Na n 2−sNn =⇒ |fNn,k| ≥ 1 Nn |cNn,k| − 1 2Na n 2−sNn

(71)

Optimalité du résultat R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp f ∈ B(gn, rn) =⇒ X j≥0  2(sp−1)j 2j−1 X k=0 fj,k− gj,kn p   q/p < rnq =⇒ 2(s−p1)Nn fNn,k− cNn,k Nn < rn =⇒ fNn,k− Nn < 2Na n 2 n =⇒ |fNn,k| ≥ 1 Nn |cNn,k| − 1 2Na n 2−sNn

(72)

Optimalité du résultat R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp f ∈ B(gn, rn) =⇒ X j≥0  2(sp−1)j 2j−1 X k=0 fj,k− gj,kn p   q/p < rnq =⇒ 2(s−p1)Nn fNn,k− cNn,k Nn < rn =⇒ fNn,k− cNn,k Nn < 1 2Na n 2−sNn =⇒ |fNn,k| ≥ 1 Nn |cNn,k| − 1 2Na n 2−sNn

(73)

R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp f ∈ B(gn, rn) =⇒ X j≥0  2(sp−1)j 2j−1 X k=0 fj,k− gj,kn p   q/p < rnq =⇒ 2(s−p1)Nn fNn,k− cNn,k Nn < rn =⇒ fNn,k− cNn,k Nn < 1 2Na n 2−sNn =⇒ |fNn,k| ≥ 1 Nn |cNn,k| − 1 2Na n 2−sNn

(74)

Optimalité du résultat

f ∈ R =⇒ f ∈ B(gnl, rnl), l ∈ N On notex ∈ Tα(f )s’il existe une infinité deKltels que sij = Nnl

1. Kl∈ 2 Z/ , 2. x ∈ Kl 2[αj] ,Kl+ 1 2[αj]  , 3. x − Kl 2[j α] ≤ 1 2j,

4. siklcorrespond à l’intervalle dyadique de taille2−j qui contientx, alors

2jx − kl∈ ν.

Remarque. La définition deTα(f )est similaire à celle deTα, excepté que seulement

une sous-suite d’entiers (définie à partir def) est prise en compte.

(75)

f ∈ R =⇒ f ∈ B(gnl, rnl), l ∈ N On notex ∈ Tα(f )s’il existe une infinité deKltels que sij = Nnl

1. Kl∈ 2 Z/ , 2. x ∈ Kl 2[αj] ,Kl+ 1 2[αj]  , 3. x − Kl 2[j α] ≤ 1 2j,

4. siklcorrespond à l’intervalle dyadique de taille2−j qui contientx, alors

2jx − kl∈ ν.

Remarque. La définition deTα(f )est similaire à celle deTα, excepté que seulement

(76)

Optimalité du résultat Donc six ∈ Tα(f ), on a|ψj,kl(x)| ≥ Cet cj,kl= 1 ja2 (1 p−s)j2−p1[ j α]. pourj = Nnl. Commef ∈ B(gnl, rnl), on obtient |fj,kl| ≥ 1 j|cj,kl| − 1 2ja2 −sj ≥ 1 ja+12 (1 p−s)j2− 1 p[ j α]− 1 2ja2 −sj ≥ 1 2ja+12 (1 p−s)j2− 1 p[ j α] sil . Donc, df(x) ≥ 1 p− s − 1 αp.

(77)

Donc six ∈ Tα(f ), on a|ψj,kl(x)| ≥ Cet cj,kl= 1 ja2 (1 p−s)j2−p1[ j α].

pourj = Nnl. Commef ∈ B(gnl, rnl), on obtient |fj,kl| ≥ 1 j|cj,kl| − 1 2ja2 −sj ≥ 1 ja+12 (1 p−s)j2− 1 p[ j α]− 1 2ja2 −sj ≥ 1 2ja+12 (1 p−s)j2− 1 p[ j α] sil . Donc, df(x) ≥ 1 p− s − 1 αp.

(78)

Optimalité du résultat Tα(f ) ⊆  x : df(x) ≥ 1 p− s − 1 αp 

Comme fait précédemment, on trouve que dimH(Tα(f )) =

1 α

et plus précisément que

Hα1,2(Tα(f )) > 0.

A nouveau, on en déduit que

dimH  x : df(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  = 1 α d’où dimH{x : df(x) = γ} = 1 − sp − γp, ∀γ ≥ −s, ∀f ∈ R

(79)

Tα(f ) ⊆  x : df(x) ≥ 1 p− s − 1 αp 

Comme fait précédemment, on trouve que dimH(Tα(f )) =

1 α

et plus précisément que

Hα1,2(Tα(f )) > 0. A nouveau, on en déduit que

dimH  x : df(x) ≥ 1 p− s − 1 αp  = 1 α d’où dimH{x : df(x) = γ} = 1 − sp − γp, ∀γ ≥ −s, ∀f ∈ R

(80)

Optimalité du résultat Casp < +∞, q = +∞ kf kBs,qp = sup j≥0   2j−1 X k=0 cj,k2 (s−1 p)j p   1/p

Pour toutN ∈ N, on considère l’ensembleEN des fonctions deBps,qdont chaque

coefficient est un multiple non-nul de cj,k

N .

Lemme

L’ensembleS

NEN est dense dansBs,qp .

Preuve. Soitf ∈ Bs,q

p . Pour toutN, on définit la fonctiongN en posant

gj,kN = ( c j,k N h N cj,kfj,k i si hcN j,kfj,k i 6= 0 0 sinon.

(81)

Casp < +∞, q = +∞ kf kBs,qp = sup j≥0   2j−1 X k=0 cj,k2 (s−1 p)j p   1/p

Pour toutN ∈ N, on considère l’ensembleEN des fonctions deBps,qdont chaque

coefficient est un multiple non-nul decj,k

N .

Lemme

L’ensembleS

NEN est dense dansBs,qp .

Preuve. Soitf ∈ Bs,q

p . Pour toutN, on définit la fonctiongN en posant

gj,kN = ( c j,k N h N cj,kfj,k i si hcN j,kfj,k i 6= 0 0 sinon.

(82)

Optimalité du résultat gj,kN = ( c j,k N h N cj,kfj,k i si h N cj,kfj,k i 6= 0 cj,k N sinon. Alors |fj,k− gj,kN | = |cj,k| N N cj,k fj,k−  N cj,k fj,k  ≤|cj,k| N et sup j≥0   2j−1 X k=0 cj,k N 2 (s−1 p)j p   1/p = 1 NkFakBps,q → 0siN → ∞

Ensemble résiduel : On pose

AN = EN + B(0, rN) où rN = 1 2Na2 −N p et R = \ m∈N [ N ≥m AN.

(83)

gj,kN = ( c j,k N h N cj,kfj,k i si h N cj,kfj,k i 6= 0 cj,k N sinon. Alors |fj,k− gj,kN | = |cj,k| N N cj,k fj,k−  N cj,k fj,k  ≤|cj,k| N et sup j≥0   2j−1 X k=0 cj,k N 2 (s−1 p)j p   1/p = 1 NkFakBps,q → 0siN → ∞

Ensemble résiduel : On pose

AN = EN + B(0, rN) où rN = 1 2Na2 −N p et R = \ [ AN.

(84)

Optimalité du résultat

Autres résultats

• Passage àR: on prend comme fonction de saturation la fonction

f Fa=

X

k∈Z

e−kFa(x − k)

• Les résultats précédents sont également vérifiés pour les casp = q = +∞et p = +∞, q < +∞, ainsi que dans les espaces de Sobolev.

• Résultats similaires obtenus avec la notion de prévalence. L’idée est de considérer les coefficients

cj,k=

ξj,k

ja 2 (1

p−s)j2−1pJ

où lesξj,k∼iidN (0, 1).

• Résultats similaires obtenus avec la notion de linéabilité, en prenant l’enveloppe linéaire desFa,a >1p +1q.

(85)

Optimalité du résultat

Autres résultats

• Passage àR: on prend comme fonction de saturation la fonction

f Fa=

X

k∈Z

e−kFa(x − k)

• Les résultats précédents sont également vérifiés pour les casp = q = +∞et p = +∞, q < +∞, ainsi que dans les espaces de Sobolev.

considérer les coefficients

cj,k=

ξj,k

ja 2 (1

p−s)j2−1pJ

où lesξj,k∼iidN (0, 1).

• Résultats similaires obtenus avec la notion de linéabilité, en prenant l’enveloppe linéaire desFa,a >1p +1q.

(86)

Optimalité du résultat

Autres résultats

• Passage àR: on prend comme fonction de saturation la fonction

f Fa=

X

k∈Z

e−kFa(x − k)

• Les résultats précédents sont également vérifiés pour les casp = q = +∞et p = +∞, q < +∞, ainsi que dans les espaces de Sobolev.

• Résultats similaires obtenus avec la notion de prévalence. L’idée est de considérer les coefficients

cj,k=

ξj,k

ja 2 (1

p−s)j2−1pJ

où lesξj,k∼iidN (0, 1).

• Résultats similaires obtenus avec la notion de linéabilité, en prenant l’enveloppe linéaire desFa,a >1p +1q.

(87)

Autres résultats

• Passage àR: on prend comme fonction de saturation la fonction

f Fa=

X

k∈Z

e−kFa(x − k)

• Les résultats précédents sont également vérifiés pour les casp = q = +∞et p = +∞, q < +∞, ainsi que dans les espaces de Sobolev.

• Résultats similaires obtenus avec la notion de prévalence. L’idée est de considérer les coefficients

cj,k=

ξj,k

ja 2 (1

p−s)j2−1pJ

où lesξj,k∼iidN (0, 1).

• Résultats similaires obtenus avec la notion de linéabilité, en prenant l’enveloppe linéaire desF ,a >1 +1.

(88)

Références

Références

J.M. Aubry.

On the rate of pointwise divergence of Fourier and wavelet series inLp.

J. Approx. Theory, 538 :97–111, 2006.

F. Bayart and Y. Heurteaux.

Multifractal analysis of the divergence of Fourier series.

Ann. Sci. Ec. Norm. Supér., 45 :927–946, 2012. 22 :663–682, 2006.

S. Jaffard.

On the Frisch-Parisi conjecture.

J. Math. Pures Appl., 79(6) :525–552., 2000.

S.E. Kelly, M.A. Kon, and L.A. Raphael.

Local convergence for wavelet expansion. J. Funct. Anal., 126 :102–138, 1994.

Y. Meyer.

Ondelettes et opérateurs. Hermann, 1990.

G.G. Walter.

Pointwise convergence of wavelet expansions. J. Approx. Theory, 80 :108–118, 1995.

Références

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