Devoir de contrôle n°2 4ème Mathématiques Mr Boudhaouia 15 02 13

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Lycée 02 03 34 Ksar Hellal Devoir de contrôle N° 2 4ème_Math

Mr : Boudhaouia Durée 2h 15/02/2013

Exercice 1

(6 points)

Soit un carré de centre tel que : , ≡ 2 . Les points et sont les milieux respectifs des segments et .

1) Soit la similitude directe qui transforme en et en . a) Déterminer le rapport et l’angle de .

b) Construire son centre Ω.

2) a) Déterminer les images des droites ( ) et ( ) par . En déduire que : ( ) = . b) Montrer que ( ) = .

c) Caractériser l’application : о .

d) Déterminer ( о )( ). En déduire que Ω + 4Ω = 0.

3) Soit σ la similitude indirecte qui transforme en et en . Et soit _{( )} la symétrie orthogonale d’axe ( ).

a) Vérifier que : ! = _{( )} ⃘ . b) Déterminer : σ ( ).

c) Déterminer les éléments caractéristique de la similitude σ.

Exercice 2

(7 points)

1) Soit dans l’équation (E) : # − %&'∝ − )&*'+ + 2,# − ) + 2&'+ = 0 où - est un paramètre réel.

a) Vérifier que #_. = &'+ est une solution de l’équation (E). b) En déduire l’autre solution # de l’équation (E).

2) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ( , / , 0). Soit 1 l’application du plan dans luis même qui à tout point 2 d’affixe # associe le point 2′ d’affixe #4 = −)# + 2. a) Déterminer l’ensemble des points invariants par 1.

b) Montrer que 1 est une symétrie glissante.

c) On désigne par / son vecteur; déterminer l’expression complexe associé à l’application

1 ⃘1. En déduire l’affixe de /.

d) On désigne par ∆ son axe, déterminer l’expression complexe associé à l’application

1 ⃘6*7. En déduire une équation cartésienne de ∆.

3) On désigne par , , 2_.et 2 les points du plan d’affixes respectifs :

1 ; ) ; #. = &'+ et # = −)&'+ + 2

(2)

a) Montrer que lorsque - varie, le point 2_. varie sur un cercle fixe C que l’on déterminera.

b) Vérifier que : 1( ) = et : 1(2_.) = 2

c) En déduire que lorsque - varie, le point 2 varie sur un cercle fixe C ’ que l’on déterminera.

Exercice 3

(7 points)

Soit la fonction ∶ : ↦ 1 + sin ( :) : ∈ @−. , .A.

1) a) Montrer que B réalise une bijection de @−. , .A sur 0 , 2 .

b) Soit B*. la fonction réciproque de B. Montrer que B*. est dérivable sur 0 , 2 . c) Etudier la dérivabilité de B*. en 0.

c) Vérifier que : ∀: ∈ 0 , 2 (B*.)4(:) = .

√ E*EF

2) Soit la fonction G définie sur 0 , 2 par :G(:) = B*.(2 − :) + B*.(:). a) Montrer que G est dérivable sur 0 , 2 .

b) Calculer G4(:) pour tout : de 0 , 2 .

c) Calculer G(1). En déduire que : ∀: ∈ 0 , 2 on a : B*.(2 − :) = −B*.(:).

3) Soit la suite réelle R déTinie sur U∗_{par : R}

Y =_{Z [ B}1 *.\1 +_{Z + ]^}1 Y _`a a) Montrer que ∀Z ∈ U∗ ; ∀] ∈ b0, 1, 2,cc… , Ze on a B*. _{1 +} . Y ≤ B*. 1 + . Yg_ ≤ B*. 1 + . Y .

b) En déduire que : ∀Z ∈ U∗ on a : Yg.

Y B*.

Yg.

Y ≤ RY ≤

Yg.

Y B*. Yg.Y

c) En déduire que la suite R est convergente et déterminer sa limite.