T
HÈSES DE L
’
ENTRE
-
DEUX
-
GUERRES
G
ASTON
B
ENNETON
Sur l’arithmétique des quaternions et des biquaternions
Thèses de l’entre-deux-guerres, 1943
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SÉRIE A ,
Nu D'ORDRE :
2910
THÈSES
A LA FACULTÉ DIS SCIENCES DE PARIS
POUR OBTENIR
LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES MATHÉMATIQUES
PAR
M. GASTON BEIVIVETOIV
ll e T H È S E . — SUR L'ARITHMÉTIQUE DES QUATERNIONS ET D E S BIQVATERNIONS
2e T H È S E . — L A SURFACE DE KUMMER.
Soutenues le -40 aice**$u 1943 devant la Commission d'examen.
MM. MONTEL, Président. GARNIER,
CHATELET, l Examinateur*.
PARIS
GAÜTH1ER-V1LLARS, ÉDITEUR
LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE Quai des Grands-Augusdns, 55
FACULTÉ DES SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ DE PARIS
MM. M. MOLLIARD.
Doyens honoraires j Q' M A U R A I N j
Doyen PAUL MON TEL, Professeur, Théorie des fonctions.
Professeurs honoraires LÉON BRILLOUIN. AUGER, DANGEARD. LESPIAU. VESSIOT. PORTIER. LAPICQTJE. G. BERTRAND. CH. FABRY. LÉON BERTRAND. WINTREBEHT. DUBOSCQ. BOHN. RABAUD. CAULLERY. GAUTAN. É . B O R E L . A, COTTON. J. DRACH. M. GUICHARD. LABROUSTE. PROFESSEURS CHARLES PEREZ T L. BLARINGHEM . . . T G. JULTA T C. MAUGUJN T A. DENJOY T L. LUTAUD T G. BRUHAT T E. DARMOIS T A. DEBIERNE T L. DUNOYER T M. JAVILLTER T HENRI VILLAT T CH. JACOB T P . PASCAL T M. FRÉCHET T E. ESGLANGON T H. BÉGHIN T FOCH T PAUTHEXIEK T D E BROGLIE T CHRÉTIEN PRENANT T COMBES.. T GAKNIER T PÉRÈS T HACKSPILL T TOUSSAINT M. CURIE G. R1BAUD T Zoologie. Botanique.
Analyse supérieure et Algèbre supérieure.
Minéralogie. Géométrie supérieure. Géographie physique et
Géo-logie dynamique. Physique. Enseignement de Physique. Electronique et Radio-activité. Chimie physique. Chimie biologique.
Mécanique des fluides et appli-cations.
Géologie. Chimie générale.
Calcul des Probabilités et Phy-sique mathématique. Astronomie.
Mécanique expérimentale des fluides.
Electrotechnique générale. Théories physiques. Optique appliquée.
Anatomie et Histologie compa-rées.
Mécanique physique et expé-rimentale. Physiologie végétale. Application de l'Analyse à la Géométrie. Mécanique rationnelle. Chimie minérale. Technique aéronautique. Physique (P.C.B.J. Hautes températures.
CHAZY T Mécanique rationnelle. GAULT T Chimie (P. C. B.).
CltOZE T Physique théorique et Phy-sique céleste.
DUPONT T Théories chimiques.
VALIRON T Calcul différentiel et intégral. BARRABÉ Géologie structurale et Géologie
appliquée. F. PERRIN Théories physiques. VAVON T Analyses et mesures chimiques. G. DARMOIS T Mathématiques générales. CHATTON... T Biologie maritime. AU BEL Chimie biologique.
JACQUES BOURCART. Géographie physique et Géolo gie dynamique.
M»« JOLïOT-CURIE. Physique générale et Radio-activité.
PLANTEFOL... T Botanique.
CABANNES Recherches physiques. GRASSE.. Zoologie (Évolution des êtres
organisés). PRÉVOST Chimie organique, BOULIGAND. Mathématiques. CHAUDRON Chimie. WYART Minéralogie. TEISS1EU Zoologie.
MANGE NOT.. Biologie végétale (P. C. B.). P. AUGER. Physique.
M0NN1ER Physiologie générale. PI VETE AU Géologie.
ROCARD Physique. H. C ART AN Calcul différentiel. SCHAEFFER T Physiologie générale. LAFF1TTE Chimie (P. C. B.}.
LEItAY Mécanique théor, des fluides. FAVART Calcul îles Probabilités et
Phy-sique Mathématique. Secrétaire Secrétaires honoraires. ( A. C. MONÏER. D. ÏOMBECK. PACAUD.
PREMIÈRE THÈSE.
SUR
L'ARITHMÉTIQUE DES QUATERNIONS
ET DFS
BIQUATERNIONS
PRÉFACE.
Ce Mémoire comprend deux parties, dont on trouvera le résumé en plusieurs Notes dans les Comptes rendus de VAcadémie des Sciences [17].
La première partie étudie les propriétés des quaternions entiers. On connaît les résultats essentiels obtenus dans ce domaine par Hurwitz [ 11] : son arith-métique des quaternions, dont l'ordonnance s'inspire de la théorie des corps de nombres algébriques, est basée sur l'existence d'un plus grand commun diviseur valable dans tous les cas; à cet .effet sont considères comme entiers non seulement les quaternions à composantes entières mais ceux dont les composantes sont des moitiés de nombres impairs. Nous suivons ici une méthode différente : nous définissons a priori les quaternions entiers comme ayant les composantes entières, puis nous construisons leur arithmétique en prenant pour base l'existence même des diviseurs premiers. L'étude des facteurs premiers y précède donc la théorie du plus grand commun diviseur. Pour décomposer les quaternions en facteurs premiers, nous indiquons deux procédés de calcul effectif. Le premier? analogue au raisonnement de Lagrange
[2] sur les sommes de quatre carrés, équivaut à la recherche, par divisions successives, des diviseurs communs à deux quaternions dont l'un est premier scalaire. Le second procédé, obtenu par itération, est d'ordre plus général et s'étend aisément au cas des facteurs non premiers.
Des résultats complémentaires seront publiés ultérieurement concernant la théorie des diviseurs et du plus grand commun diviseur, ainsi que l'application des quaternions k l'étude des matrices orthogonales d'ordre 4 à termes entiers.
— 2
-La deuxième partie traite de l'arithmétique des biquaternions, nombres hypercomptexes d'ordre 8 comprenant les quaternions comme cas particulier. La multiplication n'y est pas associative et, dans la division par un nombre entier naturel, la notion de reste doit être sensiblement modifiée. La décompo-sition en facteurs premiers, généralement possible, s'obtient par un algo-rithme simple tout à fait semblable au second procédé des quaternions, qui ne suppose pas Tassociativité du produit. Enfin le théorème de la décomposition des biquaternions permet de retrouver les énoncés de Jaeobi sur la représenta-tion des nombres entiers par une somme de huit carrés.
Je suis heureux de pouvoir exprimer ici mes sentiments de vive gratitude à mon maître M. Paul MonteletàM. A. Châtelet, dont les suggestions et les conseils m'ont été d'une aide précieuse.
NOTES BIBLIOGRAPHIQUES.
[ I ] L. EULER, Œuvres.
[2] J.-L. LAGRANGE, Œ'uvres, 3, Paris, 1869, p. 189. [3] G. F. GAUSS, Dlsquisitiones arlthmetlcae, Leipzig, 1801. [4] A.-M. LKGENDRE, Théorie des Nombres, 2, Paris, i83o, p. 1,44.
[5] C. G. JACOBi, Fundamenta nova, Konigsberg, 18^9, p. 106, J 8 4 ; IVerke, 1, Berlin, 1891, p. 239; PTerke, 6, p. 245.
[6] A. CAYLEY, Philos. Trans. London, 148, i858, p. 17; Math, Papers, 2, Cambridge, 1889, p. 475.
[7] A. CAYLEY, London Edinb. Dublin philos, mag., 26, 1845, p. 210; Math. Papers, 1, Cambridge, 1889, p. 127, Soi.
[8] F. BRIOSCHI, / . reine angeiv. Math., 52, i856, p. i33. [9] C. JORDAN, Traité des substitutions, Paris, 1870, p. i56.
[10] R. LiPSCiiiTZ, Untersuchungen ilber die Summen von Quadraten, Bonn, 1886; / . Math, pures
etappl.9(i), % 1886, p. 37-l
[ I I ] A. HURWITZ. Nachr. Ges. Gôttlngen, 1896, p. 3i3, 336; Vorlesungen über die Zahlentheorie
der Quaternlonen, Berlin, 1919.
[15] A. HuRwirz, Nachr. Ges. Gôttlngen, 1898, p. 309. [13] G. FONTBNÉ, Bull. Soc. math. France, 27, 1899, p. 171. [14] E. DUBOIS, Intermédiaire des mathématiciens, 18, 1911, p. 55. [15] L. E. DICKSON, Proc. of the London math. Soc, 1921, p. 220. [16] C. R. AcadSc, Paris, 212, 1941, p. 591, 637.
3
-PREMIÈRE PARTIE.
LES QUATERNIONS ENTIERS.
CHAPITRE I.
GENERALITES.
1. Définitions et formules. — Les quaternions sont des nombres complexes d'ordre 4> c'est-à-dire des expressions linéaires de trois symboles i,j, k
A =r Xo -h X\ t H- x2j -h X^ k,
dont les composantes x^ ou coordonnées, seront dans cette étude des nombres entiers (éventuellement des fractions de dénominateur 2). L'addition et la multiplication se font comme celles de polynômes en i,j, k, compte tenu de la table de multiplication suivante
jk = —kj = i, ^ = y ^ ~ / v2~ — t, kl ——ik =J,
ij =— ji=k.
Rappelons quelques définitions et propriétés usuelles de l'algèbre de ces nombres.
La multiplication des quaternions est associative, d i s t r i b u é e par rapport a l'addition, mais non commutative. Toutefois un nombre naturel cvQ peut être
considéré comme un quaternion, dit scalaire, dont le produit avec tout autre quaternion est commutatif.
Deux quaternions ayant même premiere composante (partie scalaire) et dont les autres composantes sont opposées deux k deux sont dits conjugués :
A ~ ui^-h J?yi H- x,j -\- œKk, A z= x$ — xxl — x>j — x,k ;
leur produit est un nombre scalaire positif, qui est leur norme commune
N(A) = N(Â) = ÀÂ=ÂÀ = #5 ~^x\^-x\ ~hx].
Le conjugue d'un produit est le produit des conjugués changés d'ordre
La norme d'un produit se calcule immédiatement : elle vaut le produit des normes, comme il résulte aussi de l'identité de Lagrange
__ 4
-Ceci montre qu'un produit est nul seulement si l'un des facteurs est nul, de sorte que, par exemple,
Àli = ÀB' ( À ^ o j entraîne B = B'.
Notons que la division à droite ou à gauche est possible, sauf par zéro ; elle donne en général des quaternions à composantes fractionnaires.
Il y a huit quaternions J entiers de norme i ±i, ±i, ±j, ±k,
dont les inverses sont aussi des quaternions entiers (égaux ou opposés); ils constituent le groupe des unités. Multiplier par une unité ne change pas la norme.
Signalons enfin qu'on ne change pas la partie scalaire d'un produit en faisant une permutation circulaire des facteurs.
C'est essentiellement la propriété multiplicative de la norme qui justifie l'introduction des quaternions en arithmétique : décomposer un nombre entier a
en une somme de quatre carrés équivaut à trouver deux quaternions conjugués dont ce nombre est le produit
pour décomposer un produit ab en une somme de quatre carrésp, on peut décomposer
chaque facteur et composer les résultats obtenus soit par V identité de Lagrange, soit par le produit des quaternions
dotations. — En principe nous désignons des quaternions de même norme
par une même majuscule diversement accentuée, et la norme commune par la minuscule correspondante
2. Points de vue. — Comme nous venons de le dire, l'arithmétique des quaternions est étroitement liée à la représentation des nombres par une somme de quatre carrés, et on peut étudier Tune afin de compléter l'autre.
En ce qui concerne l'étude des quaternions entiers; il existe plusieurs points de vue, d'ailleurs peu différents les uns des autres ;
a. Définition a priori du quaternion entier en tant que qtiaternion à
compo-santes entièi*es. Pour de tels quaternions la théorie des diviseurs etdu p. g. c. d.
n'est pas valable dans tous les cas, et il faut étudier spécialement certaine classe où le facteur 2 joue un rôle particulier.
Cette définition, la première en date est celle de Lipschitz [10J. Elle a été reprise par L. E. Dickson [15].
b. Construction d'une arithmétique des quaternions basée, comme
5
procède Hurwitz [11]; à cet effet il nomme quaternions entiers non seulement les quaternions à composantes entières mais encore ceux dont les composantes sont des moitiés de nombres impairs.
e. Étude d'un système de pseudo-quaternions, où la définition dé base des produits unitaires est par exemple
ii = — ii = i, i'~i, j k = — kj = /,
où î,j, k désignent trois unités permutables circulairement. Une telle défini-tion donne à la multiplicadéfini-tion la presque-commutativité que ne possèdent pas les quaternions, BA = ABi. L'associativité par contre n'existe plus. L'arithmé-tique obtenue est presque idenL'arithmé-tique k celle des quaternions; l'étude des produits de deux facteurs y est un peu plus simple [16].
d. Étude des quaternions d'après les vues de Cayley sur la théorie des
matrices [G], Les quaternions entiers sont représentés par des matrices carrées d'ordre L\ et correspondent à des substitutions linéaires orthogonales de quatre variables à coefficients entiers.
Nous choisissons le premier poinl de vue. D'ailleurs nous aurons recours aux considérations b et d pour étendre ou préciser certains résultats.
3. Divisibilité des quaternions. — La notion de divisibilité de l'arithmétique s'étend évidemment aux quaternions entiers à condition de distinguer les diviseurs à droite ou à gauche. On obtient ainsi les définitions et propriétés suivantes :
Un quaternion A est divisible par un scalaire entier m, à la fois à droite et à gauche, s'il existe un quaternion X tel que
. Pour cela il faut et il suffit que les quatre composantes de A soient divisibles
par m.
Un quaternion A est divisible à gauche par un quaternion B (ou à droite par un quaternion C) s'il existe un quaternion X (ou Y), qui est alors déterminé, tel que
ArzzBX ou À = YC.
Pour cela il faut et il suffit que
BA = \(B)X ou HA divisible par h, AC = Y\(C) oit AC divisible par c.
En particulier, comme il a été dit, tout quaternion divise sa norme, et divise un multiple quelconque de sa norme. Pour qu'un scalawe m soit divisible par un
qualernion A, à droite ou à gauche, il faut et il suffit que m soit divisible par la norme de A :
6
-Tout diviseur à droite d'un diviseur à droite est un diviseur à droite. De même à gauche. La divisibilité est unilatéralement transitive,
Les diviseurs scalaires jouant un rôle particulier, nous allons en indiquer quelques propriétés. Mais d'abord introduisons deux locutions (analogues à celles de l'arithmétique des polynômes) :
un quaternion est primitif si ses composantes âont premières entre elles dans leur ensemble;
tout quaternion est le produit d'un quaternion primitif par un entier positif
qui est son plus grand diviseur ( p . g. cl.) scalaire.
Ceci posé :
les diviseurs scalaires d'un quaternion sont les diviseurs de son p. g. d. scalaire. Si un nombre m divise le produit de deux quaternions AB et s*il est premier avec la norme de l'un, il divise Vautre. En effet m doit diviser
A A B = N ( A ) ( p . il- d. s c a l a i r e B ) B , ,
B( étant un quaternion primitif; donc m divise le p. g. d. scalaire de B.
De cet énoncé résuite que :
si deux quaternions ont des normes premières entre elles, le p. g. d. scalaire de leur produit est le produit des p. g. d. scalaires des f acteurs.
En particulier, le produit de deux quaternions primitifs dont les normes sont premières entre elles est primitif. Il est aisé de voir sur des exemples que la propriété n'est plus vraie si les normes ne sont pas premières entre elles.
4. Quaternions associés. Facteurs. — i° Un diviseur scalaire d'un quaternion est défini au produit près par ± T . Un diviseur à gauche B (ou à droite C) est défini au produit près à droite (ou à gauche) par les huit unités J :
BJ (ou JG).
Suivant une locution usuelle d'arithmétique générale, ces huit quaternions seront dits associés à gauche (ou à droite).
En particulier tout diviseur A admet comme diviseurs impropres (ou triviaux) :
des deux côtés, les huit unités J;
à gauche, les huit associés a gauche AJ; à droite, les huit associés à droite JA.
Tout autre diviseur dont la norme est comprise entre i et 1\(A), est diviseur
propre.
2° Plus généralement appelons quaternions associés à A tous les produits de la forme JAJ', les unités pouvant être multipliées à droite et à gauche.
7
-Si B est diviseur de A (à droite ou à gauche), tous les quaternions associés à B sont diviseurs d'un quaternion associé à A. En effet
A=BC équivaut à JAJ'™ JBJ"(j"CJ'\
On peut donc se borner à étudier la divisibilité d'un quaternion défini à la multiplication près par une unité à droite ou à gauche, lin tel quaternion joint à tous ses associés sera appelé un facteur. Ainsi les quaternions JAJ', qui sont au nombre de 32 distincts ou non ( c / . n° 18), constituent le facteur (X associé à A. L'égalité ci-dessus devient
a = use,
où les facteurs óh et G ne sont d'ailleurs pas complètement indépendants. Les huit unités forment le facteur unité J . Tout autre facteur a pour diviseurs impropres lui-même et le facteur unité. Tout facteur dont la norme est un nombre premier ne possède aucun diviseur propre.
Si deux quaternions A et A sont conjugués, tous leurs associés sont conju-gués deux à deux; ils définissent deux facteurs &L et GL9 encore appelés conjugués et tels que
5. Restes des quaternions (modm). — Selon une locution usuelle, deux quaternions A et B sont congrus ou appartiennent à une même classe suivant le module scalaire m (entier positif), si leur différence est divisible par m :
À ^ B (moâm) équivaut à A —B = mU.
Les classes ainsi définies s'ajoutent, se retranchent et se multiplient (produit non-commutatif). La propriété dont nous ferons surtout usage est :
Tous les quaternions d'une même classe (mod m) ont les mêmes diviseurs de norme m, à droite ou à gauche^ si toutefois il en existe.
En effet, avec les précédentes notations
A = MX entraîne B = M (X — MU ), A = X/M/ entraîne B = (X'— UM')M
'-La classe nulle, contenant zéro, est Fensemble des quaternions multiples de m.
D'importantes démonstrations de l'arithmétique élémentaire sont basées sur le fait que, dans toute classe d'entiers (mod/n), il existe un entier (reste) compris entre zéro et m, ou encore compris entre —^- et '— (reste absolu minimum). Pour les quaternions la propriété analogue est celle-ci :
Dans une classe de quaternions (modm), il existe au moins un quaternion R,
que nous appelons reste, dont la norme est au plus égale à m-, l'égalité n'ayant lieu que si m est pair.
— 8 —
En effet, parmi tous les quaternions congrus a A (mod/?z), considérons le quaiernion 11 dont les composantes sont les restes minima absolus de celles de À : chaque composante de n a une valeur absolue au plus égale à - • La norme de R est au plus égale à m2 ; elle n'égale m2 que si A est de la forme
V — - - C (m pair)?
les composantes de C étant toutes impaires.
CHAPITRE IL
DÉCOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS.
6. Méthode de décomposition en facteurs premiers, — Nous disons qu'un quaternion est premier si sa norme est un nombre premier. Il est nécessairement primitif et n'a pas de diviseur propre.
Dans ce Chapitre nous étudions d'abord la décomposition des quaternions primitifs. Nous montrons que tout quaternion primitif A est un produit de quaternions premiers P dont les normes sont les facteurs premiers de la norme de A, et nous indiquons le moyen de calculer les diviseurs P à partir de A. Puis nous étudions les quaternions scalaires et nous montrons qu'ils sont toujours décomposables en produit de quaternions premiers. De là nous passons aux quaternîons quelconques, eux aussi décomposables.
Il en résulte alors que les quaternions premiers sont les seuls à n'avoir pas de diviseur propre, ce qui justifie leur nom. Quant à la propriété d'arithmé-tique élémentaire, à savoir qu'un nombre premier ne peut diviser un produit de deux entiers sans diviser Tun d'eux, elle n'a pas d'équivalent pour les quaternions en raison de la non-commutativité de la multiplication.
En fin de Chapitre nous recherchons les quaternions primitifs de norme donnée, et nous donnons une démonstration du théorème de Jacobi sur les sommes de quatre carrés.
Bien entendu la notion de facteur (ensemble de quaternions associés)permet de simplifier la plupart des énoncés.
Pour étudier la décomposition d'un quaternion primitif A, nous en calcu-lerons d'abord un diviseur premier a gauche P dont la norme divise celle de A, c'est-à-dire que nous résoudrons l'égalité
A — P Q ; ' N(À)=7>/7, N(P) = /?.
Examinons en premier lieu le cas dep = 2 qui présente des anomalies.
7. Existence d'un diviseur de norme 2. — Si N(À) est double de nombre
9
-de norme 2
et par ses associés.
Si N(A) est multiple de ^ k est divisible à droite et à gauche par tous les quaternions de norme 2.
Remarquons d'abord quV/ ri y a pas de quaternion primitifde norme divisible
par 8.
Le quaternion primitif A et son reste Ao (mod2) ont les mêmes diviseurs à
gauche de norme 2. Mais leurs normes sont congrues entre elles (mod4) de sorte que, suivant le cas, la norme de Ao, au plus égale à l\ et non nulle, est 2
ou
4-Dans le premier cas Ao est la somme de deux unités, c'est donc l'associé d'un
seul des trois quaternions 1 + i, 1 + y , 1 -h k.
Dans le second cas les composantes de Ao sont ± 1, et suivant le module 2f
on peut les prendre positives. Ao s'écrit alors
En résumé, si la norme de A est paire :
N ( A ) ^ o (rood 4), A = ( i H - i ) Q ou ( t - h y ) Q ' ou (
N ( A ) ^ o (mod4), A = (i + / ) Q = ( i + y ) Q ' = ( i + * ) Q ' .
Notons que si un quaternion a pour norme 2, chacun de ses associés est simultanément associé à droite et à gauche. Tout diviseur à gauche de norme 2 est aussi diviseur à droite, et inversement.
8. Existence d'un diviseur premier de norme impaire. — Un quaternion
pri-mitif A dont la norme est multiple d'un nombre premier impair p a un diviseur à gauche ( o u i droite} P de norme p et un seul, défini au produit près à droite (ou à gauche) par une unité.
Remplaçons A par son reste Ao suivant le module p. La norme de Ao, qui est
encore multiple de/), est inférieure à/?2 et non nulle puisque A est primitif
Ü, N(A0) =ƒ??,, o<
Formons le reste R, de Ao suivant le module qs ; sa norme est un multiple qAq7
au plus égal k q\. Mais le quaternion ?2A0 est divisible à droite par R1 puisque
(n«3)
10
-Faisons la même opération sur A,. Nous en déduisons des quaternions R2,
Aa, et un nombre </5 au plus égal à q2. Ainsi de suite. Après h opérations nous
obtenons
^ <q
Arrêtons le calcul lorsque pour la première fois qh^{ est égal à Tune de ses limites, ce quia lieu notamment si qh=i, car le reste de A/l„1 suivant le
module i est nul.
i° Si 0ft+, est nul, R7l est nul. AA_1 est divisible par qh et sa norme pqh est
divisible par q\. Le nombre p étant premier, il s'ensuit
q,t=i, A/^—P, N(P)=/?.
Éliminons les A, entre les h — i premières égalités
Le scalaire q^q*.-. . ^ _ i , produit de nombres inférieurs à p, est premier avec la norme de P ; il divise donc le produit des R,- de sorte que
Ao~ PR', A = P ( R ' + PQoV
Nous avons construit un diviseur de A, à gauche, P de norme p.
Ce diviseur P est unique, au produit près par une unité à droite. En effet A et Ao ont les mêmes diviseurs à gauche de norme />, et il en est ainsi pour deux
quaternions successifs quelconques AI-_4 et A,-, à partir de Ao. Pour cela
comparons les divisibilités par p des produits XAZ„, et
qi+{ et la norme de R; sont des nombres premiers avec p : la divisibilité par p est bien identique pour les deux produits.
2° Si qh+t était égal à qh, ces nombres seraient pairs et R7i serait le produit
de leur moitié par un quaternion C de norme l\\ de sorte que Ah__A serait divi-sible par ^ et sa norme pqh le serait par ^ - Ceci entraînerait, p étant premier,
qlt=k, A;t_1=2P, P = C (mod2); N(P)=/?.
Mais P admettrait, comme C, un diviseur de norme 2 et la norme p serait paire. L'hypothèse envisagée est impossible.
Note. — La démonstration, basée sur la construction de nombres entiers
décroissants q}, est inspirée du raisonnement fait par Lagrange [2], par une
méthode de descente, pour démontrer le théorème de Bachet. Nous établissons plus loin ce théorème, en prouvant que tout scalaire est la norme d'un quaternion entier.
„ 1 1
9. Deuxième procédé. — Supposons la norme de A égale hpqi et formons le
reste R, de A suivant le module qs ; la norme de R< est un multiple de qx au plus
égal à q)
,), N(Rj) = ^y*, o<q,^q^
La recherche des diviseurs de A à gauche de norme p équivaut à la recherche des diviseurs (complémentaires) de À à droite de norme qXj qui sont eux-mêmes
les conjugués de diviseurs à gauche de R,. Renouvelons l'opération en considérant
FU—Rt (mod^o), N(R2) — q^q-., o^q^q^
et ainsi de suite. Après h opérations nous obtenons
R/t^R^i (modqh). N(R/£) = quqh+u o^qn^q^
où il suffit d'étudier les diviseurs de R/, à gauche de norme qh pour montrer
l'existence des diviseurs de A de norme jt>.
Cessons le calcul lorsque pour la première fois qh+i est égal à Tune de ses
limites. Ceci correspond à (n° 5)
R / i ~ O ou - C , 3^+1 = o ou qh,
la norme de C étant égale à 4-D'une manière générale supposons
R/=—C/, qi+i = qt=o (modm)
et montrons que ces conditions s'étendent à l'indice i— i :
X étant entier; ce qui entraîne bien
Rz--i=r — CÏ-_1? qi-\~ q-M H- partie scalaire (/nXC£) -h qi'S{yi) ^ o (modm),
2 2
les normes de Q et de C ^ étant multiples de
4-Or Rh est de la forme ™ C, et qh+s, qh sont divisibles par m = qh. En
raison-nant de proche en proche sur R/^, . . ., R2, RM A, nous voyons que qh doit
diviser en même temps 2 A, p et qh ; il vaut nécessairement 1 si Ton suppose A
primitif etp premier impair. Donc
Les diviseurs de R^, à gauche de norme yA_, existent : ce sont les associés
à gauche. Par conséquent A possède des diviseurs à gauche de norme/?. Il en résulte des égalités de la forme
A = PQ1, R1=Q1QÎ, . . . , R ^ ^ g ^ J ,
— 12 —
où J est une unité. L'élimination des Q, donne l'expression du diviseur P
r/ i # 2 • • • (i h i P — A R , H , . . . R ,w J ,
diviseur unique, au produit près à droite par une unité J.
Remarques. -—• i° Ce procédé de décomposition est plus général que celui du
n° 8, car il ne suppose pas essentiellement/) premier. Il suffit en effet qnep,
q} et le p. g. d. scalaire de 2 A soient premiers entre eux dans leur ensemble. Nous reviendrons sur ce point.
20 Changeons Tordre ou le signe des composantes de A. Les restes
successifs R, subissent la même permutation ou le même changement de signe de leurs composantes. Leurs normes sont les mêmes, leur nombre h ne varie pas.
En particulier aux divers quaternions associés à A correspond un même nombre de restes, h.
10. Décomposition d'un quaternion primitif \— Considérons un quaternion primitif A ayant pour norme un produit de facteurs premiers rangés dans un ordre choisi d'avance pAp2pz. . . . Nous savons calculer un diviseur à gauche P4
de norme JD,, diviseur unique au produit près par une unité (sauf cas particulier relatif au facteur 2), de sorte que
A = P1Q1,
A son tour le quaternion O,. nécessairement primitif, possède un diviseur à gauche P2 de normep2
Q^P2Q2 J A=P1PSQÏ )
Et ainsi de suite jusqu'à épuisement de tous les facteurspt\ le dernier quotient
Q/t_, sera nécessairement un diviseur premier P/t de norme/v Nous aboutissons
au résultat suivant.
THÉORÈME. — La norme cTun quaternion primitif A étant décomposée en
f acteurs premiers non nécessairement distincts rangés dans un certain ordre
le quaternion peut être décomposé en un produit de quaternions premiers
A = P1PÎP3. . .
dont les normes sont respectivement les nombres p^p^Pz,.... La décomposition est unique, au produit près de chaque quaternion par une unité. Toutefois s'il y a
deux normes pa e t / v égales à 2, pour la première d'entre elles le quaternion
correspondant peut être remplacé indifféremment par un quaternion quel-conque de norme 2 (ce qui modifie alors tous les facteurs Pj situés entre Pa et Pa-,
— 13
-L'utilisation des facteurs au lieu des quaternions donne à l'énoncé une forme plus concise :
A tout arrangement des facteurs premiers de la norme d'un f acteur primitif (X correspond une seule décomposition de 0i en facteurs premiers de normes rangées dans le même ordre
IN (a) =Pip2p,..., a = « r ^ r , . . . . N(?j =pt.
Toutefois s'il y a deux facteurs # de norme 2, le premier d'entre eux peut être remplacé par un facteur quelconque de norme 2 ; il y a alors trois
décom-positions distinctes.
Réciproque. — Un produit de facteurs premiers
t p £ p ' Cj>" C7> CP' Cl* Cp' TV / t ? ^ X ( <•ƒ*' \ n
^ normes respectives aux indices sont les nombres premiers impairs distincts Pu Pu 7>3? . •., est un facteur primitif s'il n'y a pas de facteurs conjugués
consécutifs.
Raisonnons par l'absurde sur le produit S»ür<ï'dt, en supposant < primitif
et S*£#' non primitif. #' est le facteur situé le plus à gauche qui rende le produit non primitif. &&%' est alors divisible par la norme commune de # et #'. Le facteur <â*î est divisible à droite par *î'; étant primitif il n'a qu'un seul diviseur à droite de normep, à savoir
Noie. — Hurwitz [ H ] , après Lipschitz [10], a énoncé le théorème delà
décom-position d'un quaternion primitif; il Ta montré en établissant d'abord la théorie du p. g. c. d. Dans le présent travail, ce théorème résulte de la décomposition effective en facteurs premiers.
11. Décomposition d'un nombre premier scalaire.
THÉORÈME. — Tout nombre premier scalaire p est le produit de deux quaternions
conjugués de 8(p + 1 ) manières différentes.
COROLLAIRE. — Tout scalaire entier est la norme d'un quaternion entier. Ce qui équivaut au théorème de Bachet : tout nombre entier est une somme de quatre carrés.
Le théorème est évident pour p = 2
2 = (i + 0 J . J ( i - 0 = ( ' + y ) J - J ( i - / ) = (i
Ik
-Pour un nombre premier impair p nous montrons d'abord l'existence d'un quaternion primitif de norme divisible par /), donc divisible a gauche par un quaternion premier P de norme p. Nous considérons ensuite l'ensemble des
multiples du même quaternion premier
PX (X quaternion entier quelconque)
que nous appelons idéal à droite de norme p. Nous caractérisons cet ensemble en y distinguant un quaternion de forme simple, quaternion réduit. La détermi-nation de tous les quaternions réduits correspondant au nombre premier p permet de trouver tous les idéaux à droite de norme/), et par suite toutes les décompositions de/).
12. Ensemble des multiples d'un quaternion premier. — i" On sait depuis Euler que, pour tout nombre premier p, la congruence
i - h 3?2-h j/ 2 = o (mod/?)
a au moins une solution a?0, y0. (Nous reviendrons plus loin sur l'existence et
la recherche de ces solutions.) Le quaternion primitif correspondant
A — i -h xQj -h jo k
a sa norme divisible par/), de sorte qu'il existe au moins un quaternion P de norme/). l
2° Considérons l'ensemble des multiples
PX (X quaternion entier quelconque).
L'ensemble contient la somme ou la différence de deux quelconques de ses termes et le produit de l'un quelconque par tout quaternion entier. C'est un
idéal à droite au sens général de ce mot. Cet idéal est principal : il est engendré
par l'un quelconque des huit associés PJ et ne renferme aucun autre quaternion de norme p* II contient par ailleurs tout quaternion congru à chacun de ses termes, il est formé de classes (mod/>) :
Nous allons montrer que :
Parmi les multiples d'un quaternion premier P se trouve un quaternion simple, ou réduit, dont la partie scalaire vaut i et dont Vune des trois autres composantes est nulle. Si cette composante est la seule nulle, elle peut être choisie
arbitrai-rement, par exemple la seconde. Il équivaut de dire :
un quaternion premier P est diviseur à gauche d'un quaternion de ïune des
formes v
15
-Pour définir l'ensemble des multiples choisissons un associé PJ dont la première composante ne soit pas nulle,
P J ~ x$ - r X\ l ~h &2j + ^*r; k (^0 F^ <•> ) ( lliod p ) .
Si l'un des nombres x%9 a?3 n'est pas nul, nous considérons le multiple
PJ (j?0 — J?i 0 — Jo + / a / H- /.s k ( j0 = j?J H- a;J ),
j o , inférieur kp9 n'est pas divisible par p et l'inégalité
montre que y2 ou j ; } n'est pas nul. Nous avons ainsi un quaternion de
l'ensemble de la forme
JC'Û -h x± i ou j o -+- J2y -H J.J ^ (^?o J o M o) ( m o d p ) .
Il suffit de multiplier par l'inverse de la première composante &0 ou j0, suivant
le module p, pour obtenir un quaternion congru à un quaternion de l'une des formes
i -h ai, i -h bj -h ck.
13. Unicité des quaternions réduits, — Vérifions maintenant que le quater-nion réduit d'un même ensemble de multiples est unique (à un multiple près 'de p). De façon équivalente :
Pour que deux quaternions de Vune des f ormes i -h ai, i -h bj -h ck
soient multiples (ó droite) d'un même quaternion premier de norme p, il faut et il suffit qu'ils soient congrus (modjo).
La condition nécessaire et suffisante pour que
x _+_ bj + ck = PQ, T -H b'j -hc'k — PQt
est
{i — bj — ck) ( i ~b b'j -h e-'/r) — QPPQt =s o (naod^);
ceci d'après la réciproque de la décomposition d'un quaternion primitif. Cette condition équivaut à
Ï + £6' -f r c' 4- ( cfj' ^ bc()i ^- {bf — b)j -v- [d -~ c)k ^ o ( mod p ) ,
b ~ b', c ^^ 6y (
en supposant bien entendu la norme de PQ divisible par p.
Comparons de même un quaternion de la première forme à un delà seconde. La condition
( i — ai) ( i -h bj H- ck) = o ( mod p )
- 16 —
Enfin pour deux quaternions de la première forme la condition
( i — ai) ( i -h a'i) — i -h aa -h (a — a) i = o
équivaut à leur congruence suivant le module p.
Il y a donc une correspondance biunivoque entre les quaternions de norme p et les quaternions réduits de norme divisible par p.
Pour les quaternions de norme p, la construction des ensembles de multiples se ramène à la résolution de la congruence
^î + / + i = o (modp);
à une solution (6, c) formée de deux entiers non nuls(mod/>) correspond un ensemble défini par le quaternion réduit
1 + 6/ -t- ck = PQ ;
a une solution comportant un entier nul (o, a) correspondent trois ensembles définis par les quat^rnions réduits
i + ai=PiQu i-h fl/ = P2QS ï n - a / f = P3Q3.
On peut dire encore :
te nombre des quaternions de norme p vaut huit f ois le nombre total des solu-tions des deux congruences (indépendantes}
30- -t- y- -h i = o ( mod p ),
.r2-h i ^ o
14. Formation des quaternions induits, — i° Étudions d'abord la congruence
<r2 H- y'2 -h i = o (mod p ).
Résoudre cette congruence c'est chercher les décompositions de —i en nombres de Gauss [3] :
— i = (x -h yi) (x — yi) (mod/?). Premier cas. p + 1 est multiple de 4- L'entier p n'est pas décomposable,
c'est un nombre de Gauss, premier. Il y a jo3 — i classes (modp) premières
avecjo engendrées par les puissances de Tune d'elles (racine primitive)
G31 (oc d é f i a i , m o d p2— i ) .
Le conjugué de Ga est la puissance G/>a. La décomposition de —i est donnée
par l'égalité
G ^ G ^ ^ G - (înod^?)
OU
— 17 — On obtient ainsi j o + i solutions
/ ;,-iy/-H
x-hyi^: \G s / ( m o d / j ; / = o , i , ...,p),
qui sont les puissances impaires de Tune quelconques d'entre elles
x -\-yi= (j?o + 7o Oî>H~J (modp).
Il est à remarquer qu'aucun des nombres xy y n'est nul.
Deuxième cas. p — i est multiple de l\. L'entierp est décomposable ƒ > = ( a - h ô / ) ( « — A t ) .
Les classes (modp) premières avec p se déduisent des classes prises suivant les modules respectifs a^-bi et a — bù Pour chacun de ces modules, il y a
p — i classes, engendrées par les puissances d'une racine primitive.
Appelons G une racine primitive suivant le moduie a~\-bi. Les classes (modp) premières avecp sont
GaGP {oc, (3 définis^ modp — i) ;
et la décomposition de — i est donnée par l'égalité
)"T" (modp)
OU
a-hf3~^-—- (modp — i ) .
Posons
a = -—-f \- 7 (motl p — Ï ), GG'= i (modp).
Nous obtenons les p — i solutions
x + j,i=s(GG) > (GG')A (modp; X = i, 2, ...,p — i ) .
En considérant les solutions particulières correspondant à A = i,
,z*o + j 'o i := — m G G', w2 + i = o ( mot! p ) ,
nous pouvons écrire pour la solution générale
x -h Jf ~ — ?nk'+1 (<z0 + j'o i)'1 ( modp ).
Nous y retrouvons notamment les puissances impaires de x0 -f j( )/ .
2° A chaque solution x ~hyi de la congruence correspond le quaternion réduit
i - H t? +• jOy —J + xJ ^yk
-Et les formules précédentes en A permettent d'exprimer tous les quaternions réduits (modp) à partir de l'un d'eux.
18
-Sijo — i est multiple de 4> il y a en outre deux quaternions réduits supplé-mentaires qui sont
i ± mî, m1-h I E Z O ( modp).
Le nombre des quaternions réduits est donc, dans tous les cas,
ƒ> - h ! = ( ƒ > — 1 ) 4 - 2 .
Le nombre de décompositions annoncé du scalaire premier p vaut bien
15. Décomposition d'un quaternion quelconque. — Considérons un quater-nion quelconque A ayant pour norme un produit de facteurs premiers rangés dans un ordre choisi d'avance :
\ ( À ) ~ p\pîp?,> • • ? A = 7T, 7Ta. . . B , (B primitif),
où ri! rw2. . . est la décomposition en facteurs premiers du p. g. d. scalaire de À.
Si A est divisible par /?,, il admet comme diviseurs à gauche les 8(jo, H- I ) quaternions de norme p,. Si pX9 supposé impair, ne divise pas A, il existe
8 quaternions associés P, de norme p^ diviseurs à gauche de B et par suite de A. Enfin sip] égale 2 et que les composantes de A soient toutes impaires,
celles de B le sont aussi et A est divisible à gauche par tous les quaternions de norme 2. Nous pouvons écrire dans tous les cas
A son tour Q< est divisible à gauche par certains quaternions de norme/?â. Et
ainsi de suite jusqu'à l'épuisement de tous les facteurs ƒ>,. Il en résulte que :
Tout quaternion est décomposable en produit de quaternions premiers dont les normes sont rangées dans un ordre choisi d* avance.
Le nombre des décompositions (définies au produit près des quaternions par une unité) est
h f h A ( )j—1 ou
On montre d'ailleurs que ce nombre ne dépend pas de l'ordre des facteurs pt.
Supposons alors, dans la décomposition de la norme de A, que les facteurs premiers égaux soient consécutifs, et considérons les décompositions corres-pondantes du quaternion A. Chacune d'elles comprend nécessairement (réci-proque du n° 10) deux facteurs conjugués consécutifs, de norme TC1 par
exemple. Faisons abstraction de ces deux facteurs. Le produit restant est le quaternion non primitif rva. . .JB et renferme à son tour deux facteurs conjugués
consécutifs de norme it2 par exemple. Ainsi de suite jusqu'à Tépuisement des
facteurs du p. g. d. scalaire; le dernier produit est une décomposition du quaternion primitif B.
19 -Le nombre des décompositions vaut donc
nombre qui doit être triplé si la norme de B est multiple de
4-Bien entendu le raisonnement s'applique à la décomposition des scalaires* non premiers, pour lesquels B égale i.
16. Décomposition en produit de quaternions réduits. — i() C o n s i d é r o n s u n
quaternion premier P. 11 lui correspond un quaternion réduit U admettant P comme diviseur à gauche
PQ = U.
Retrouvons le diviseur P à partir de U en utilisant le procédé du n° 9. Nous obtenons
?i?ï...<y/i-iP = U RtR2. ..R/,_iJ.
Or les restes successifs R, sont des quaternions réduits de la même forme que U. I^unité i, si elle est différente de i, a pour double un produit de quaternions réduits
2J = ( 1 + J)2.
Par conséquent le quaternion premier P est décomposable en un produit de quaternions réduits, à un coefficient scalaire / près :
2° Le résultat s'étend immédiatement à tout quaternion non premier A; il suffit de considérer A comme un produit de quaternions premiers, et ces derniers comme des produits de quaternions réduits :
Tout quaternion A est décomposable en un produit de quaternions réduits, à un coefficient scalaire Iprès
/À = U U i UsU3. . ..
17. Nombre des quaternions de norme n, — Si p est premier, le nombie des quaternions de norme p vaut
Pour n quelconque, le théorème du n° 10 et sa réciproque permettent d'obtenir, sans répétition, tous les quaternions primitifs de norme n par leur décomposition en facteurs premiers. Cherchons donc d'abord le nombre t(n) des quaternions primitifs de norme n.
i° Appelons p un diviseur premier de n=pnx. Comparons t(n) à t{ni ). Si p ne divise pas n1, tout quaternion primitif N4 de norme ni engendre r(p)
quaternions primitifs PN, de norme n. Inversement tout quaternion primitif N
_ 20
-se décompo-se en produit PN, de 8 manières associées. D'où
Si p impair divise n^ et si P, de norme p divise à gauche le quaternion primitif Nn le produit PN1 est primitif à condition que WA ne soit pas
divi-sible parjo, c'est-à-dire que P et P< ne soient pas associés à droite. Inver-sement tout quaternion primitif N provient ainsi de 8 quaternions N,. D'où
t{n1)=pt(ni).
Si p = 2 divise nA sans diviser —, P et P< ne doivent pas être associés à
droite. Inversement tout quaternion primitif N provient de r(j>) = il\ quater-nions N4, d'où
Si— est pair, n est multiple de 8 et N est divisible par 2. Par conséquent, m étant impair
t ( 2 w ) = 3* (m), £(4m) = it(m), t(8m) = o.
La valeur de £ (n) se déduit aussitôt.
Le nombre des quaternions primitifs de norme n est égal à
I
produit étendu à tous les diviseurs premiers de n, le coefficient h valant zéro si n
est multiple de 8, valant i si n est quadruple de nombre impair, valant 1 dans tout autre cas.
20 Le nombre total des quaternions de norme n9 primitifs ou non, se déduit
du nombre des quaternions primitifs par l'égalité
somme étendue à tous les carrés â2 diviseurs de n. Ce nombre est, comme t (n),
une fonction factorable. Si n est exactement divisible par^a(Jppremierimpair),
le facteur correspondant de t (n) v a u t pa+ pa~1, celui de r (n) vaut donc
qui est aussi la somme des diviseurs de p*. Si n est pair, quelle que soit la puissance de 2 qui divise n, le facteur correspondant de r (n) vaut 3.
- 21 —
Le nombre total r (n) s'obtient par multiplication et correspond au théorème suivant, dû à Jacobi [5] :
Le nombre r (n) des quaternions de norme n vaut 8 fois ou 2^ f ois la somme des diviseurs impairs de n, suivant que n est impair ou pair,
18. Nombre des facteurs de norme n. — i° Examinons d'abord le cas des facteurs premiers.
Tout facteur premier L% de norme p est diviseur à gauche d'un facteur
réduit 0i associé à un quaternion réduit A de la forme
A — i -\- œj ~\- rA ou A = i -H xi\
Inversement, pour que deux facteurs réduits 6i et cl, soient divisibles à gauche par le môme facteur #, il faut et il suffit que
AJ AJ^E o (mod/?);
J désignant une unité quelconque. Pour cela il faut et il suffit que les valeurs absolues des composantes de A et de A, soient respectivement congrues suivant le module p .
En outre chaque facteur réduit étant primitif n'est divisible que par un seul facteur de norme p.
Cette correspondance biunivoque entre &L et ë£ donne le nombre des facteurs de norme p : il est égal au nombre total des solutions des deux congruences (indépendantes)
solutions limitées à Vintervalle o,
~-Le nombre des facteurs premiers de norme/? vaut donc
p + l D + 7
' ; OU J 7 ,
suivant que p est un multiple de 4 diminué ou augmenté die i . II vaut 3 si p égale *>..0°
2° Les facteurs de norme composée n ne peuvent être étudiés aisément à partir de leur décomposition en facteurs premiers, car ces derniers sont liés entre eux et leur structure même intervient.
Pour abréger nous dirons qu'un facteur appartient à laformtia?'2+j/2
H-^+z-si ses composantes sont en valeur absolue distinctes et p o s i t i f s ; qu'il appar-tient à ixÀ-\-y2 si deux composantes ont une même valeur absolue et qu'une troisième soit nulle? etc.
Tout facteur appartenant à ce-, ace2 o u 4 ^2 comprend 8 quaternions distincts.
4-Tout facteur appartenant à acr-\- y2 ou 2 a?2+ 2 /2 comprend 16 quaternions
distincts; c'est !e cas des facteurs de norme 5 ou 10.
Tout autre facteur comprend 3^ quaternions distincts. On le voit par l'étude directe des facteurs appartenant à
ou bien en considérant les normes premières 3, 7, 11, s3, 5g, 71 qui appar-tiennent successivement aux formes précédentes et pour lesquelles le nombre
des quaternions 8(p -+-1 ) vaut 32 fois celui des facteurs.
Par conséquent, si n n'est ni un carré ni une somme de deux carrés, le nombre des facteurs de norme n et celui des facteurs primitifs de même norme valent respectivement
r(n) t(n)
32 ' 32
Si n est représentable par une somme de deux carrés, nous désignons par
r\n) le nombre des solutions de l'équation en nombres entiers a?2 + y- = n et
par t'(n) le nombre des solutions primitives de la même équation. On trouve que le nombre des facteurs de norme n et celui des facteurs primitifs valent
respectivement
^-(r(n)-h 6r'(/O), ^ ('(*) +6*'(/i)) (/limpair),
~ (r(n) + i8
DEUXIÈME PARTIE.
UNE ARITHMÉTIQUE DES
BIQUATERMONS-CHAPITRE III.
CONSTRUCTION DES BIQUÀTEKNîONS.
19. Généralités. — Les quaternions, nombres hypercomplexes d'ordre 4? possèdent essentiellement Fassociativité du produit et la propriété multipli-cative de la norme. Cette seconde propriété, qui correspond à l'identité de
Lagrange, joue 1$ principal rôle dans l'étude arithmétique des quaternions. Aussi bien n(>us chercherons à étendre les résultats uniquement pour les nombres hyper.iomplexes d'ordre n supérieur à 4 qui vérifient la propriété multiplicative îe la norme (somme des carrés des composantes). Cette exten-sion suppose ijne formule transformant le produit de deux sommes de n carrés en une seule ^ornrne de n carrés. La formule existe pour n =^ 8, qui est
l'iden-- 23 —
titéde Brioschi [8]. En outre, un théorème de Hurwitz[12] démontre l'impossi-bilité d'une telle formule pour n supérieur à 8.
Retrouvons l'identité de Brioschi et étudions toutes les manières possibles de l'écrire en nombres entiers.
Considérons un nombre hypercomplexe d'ordre 8
A z = \XOj Xiy X^ Xmi} XK) X^j Xh, -2?7J
que nous écrivons encore, par abréviation, A = [L\ V],
U et V étant les quaternions de composantes respectives x09 xK, a?2, x^ et xhy
o;5, œ%, a?7. Définissons comme suit le produit de A par un nombre
hyper-complexe B d'ordre 8
AB — |Jx0 xx x-2 x.) œh x-ô a\ x~\. S,
où S est une matrice carrée d'ordre 8 ayant ces propriétés : les termes de S dépendent linéairement des composantes de B, les composantes de AB sont entières s'il en est de même de A et B, la norme de AB est égale au produit des normes de A et B.
Chaque ligne de la matrice est une substitution linéaire orthogonale à coef-ficients entiers des composantes de B : elle contient donc ces composantes une fois, à Tordre et au signe près. Chaque colonne de même, (a matrice étant orthogonale.
Or on ne change pas le problème en permuiant les composantes de A ou celles de AB, c'est-à-dire en permutant les lignes ou les colonnes de la matrice. Par de telles permutations, compte tenu de Torthogonalité de la matrice, faisons en sorte que les quatre premiers termes de la première ligne se retrouvent à l'ordre et au signe près dans la première moitié des trois lignes suivantes. Ils figurent alors dans la seconde moitié des quatre dernières lignes. La matrice S se partage en quatre matrices orthogonales d'ordre 4> correspondant chacune à un produit de quaternions.
Les composantes du produit AB sont donc, à Tordre près, celles de DF.C'F'+D'E'J,
où [C, D] et [E, F] sont respectivement isomorphes de A et B (c'est-à-dire diffèrent seulement par Tordre et le signe de leurs composantes), où les quiiternions C, D, E, F et C/, D', E', F/ sont isomorphes deux à deux et sont
écrits à Tordre près dans chacun des produits CE, DF, C'F', D'E'. Il reste à étudier la condition relative aux normes
N(AB) = N(A)N(B)-h partie scalaire (2CEFD -+- 2C'F'Ë'D').
Cette partie scalaire doit être nulle quels que soient les quaternions. Les produits EFD et F'Ë'D' sont alors isomorphes, ce qui entraîne que EF et F'Ë'
soient associés; c'est impossible pour des quaternions quelconques. Il faut do\\c intervertir certains facteurs et choisir Tune des formes
[LE-hbD, L/F'H-E'D'J,
[CE-bFD, F'C'-f-D'E'].
Dans la première forme les produits EDF et F'D'E' sont isomorphes, ED et E'D' sont associés; de même DFC et C'F'D' sont isomorphes, CF et C'F' sont associés. Dans la seconde forme, l'échange des facteurs revient à écrire les produits conjugués.
En conclusion, les composantes du produit AB sont, à Tordre près, celles de
[CE -+- FD, H + K],
les quaternions H et K, ou leurs conjugués, étant respectivement associés àCFet ED.
20. Les b iqua ter nions. — Parmi tous les systèmes correspondant aux diverses formules de multiplication, choisissons les nombres hypercomplexes qui s'apparentent le plus aux quaternions.
Nous supposons d'abord que pour A, B et AB, quatre composantes d'un même rang, les quatre premières par exemple, correspondent respectivement à C, E et GE + FD. Le système comprend alors les quaternions comme cas particulier
[X, O| = X (quaternion X quelconque).
Désignons par Do et Fo les quaternions relatifs aux quatre dernières
compo-santes de A et B. Les quaternions D et F seront pris non seulement isomorphes, mais égaux à Do et Fo, ou à leurs conjugués, au signe près. Les quaternions H
et K seront pris non seulement associés mais égaux à CF et ED, ou à leurs conjugués, au signe près.
Deux seulement de ces nouveaux systèmes possèdent une unité principale i telle que Ai = iA==A, quel que soit A. Ils sont définis respectivement par
[C,D0].LE, Fo] = [CE-FoDo, FoC + D0Ë],
[C, Do].[E, Fo] = [CE -F0D0, CF0 + ED0].
D'ailleurs on passe (Tune formule à l'autre en changeant de signe les trois dernières composantes des facteurs et du produit (ce qui revient à changer de signe les trois dernières unités du système). Nous choisissons la première formule, parce qu'elle permet également d'obtenir le système des quaternions a partir des nombres complexes ordinaires. Et nous posons la définition suivante :
Un biquaternion A est un nombre hypercomplexe (Tordre 8 déterminé par deux quaternions C, D qui jouent des rôles différents
25
-Vaddition et la multiplication sont définies par
À-hB = [C, D]-h[E,F] = [C 4- E, D + F], AB = [C, D].[E, F] = [ C E - F D , FC + DE].
La règle du produit permet d'établir la table de multiplication des huit unités de base
i» îi J> &, [°>Il [<M], [oj], [o,k],
que nous désignerons aussi par *0, ii9 i29 z3, iA, i5, i69 i-t. Les produits mutuels
s'écrivent
J'[o, J | = : - [ o , J]J'=Lo, JJ'], [o, J]Lo, J'] = J'J, [o, J']» = - i ,
J et J' étant Tune ou l'autre des quatre premières unités, V étant toutefois différente de l'unité principale i.
On voit ainsi que les sept dernières unités peuvent être groupées en sept
triades où la loi de multiplication est vérifiée comme pour les quaternions
unités i}j, k. Ce sont
(*i, i*> h), {ii, h> h), (ii, h, h), (U, h, h), (i2, L, h), («V h, h), (h, h, h).
Nous reconnaissons là une propriété des nombres étudiés par Cayley sous le nom d'octaves [7], eux-mêmes utilisés par G. Fontené sous le nom d'octants [13]. Notre système de biquaternions, à l'ordre près des unités, ne diffère pas des octaves de Cayley.
21. Propriétés algébriques. — i° Le produit de deux biquaternions A et B est un biquaternion dont les composantes sont des formes bilinéaires des compo-santes de A et de B.
Remarquons que deux biquatemions, dont les quatre premières ou les quatre dernières composantes sont nulles, ont un produit de la même forme.
Le produit d'un nombre quelconque de biquaternions se calcule de proche en proche : on multiplie les deux premiers, on multiplie le résultat par le troisième, et ainsi de suite
ABCD = ((AB)C)D.
La multiplication, distributive par rapport à l'addition, n'est ni commutative,
ni associative.
Deux biquaternions ayant même première composante (partie scalaire), et dont les autres composantes sont opposées deux k deux, sont dits conjugués
leur produit est un nombre scalaire égal à leur norme commune, somme des carrés des composantes _ _
26
-C'est là un cas particulier de produit commutatif, un autre cas simple étant le produit de deux biquaternions dont l'un est scalaire.
Piappelons que la norme d\m produit est égale au produit des normes, par construction même des biquaternions. Il en résulte qu'un produit est nul seulement si un des facteurs est nul (il n'y a pas lieu par conséquent d'étudier les diviseurs de zéro) :
AB = AB' (A^zfo) entraîne B ~ B'.
Le conjugué d'un produit de deux facteurs est le produit des conjugués changés d'ordre
ÂB = BA.
On le vérifie en remplaçant chaque facteur par ses quaternions composants. Cependant le produit CBA n'erst pas le conjugué de ABC, la multiplication
n'étant pas associative.
Il y a 16 biquaternions entiers (à composantes entières) de norme i, qui forment le groupe des unités; elles seront habituellement désignées par J
±1, ±i, ±J, ±kt ±i„ ±i\, ±i„ ±i7.
Leurs inverses sont aussi des biquaternions entiers. Le produit par une unité J ne change pas la norme.
2° Revenons sur les propriétés de la multiplication, notamment sur Tasso-ciativité. Nous allons indiquer des conditions suffisants simples pourque trois biquaternions A, B, C vérifient
(AB)C = A(BC).
Tout d'abord il suffit qu'un des biquaternions soit un scalaire, celui-ci pouvant être associé à un facteur quelconque du produit.
Par ailleurs, sept triades d'unités suivent la loi de multiplication des quater-nions unités i9j9 k, et créent une sorte à'associativité partielle. Il suffit que A,
B, C appartiennent en même temps au sous-système de biquaternions relatif à l'une des triades; ce qui a lieu, par exemple, si les deuxième, troisième, cinquième et huitième composantes sont nulles pour chaque biquaternion.
On trouve encore de nouvelles conditions en remplaçant A, B, C par leurs quaternions composants, et en étudiant les relations obtenues :
II suffit que les facteurs extrêmes A et C soient égaux et qu'ils aient leurs quatre premières ou dernières composantes nulles
A = [A', oj ou [o? A'].
Ce qui a Heu notamment si A est Tune des seize unités = J(BJ);
27
-II suffit enfin, condition importante, que les deux derniers biquaternions B etC soient conjugués
Autrement dit, deux biquaternions conjugues consécutifs d\in produit peuvent
être remplacés par leur norme commune
b = N(B).
Remarque. — Observons la gradation des propriétés pour les nombres
hyper-complexes d'ordre 2/(, chaque système d'ordre 2h étant un sous-système du
suivant d'ordre 2/(+l :
A== i, nombres complexes ordinaires (formant un corps) : la multiplication est commutative et associative;
h— 2, quaternions (formant un corps gauche) : la multiplication est associative,
non commutative;
A = 3, biquaternions : la multiplication n'est ni commutative, ni associative;
h— 4, la mutiplication ne possède pas la propriété des normes.
CHAPITRE IV.
LES BIQIÎATER1NIOINS E N T I E R S .
S22. Divisibilité des biquaternions entiers. — Nous appelons biquaternions
entiers ceux dont les composantes sont des nombres entiers. Cherchons-en les
propriétés.
La multiplication n'étant pas en général associative, plusieurs résultats de l'arithmétique des quaternions ne s'étendent pas directement aux biquaternions. Une autre difficulté se présente : dans la division d'un quaternion par un entier scalaire m, la norme du reste est généralement inférieure à m'2, et cette
propriété a donné une méthode de descente largement utilisée dans les premiers numéros; or, pour les biquaternions, une définition semblable du reste conduit à une norme inférieure seulement à 2m2.
Nous définissons, comme pour les quaternions (n° 3), la divisibilité à droite ou à gauche, en remarquant toutefois que le produit ABC, s'il est divisible à droite par C, n'est pas en général divisible à gauche par A. Nous obtenons la même condition de divisibilité suivante :
Pour que A soit divisible par B à gauche {ou à droite), il faut et il suffit que BA
(ow AB) soit divisible par la norme de B.
En effet, eu égard à l'associativité des facteurs conjugués,
A = BX A = YC THbSE GASTON BENNETON.
équivaut équivaut à à BA AC = N(B)X, = N(C)Y.
— 28 —
On démontre comme au n° 3 que, si deux biquaternions ont des normes premières entre elles, le p. g. d. scalaire de leur produit est le produit des p. g. d. scalaires des facteurs
La notion d'associés à gauche (ou à droite) est moins utile, la divisibilité n'étant pas transitive pour les biquaternions. Toutefois nous conservons la définition : les associés a gauche de A sont les seize biquaternions AJ, où J désigne une unité quelconque. Inversement A est associé à AJ puisque A = AJÏ. Mais deux biquaternions associés à un même troisième ne sont pas nécessai-rement associés.
23. Classes de biquaternions (modm). — Deux biquaternions A et B sont congrus suivant le module scalaire positif m, si leur différence est divisible par m
B A
Plus généralement nous dirons que A et B appartiennent à une même classe suivant le module m s'il existe un nombre entier a premier avec m tel que, suivant le cas,
LS^:#A (modm impair),
ni
K (modm pair),
K désignant un biquaternion 'de norme o ou 8, dont toutes les composantes sont égales à o ou a i. Ces deux congruences se réduisent d'ailleurs à la seconde, pour une valeur paire ou impaire de m. Ladéfinition estbien réciproque puisque
À = nrB H K, au'.^i (modm).
Les classes, suivant le module m, s'ajoutent, se retranchent et se multiplient (produit non associatif). Leur principale propriété est celle-ci :
Tous les biquaternions d'une même classe (modm) ont les mêmes diviseurs de
'norme m; à droite ou à gauche, si toutefois il en existe.
En effet appelons M un biquaternion de norme m, et comparons les caractères de divisibilité de A et B, à droite par exemple. Si m est pair, toute forme linéaire des composantes de M dont les coefficients sont tous pairs ou tous impairs est divisible par 2; le produit KM est donc divisible par 2. Dans tous les cas nous pouvons écrire
BM = w A M + - KM = a ÀM ( mod m).
Si M est diviseur à droite de A, il Test de B.
La classe nulle, contenant o, est l'ensemble des biquaternions divisibles par m,
compo 29 compo
-santés sont des multiples impairs de —• Tout biquaternion de la classe nulle (modm) est divisible à droite etàgauchepar touslesbiquaternionsde norme m, 24. Restes des biquaternions (modm). — Considérons un biquaternion A et prenons les restes minima absolus de ses composantes suivant le module m. Nous obtenons un biquaternion R de la même classe que A, dont les compo-santes ont une valeur absolue au plus égale à — > dont la norme est au plus égale à 27/12. Nous l'appelons reste de A suivant le module m :
R - E À (modm),
La même opération peut être faite sur tous les biquaternions d'une même classe. Nous allons montrer que,
dans une classe (modm) définie par le biquaternion A* il existe au moins un
biquaternion Ro dont la norme est au plus égale à m2 ; nous l'appelons reste de la
classe ou moindre reste de A (mod/w) ;
Ro ^ / / A - ! K (xwoam)) JN(R0)S/?2-.
2
r" Supposons m pair. En remarquant que « = r est le seul nombre qui soit premier avec tous les nombres pairs, nous considérons les deux restes
.. A ... . m,, . .
K •= A, H ^ À H K (vwodm).
Si x est une des composantes du premier reste, la composante de même rang du second esta? =h - -; la somme de leurs carrés est au plus égale à V~> l'égalité
2 4
n'ayant lieu que si x vaut o ou —• La somme des deux normes est donc infé-rieure à 2m2; elle égale 2m2 si quatre composantes sont nulles et que les
quatre autres vaillent — •
Un au moins des deux restes R, R' a une norme au plus égale à m1, certainement
inférieure si A est primitif.
20 Supposons m impair. Les puissances de 2 sont les seuls nombres premiers
avec tous les nombres impairs. Étudions donc les restes des multiples suivants de A :
R ^ À , Ri = 2 A, . . . , Ra= 2aA (modm).
Soient x,xK, . . . , xa les valeurs absolues des composantes d'un même rang
des divers restes. x\ est égal à (ix)2 ou à (m — zx)2 suivant que x se trouve
dans l'intervalle (o, ^ ) ou dans ( ™> — V Supposons un instant que x prenne
30
-toutes les valeurs rationnelles de chaque intervalle, entières ou non. A deux valeurs de x symétriques par rapport a — correspond le même xi. Le maximum
de la somme x2 + x\ a donc lieu dans l'intervalle ( -, * - - ) ; la somme s'exprime
alors par x2-±-(rn— zx)2, trinôme du second degré borné supérieurement par
la plus grande des valeurs prises aux limites de l'intervalle : le maximum a lieu pour x =
~-Le raisonnement se poursuit pareillement : à deux valeurs de xA ayant pour
somme y + - correspond la même valeur dex2. Le maximum dex'2-\- x]-^- xl
a lieu dans la première moitié de l'intervalle ( ~ Î "M, c'est-à-dire ( n% -jpV
La somme s'écrit alors
Son maximum s^obtient à l'une des limites de l'intervalle, ici -ë~*
o
Par le même procédé dichotomique, en étudiant la formation des termes, on aboutit à la borne supérieure de
Z zr X' -h Xl -h . . .-\-xl.
Les intervalles successifs sont limités par les fractions
m m 3 m 2a— ( — i )a
Ul=~, U2=T *>=-$•> •.., «*=—T*sr->n>
où chaque fraction est la moyenne arithmétique des deux précédentes. Par récurrence on prouve que la somme z est maximum à l'une des limites de l'intervalle («a, ua+1 ) et qu'elle s'écrit alors
J^a valeur relative à x = //a+1 est supérieure h celle qu'on obtient pour x — wa.
Par conséquent, quel que soit x et particulièrement pour x entier, la somme z est inférieure à la valeur qu'elle prendrait pour <r= w74,, c'est-à-dire,
tous calculs faits,
_ +
Nous obtenons notamment
.r2 -h x\ H-. . . -h xi < m2.
Ajoutons maintenant les carrés des huit composantes; nous voyons que les normes de R, R1? . . ., R7 ont une somme inférieure à 8m2. Une au moins des
normes est donc inférieure à m- :
Si m est impair, un au moins des huit multiples A, 2 A, 22A, . . ., 27 A a
— 31 —
Augmentons indéfiniment le nombre a. La norme moyenne
o
reste inférieure k un nombre qui tend vers - m2. Appelons h le plus petit
exposant vérifiant
2h = zb i ( mod ni )9
qui est d'ailleurs un diviseur de l'indicateur d'Euler -<p(m). La norme de Ra
redevient la même lorsque a augmente d'un multiple de h. Il s'ensuit que la g
norme moyenne des h premiers restes ne dépasse pas -m2.
Si h est le plus petit nombre vérifiant (\h^ i (modm impair), un au moins des
h multiples A, 2A, . . ., 2/(~1 A a pour reste (modm) un biquaternion de norme
inférieure à ~m2.Le moindre reste de A (modm) a une norme inférieure à -/r/2.
Q
En particulier si s composantes de A sont nulles, la borne supérieure -m2
s'abaisse à m2. Ainsi pour les quaternions, au moins un des h multiples donne un reste de norme inférieure à -m2.
J 9
25. Étude des diviseurs de norme 2. — Le facteur 2 jouit de propriétés spéciales, celle-ci d'abord :
Tout diviseur à droite de norme 2 est un diviseur à gauche, et inversement.
En effet si P est un diviseur de A; a droite, de norme 2, il vérifie
AP = ÂP == PA = o ( mod 2 ),
et est aussi un diviseur à gauche.
Considérons un biquaternion A de norme paire. Son moindre reste R(mod2) a une norme au plus égale à 4. Plusieurs cas se présentent.
i° Si R est nul, les huit composantes de A sont de même parité. A appartient à la classe nulle (mod2) et est divisible par tous les biquaternions P de norme 2; ceux-ci sont au nombre de 1G.7.
20 Si la norme de R vaut 2, deux ou six composantes de A sont impaires.
A et R sont divisibles à droite et à gauche par les mêmes biquaternions de norme 2, qui sont les 16 biquaternions associés RJ.
3° Si la norme de R vaut 4? c'est que A contient quatre composantes Impaires. Considérons, par exemple, les quatre premières ou dernières composantes impaires :
