Impacts macroéconomiques des changements démographiques : une approche avec générations imbriquées

Impacts macroéconomiques

des changements démographiques:

une approche avec générations imbriquées

Mémoire

Maude Drapeau

Maîtrise en économique Maître ès arts (M.A.)

Québec, Canada

Résumé

Ce mémoire présente un modèle macroéconomique pouvant servir d’outil pour l’analyse des impacts macroéconomiques du vieillissement de la population québécoise. Le point de départ est le modèle à générations imbriquées de Gertler (1999), dans lequel deux catégories d’agents consommateurs interagissent : les travailleurs et les retraités. Chacun fait face à des contin-gences individuelles, notamment le passage d’un état de travailleur à celui de retraité puis, au décès. Notre étude enrichit le modèle de Gertler en ajoutant un deuxième bien au panier de consommation, à l’aide d’une fonction d’utilité à élasticité de substitution constante entre les deux types de biens. Ce deuxième bien représente la consommation de soins de santé et le modèle est étalonné de manière à ce que le poids accordé à cette composante de l’utilité augmente au cours du cycle de vie du ménage. La solution dynamique du modèle est simulée et permet d’évaluer la trajectoire de différentes variables macroéconomiques comme le PIB, les dépenses publiques, le taux d’intérêt et les salaires, à la suite d’un choc démographique.

Table des matières

Résumé iii

Table des matières v

Liste des tableaux vii

Liste des figures ix

Remerciements xiii

Introduction 1

1 Le contexte démographique québécois 3

1.1 Historique et projections démographiques . . . 3

1.2 Conséquences du vieillissement de la population . . . 5

2 Revue de la littérature 7 3 Le modèle 11 3.1 Structure démographique . . . 11

3.2 Ménages . . . 12

3.3 Répartition des actifs. . . 18

3.4 Marché du travail. . . 19 3.5 Autorité gouvernementale . . . 19 3.6 Producteurs . . . 20 3.7 Équilibre de marché . . . 21 4 Résolution 23 4.1 Étalonnage . . . 23 4.2 État stationnaire . . . 25 4.3 Solutionner le modèle . . . 27 4.4 Simulations et résultats . . . 29 Conclusion 35 Bibliographie 37 A Équations du modèle 41 v

Liste des tableaux

1.1 Rapports de dépendance démographique . . . 5

4.1 Étalonnage des paramètres . . . 24

4.2 Grands ratios du modèle . . . 26

Liste des figures

1.1 Indice synthétique de fécondité par femme . . . 4

1.2 Rapports de dépendance démographique . . . 4

1.3 Population québécoise en 2012 . . . 5

4.1 Choc sur le taux de croissance des travailleurs . . . 30

4.2 Impacts du choc démographique sur l’économie réelle (I) . . . 31

4.3 Impacts du choc démographique sur l’économie réelle (II) . . . 32

4.4 Impacts du choc démographique sur les finances publiques . . . 33

Where the balance lies between the challenges and opportunities of ageing will be determined by how society responds.

John Beard, World Health Organization, 2012

Remerciements

Malgré que je n’aie jamais douté que la réalisation de ce mémoire soit un objectif atteignable, ma motivation fut à certains moments altérée par des obstacles pour lesquels je ne croyais aucune solution possible. Maintenant que j’entrevois la fin de ce défi, et que je suis à même de constater la formation retirée de cet exercice, je tiens à prendre quelques lignes afin de souligner l’apport de ceux et celles qui m’ont permis d’y parvenir.

Je souhaite d’abord remercier chaleureusement mes directeurs de recherche. Merci à Kevin Moran pour sa patience et son support. Il a appuyé mon travail de manière continue et a su, lors de chacune de nos rencontres, trouver les mots d’encouragement indispensables à la pour-suite de mes efforts. Merci également à Jean-Pierre Paré pour ses précieux conseils et pour sa confiance, entre autres lors de notre première rencontre, je lui en suis infiniment reconnaissante.

Merci au Ministère des finances et de l’économie du Québec pour le soutien financier dont j’ai bénéficié. Cela m’a permis d’effectuer mon travail sans autres soucis que ceux inhérents à l’aboutissement de mon projet de mémoire. J’ai aussi eu l’occasion d’y côtoyer des profession-nels inspirants. Merci particulièrement à Jonathan Morneau-Couture et Gilles Bélanger qui représentent pour moi des modèles de la profession d’économiste.

Finalement, merci à mon frère dont j’admire le calme et l’assiduité, et merci énormément à Thomas pour sa compréhension. Merci à ma famille et mes amis pour leur présence et pour les moments de distraction qu’ils m’ont offerts.

Introduction

Le vieillissement de la population est un phénomène présent dans la majorité des pays indus-trialisés. En 2035, d’après les projections des Nations Unies, le ratio de dépendance des aînés1 dépassera 50% pour le Japon, l’Allemagne et l’Italie, alors que ce même ratio se situait ap-proximativement à 35% en 2010 pour chacun des trois pays. En comparaison, selon le scénario de croissance moyenne de Statistique Canada, les ratios de dépendance des aînés au Canada et au Québec passeront de leurs niveaux actuels de 22,5% et 36% respectivement, à plus ou moins 43% au cours de la même période.

Les répercussions économiques et sociales du vieillissement de la population sont nombreuses : l’augmentation des coûts de santé en raison de la hausse du nombre de personnes âgées dont l’espérance de vie augmente, l’alourdissement de la dette publique résultant de l’augmenta-tion des prestal’augmenta-tions de régime de retraite lors du passage à la retraite des baby-boomers et les problèmes d’égalité intergénérationnelle provenant du fait que plusieurs régimes de retraite sont financés à même les revenus des travailleurs.

Puisque les changements démographiques et leurs impacts peuvent être anticipés plusieurs années à l’avance, les gouvernements étudient diverses alternatives afin d’y faire face. Entre autres, pour contrebalancer la diminution de travailleurs, il est possible d’augmenter la taxa-tion sur le revenu, de repousser l’âge du passage à la retraite, ou de diminuer les prestataxa-tions des régimes de retraite. L’impact économique global du vieillissement de la population est donc considéré par les institutions publiques. C’est pourquoi les recherches réalisées dans les milieux public et académique tentent de le quantifier.

Dans un article fondateur, Gertler (1999) analyse les changements démographiques et leurs conséquences sur les programmes d’aide sociale, la dette gouvernementale et l’économie agré-gée dans son ensemble. Kilponen et al. (2006) utilisent le modèle de Gertler pour analyser l’impact du vieillissement de la population sur le système de fonds de pension finlandais. De

1. Ratio de la population âgée de plus de 65 ans pour 100 personnes âgées entre 20 et 64 ans.

même, Tsen (2010) consacre son étude aux impacts de ce vieillissement sur le compte d’actifs étrangers d’un pays.

Le présent mémoire expose, dans un premier temps, les tendances qui caractériseront la dé-mographie du Québec jusqu’en 2035, à l’aide des projections réalisées par Statistique Canada. Puisque celles-ci décrivent un vieillissement de la population prévisible, la section suivante reprend le modèle de Gertler et étend son analyse de deux principales manières. D’abord, les paramètres sont étalonnés de manière à reproduire les caractéristiques de l’économie québé-coise. Puis, sur le plan méthodologique, le mémoire innove en ajoutant un deuxième bien de consommation à la fonction d’utilité. Ce dernier est appelé à représenter la consommation de biens et services de santé.

La caractéristique principale d’un modèle macroéconomique du type développé par Gertler est sa capacité à intégrer les effets d’équilibre général ; les prix reflètent la somme des comporte-ments des agents et assurent l’équilibre simultané de tous les marchés. Plus précisément, sur le marché des facteurs de production, l’intersection entre l’offre et la demande pour chaque facteur détermine son prix. Ainsi, le salaire varie selon l’arbitrage qu’effectuent les ménages entre le temps consacré au loisir en opposition au travail, de même que selon la productivité du travail. De la même manière, le loyer du capital varie selon l’arbitrage qu’effectuent les ménage entre la consommation et l’épargne, de même que selon la productivité du capital.

Les fonctions de réponses impulsionnelles générées par le modèle sont présentées au dernier chapitre du document. Elles permettent de capter les effets d’un choc démographique sur l’éco-nomie réelle, de même que ses impacts sur les différentes composantes des finances publiques : dépenses en santé, revenus de taxation, déficit et dette du gouvernement.

Chapitre 1

Le contexte démographique québécois

Ce chapitre passe en revue les tendances démographiques qui caractériseront la société québé-coise selon le scénario de référence de Statistique Canada. Publiées en mai 2010, ces projections reposent sur la méthode des composantes de l’accroissement, c’est-à-dire sur la contribution à l’accroissement démographique de la fécondité, mortalité et migration, selon différentes hy-pothèses concernant leur évolution dans le temps1. Elles ont comme population de départ les estimations démographiques au 1er juillet 20092.

1.1

Historique et projections démographiques

La population du Québec vieillira de façon marquée au cours des 25 prochaines années, puisque que l’importante cohorte des baby-boomers, nés entre 1945 et 1965, gonflera progressivement les tranches d’âge les plus élevées de la population. Alors que l’on compte plus de 1,3 mil-lion d’aînés âgés de plus de 65 ans en 2012, ils dépasseront les 2,3 milmil-lions en 2035, soit une augmentation de près de 77%. Quant aux jeunes de moins de 20 ans, ils devraient voir leur nombre se maintenir autour de 1,7 million d’ici 2035. De plus, l’âge médian, ayant aug-menté de 40% entre 1980 et 2012 en passant de 29,2 ans à 41,5 ans, atteindra 44,7 ans en 2035.

Cette hausse de l’âge médian est attribuable à la baisse marquée de natalité à la suite du baby-boom (Figure 1.1), ainsi qu’à l’augmentation de l’espérance de vie. En effet, l’incidence de la mortalité chez les Québécois a continué de diminuer au cours des dernières années. Le nombre moyen d’années de vie d’un individu est passé de 75,0 ans à 81,8 ans entre 1980 et 2012. Le scénario démographique de référence de Statistique Canada repose sur l’hypothèse

1. Tel que spécifié par Statistique Canada, ces projections démographiques ne sont pas des prédictions, mais plutôt un exercice visant à entrevoir ce que pourrait devenir la population québécoise selon certains scénarios d’évolution future.

que l’espérance de vie progressera également dans l’avenir et ce, jusqu’à 83,8 ans en 2035. 1,0 2,0 3,0 4,0 1951 1963 1975 1987 1999 2011 2023 2035 En fa n ts p ar fe m m e Années Projections

Seuil de renouvellement = 2,1 enfants par femme

Figure 1.1: Indice synthétique de fécondité par femme

Une hausse des naissances a été observée au Québec depuis 2000, l’indice synthétique de fécondité3 passant de 1,45 à 1,74 enfants par femme entre 2000 et 2009, soit un bond de 20%. Toutefois, cette amélioration du nombre de naissances demeure insuffisante pour empêcher un ralentissement de la croissance de la population à moyen et long terme. Les démographes estiment l’indice synthétique de fécondité assurant le renouvellement de la population à 2,1 enfants par femme.

Un autre indicateur du vieillissement de la population est le rapport total de dépendance. Les démographes définissent comme personnes généralement « à charge », les jeunes de moins de 20 ans et les aînés de 65 ans et plus. Ce nombre de personnes en proportion du nombre de personnes de 20 à 64 ans est désigné comme le rapport total de dépendance. Au cours des dernières décennies, le Québec a profité d’une baisse du rapport total de dépendance, qui est passé de 74,0 dépendants pour 100 personnes de 20 à 64 ans en 1971 à un creux historique de 51,7 en 2004. D’ici 2035, il augmentera à 77,6 jeunes et aînés pour 100 personnes de 20 à 64 ans.

Il est à noter que l’on anticipe une augmentation importante du rapport de dépendance dé-mographique des 65 ans et plus, mais que celui des jeunes n’augmentera que marginalement :

3. Cette mesure réfère au nombre d’enfants qu’aurait hypothétiquement une femme au cours de sa vie reproductive si elle connaissait les taux de fécondité par âge observés au cours d’une année civile donnée.

0 30 60 90 1971 1979 1987 1995 2003 2011 2019 2027 2035 Po p u la ti o n e n m ill ie rs Années 65 ans et plus 0-19 ans Projections

Figure 1.2: Rapports de dépendance démographique

Années 0 à 19 ans 65 ans et plus

2004 31,3 20,4

2012 29,3 24,9

2035 33,1 44,5

Table 1.1: Rapports de dépendance démographique

1.2

Conséquences du vieillissement de la population

Une mesure couramment utilisée pour évaluer le niveau de vie d’une économie est le PIB réel par habitant. Cette variable dépend notamment de la force de travail, qui est tributaire de la population âgée entre 20 et 64 ans. Ainsi, toutes choses étant égales par ailleurs, puisque la part d’individus âgés de 20 à 64 ans est appelée à diminuer au cours des prochaines années, il en sera probablement de même pour le PIB par habitant.

L’institut CD Howe a soulevé qu’à l’échelle canadienne, ce problème peut être atténué par l’immigration, en supposant que les immigrants sont habituellement âgés entre 25 et 40 ans4. En revanche, le volume de nouveaux résidents requis pour contrer les effets du vieillissement de la population s’avère trop élevé pour que l’immigration soit considérée comme une solu-tion ; les quelques milliers d’immigrants font à peine une différence dans le fossé des millions de personnes manquantes pour rétablir la pyramide des âges5. Un raisonnement similaire est applicable au cas québécois.

4. Pour plus de détails, voir l’article suivant : Guillemette, Y. et Robson, W.B.P., (2006). No Elixir of Youth : Immigration Cannot Keep Canada Young., C.D. Howe Institute, No. 96.

5. Voir l’analyse de Stephen Gordon : Why increased immigration won’t fix population aging, Worthwhile Canadian Initiative, http ://worthwhile.typepad.com/worthwhile_canadian_initi/2011/05/aging.html.

0 50 100 150 0 20 40 60 80 100 Po p u la ti o n e n m ill ie rs Âge Immigration : 0,05 million Population : 8,1 millions Population manquante : 1,5 millions

Figure 1.3: Population québécoise en 2012

Les individus âgés de 65 ans et plus diminuent généralement leur offre de travail, paient moins d’impôt sur le revenu, et ont tendance à vivre de leur épargne accumulée. Ils nécessitent éga-lement plus de soins de santé et deviennent éligibles aux bénéfices des régimes de retraite. Par conséquent, toutes choses étant égales par ailleurs, l’accroissement de ce nombre de personnes implique une hausse des dépenses publiques et une diminution des revenus de taxation.

Pour pallier à cela, les travailleurs pourraient faire face à une hausse de leur taux d’imposition. En revanche, la diminution relative de l’offre de travail, à la suite du passage à la retraite d’une génération plus nombreuse que la suivante, pourrait également entraîner un accroissement du niveau des salaires et, donc, de l’assiette fiscale du gouvernement. Ces conséquences contradic-toires sur la santé des finances publiques justifient le développement d’un modàle quantitatif permettant de déterminer les effets nets du vieillissement de la population.

S’ajoute à ces différents impacts économiques, l’adaptation des secteurs de production face à une modification de la demande agrégée en raison du nombre grandissant de retraités. Par exemple, les aînés tendent à consommer davantage de biens et services de santé, en opposi-tion aux biens et services durables, comparativement aux jeunes. Ainsi, le vieillissement de la population implique une augmentation de la demande dans le secteur des services de santé relativement à celle dans le secteur des biens et services manufacturés. Ces différentes réper-cussionsjustifient l’intérêt d’étudier l’incidence quantitative d’une mutation de la structure démographique sur l’économie.

Chapitre 2

Revue de la littérature

Selon la théorie du cycle de vie, le comportement économique des agents dépend de leur âge1. Dans ce contexte, il est important de faire la distinction entre les différents individus de la population ; un cadre tout indiqué est celui des modèles à générations imbriquées. Ce type de modélisation implique que les décisions économiques des divers agents sont liées entre elles d’une génération à l’autre et permet de distinguer l’âge et le comportement d’au moins deux types d’agents. Cette différenciation permet d’analyser l’impact de changements démogra-phiques sur la dynamique de variables macroéconomiques pertinentes.

Certaines contributions à cette littérature, notamment les travaux d’Auerbach et Kotlikoff (1987), mettent en scène des dizaines de générations imbriquées distinctes. L’avantage de telles stratégies est la capacité d’analyse très fine, mais cette dimension engendre une lourdeur imposante au modèle. Par contraste, une seconde démarche utilise une série d’hypothèses sim-plificatrices qui permettent de grandement faciliter l’analyse des modèles tout en conservant l’intuition économique sous-jacente aux résultats. C’est cette seconde méthode qui est adoptée pour ce mémoire.

Cette dernière approche trouve son origine dans les travaux de Blanchard (1984), qui suppose que les agents économiques font face à une probabilité de décès constante sur tout leur horizon de vie. Bien que la dynamique du modèle permette de capter l’aspect réaliste d’un horizon de vie fini, elle n’incorpore pas les changements de comportement de l’agent au cours de son cycle de vie, puisque dans ce modèle les agents ne passent jamais à l’état de retraité. Inspiré par Blanchard, Gertler (1999) propose certaines modifications au niveau méthodologique afin de capter le comportement de vie cyclique des agents. Gertler introduit une distinction entre

1. La théorie du cycle de vie a été développée par Franco Modigliani et Richard Brumberg. Les auteurs font l’hypothèse que les agents lissent leur habitude de consommation de manière à maintenir un niveau de vie stable tout au long de leur existence. Cela implique que l’agent épargne pour sa retraite afin de pouvoir consommer lorsqu’il ne percevra plus de revenu de travail.

deux types d’agent : travailleur et retraité. Chacun d’eux fait face à une probabilité de tran-sition entre son état actuel et le suivant. Deux trantran-sitions sont donc modélisées : le passage du statut de travailleur à celui de retraité, puis celui entre la retraite et la sortie définitive. Ce cadre théorique rend ainsi possible l’analyse d’impact de politiques de redistribution entre travailleurs et retraités, de même que l’impact du vieillissement de la population.

Différents auteurs se sont inspirés des papiers présentés ci-haut pour analyser les diverses conséquences du vieillissement de la population à l’aide de modèles dynamiques d’équilibre général. Entre autres, De La Croix et al. (2007) étudient l’effet des changements démogra-phiques sur le PIB par habitant, Fujirawa et Teranishi (2007) s’intéressent à la relation qui les lie à la politique monétaire et Nickel, C. et al. (2008) se penchent sur les réformes nécessaires des systèmes de fonds de pension en Europe.

Plus près de l’objet de ce mémoire, Kilponen et al. (2006) développe une extension au modèle de Gertler (1999) afin de calculer la charge fiscale potentielle supplémentaire encourue par l’état à la suite du vieillissement de la population. Leurs résultats indiquent que l’augmen-tation de la période de travail ne parvient pas à atténuer la charge des revenus de pension à verser et le taux de taxation sur le revenu, déterminé de manière endogène, augmente à un niveau récessionnaire pour que l’équilibre fiscal soit maintenu. Les résultats provenant des simulations stochastiques le confirment : seulement une fraction de la variation du taux de taxation sur le revenu est expliquée par la variation de la période de travail. D’un autre côté, une diminution des revenus de pension engendre une augmentation de la taxation sur le re-venu plus soutenable. Par contre, selon les auteurs, cette diminution du pouvoir d’achat du revenu de pension relativement au revenu de salaire pourrait exercer certaines pressions sur les régimes d’assurance sociale finlandais.

De la même manière, Tsen (2010) analyse l’effet d’une diminution de la croissance de la po-pulation sur la position nette en actifs étrangers de Taiwan. Les résultats montrent que cette réduction engendre un déclin du taux de croissance de long terme de l’économie et stimule la demande des agents pour les actifs étrangers, ce qui tend à améliorer la position nette en actifs étrangers du pays. D’un autre côté, l’augmentation de l’espérance de vie a pour effet de détériorer la position nette en actifs étrangers de Taiwan.

Ce mémoire présente une extension différente et innovatrice au modèle de Gertler. L’extension proposée consiste à modéliser un deuxième type de consommation, ce qui affecte considéra-blement la résolution du modèle original. Cet ajout est motivé par le fait que les habitudes de consommation se modifient au cours du cycle de vie d’un individu. Pour tenir compte de ce

fait, le modèle est construit de manière à ce que le poids accordé au deuxième bien, interprété comme correspondant aux dépenses en santé, augmente dans le temps. Les individus plus âgés, en l’occurrence les retraités, consomment plus de biens et services de santé en comparaison aux travailleurs, qui sont plus jeunes. Le modèle intègre également le fait que les dépenses en santé des ménages sont largement prises en charge par le gouvernement. Finalement, le cadre fiscal est plus réaliste que celui proposé par Gertler et incorpore un taux de taxation à la consommation, un impôt sur le revenu ainsi qu’une composante d’endettement du gouverne-ment. L’ajout de ces éléments rendent alors possible d’étudier l’incidence du vieillissement de la population sur les finances publiques, en plus des autres agrégats économiques.

Chapitre 3

Le modèle

Le cadre d’analyse utilisé est celui des modèles dynamiques d’équilibre général. Cette mé-thodologie vise la compréhension des mécanismes à l’origine des fluctuations économiques et la prévision des fluctuations futures. Cette classe de modèles se distingue toutefois en adop-tant une structure qui intègre la théorie microéconomique ; c’est-à-dire que les modèles de cette classe sont constitués de l’agrégation des différents problèmes de décision auxquels sont confrontés les agents économiques, comme les ménages et les entreprises. Les anticipations1 à propos du futur sont également un élément clé de la solution de ce type de modèle. Par exemple, à chaque période, le ménage choisit la manière dont il répartit son revenu entre consommation et épargne. Ses anticipations interviennent lorsqu’il tient compte des taux d’in-térêt futurs afin de déterminer son taux d’épargne aujourd’hui.

Ces modèles permettent donc d’interpréter les fluctuations de l’activité économique comme résultant du comportement des agents, car celui-ci est influencé par la conjoncture du moment ou celle qui est anticipée. On intègre à ce cadre de modélisation la dynamique à générations imbriquées présentée dans le modèle de Gertler (1999), en plus de prendre en compte la diffé-rence qui existe entre le panier de consommation de différentes générations.

3.1

Structure démographique

Tel que proposé dans le modèle de cycle de vie de Gertler, la population est composée de travailleurs et de retraités. Chaque individu naît travailleur, transite vers le statut de retraité, pour finalement sortir du système. Aucun retour n’est possible lorsque l’agent quitte un état.

La dynamique de la population est tributaire des probabilités de transition entre chacun de

ces statuts. Sachant qu’un individu est travailleur à la période courante, la probabilité d’en demeurer un la période suivante est ω, alors que la probabilité qu’il devienne retraité est 1 -ω. Puisque 1 - ω représente la probabilité de quitter l’état de travailleur, la durée moyenne attendue de travail est _1−ω1 2_{. De la même manière, la probabilité qu’un individu retraité le}

demeure est γ, alors que la probabilité de quitter le système une fois à la retraite est 1 - γ ; la durée moyenne de retraite est donc _1−γ1 .

Soient N_t et N_tr, le nombre de travailleurs et de retraités au temps t, respectivement. L’évo-lution du nombre de retraités suit la dynamique suivante : N_t+1r = (1 − ω)Nt+ γNtr et peut

être réécrite ainsi :

N_t+1r Nt+1 = (1 − ω) Nt Nt+1 + γ N r t Nt+1 . (3.1)

Soient, de plus, le taux d’accroissement du nombre de travailleurs, gt= _NN_t−1t , et le rapport de

dépendance démographique : Ntr Nt = ψt. L’équation (3.1) devient : ψt+1= (1 − ω) gt + γψt gt . (3.2)

3.2

Ménages

Chaque type de ménage, travailleur ou retraité, reçoit de l’utilité de sa consommation de bien final et de loisir. Il doit donc prendre un certain nombre de décisions : il doit notamment répartir son temps entre le travail et le loisir3 et investir son épargne en capital privé ou en se procurant des obligations émises par le gouvernement.

Des différences importantes dans les caractéristiques du travailleur et du retraité sont présentes et affectent les décisions décrites ci-haut. D’abord, tel que spécifié dans le modèle de Gertler (1999), le retraité a une productivité marginale plus faible que celle du travailleur. Il est donc au travail, mais de façon moins intense4. De plus, puisqu’il fait face à une probabilité de sor-tir du système, il escompte le futur de manière plus prononcée et sa propension marginale à consommer est par conséquent plus élevée que celle du travailleur. Enfin, le poids accordé aux biens et services de santé est plus grand dans le panier du retraité que dans celui de travailleur.

Le retraité planifie consommer toutes ses ressources et laisser un héritage de valeur actuelle nulle. Ainsi, dans le but d’assurer la traçabilité analytique du modèle malgré l’incertitude

2. L’espérance d’une loi géométrique dont la probabilité de succès est 1 - ω. 3. Les ménages disposent d’une unité de temps qu’ils répartissent entre travail, Lr

t, et loisir, (1 − Lrt).

4. À l’équilibre, les retraités offrent moins de travail que les travailleurs.

concernant le moment du décès, on suppose qu’il existe un marché des rentes assurant une couverture parfaite pour ce risque de longévité. À cet effet, chaque période, chaque retraité remet le montant de sa richesse non-humaine, Ar_t, à un fonds commun de placement, qui l’investira dans différents actifs financiers. La fraction γ de ceux qui demeurent retraités la période suivante bénéficie d’un retour sur investissement de Rt

γ

5_{, et les autres ne reçoivent}

rien. Cette hypothèse n’est en fait rien d’autre que la conversion des actifs d’une annuité en une série de paiements garantis tout au long de la retraite.

De son côté, le travailleur fait face à une probabilité de passage à la retraite et doit ainsi com-poser avec une espérance de revenu futur à la baisse. Pour cette raison, il actualise le futur à un taux élevé, relativement à un modèle sans cycle de vie, ce qui résulte en une diminution de sa consommation aujourd’hui et une augmentation de son épargne. De cette manière, le travailleur épargne en vue de la retraite et le modèle capte cette importante composante du cycle de vie.

Cette contingence complique la résolution analytique du modèle. Afin de faciliter cette der-nière, on suppose que les agents sont neutres au risque, mais détiennent une préférence quant au moment auquel survient la consommation. Ainsi, le coefficient d’aversion au risque n’est pas le réciproque de l’élasticité de substitution intertemporelle. C’est ce que permet la classe de fonctions d’utilité non espérée qui est utilisée dans le modèle. En opposition aux préférences de type Von Neumann-Morgenstern, celles-ci permettent que les individus soient neutres au risque sans être indifférents face au moment où l’incertitude est résolue6.

3.2.1 Consommation finale

Chaque type de ménage consomme deux biens : C_ti, les biens et services marchands, et H_ti, les biens et services de santé. Le panier de consommation final de chaque type de ménage i assemble ces deux biens à l’aide d’une fonction à élasticité de substitution constante. Avec i = r ou w, selon que l’agent soit retraité (r) ou travailleur (w), la consommation totale d’un agent correspond à : ˜ Ci t = [Cti α−1 α _{+ κ}i 1 α_Hi t α−1 α _]α−1α _{. (3.3)}

On suppose que κr > κW, c’est-à-dire que le poids accordé aux biens et services de santé est plus grand pour l’individu retraité. Le paramètre α représente l’élasticité de substitution entre les deux biens.

5. Où Rt est le taux de rendement brut, déterminé de manière endogène par le modèle

6. Voir Farmer (1990) et Weil (1990) pour plus de développement concernant le notion d’utilité non espérée.

Ce bien de consommation composite est l’extension du bien de consommation simple dans le modèle de Gertler (1999). Pour la résolution complète du modèle, il est utile de procéder d’abord à un sous-problème dont le but est de déterminer la répartition de C_ti et H_ti pour tout niveau de ˜Ci

t.

Pour ce faire, on pose d’abord la fonction de coûts ci-dessous :

(1 + τc)PtcCti+ (1 − τh)PthHti, (3.4)

où P_tc est le prix des biens et services marchands, et P_th celui des biens et services de santé. De plus, les paramètres τ_cet τ_h représentent respectivement le taux de taxation à la consom-mation de biens et services marchands et le taux de subvention accordé à la consomconsom-mation de biens et services de santé. On note que la consommation du bien C_ti augmente l’assiette fiscale du gouvernement et que celle de H_ti la diminue.

La résolution du problème de minimisation des coûts (3.4) sous la contrainte (3.3) mènent aux solutions suivantes7 : C_ti = ˜C_ti (1 + τc) ˜ P_ti −α , (3.5) H_ti= ˜C_tiκi (1 − τh)P h t ˜ Pi t −α , (3.6) ˜ P_ti = [(1 + τc)1−α+ κi((1 − τh)Pth)1−α] 1 1−α_{, (3.7)} ˜ π_t+1i = ˜ P_t+1i ˜ P_ti . (3.8)

Ainsi, une fois la valeur de ˜Ci

t établie, il est facile de déterminer la répartition de chacun

des biens. De plus, ˜P_ti est la dépense nécessaire à l’achat d’une unité du bien composite ˜C_ti. Puisque ce bien composite diffère selon que l’agent est travailleur ou retraité, le prix associé n’est pas la même selon que i = r ou w. Finalement l’accroissement de ce prix correspond à ˜

πi_t+1.

3.2.2 Retraités

Le ménage retraité reçoit de l’utilité de sa consommation, ˜C_tr, et de son loisir, (1 − Lr_t). Puis-qu’il fait face à une probabilité γ de quitter le système, le retraité valorise davantage que le

7. Où Pc

t est normalisé à l’unité et Pthdevient le prix relatif des biens et services de santé par rapport aux

biens et services marchands.

travailleur l’utilité aujourd’hui par rapport à celle de demain. Pour cette raison, son facteur d’escompte β définissant la préférence pour le temps est ajusté à la baisse par γ.

Son problème d’optimisation intertemporelle peut être présenté en étudiant la fonction de valeur suivante : max Cr t, Lrt V_tr= {[( ˜C_tr)ν(1 − Lr_t)(1−ν)]ρ+ βγ[Et(Vt+1r )]ρ} 1 ρ_{, (3.9)}

sous la contrainte budgétaire suivante : Ar_t+1= Rt

γ A

r

t+ Wt(1 − τl)ξLrt − ˜PtrC˜tr. (3.10)

L’élasticité de substitution intratemporelle, c’est-à-dire l’arbitrage entre la consommation et le loisir, est prise en compte par le paramètre ν. Le lissage intertemporel de la consommation quant à lui, dépend de ρ et l’élasticité associée est σ = _1−ρ1 . ˜P_tr est défini selon l’équation (3.7), Wt représente le salaire réel, τl le taux d’imposition sur les revenus d’emploi et ξ < 1 indique

que la productivité marginale du travail des retraités est plus faible que celle des travailleurs. Ar_t représente la richesse non-humaine, c’est-à-dire la richesse qui n’est pas liée au revenu de travail. À l’équilibre, celle-ci correspondra au stock de capital privé K_t et d’obligations gou-vernementales B_t.

Les conditions de premier ordre résultant du problème de maximisation précédent permettent de dériver l’offre de travail, Lr_t, ainsi que l’équation d’Euler :

1 − Lr_t = 1 − ν ν ˜ P_trC˜_tr Wt(1 − τl)ξ , (3.11) ˜ C_t+1r = ˜C_tr[βRt+1  Wt Wt+1 ρ(1−ν) (˜π_t+1r )(ρ(1−ν)−1)]σ. (3.12)

Pour la suite de la résolution, une conjecture est formulée concernant l’évolution de la mation. Cette conjecture stipule que pour chaque individu retraité j, les dépenses de consom-mation sont une fonction linéaire de la richesse totale :

˜ P_trc˜rj_t = tπt[ Rt γ a rj t + m rj t ], (3.13)

où (_t· π_t) représente la propension marginale à consommer (PmC) du retraité. Il est utile de la définir par ce produit car (πt) sera la PmC du travailleur et sa dynamique sera résolue

dans la prochaine section. Étant donné qu’une fraction γ des retraités survit chaque période, le taux de rendement brut agrégé est Rt. Après agrégation, l’expression devient donc :

˜

P_trC˜_tr = tπt[RtArt + Mtr]. (3.14)

La richesse totale du retraité est la somme de sa richesse financière et humaine. La richesse humaine est la capacité présente et future de l’agent à gagner un flux de revenu et elle est définie ainsi :

M_tr= Wt(1 − τl)ξLrt+

M_t+1r Rt/γ

. (3.15)

En combinant les équations (3.10), (3.12) et (3.13), on obtient une expression qui caractérise la dynamique de la propension marginale à consommer du retraité :

tπt= 1 − tπt t+1πt+1 γβσRσ−1_t+1  Wt Wt+1 σρ(1−ν) (˜πr_t+1)ν(1−σ). (3.16)

En synthèse, le problème de maximisation du retraité implique que les dépenses de consom-mation agrégées (3.14) dépendent de la propension marginale à consommer, définie en (3.16). Cette dépense peut ensuite être décomposée entre C_tr et H_tr à l’aide des équations de réparti-tion (3.5) et (3.6). Finalement le comportement du retraité est également caractérisé par les heures de travail qu’il offre selon (3.11).

3.2.3 Travailleurs

Le travailleur retire lui aussi de l’utilité de la consommation du bien composite et du loisir. Il fait face au problème de maximisation suivant :

max CW t , LWt V_tW = {[( ˜C_tW)ν(1 − LW_t )(1−ν)]ρ+ Et[ωVt+1W + (1 − ω)Vt+1r ]ρ} 1 ρ_{, (3.17)} sous contrainte : AW_t+1= RtAWt + Wt(1 − τl)LWt − ˜PtWC˜tW, (3.18)

où AW_t fait référence à la richesse non-humaine des travailleurs, composée de capital privé Kt

et d’obligations du gouvernement Bt. Notons que la possibilité que le travailleur transite vers

l’un des deux statuts viables du modèle est prise en compte par la répartition de la fonction de valeur espérée entre ω et (1 − ω).

Les conditions de premier ordre mènent aux équations d’offre de travail et d’arbitrage entre la consommation à t et t + 1 : 1 − LW_t = 1 − ν ν ˜ P_tWC˜_tW Wt(1 − τl) , (3.19) ω ˜C_t+1W + (1 − ω) −1 ρ t+1C˜t+1r (ξbt+1)ν−1 = ˜CtW[βRt+1Ωt+1  Wt Wt+1 ρ(1−ν) (˜π_t+1W )(ρ(1−ν)−1)]σ, (3.20) 16

où Ω_t+1, un élément important apparaissant comme facteur de pondération du taux de ren-dement brut, évolue selon :

Ωt+1= ω( ˜Pt+1W )(1−ν)+ (1 − ω) ρ−1 ρ t+1 ˜_Pr t+1 ξ !(1−ν) bt+1; (3.21) bt+1= ˜ P_t+1W ˜ Pr t+1 , (3.22)

où Ω_t+1 > 18. Cela implique que le travailleur actualise sa consommation future à un taux plus élevé que s’il n’avait pas à faire face à la probabilité de transiter vers l’état de retraité. La variable bt+1 prend en compte le changement de prix du panier de consommation

corres-pondant au changement de statut de l’agent.

De la même manière que précédemment, le plan de consommation des travailleurs est spécifié ainsi :

˜

P_tWC˜_tW = πt[RtAWt + MtW], (3.23)

où πt est la propension marginale à consommer du travailleur et MtW sa richesse humaine,

définie par l’équation (3.24).

M_tW = Wt(1 − τl)LWt + ω M_t+1W Rt+1Ωt+1 + (1 − ω) M r t+1 Rt+1Ωt+1  ρ−1 ρ t+1bt+1(ξbt+1)ν−1. (3.24)

On note que M_t+1r est la valeur de la richesse humaine d’un individu qui était travailleur au temps t et qui est devenu retraité au temps t + 1. De plus, on remarque que les taux d’ac-tualisation effectifs, _R ω

t+1Ωt+1 et

(1−ω)

Rt+1Ωt+1, sont pondérés par la présence de la probabilité de

transition ω, lorsque le travailleur le demeure la période suivante, et (1 − ω), lorsqu’il passe au statut de retraité. Cela a pour effet de réduire la valeur actualisée de la richesse humaine, et d’ainsi réduire la consommation et augmenter l’épargne, comparativement à un cas où la probabilité de transition entre l’état de travailleur et celui de retraité est absente. C’est la pos-sibilité de diminution du revenu futur, puisque la productivité marginale au travail du retraité est moindre, qui induit ce comportement. La probabilité de transition permet donc de capter le comportement d’épargne en vue de la retraite.

8. En raison de la valeur des paramètres et du fait que la PmC du retraité est plus grande que celle du travailleur : t+1πt+1

πt+1 > 1. Rappel : la propension marginale à consommer (PmC) des retraités est tπtet celle

des travailleurs est πt. Tel que spécifié dans le modèle de base de Gertler, le retraité fait face à une probabilité

de sortir du système, il escompte donc le futur de manière plus prononcée que le travailleur, et sa propension marginale à consommer est par conséquent plus élevée que celle du travailleur.

En combinant les équations (3.18), (3.20) et (3.23), on obtient une expression qui caractérise la dynamique de la propension marginale à consommer du travailleur :

πt= 1 − πt πt+1 βσRt+1Ωt+1σ−1  Wt Wt+1 (1−ν)ρσ (˜π_t+1W )ν(1−σ). (3.25)

En résumé, les dépenses de consommation agrégées du travailleur, (3.23), dépendent de sa propension marginale à consommer, définie en (3.25), et peuvent être décomposées entre C_tr et H_tr à l’aide des équations de répartition (3.5) et (3.6). Son comportement est aussi carac-térisé par les heures de travail qu’il offre et ce, selon (3.19).

La fonction consommation agrégée totale correspond à la somme des équations (3.14) et (3.23) :

˜

P_trC˜_tr+ ˜P_tWC˜_tW ≡ πt{t[RtArt + Mtr] + [RtAWt + MtW]} (3.26)

Sachant que A_t est la richesse totale de l’économie, et dans le but de rendre l’expression précédente plus concise, on pose λtcomme la part de la richesse non-humaine détenue par les

retraités : λt≡ Art/At, et (1 − λt) comme celle détenue par les travailleurs : (1 − λt) ≡ AWt /At.

L’équation (3.26) devient donc : ˜

P_trC˜_tr+ ˜P_tWC˜_tW = πt{RtAt[λt(t− 1) + 1] + tMtr+ MtW}. (3.27)

Puisque _t > 1, une hausse de la part de la richesse non-humaine détenue par les retraités (λ_t), c’est-à-dire un transfert des travailleurs vers les retraités, stimule la demande de consom-mation agrégée. Cela tient au fait que la propension marginale à consommer des retraités est plus élevée que celle des travailleurs.

3.3

Répartition des actifs

La richesse non-humaine est détenue par les retraités et les travailleurs et correspond, à l’équi-libre, au total d’obligations et de capital privé. Afin d’établir comment s’effectue la distribution de celle-ci entre chaque groupe de ménages on pose d’abord l’équation décrivant son évolution.

L’accumulation d’actifs détenus par les retraités9 correspond à :

Ar_t+1= RtArt+ Wt(1 − τl)ξLrt − ˜PtrC˜tr+ (1 − ω)[RtAWt + Wt(1 − τl)LWt − ˜PtWC˜tW], (3.28)

9. On fait référence à la fois au travailleur du temps t qui devient retraité à t + 1 et au retraité du temps t qui le demeure à t + 1.

alors que les actifs détenus par les travailleurs qui demeurent travailleurs au temps t + 1 : AW_t+1

ω = [RtA

W

t + Wt(1 − τl)LWt − ˜PtWC˜tW]. (3.29)

En remplaçant l’équation (3.29) dans (3.28), on obtient : Ar_t+1= RtArt+ Wt(1 − τl)ξLrt − ˜PtrC˜tr+

(1 − ω)

ω A

W

1+1. (3.30)

Ensuite, en posant Ar_t = λtAt et AWt = (1 − λt)At, et en substituant l’équation (3.14) dans

(3.30), on montre que la part de la richesse détenue par les retraités correspond à : λt+1= ωRtλt At At+1 (1 − tπt) + ωtπtWt(1 − τl)ξLrt− ωtπtMtr At+1 + (1 − ω), (3.31) et que celle des travailleurs équivaut à : 1 − λ_t+1.

3.4

Marché du travail

Chaque ménage possède une unité de temps qu’il choisit de répartir entre le travail, Li_t et le loisir, (1 − Li_t). Tel que mentionné précédemment, les retraités travaillent mais sont moins productifs que les travailleurs. On défini l’offre de travail agrégée ainsi :

Lt= LWt + ξLrt (3.32)

Les ménages offrent un travail homogène aux différents secteurs de production, en échange d’un salaire W_t. Deux types de producteurs louent le travail des ménages, ceux produisant les biens et services marchands et ceux produisant les biens et services de santé.

3.5

Autorité gouvernementale

Le gouvernement achète une part G_t des biens et services marchands produits par l’un des deux secteurs de production présents dans l’économie. Cette part est considérée déterminée de manière exogène pour des considérations autres que celles liées au vieillissement de la population. Le gouvernement subventionne, au taux (τ_h), l’achat des biens et services de santé produit par le second secteur de production. Il finance ces dépenses en prélevant des taxes sur la consommation (τc), ainsi que des impôts sur les salaires (τl), et par l’émission

de d’obligations, B_t+1. La différence entre les revenus et les dépenses, dépendamment que le gouvernement soit en situation de surplus ou d’endettement, est prise en compte par la différence entre les bons émis (Bt+1) et le rendement obtenu antérieurement (RtBt). Ainsi,

chaque période, le gouvernement respecte l’égalité suivante :

Bt+1− RtBt= Gt+ τh(Htr+ HtW) − τc(Ctr+ CtW) − τlLt. (3.33)

3.6

Producteurs

Deux secteurs de productions composent l’économie : le secteur de biens et services marchands et celui des biens et services de santé. Les entreprises y évoluent en concurrence pure et parfaite, c’est-à-dire qu’elles n’engrangent aucun profit. Elles louent le capital Kt des ménages, ainsi

que la main-d’oeuvre N_ti, et utilisent X_t, une technologie à rendements d’échelle constants, nécessaires à leur production. Les ménages louent leur capital Kt ainsi que leur heures de

travail Li_t aux entreprises, en échange d’un rendement Rt et d’un salaire Wt. L’output agrégé

de chacun des secteur est donné par une fonction de production Cobb-Douglas. La fonction de production des biens et services marchands est définie ainsi :

Y_tc= (XtNtc)θcKtc(1−θc), (3.34)

où le paramètre θcest la part du facteur travail dans la production du secteur, et (1 − θc) celle

du facteur capital. En plus de louer le capital des ménages, les firmes remplacent à leur frais celui devenu désuet. C’est pourquoi elles prennent en compte son taux de dépréciation δ dans la maximisation de leurs profits.

La technologie Xt multiplie le facteur travail, et peut être interprétée comme indicateur de

l’efficacité de celui-ci. Cette technologie évolue selon le processus autorégressif qui suit : ln(Xt) = ρxln(Xt−1) + xt, (3.35)

où x_t est un choc à la technologique. Il suit une loi normale centrée à zéro et d’écart- ?type σx. Selon cette spécification, son effet sur la technologie s’estompera dans le temps.

Tel que mentionné plus tôt, les entreprises ne font pas de profit et leurs prises de décisions mènent aux caractérisations suivantes :

Wt= θcYtc N_tc , (3.36) Rt= (1 − θc)Ytc Kc t + 1 − δ. (3.37)

Doté du même type de technologie, le secteur de production des biens et services de santé est caractérisé par des équations similaires :

Y_th = (XtNth)θhKth (1−θh) , (3.38) Wt= P_thθhYth N_th , (3.39) Rt= P_th(1 − θh)Yth Kh t + 1 − δ. (3.40) 20

3.7

Équilibre de marché

Six équation supplémentaires permettront de fermer le modèle développé dans les sections précédentes. À l’équilibre, l’offre est égale à la demande sur chacun des marchés. D’abord, puisque le capital est le seul moyen d’épargner, l’offre d’actifs est égale au stock de capital disponible :

At+ Bt= Kt. (3.41)

Le stock de capital est détenu par les ménages, qui le louent aux producteurs :

Kt= Ktc+ Kth. (3.42)

À l’état stationnaire, l’investissement permet de remplacer le capital qui se déprécie au taux δ :

Kt+1= It+ (1 − δ)Kt. (3.43)

Le marché des biens et services marchands est à l’équilibre lorsque l’offre de ces biens et services par les producteurs est égale à la demande de la part des travailleurs et des retraités et du gouvernement pour ces mêmes biens et services. Les travailleurs et les retraités utilisent les biens et services marchands à des fins de consommation et d’investissement. Cette répartition des ressources implique :

Y_tc= C_tW + C_tr+ It+ Gt. (3.44)

De la même manière, le marché des biens et services de santé est à l’équilibre lorsque l’offre de biens et services de santé égale la demande pour ces mêmes biens et services :

Y_th = H_tW + H_tr. (3.45)

Finalement, à l’équilibre, la demande de travail de la part de chacun des secteurs de production égale l’offre de travail des ménages.

Lt= Ntc+ Nth. (3.46)

Chapitre 4

Résolution

4.1

Étalonnage

Les résultats produits dépendent des valeurs qui sont attribuées aux paramètres des équations qui définissent sa structure. Le choix des valeurs numériques assignées aux différents para-mètres est guidé d’une part par l’information disponible dans la littérature et, d’autre part, par la nécessité pour l’état stationnaire1 du modèle de répliquer certaines caractéristiques de l’économie québécoise. La suite de cette section détaille l’étalonnage du modèle.

Le taux d’actualisation des ménage, le paramètre β, est établi à 0, 96, à ce qui est véhiculé dans la littérature. Les valeurs concernant le taux de dépréciation du capital, δ, ainsi que les élasticités de substitution intra et intertemporelles, ν et σ sont reprises du modèle de Gertler (1999) basé sur l’économie américaine et en accord avec la littérature.

Les taux de taxation à la consommation, τ_c, et d’imposition du revenu, τ_l suivent ce qui a été calculé dans la littérature étudiant l’économie québécoise2. De plus, puisque le Québec dispose d’un système public de soins de santé important, le taux de subvention pour les biens et services de santé τ_h est fixé à 80%. La répartition des facteurs de production est la même dans chacun des secteurs, soient 1/3 et 2/3 respectivement pour le facteur capital et le facteur travail.

Il est établi que l’importance de la consommation de biens et services de santé dans le panier de consommation totale d’un ménage est plus grande pour les retraités que pour les travailleurs.

1. L’état stationnaire du modèle se veut une représentation moyenne des caractéristiques de long terme de l’économie modélisée.

2. Morneau-Couture, J., (2012). Analyse d’impacts des chocs d’exportations : un modèle DSGE pour l’éco-nomie du Québec, Université Laval.

Afin de prendre cela en compte, le facteur de pondération associé au bien de santé, κi_{, est plus}

grand pour le retraité que pour le travailleur. D’autre part, l’élasticité de substitution entre les deux types de biens, α, est fixée à 0,25.

On suppose que le ménage retraité est au travail de façon moins intense que le ménage tra-vailleur, c’est-à-dire qu’à l’équilibre, l’offre de travail des retraités est moindre que celle des travailleurs. Ainsi, la productivité du ménage retraité, relativement au ménage travailleur, est fixée à 0, 5. De plus, les probabilités de passage d’un état à l’autre, ω et γ, sont telles que la période de présence moyenne sur le marché du travail est de 40 ans, et la préiode de retraite moyenne est de 20 ans. La Table 4.1 ci-dessous illustre résumant la valeur de chacun des pa-ramètres étalonnés.

Paramètres Interprétation Valeur

β Taux d’actualisation des ménages 0,96

δ Taux de dépréciation du capital 0,1

ν Élasticité de substitution intratemporelle 0,4

σ Élasticité de substitution intertemporelle 0,25

τc Taux de taxation à la consommation des biens et services marchands 0,1

τl Taux d’imposition des salaires 0,25

τh Taux de subvention à la consommation des biens et services de santé 0,8

θc Part du facteur travail dans le secteur des biens et services marchands 0,66

θh Part du facteur travail dans le secteur des biens et services de santé 0,66

κr Facteur de pondération du bien de santé pour le retraité 0,4

κW _{Facteur de pondération du bien de santé pour le travailleur 0,1}

α Élasticité de substitution entre les deux biens 0,25

ξ Productivité du travail du retraité relativement au travailleur 0,5

ω Probabilité de demeurer travailleur à la période suivante 0,978

γ Probabilité de demeurer retraité à la période suivante 0,95

Table 4.1: Étalonnage des paramètres

4.2

État stationnaire

Afin de solutionner le modèle, les variables doivent être stationnaires. Suivant Ireland (2001), on fait l’hypothèse que le progrès technologique suit un processus stationnaire en tendance, c’est-à-dire que l’équation (3.35) devient :

ln(Xt gt x ) = ρxln( Xt−1 gxt−1 ) + x_t, (4.1)

où g_x est le taux de croissance tendanciel de la technologie. Soit x_t= Xt

gt x alors,

ln(xt) = ρxln(xt−1) + xt, (4.2)

avec l’état stationnaire non-stochastique x = 1.

La population Ltcroît également au rythme gndans le long terme, mais ce taux de croissance

peut être différent dans le court terme et cela suggère que lt= L_gtt

n est une variable stationnaire.

De la même manière, l’ensemble des variables du modèle sont stationnarisées en les exprimant en déviation par rapport à leur tendance de long terme. Pour la plupart des variables expri-mées au temps t, il s’agit de les diviser par (gxgn)t. Il est alors possible de réécrire les 33

équations du modèle sous forme stationnarisée. Elles sont énumérées à l’annexe A. De plus, la section suivante précise la procédure afin d’obtenir la solution de ce système d’équations, ainsi que les conditions nécessaires à son existence.

Afin d’utiliser le modèle pour analyser l’effet d’un choc démographique, on suppose que l’éco-nomie est initialement dans un état stationnaire, c’est-à-dire dans un état sans dynamique temporelle et qui s’apparente à la moyenne de long terme du système. Les variables progressent le long d’un chemin de croissance équilibrée où la structure démographique est stable et com-patible avec les principales caractéristiques de long terme de l’économie québécoise.Tel que présenté dans la section précédente, les paramètres du modèle ont été étalonnés de manière à atteindre cet objectif. Les ratios concernant les variables d’intérêt sont présentés à la Table 4.2.

Ratios Valeur

Consommation totale sur PIB 67%

Part de la consommation totale attribuée aux travailleurs 87%

Part de la consommation totale attribuée aux retraités 17%

Consommation de biens et services marchands sur PIB 53%

Consommation de biens et services marchands sur consommation totale 81%

Part des biens et services marchands dans le biens composite du travailleur 88%

Part des biens et services marchands dans le biens composite du retraité 82%

Consommation de biens et services de santé sur PIB 12%

Consommation de biens et services de santé sur consommation totale 19%

Part des biens et services de santé dans le biens composite du travailleur 14%

Part des biens et services de santé dans le biens composite du retraité 50%

Investissement total sur PIB 25%

Dépenses gouvernementales sur PIB 10%

Stock de capital total sur PIB 209%

Part du capital employé dans le secteur de biens et services marchands 88%

Part du capital employé dans le secteur de biens et services de santé 12%

Heures travaillées totales sur PIB 68%

Part des heures travaillées employée dans le secteur de biens et services marchands 88%

Part des heures travaillées employées dans le secteur de biens et services de santé 12%

Part des heures travaillées totales attribuée aux travailleurs 13%

Part des heures travaillées totales attribuée aux retraités 87%

Masse salariale totale sur PIB 66%

Part de la masse salariale employée dans le secteur de biens et services marchands 88%

Part de la masse salariale employée dans le secteur de biens et services de santé 12%

Table 4.2: Grands ratios du modèle

La consommation totale représente 67% du PIB, relativement à 25% pour l’investissement to-tal et 10% pour les dépenses gouvernemento-tales. Ce dernier ratio semble faible, mais s’explique par le fait que la variable exclue la composante reliée aux dépenses en biens et services de santé puisqu’elle se retrouve en terme de subvention dans la contrainte budgétaire du gou-vernement. Le stock de capital du modèle exclut le stock de capital résidentiel et est plus de deux fois supérieur au niveau du PIB. Les heures travaillées totales et la masse salariale totale représentent 68% et 66% du PIB québécois, respectivement. Enfin, la valeur du taux d’intérêt réel à l’état stationnaire est établie à 1, 06%.

Comme ce modèle porte sur les chocs démographiques de l’économie québécoise, une attention particulière est portée au changement de comportement de consommation de l’agent au cours de sa vie. En ce sens, la part qu’occupe la consommation de biens et services marchands dans

le panier de consommation totale demeure sensiblement la même, passant de 88% à 82% au cours du cycle de vie. Par contre, la part des biens et services de santé dans le panier de consommation totale fait plus que tripler, passant de 14% à 50%, lorsque l’agent quitte le statut de travailleur pour celui de retraité. Enfin, la part de la consommation totale attribuée aux retraités est modeste. Cela affecte passablement l’amplitude des réponses impulsionnelles présentées à la Section 4.4, et suggère que la place que prend cet agent dans l’économie mo-délisée pourrait être plus grande.

4.3

Solutionner le modèle

L’outil utilisé afin de calculer l’ajustement dynamique de notre économie à un choc démo-graphique, est Dynare. La transcription des équations du modèle est donc effectuée sur cette plateforme logicielle, qui elle est exécutée par le langage de programmation Matlab. La mé-thode de résolution Dynare s’apparente au processus décrit dans le reste de cette section.

La résolution de modèles économiques représentés à l’aide d’équations dynamique a fait l’objet de plusieurs articles. Entre autres, Blanchard et Kahn (1980) décrivent un algorithme permet-tant de résoudre un système d’équations dynamiques linéarisées. L’idée générale est d’abord l’approximation du premier ordre des équations du modèle autour de leur état stationnaire, puis la résolution de ce système par l’algorithme choisi.

On note la déviation de dt autour de sa valeur d’état stationnaire dss ainsi :

ˆ dt=

dt− dss

dss

. (4.3)

Une fois l’approximation linéaire du système d’équations calculée, le modèle est exprimé sous la forme matricielle suivante :

A ˆft= B ˆdt+ C ˆxt, (4.4)

DEt[ ˆdt+1] + EEt[ ˆft+1] = F ˆdt+ G ˆft+ H ˆxt, (4.5)

ˆ

xt+1 = ρˆxt+ t+1, (4.6)

où ˆftcontient les variables de contrôle, ˆdtles variables dynamiques prédéterminées (ˆkt) et non

prédéterminées (ˆλt), et ˆxt les variables exogènes. Les matrices A, B, C, D, E, F , G et H

contiennent les coefficients du système.

En substituant les équations (4.10) et (4.12) dans (4.11) on obtient :

Etdˆt+1 = K ˆdt+ Lˆxt+1, (4.7)

où K et L sont les résultats des transformations matricielles suivantes :

K = [D + EA−1B]−1[F + GA−1B], (4.8)

L = [D + EA−1B]−1[GA−1C + H − EA−1Cρ]. (4.9) La matrice K est ensuite diagonalisée dans le but de découpler le système (4.13). Cette dia-gonalisation permet de vérifier la condition nécessaire afin d’obtenir une solution d’équilibre stable et unique à notre modèle. Pour cela, le nombre de valeurs propres inférieures à 1, conte-nues dans la matrice diagonale, doit être égale au nombre de variables prédéterminées du système3. Cette condition est connue sous l’appellation de condition de Blanchard-Kahn. À cet effet, Dynare confirme si elle est satisfaite.

On obtient la diagonalisation de K en (4.16) et sa substitution dans le système en (4.17) :

K = N−1J N , (4.10)

Etdˆt+1= N−1J N ˆdt+ Lˆxt+1, (4.11)

où la matrice J est diagonale en J1 et J2. Puis, en rappelant que ˆft contient les variables

prédéterminées (ˆkt) et non prédéterminées (ˆλt), le découplage du système correspond à :

Etk˜ˆt+1= J1kˆ˜t+ M1xˆt+1, (4.12) Etλ˜ˆt+1= J2λˆ˜t+ M2xˆt+1, (4.13) ˜ ˆ kt+1= N ˆkt+1, (4.14) ˜ ˆ λt+1= N ˆλt+1, (4.15)

La résolution se poursuit en solutionnant de manière prospective les systèmes (4.18) et (4.19) jusqu’au temps t + i. Les résultats seront de la forme suivante, respectivement :

Et˜ˆkt+i= Ji1

˜ ˆ

kt, (4.16)

3. La différence au temps t entre une variable prédéterminée ou non, est que la variable prédéterminée, lorsque le temps t survient, n’est plus endogène ; il n’est pas possible de modifier instantanément son niveau alors que la variable non prédéterminée s’ajuste instantanément.

Etλ˜ˆt+i= Ji1

˜ ˆ

λt. (4.17)

Si la condition de Blanchard-Kahn respectée, alors |J₁| < 1 et |J₂| > 1. De cette manière, k˜ˆ converge vers sa valeur d’état stationnaire avec le temps et à l’inverse, l’écart de ˜ˆλ avec sa valeur d’état stationnaire s’accumule avec le temps. Pour cette raison, la solution stable au système (4.23) est contrainte par λ˜ˆt= 0, pour tout t.

La suite de la résolution du modèle s’effectue de manière récursive en partant des conditions imposées par les systèmes (4.22) et (4.23) et en remontant jusqu’aux systèmes initiaux. Au final, on obtient la représentation suivante :

Yt= ΠSt, (4.18)

St+1= M St+ Ξt+1, (4.19)

avec Y_tcontenant l’ensemble des variables du modèle, à l’exception des exogènes, S_tcontenant les variables d’état ˆkt et ˆxt, et Ξt contenant les chocs subit par le système. Cette

représen-tation permet entre autres d’extraire les fonctions de réponses impulsionnelles de l’économie modélisée à la suite d’un choc sur Ξ_t.

4.4

Simulations et résultats

Cette dernière section du chapitre porte sur l’ajustement dynamique de notre économie à une modification de la structure démographique. Différentes approches peuvent être privilégiées afin de représenter le vieillissement de la population de l’économie modélisée. Dans le cadre de ce mémoire, l’option choisie a été de reproduire approximativement le baby-boom survenu au Québec entre les années 1945 et 1965, en plus du ralentissement des naissances lors des années suivantes. Ce choc et ses impacts directs sur la composition de la population apparaissent à la Figure 4.1. Une autre expérience valable serait de faire l’hypothèse d’un accroissement de la période moyenne de retraite par une augmentation de la probabilité de demeurer retraité.

Il est important de rappeler que le modèle ne tient compte que de la population en âge de travailler. Ainsi, ce n’est pas le baby-boom en terme de hausse des naissances qui est modélisé, mais plutôt en terme d’augmentation de la force de travail. Le taux de croissance brut de la population de travailleurs augmente à 2% pendant 10 période (10 ans), en opposition à sa valeur d’état stationnaire de 1%, puis diminue à 0% pendant les prochaines 10 années, avant de retourner à 1%. La dynamique du ratio de dépendance concorde avec ce choc. Celui-ci diminue de près de 7% avec la hausse du taux de croissance des travailleurs, puis augmente

0 10 20 30 40 0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02 1.025

Croissance de la pop. de travailleurs (N_t / N_t−1)

Années −20 0 20 40 100 110 120 130 140 150 160 Niveau de la population (N_t) Années 0 10 20 30 40 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 Ratio de dépendance (Nr_t / N_t) Années 0 10 20 30 40 0.235 0.24 0.245 0.25 0.255 0.26

Fraction de population retraitée (Nr_t / (Nr_t + N_t) )

Années

Figure 4.1: Choc sur le taux de croissance des travailleurs

de plus de 10% lorsque ce taux diminue, ne permettant pas aux travailleurs de maintenir leur ratio par rapport aux retraités. Les trois figures suivantes illustrent les réponses de l’économie à ce choc démographique.

0 20 40 0 5 10 PIB Années Déviation (%) 0 20 40 0 5 10 Années Production de biens (Yc) 0 20 40 0 2 4 6 Années Production de services (Yh) 0 20 40 0 5 10 Années Déviation (%) Cw 0 20 40 −2 0 2 4 Années Cr 0 20 40 0 5 10 Années Hw 0 20 40 −2 0 2 4 Années Déviation (%) Hr 0 20 40 0 5 10 15 Années Investissement 0 20 40 0 5 10 Années Dépenses gouvernementales

Figure 4.2: Impacts du choc démographique sur l’économie réelle (I)

L’augmentation du nombre de travailleurs engendre une augmentation de leur consommation agrégée et ce, pour les deux types de biens. D’autre part, puisqu’ils adoptent un comportement d’épargne en vue de la retraite, les travailleurs investissent, entre autres, dans le capital pro-ductif. Ainsi, la dynamique de ces deux agrégats induit une hausse de la production agrégée. Initialement, les travailleurs épargnent suffisamment pour compenser la consommation des retraités, mais l’épargne devient ensuite insuffisante lorsque leur nombre décroît et le revenu agrégé diminue.

0 20 40 −2 −1 0 1 2 Salaire (W) Années Déviation (%) 0 20 40 −5 0 5 10 15 Années

Heures travaillées (travailleurs)

0 20 40 −5 0 5 10 Années Heures travaillées (retraités)

0 20 40 0 5 10 15 Années Déviation (%)

Offre de travail agrégée

0 20 40 −4 −2 0 2 Années PmC (travailleurs) 0 20 40 −4 −2 0 2 Années PmC (retraités) 0 20 40 −3 −2 −1 0 1 Années Déviation (%)

Part richesse détenue par retraités

0 20 40 −0.5 0 0.5 1 Années PIB par habitant

0 20 40 −2 −1 0 1 2 Années Consommation par habitant

Figure 4.3: Impacts du choc démographique sur l’économie réelle (II)

Intuitivement, la hausse de l’offre de travail agrégée, résultant de l’augmentation du taux de croissance des travailleurs, diminue le niveau des salaires, et l’inverse se produit plus tard, le nombre de travailleurs diminue. De plus, la hausse initiale de l’épargne des travailleurs en-gendre une diminution temporaire de la part de la richesse financière détenue par les retraités. Éventuellement, les retraités disposent d’une plus grande part de cette richesse.

Quelques résultats apparaissent contre-intuitifs. Particulièrement, le PIB par habitant décroît avec l’augmentation du nombre de travailleurs, et s’accroît lorsque celui-ci diminue. Cette dy-namique est attribuable au manque de capital disponible dans l’économie lorsque la hausse de travailleurs survient, puis à l’accumulation de celui-ci lorsque le taux de croissance de la population de travailleurs diminue. De même, les dépenses en santé augmentent avec l’accrois-sement du nombre de travailleurs, car ces agents consomment ce type de biens et services, et semblent diminuer avec le vieillissement de la population. En revanche, entre les périodes 10 et 20, le segment concave de la fonction de réponse associée aux dépenses en santé est précisé-ment l’effet du vieillisseprécisé-ment de la population recherché. Il serait par contre souhaitable qu’il apparaisse de façon plus prononcée dans une version subséquente du modèle.

0 10 20 30 40 0 2 4 6 8 Revenu de taxation Années Déviation (%) 0 10 20 30 40 0 2 4 6 Années Dépenses en santé 0 10 20 30 40 −10 0 10 20 Années Déviation (%) Dépenses en intérêt 0 10 20 30 40 −0.5 0 0.5 1 Années Taux rendement sur la dette

0 10 20 30 40 −2 0 2 4 6 Années Déviation (%) Dette 0 10 20 30 40 −4 −2 0 2 4 Années Dette en proportion du PIB

Figure 4.4: Impacts du choc démographique sur les finances publiques

Finalement, les hausses de consommation et d’offre de travail agrégée à la suite d’une hausse du taux de croissance du nombre de travailleurs permettent au gouvernement de percevoir plus de revenus de taxation et d’imposition. Le gouvernement doit par contre subventionner la hausse de la consommation de biens et services de santé. À l’inverse, la diminution du taux de croissance de la population de travailleurs entraîne une réduction des revenus et des dépenses du gouvernement.

Conclusion

Ce mémoire développe un modèle dynamique d’équilibre général intégrant le changement de comportement de consommation des agents économiques selon qu’ils soient travailleurs ou retraités. L’objectif est d’analyser les impacts macroéconomiques du vieillissement de la po-pulation sur l’économie québécoise.

Le modèle utilisé est une extension du modèle à générations imbriquées développé par Gertler (1999) et inclut un bien représentant la consommation de soins de santé. En plus de différer en termes de propension marginale à consommer, les deux agents n’accordent pas le même poids aux biens et services de santé compris dans leur panier de consommation totale.

Une seconde innovation consiste à ce que le gouvernement subventionne la consommation de biens et services de santé. De plus, le cadre fiscal utilisé est plus réaliste que celui proposé par Gertler. L’ajout de ces éléments rend alors possible d’analyser l’incidence du vieillissement de la population sur l’économie modélisée à l’aide de la trajectoire simulée de différentes variables macroéconomiques à la suite d’un choc démographique.

Une prochaine étape serait d’améliorer l’étalonnage du modèle. Cela s’effectuerait d’une part dans l’objectif que les décisions de consommation de l’agent retraité aient un plus grand effet sur la dynamique des différents agrégats économiques modélisés et d’autre part, afin que le choc démographique soit davantage représentatif de ce qui est survenu au Québec. Afin de développer davantage le modèle, il serait utile d’ajouter un secteur extérieur avec lequel le Québec effectue ses échanges commerciaux et financiers. De manière plus générale, il serait intéressant d’introduire la présence d’un bien immobilier, dont le ménage retraité souhaite éventuellement se départir, et d’analyser l’impact du vieillissement de la population sur le prix de cet actif.