Estimation des paramètres de la loi Log-Pearson type 3 par la méthode généralisée des moments.

Record Number:

Author, Monographic: Bobée, B.//Ashkar, F.//Fortier, L.

Author Role:

Title, Monographic: Estimation des paramètres de la loi Log-Pearson type 3 par la méthode généralisée des moments

Translated Title: Reprint Status: Edition:

Author, Subsidiary: Author Role:

Place of Publication: Québec

Publisher Name: INRS-Eau

Date of Publication: 1986

Original Publication Date: Juin 1986

Volume Identification: Extent of Work: 39

Packaging Method: pages incluant un annexe

Series Editor: Series Editor Role:

Series Title: INRS-Eau, Rapport de recherche

Series Volume ID: 201 Location/URL:

ISBN: 2-89146-199-1

Notes: Rapport annuel 1986-1987

Abstract: 10.00$

Call Number: R000201

ESTIMATION DES PARAMÈTRES

DE LA LOI LOG-PEARSON TYPE 3

PAR LA MÉTHODE GÉNÉRALISÉE DES NOMENTS.

par

Bernard Bobée, Fahim Ashkar et Louise Fortier

RAPPORT SCIENTIFIQUE NO. 201

ESTIMATION DES PARAMÈTRES

DE LA LOI LOG-PEARSON TYPE 3

PAR LA MÉTHODE GENERALISEE DES ~10MENTS.

par

Bernard BObée, Fahim Ashkar et Louise Fortier

RAPPORT SCIENTIFIQUE NO. 201

-1-ESTIMATION DES PARAMÈTRES DE LA LOI LOG-PEARSON TYPE 3

PAR LA MÉTHODE GÉNÉRALISÉE DES MOMENTS.

Ashkar et Bobée (1986c) ont considéré 4 façons d'utiliser la méthode généralisée des moments pour ajuster une distribution Log Pearson type 3 (LP) à un échantillon de débits maximums annuels. Ces 4 méthodes sont la méthode proposée par le conseil des ressources en eau des U.S.A. (WRC, 1981), la méthode BOB de Bobée (1975), la méthode MM1 de Rao (1981) et la méthode SAM de Bobée et Ashkar (1986). Une simula-tion de Monte-Carlo portant sur 10 triplets de paramètres (a, À, m) a

servi à comparer ces différentes méthodes. LI analyse détai 11 ée des résultats pour un triplet, et l'analyse de X_T pour l'ensemble des triplets pour les grandes périodes de retour ont été présenté par Ashkar et Bobée (1986c). Le présent rapport donne l'ensemble complet des tableaux de résultats pour les 10 triplets considérés dans la simulation.

-2-De nouvelles idées furent récemment émises concernant l'utilisation de la méthode généralisée des moments pour ajuster une distribution Log

Pearson (LP) à un échantillon de débits maximums annuels. (Ashkar et

Bobée, 1986(a,b); Bobée et Ashkar, 1986). Cette méthode peut être

appliquée de différentes façons. Ashkar et Bobée (1986c) ont considéré 4

versions de cette méthode généralisée des moments. Se 1 on certains

critères bien définis, et pour des conditions différentes, ils ont fait

le point sur la méthode la plus apte à estimer les débits de design.

Les méthodes considérées sont les suivantes:

1) La méthode proposée par le conseil des ressources en eau des

Etats-Unis (WRC, 1981), qui consiste à transformer l'échantillon

observée Xi logarithmiquement pour obtenir Yi

=

log Xi et à y

ajuster, par la méthode des moments usuelle, la loi Pearson (P) en utilisant les moments d'ordre 1,2, et 3 (moyenne, variance et coefficient d'asymétrie).

2) La méthode de Bobée (1975) [méthode nommée i ci BOB] qui

consiste à considérer les moments d'ordre l, 2 et 3 de la loi LP

et à 1 es égaler aux moments correspondants de l' éc hanti 11 on. En

app1 i quant cette méthode, on peut util i ser soit 1 a moyenne, 1 a variance et le coefficient d'asymétrie de l'échantillon (Hoshi et Burges, 1981) ou soi t 1 es moments non-centrés d'ordre l, 2 et 3

(Bobée, 1975; Bobée et Boucher, 1981). Ces deux méthodes sont

équi val entes quoi que l' uti 1 i sati on des moments non-centrés soi t mathématiquement plus simple.

-3-3) La méthode MM1 de Rao (1981) qui util i se l es moments d'ordre quasi 0 (moyenne géométrique de l'échantillon, Ashkar et Bobée (1986 b), Bobée et Ashkar (1986}) et les moments d'ordre 1 et 2 de la série originale X. Cette méthode équivaut à consi dérer la moyenne et la variance de la série X et la moyenne de la série Y

=

Log X.

4) La méthode SAM de Bobée et Ashkar (l986) qui utilise les moments d'ordre -1, 0 et 1 qui correspondent respecti vement à la moyenne harmoni que, l a moyenne

arithmétique de la série originale.

géomét ri que et l a moyenne Cette méthode est équivalente à utiliser la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique de la série originale X et la moyenne arithmétique de la série y

=

Log

X.

Pour fins de comparaisons de ces 4 méthodes d'estimation, Ashkar et Bobée (1986 c) ont fait une étude par simulation de Monte Carlo portant sur 10 triplets de paramètres (a, À. et ml. Seuls les résultats d'un

ensemble spécifique de paramètres (a

=

46.05, À.

=

13.67, m

=

2.4) ont

été présentés et interprétés. Le but du présent rapport est donc de fournir l'ensemble complet des tableaux de résultats pour les 10 triplets de l'étude.

Pour chaque triplet (a, À. et ml, un nombre n (n

=

1000)

d' échanti 11 ons de grandeur N (N

=

25, 50, 100 et 1000) fut généré à partir d'une population log Pearson type 3.

-4-Chacune des 4 méthodes d'estimation des paramètres, décrites précé-demment, fut alors utilisée pour obtenir des valeurs estimées

a,

~ et

m

des paramètres a, À, m et un estimé

X

_T, du débit de design X_T (débit de

péri ode de retour Tl pour di fférentes péri odes de retour T. Chaque essai est caractéri sé par le nombre de répét i ti ons n (n

=

1000} , la taille N de l'échantillon généré (N

=

25, 50, 100, 1000) et l'ensemble des caractéristiques de la population (10 triplets différents). Pour chacun des 10 triplets et chacune des 4 tailles d'échantillon, les résultats suivant furent obtenus pour chacune des 4 méthodes d'estima-tion.

1) Le biais standardisé observé (%) qui est calculé pour le paramètre m par exemple, comme suit:

BOb(m}

=

100

*

(m -

m) / m (l)

~ ~

m étant l a moyenne des n (n

=

1000) valeurs obtenues pour m, et m est la valeur réelle du paramètre m.

2) L'écart type standardisé observé (%) obtenu par:

~ SEob(m}

=

100

*

[varOb(m}] / m où n 2

L

(m - m)

/ (n - 1) i=l (2a) (2b)

-5-3) Llécart type standardisé (%) pour N élevé (i.e. basé sur la théorie asymptoti que).

~

SEas(m}

=

100

*

[varas(m}] / m (3 )

ou var (.) est calculé en utilisant l 1 approximation de Taylor de

as

var (f(x,y), g(x,y}}.

Llarticle dlAshkar et Bobée (1986c) donne plus dl informations concernant le calcul de varas (.) pour~, ~, met

X

_T•

4) La racine carré standardisée du carré des erreurs moyennes:

n 2 ~

RMSEob(m}

=

100

* [

il1 (m - m) / n ] / m (4)

On peut facilement démontrer à partir de (1), (2a), (2b) et (4)

que:

2

=

(n - 1) [SE_Ob ] / n + (5)

5) Le coefficient dlasymétrie des paramètres estimés (~,~,

m,

X

_T)

6) Le coefficient de corrélation observé entre les paramètres. Par exemple, la corrélation entre ~ et ~ est calculée comme suit:

-6-où varob(e) et COVob(e,e) représente respectivement la variance observée et la covariance observée .•

7) Le coefficient de corrélation pour N élevé (théorie asymptotique). Pour la paire (~, ~) par exemple, cette corrélation est calculée de la manière suivante:

e var as (7)

où les expressions théoriques de varas(e) et covas(e,e) sont données dans:

• Bobée (1973), pour la méthode WRC;

• Hoshi et Burges (1981) et Bobée et Boucher (1981), pour la méthode BOB. Hoshi et Burges utilisent les moments centrés de la distribution Log Pearson tandis que Bobée et Boucher utilisent les moments non centrés. Les deux méthodes donnent des résultats équivalents;

-7-• Ashkar et Bobée (1986b), pour la méthode SAM. Cette étude donne des équati ons général es qui peuvent être appl i quées avec chacune des méthodes des moments util i sés, si 1 es troi s moments util i sés lors de 1 'estimation sont des moments dans l'espace réel.

Les équations obtenues par Hoshi et Burges (1981), et Bobée et Boucher (1981) pour la méthode BOB, ainsi que celles obtenues par Phien et Hsu (1985) pour la méthode MM!, sont donc des cas spéciaux de celles

dérivées par Ashkar et Bobée (198bb)

8) Le coefficient de corrélation observé entre les moments.

9) Le coefficient de corrél ation observé entre les moments pour N élevé.

10) La fréquence de X_T le plus près de la vraie valeur.

Ashkar et Bobée (1986 c) donnent l'interprétation de ces résultats et une comparaison des différentes méthodes utilisées.

-8-RÉFÉRENCES

ASHKAR, F. and BaBEE, B. (1986a).

Variance of the T-year event in the log Pearson type 3 distribu-tion, A comment, Journal of Hydro10gy, 84; 181-187.

ASHKAR, F. and BaBÉE, B. (1986b).

The genera1ized method of moments as app1ied to the log Pearson type 3 distribution with sorne large samp1e resu1ts. (Submitted to Water Resources Research)

~

ASHKAR, F. and BaBEE, B. (1986c).

The genera1ized method of moments as app1ied in prob1ems of flood frequency ana1ysis: sorne practica1 resu1ts for the log Pearson type 3 distribution (Submitted to Water Resources Research).

BaBÉE, B. (1975).

The log-Pearson type 3 distribution and its application in hydro10gy. Water Resources Research, 11(5), pp. 681-689.

~

BaBEE, B. and ASHKAR, F. (1986).

Sundry averages method (SAM) for estimating parameters of the log Pearson type 3 distribution (submitted to Water Resources Research)

-9-BOBEE, B. and BOUCHER, P. (1981). Calcul de la variance d'un événement de période de retour T: Cas des lois Log-Pearson type 3 et Log-Gamma ajustées par la méthode des moments sur la série des valeurs

obser-vées. INRS-Eau, rapport scientifique No. 135, 17 p.

HOSH l, K and BURGES S.J. (1981).

Approximate estimation of the derivation of a standard gamma quantile for use in confidence interval estimates, Journal of Hydrology, 53; 317-325.

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Va ri ance of the T -year event in the log Pearson type 3 di stri bu-tion. J. Hydrol, 77, 141-158.

RAO, D.V. (1980).

Log Pearson type 3 distribution: Method of mixed moments, J. Hydraul. Div., Am. Soc. Civ. Eng., 106(HY6}, 999-1019.

WATER RESOURCES COUNCIL (1981).

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