Fonctions / 1e  / 20-21

FONCTIONS

1

ère

_année

3.1 Généralités sur les fonctions

1

3.1.1 Définition d'une fonction f

1

3.1.2 Ce qu’il faut absolument savoir

9

3.2 Fonctions particulières

10

3.2.1 Fonctions polynomiales de degré 0

10

3.2.2 Fonctions polynomiales de degré 1

11

3.2.3 Fonctions polynomiales de degré 2

20

3.2.4 Fonction inverse

37

3.2.5 Fonction racine carrée

42

3.2.6 Fonction valeur absolue

45

3.2.7 Ce qu’il faut absolument savoir

46

AVANT-PROPOS

• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en première année ; le sujet central est le concept de fonction.

Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement.

• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des

exercices.

• Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de

développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé

leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio

Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

3.1.1 Définition d'une fonction

f

Définition Une fonction f est définie par :

1) Un ensemble A appelé ensemble de départ. 2) Un ensemble B appelé ensemble d'arrivée.

3) Une règle de correspondance, qui à chaque élément de

l'ensemble de départ x ∈A fait correspondre

zéro (aucun) ou un élément de l'ensemble d'arrivée y ∈ B.

Remarques

a) On désigne souvent une fonction par les lettres f, g ou h.

b) Nous étudierons surtout les fonctions réelles, c'est-à-dire les fonctions dont l'ensemble

de départ et l'ensemble d'arrivée sont des sous-ensembles des nombres réels .

Exemples f f 2 : x x 5 x 6 = (x) → → + +  

f est une fonction de  dans  . C'est une fonction réelle. • L'image de -4 est

( ) ( )

2

( )

f − = −4 4 + ⋅ − + =5 4 6 2

• L'image de l’intervalle

[

−2;0

]

est f

(

[

−2;0

]

)

=

[ ]

0;6

• L'ensemble des préimages de 2 est 1

( ) {

}

f− 2 = − − , car 4; 1 f

( )

− =4 2 et f 1

( )

− = 2 Ce sont les solutions de l'équation : f(x)= x2+5x+ =6 2

• Le domaine de définition de f est D_f = • L'ordonnée à l'origine de f est f 0

( )

= 6 • Les zéros de f est l'ensemble 1

( ) {

}

f− 0 = − − car 3; 2 f

( )

− = et 2 0 f

( )

− =3 0 Ce sont les solutions de l'équation : f(x)= x2+5x+ =6 0

• Le graphique de f sur l'intervalle [−7;5] est : • Tableau des valeurs de f :

x préimages f(x) images -5 6 -4 2 -3 0 -2 0 -1 2 0 6 1 12

•

•

•

•

f A B x2 x1 x3 x4 y1 y2 y3

•

y4

g x → x = (x)

• L'image de 4 est g 4

( )

= 4=2

• L'image de -4 n’existe pas dans  . En effet : g

( )

− = − ∉4 4 

• L'ensemble des préimages de 3 est 1

( ) { }

g− 3 = 9 , car g 9

( )

=3 Ce sont les solutions de l'équation : g( x )=3

• Le domaine de définition de g est D_g =₊ Définitions

• Si un nombre x ∈ A est en correspondance avec un nombre y ∈ B, alors :

- y est appelé image de x par f et on note y = f(x) (x possède au plus une image) - x est appelé préimage de y par f et on note f -1_{(y)={x,…} (y peut posséder zéro,}

une ou plusieurs préimages)

préimage image

f : A B

x f (x)= y

→

→ On parle d'une fonction f de A dans B. • Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d'une fonction f est l'ensemble des nombres appartenant à  qui ont une image par f. Cet ensemble est noté D_f . • L'ordonnée à l'origine d'une fonction réelle f est l'image de 0. Elle se note : f (0) • Les zéros d'une fonction réelle f est l'ensemble des préimages de 0. Elle se note : f -1₍₀₎ Autrement dit, c'est l'ensemble des nombres x ayant 0 (= y) comme image.

• Le graphique de f est la représentation géométrique des couples de coordonnées

(

x; f x

( )

)

où x∈D_f .

Remarque

La notion de fonction est fondamentale en mathématiques. La compréhension de cette notion et des concepts qui s’y rattachent permet de décrire les relations entre grandeurs et prend de ce fait

une place centrale lors de l’étude de la physique, de l’économie, de la médecine, etc. Un peu d’histoire

La notion de fonction est très récente dans l’histoire des mathématiques. Le Discours de la méthode de Descartes (1596-1650), paru en 1637, est l’un des premiers ouvrages à développer l’idée des coordonnées d’un point du plan, et établit ainsi pour la première fois le lien entre géométrie et algèbre. La notion d’équation de courbe apparaît plus ou moins au même moment : Fermat (1601-1665) interprète une équation à deux inconnues x et y comme l’expression algébrique d’une courbe du plan. Il exprime ainsi l’idée novatrice qu’une courbe est le « résultat » d’une équation. La notation f n’apparaît qu’au

Soit f et g deux fonctions de A dans B. Recopier puis compléter avec des flèches : a) f : A B₃ x x y → → = b) g : A B x x y → → = Exercice 2

Considérons les quatre fonctions définies par

2 12 x

f(x)= x +5 g( x ) x 1 h( x ) 2,5x i( x )

2

−

= − = − =

et voici quatre tableaux de valeurs, chacun associé à l'une d'entre elles :

x x x x -3 7,5 -3 -3 -3 -2 -2 3 -2 -2 -1 -1 -1 2,5 -1 0 0 5 0 0 1 1 1 1 0 2 5 2 2 2 3 3 3 3

a) Recopier puis compléter les tableaux de valeurs (trouver les images !).

b) En vous aidant des informations obtenues précédemment, représenter graphiquement ces

fonctions sur l'intervalle

[

−10;10

]

dans le même repère orthonormé.

Rappel : Un repère orthonormé est constitué de deux axes, gradués avec la même unité,

perpendiculaires et ayant la même origine O.

Remarques: Lorsque l'on représente le graphique d'une fonction : • on utilise une feuille A4 quadrillée.

• on choisit une graduation et une échelle adaptée à la représentation de la fonction. • on indique le nom de la fonction, son expression et plusieurs couples

(

x; f x( )

)

.

c) Déterminer graphiquement les zéros et l'ordonnée à l'origine de chaque fonction.

•

•

f A B 2 -2 3 5 125 8 -8

•

27

•

•

•

•

•

•

•

g A B 4 -2 2 16 4 2

•

5

•

•

•

•

•

Le tableau suivant présente deux façons d'écrire ou d'exprimer des fonctions. Recopiez puis complétez-le.

Fonction donnée par : un lien verbal

Fonction donnée par : une expression algébrique

(1) « doubler puis ajouter 5 »

(2) z→ f ( z )= ⋅2

(

z - 5

)

(3) « élever au carré » , puis « ajouter un »

(4) y→ f ( y )=

(

y +1

)

2

(5) « prendre le triple », puis « ajouter 10 », puis _{« multiplier par −3 »}

(6) x f ( x ) 3 x

(

4

)

7

− −

→ =

Exercice 4

Compléter les phrases suivantes avec les mots suivants :

un zéro, coordonnée, l’ordonnée à l’origine, abscisse, ordonnée, l’image, une préimage.

a) 3 est la première ... du point A. b) 4 est la deuxième ... du point A. c) 2 est l’...du point B.

d) −4 est l’... du point B. e) 5 est ... de -4 par f. f) −4 est ... de 5 par f. g) −2 est ...de f. h) −7 est ... de f. A • B • • 0 -4 3 5 -7 2 4 -2 -4 _f x y • •

a) Sur un repère orthonormé, placer les ensembles de points suivants : 1) L'ensemble A de tous les points dont l'ordonnée vaut -5.

2) L'ensemble B de tous les points dont l'abscisse vaut 3.

3) L'ensemble C de tous les points dont les deux coordonnées sont égales.

4) L'ensemble D de tous les points dont les deux coordonnées sont égales au signe près

(c’est-à-dire : si l'une est positive, l'autre est négative, mais avec la même valeur).

5) L'ensemble E de tous les points dont la première coordonnée est le double de la deuxième. 6) L'ensemble F de tous les points dont la deuxième coordonnée vaut 3 de plus que la première. 7) L'ensemble G de tous les points dont la deuxième coordonnée vaut le cube de la première. b) Traduire les énoncés ci-dessus par une expression algébrique.

(exemple : " L'ensemble de tous les points dont la première coordonnée est le triple de la deuxième " s'écrira x = 3y)

c) Lesquelles de ces expressions définissent une fonction ? Justifier. Exercice 6

Justifiez vos réponses !

1) Les "écritures" suivantes : f ( x )=2x+1 et f ( u )=2u+1 désignent-elles les mêmes fonctions ?

2) Soit g( x )= −

{

x ; x

}

. g est-elle une fonction ?

3) Soit h( x ) 1 si x 0 1 si x 0

≥ 

= _{− <}

 . h est-elle une fonction ?

4) Une ellipse E est-elle le graphique d’une fonction ? 5) Les écritures suivantes désignent-elles des fonctions ?

x+ ; x 1 01 + = ; j( x )= +x 1

6) Soit k( x ) 1 x

= . k est-elle une fonction ?

7) m est-elle une fonction ?

Exercice 7

Soit f x

( )

= x2−5x+ et 4 g x

( )

=3x+ deux fonctions réelles. 1 Calculer et simplifier : 1) f ( a ) 2) f ( x )− 3) −f ( x ) 4) −f ( x )− 5) f ( x+3 ) 6) f x

( )

+ 3 7) 3 f x⋅

( )

8) f 3x

( )

9) 4 f x⋅

(

+ + 10) 3

)

5 p f p⋅

( )

11) f x

( )

+g x

( )

12) f g x

(

( )

)

13) g f x

(

( )

)

14) f

(

f x

( )

)

15) g g x

(

( )

)

16) g g g x

(

(

( )

)

)

•

•

•

•

m A B x2 x1 x3 x4 y1 y2 y3

•

y4 y x E

Soient f et g deux fonctions définies par leurs graphiques.

Lire sur le graphique de f et de g, les images et les ensembles des préimages suivants :

a) f(1) = f(3) = f(4) = g(2) = g(10) = b) f -1(−1) = f -1(2) = f -1(5) = g -1(0) = g -1(8) = c) f

(

[ ]

0;2

)

= f

(

[ ]

1;3

)

= f

(

[ ]

3;4

)

= g 2;4

(

[ ]

)

= g 4;6

(

[ ]

)

=

Exercice 9

Considérons la fonction f définie par l'expression : f ( x )=5x− 2

1) Calculer l'image de 1 par f. 2) Y a-t-il une préimage de 2 par f ? 3) Quelle est la valeur de f en 1 ? 4) Y a-t-il des préimages de −2 par f ? 5) Calculer f 3 et

( )

f−1

( )

3 . 6) Calculer f−1

( )

− . 2

7) Lequel de ces graphiques, correspond à la fonction f ? Justifier.

a) Tracer sur l’intervalle

[

−8;8

]

le graphique d’une fonction f qui remplit toutes les conditions suivantes : 1) D_f = 2) L’ensemble des zéros de f est

{

−4;0;4

}

.

3) f−1

( ) { }

2 = 1;3 4) L’image de 2 par f est 3. 5) Pour tout x∈ −

[

4;4

]

on a que f x

( )

> . 0

b) Tracer sur l’intervalle

[

−3;8

]

le graphique d’une fonction g qui remplit toutes les conditions suivantes : 1) D_g = − +∞

[

3;

[

2) L’ensemble des zéros de g est

{

−2;2;4

}

.

3) g−1

( ) {

4 = −1;1

}

4) L’ordonnée à l’origine de g est 6. 5) Pour tout x∈ −

[

3;2

[ ] [

∪ 2;4 on a que g x

( )

< . 0

6) Pour tout x∈ −

[

2;2

[ ]

∪ 4;+∞ on a que

[

g x

( )

> . 0 Exercice 11

Le tableau ci-dessous représente la température T (en degré Celcius) sur la plage de Farniente, mesurée toutes les heures t de 8 h du matin à 18 h l’après-midi.

a) Représenter graphiquement la fonction f qui à chaque heure t fait correspondre la

température T c'est-à-dire T = f(t). Indication : adapter le repère et l’échelle aux valeurs.

b) Donner les valeurs f 11 et

( )

f 12 . Donner une estimation de

( )

f 11.5 .

(

)

c) À quelle heure la température est-elle maximale ? Quelle est la température maximale ? d) Donner toutes les valeurs de t telle que f t

( )

=15.

temps t

(en heures) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Température T

Voici le graphique d’une fonction f décrivant les températures en Celsius de 0 h du matin à 24 h dans la ville du père Noël :

a) A quels moments la température a-t-elle été nulle ?

b) Donner les périodes (intervalles) où la température a été positive, négative. c) Donner les périodes (intervalles) où la température a été croissante, décroissante. d) A quelle heure la température est-elle maximale ? Quelle est la température maximale ? e) A quelle heure la température est-elle minimale ? Quelle est la température minimale ?

Exercice 13

a) Quel est le domaine de définition des fonctions suivantes ?

f ( x ) 1 x 2 = − 3 g( x ) x 3 = + 2 3 h( x ) x 3 = + 2 3 j( x ) x 4 = − 2 x 1 k( x ) x 1 − = −

Que peut-on remarquer ?

b) Quel est le domaine de définition des fonctions suivantes ?

f ( x )= x g( x )= − h( x )x = − x j( x )= x2+1 k( x )= x2−4

Que peut-on remarquer ?

Soient f et g deux fonctions définies par les expressions : f (x)= 3x− −3 et g( x )= − +x2 3x

a) Déterminer le domaine de définition de ces fonctions. b) Calculer les zéros et l'ordonnée à l'origine de ces fonctions.

c) Lequel de ces graphiques, correspond à la fonction f ? et à la fonction g ? Justifier votre réponse. d) Lequel de ces graphiques, ne décrit pas une fonction ? Justifier votre réponse.

1) 2)

3) 4)

Vrai ou faux ? Justifier par des calculs.

e) A 10; 33

(

−

)

est un point du graphique de f. f) B 5; 20

(

−

)

est un point du graphique de g.

3.1.2 Ce qu’il faut absolument savoir

1♥ Connaître la définition rigoureuse d’une fonction f. ok

2♥ Connaître la définition rigoureuse d’une image et d’une préimage de f. ok

3♥ Connaître la définition rigoureuse du domaine de définition de f. ok

4♥ Connaître la définition rigoureuse de l’ordonnée à l’origine et des zéros de f. ok

5♥ Connaître la définition rigoureuse du graphique de f. ok

6♥ Lire une image et une préimage à partir du graphique d’une fonction. ok

7♥ Lire l’image d’un intervalle à partir du graphique d’une fonction. ok

8♥ Dessiner le graphique d’une fonction d’après un tableau de valeurs. ok

3.2.1 Fonctions polynomiales de degré 0

Définition

Une fonction polynomiale de degré 0 est une fonction du type :

 

f :

x a f ( x )

→ → = où a est une constante réelle quelconque ( a∈ )

Autrement dit, l’image est un polynôme de degré 0 : f ( x )= = ⋅ = ⋅a a 1 a x0

Une telle fonction est dite aussi fonction constante. L'image ne dépend pas de la préimage.

Exemples

La fonction f définie par f x

( )

=2 est une fonction de degré 0. ( a=2 ) La fonction g définie par g x

( )

= −3 est une fonction de degré 0. ( a= −3 )

Étude d'une fonction constante

1) Le domaine de définition d’une fonction constante est .

2) Le graphique d'une fonction constante est une droite horizontale.

3) Une fonction constante ne possède pas de zéros sauf si a = 0 (il y en a alors une infinité !) 4) L'ordonnée à l'origine d'une fonction constante est a . En effet : f(0) = a.

Définition

Une fonction polynomiale de degré 1 est une fonction du type :

 

f :

x ax b f ( x )

→

→ + =

où a ≠ 0 et b sont deux constantes réelles quelconques ( a,b∈ ) Autrement dit, l’image est un polynôme de degré 1.

Exemple La fonction f définie par f x

( )

=2x+1 est une fonction de degré 1. ( a=2 ; b=1 ) Étude d'une fonction de degré 1

1) Le domaine de définition d’une fonction de degré 1 est .

2) Le graphique d'une fonction de degré 1 est une droite oblique (ni horizontale, ni verticale). 3) Le zéro d'une fonction de degré 1 existe, il est unique et vaut b

a − . En effet : f ( x ) ax b 0 x b donc f ( 0 )1 b a a −   = + = ⇔ = − = −_{ }  

4) L'ordonnée à l'origine d'une fonction de degré 1 est b . En effet : f 0

( )

= ⋅ + =a 0 b b.

5) On parle également de fonction affine si b ≠ 0 et de fonction linéaire si b = 0. 6) La pente d'une droite est par définition le rapport :

notation différence verticale y différence horizontale x ∆ = ∆ entre deux points quelconques de la droite.

Ce rapport est invariant c'est-à-dire il ne dépend pas des points pris sur la droite.

Si une droite est le graphique d'une fonction de degré 1

(

f x

( )

=ax+b

)

alors la pente de la droite

est le nombre a. En effet : 2 1

(

2

) (

1

)

(

2 1

)

2 1 2 1 2 1 ax b ax b a x x y f ( x ) f ( x ) pente a x x x x x x x + − + ⋅ − ∆ − = = = = = ∆ − − − x1 x2 f(x1) f(x2)

•

•

∆x ∆y

f

0 x y

En effet : 2 1 2 1 y f ( x ) f ( x ) a 0 x x x ∆ − = = > ∆ − ⇔ 2 1 2 1 y f ( x ) f ( x ) a 0 x x x ∆ − = = < ∆ − ⇔

Le tableau suivant résume les diverses situations pour les fonctions de degré 1 :

b > 0

b = 0

b < 0

a > 0

a < 0

Étude de la fonction de degré 1 f x

( )

=2 x+1

1) D_f = .

2) Le graphique de la fonction f est une droite ni horizontale, ni verticale.

3) L'unique zéro de f est :

f ( x ) 2x 1 0 x 1 donc f ( 0 )1 1

2 2

− ₋ 

= + = ⇔ = − _{=  }

  .

4) L'ordonnée à l'origine est : f 0

( )

=1.

5) La fonction est affine car b= ≠ 1 0

6) Avec x1 = 0 et x2 = 3 on a la pente :

(

) (

)

2 3 1 2 0 1 y f ( 3 ) f ( 0 ) 6 2 a x 3 0 3 3 1 ⋅ + − ⋅ + ∆ − = = = = = ∆ −

7) La fonction f est croissante sur car a=2>0

0 ₀ 0 0 0 0 x1 x2 f(x1) f(x2)

•

•

f(x2) - f(x1)>0 f 0 x y x2 - x1>0 x2 x1 f(x2) f(x1)

•

•

f(x2 ) - f(x1) < 0 f 0 x y x2 - x1>0

a) Recopier et compléter le tableau suivant pour les 6 fonctions polynomiales suivantes : Expression algébrique de la fonction Df Zéro Ordonnée à l’origine Degré de f et affine/linéaire Pente de la droite Variations (croissance ou décroissance) 1 f ( x ) x 4 4 = − +

( )

2 g x x 2 5 = +

( )

h x = −x 1

( )

i x =6

( )

2 j x x 3 7 = − −

( )

2 k x x 5 = −

b) En vous aidant des informations obtenues précédemment, représenter graphiquement ces

fonctions sur l'intervalle

[

−10;10

]

dans le même repère orthonormé.

c) Calculer : f(−4) = g(20) = i(2) = f -1(2) = k -1(−5) = j -1(−10) = Exercice 16

a) Déterminer graphiquement la pente, l'ordonnée à l'origine et donner l'expression algébrique

des droites suivantes.

b) Déterminer : k(5) = g(20) = i(−5) = f -1(4) = g -1 (16) = j -1 (0) = f

(

[ ]

0;5

)

= g

(

[

−5;5

]

)

= i

(

[

−4;4

]

)

= k

(

[

−5;0

]

)

=

On considère la fonction de degré 1 définie par f ( x ) x

4 2

=− + .

a) Calculer la coordonnée manquante pour que les points suivants appartiennent au graphique de f.

E ;....1 F 15 ;....

(

)

G ....; 3

(

)

H ...; 20

(

)

4

  ₋

 

 

b) Déterminer, par un calcul, si les points ci-dessous appartiennent au graphique de f.

A 0 ;1 B 7 9; C 4; 1 D 25;1000 4 3 4 3 2 29   ₋   ₋  ₋                  Exercice 18

On sait que, pour obtenir 1 Euro, il faut 1,60 FS.

1) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, f est la fonction : x Euro

[

]

→ f ( x ) FS

[ ]

Euros 0 1 2 8 x

Francs suisses 8 24 f(x) =...

2) Calculer f ( 14 ) , f ( 2,5 ) et f ( 6 ,2 ) .

3) Représenter graphiquement le nombre de francs suisses en fonction du nombre d’Euros.

Remarque : Adapter l'échelle aux valeurs calculées.

4) Le nombre de Francs est-il proportionnel au nombre d’Euros ? Justifier Rappel : Deux grandeurs x et y sont proportionnelles si y k k 

x = ∈

5) La fonction f est-elle linéaire ou affine ? Justifier 6) Quel est le lien entre proportionnalité et linéarité ?

7) Compléter la phrase : Si x double alors f(x)... Exercice 19

Voici la représentation graphique de la fonction f : prix p en francs d’une course de taxi en fonction du nombre de kilomètres x parcourus (taxi très bon marché !).

1) D'après le graphique, déterminer le prix d’une course

de 1 km, 2 km, 3 km, 5 km, 10 km.

2) Le prix est-il proportionnel à la distance ? 3) Déterminer f(0) que représente cette valeur ? 4) Quelle est la distance qui correspond à un prix

de 6,50 F ?

5) Quelle est la pente de la droite f ?

6) Combien coûte 1 km de trajet supplémentaire ? Quel rapport y a-t-il avec la pente de f ? 7) Déterminer par calcul le prix d’une course de 60 km, puis d’une course de 95 km. 8) Compléter : pour x km, il faut payer p francs , avec p = f(x) = ...

On constate que la température au niveau de la mer est en moyenne de 15,6 °C et elle baisse d’environ 10 °C lorsque l’on monte de 1500 m.

1) Exprimer la température de l’air T (en °C) en fonction de l’altitude h (en m au-dessus du niveau

de la mer) par une expression du type : T =g( h )=ah+b pour 0≤ ≤h 6000. 2) Calculer la température de l’air à l’altitude de 4500 m.

3) Calculer l’altitude à laquelle il fait –17,8 °C.

4) La fonction T=g(h) de degré 1 est-elle affine ou linéaire ? Justifier. 5) La température T de l'air est-elle proportionnelle à l'altitude h ? 6) Que signifie physiquement la pente de cette droite ?

7) De combien diminue la température T pour une augmentation d’altitude h de 1000 m ? 8) La fonction g est-elle croissante ou décroissante sur 0 h 6000≤ ≤ ? Justifier.

9) En vous aidant des informations obtenues précédemment, tracer le graphique de g

pour 0 h 6'000. ≤ ≤

Remarque : Adapter l'échelle aux valeurs calculées.

Exercice 21

a) Représenter dans un même repère :

- la droite d qui passe par les points ₁ A 0

(

;−3

)

et B 3 1

( )

; ,

- la droite d qui passe par le point ₂ C 0 6

(

;

)

et dont la pente est 5

3

− .

b) Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l'expression algébrique de d et de ₁ d . ₂ c) Calculer l’aire du triangle ABC.

Exercice 22 (Introduction aux problèmes d’interpolation)

Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré un passant par les points A et B en résolvant un système de deux équations à deux inconnues.

a) A(3;1) B(1;4) b) A(0;7) B(7;0) c) A(4;1) B(−2;1) d) A(1000;200) B(2000;500) Indications : poser f ( x )=ax+ b 3 1 f(1)=4 • • f 0 x y f(3)=1 A B

Déterminer l’expression algébrique des droites d , ₁ d et ₂ d , en résolvant un système ₃ de 2 équations à 2 inconnues, sachant que :

1

d et d passent par le point ₂

(

10 10;

)

, d et ₁ d passent par le point ₃

(

− ;30 15 0

)

, 2

d et d passent par le point ₃

(

30 40;

)

.

Exercice 24

Le Sunshine Skyway, qui enjambe de ses 529 m la baie de Tampa, en Floride, est un bel exemple de pont haubané. Le tablier est supporté par des câbles porteurs en éventail issu du sommet de deux pylônes.

Déterminer :

a) l'expression algébrique de la fonction de degré 1 f ( x )=ax+ b qui représente respectivement le câble porteur supérieur et inférieur ; ce sont des droites.

b) la longueur de ces deux câbles porteurs.

Les informations disponibles sont les suivantes :

1) Le câble porteur supérieur a un ancrage situé à 40 m au-dessus

du tablier et a 80 m du pylône.

2) Le câble porteur inférieur a un ancrage situé à 10 m au-dessus

du tablier et 8 m du pylône.

Exercice 25

1) Représenter sur un repère orthonormé la droite d₁

( )

x 3x 4

= .

2) Donner la pente de d1.

3) Dessiner deux droites d2 et d3 parallèles à d1 et donner leurs expressions algébriques. 4) Quelles sont leurs pentes ?

5) Dessiner deux droites d4 et d5 perpendiculaires à d1 et donner leurs expressions algébriques. 6) Quelles sont leurs pentes ?

7) Établir une règle de calcul permettant de calculer la pente d'une droite :

- parallèle à une droite donnée. - perpendiculaire à une droite donnée.

Rappels : • Deux droites sont parallèles si elles n’ont aucun point en commun.

• Deux droites sont confondues si elles ont tous leurs points en commun. • Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent à angle droit.

y

Tablier Câble porteur supérieur

Câble porteur inférieur Pylône

x 0

a) Déterminer par le calcul les expressions algébriques de ces 7 droites.

1) Une droite d1 passant par les points (−2;1) et (2;3). 2) Une droite d2 parallèle à d1 et passant par le point (0;−3).

3) Une droite d3 perpendiculaire à d2 de même ordonnée à l’origine que d1. 4) Une droite d4 constante de même ordonnée à l’origine que d2.

5) Une droite d5 linéaire parallèle à d3.

6) Une droite d6 de même pente que d4 passant par le point (0;6). 7) Une droite d7 perpendiculaire à d1 dont le zéro vaut -1.

b) En vous aidant des informations obtenues précédemment, représenter graphiquement

les 7 droites sur l'intervalle [−10;10] dans le même repère orthonormé.

Exercice 27

a) Placer les points A

(

− ;1 6

)

et B 8 3

(

;

)

dans le même repère orthonormé.

b) Dessiner le rectangle ABCD , sachant que le point C est sur l’axe des abscisses. c) Donner l'expression algébrique des droites dAB, dBC, dCD et dDA.

d) Que constate-t-on au niveau des pentes de ces droites ?

Exercice 28 (Problèmes d’intersections de courbes)

Soient les 3 fonctions : f ( x )=2x− 3 g( x ) 1x 2 3

= + h( x ) 3x 1

2

= − +

a) Représenter graphiquement ces 3 fonctions dans le même repère orthonormé. b) Trouver par le calcul les coordonnées des points d’intersections de ces trois droites.

Indication : Résoudre une équation du premier degré.

c) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier par un calcul votre réponse.

Exercice 29

a) Calculer l'aire du triangle délimité par : l'axe horizontal, l'axe vertical et la droite définie par

f x

( )

= − +4x 500.

b) Calculer l'aire du triangle délimité par : l'axe horizontal et les droites définies par

f x

( )

= x+1000, g x

( )

= − +4x 500.

Indication : faire un croquis pour chaque situation. x f(x)=g(x)

f

Dans un magasin, une cartouche d’encre pour imprimante coûte 15 euros. Sur un site Internet, cette même cartouche coûte 10 euros, avec des frais de livraison fixes de 40 euros quel que soit le nombre de cartouches achetées.

a) Reproduire et compléter le tableau suivant :

Nombre de cartouches achetées 2 5 11 14

Prix à payer en magasin (eu euros) Prix à payer par Internet (en euros)

b) Le nombre de cartouches achetées est noté x.

1) On note PA le prix à payer pour l’achat de x cartouches en magasin. Exprimer PA en fonction de x.

2) On note PB le prix à payer, en comptant la livraison, pour l’achat de x cartouches par Internet.

Exprimer PB en fonction de x.

c) Représenter dans le même repère les deux fonctions définies au point b) pour x∈

[

0;15

]

.

d) Si on achète 10 cartouches d’encre, vaut-il mieux les acheter en magasin ou sur Internet ?

Justifier par des calculs.

e) 1) Déterminer, à l’aide d’une inéquation, à partir de quel nombre de cartouches le prix sur

Internet devient inférieur ou égal au prix en magasin.

Un club multisports propose à ses utilisateurs de choisir entre les trois formules : • Formule A : 1 500 F par séance.

• Formule B : forfait de 28 000 F par an auquel s’ajoute une participation de 800 F par séance. • Formule C : forfait de 98 000 F par an quel que soit le nombre de séances.

a) Tania décide de suivre une séance par mois pendant toute l’année.

Willy suivra une séance par semaine pendant toute l’année. Raitua suivra deux séances par semaine pendant toute l’année

1) Recopier et compléter le tableau suivant. On rappelle qu’une année comporte 52 semaines. Tania Willy Raitua

Nombre de séances pour l’année Prix à payer avec la formule A Prix à payer avec la formule B Prix à payer avec la formule C

2) Quelle est la formule la plus avantageuse pour chacun ?

b) On appelle x le nombre de séances suivies par une personne.

Soit PA le prix à payer pour x séances avec la formule A. Soit PB le prix à payer pour x séances avec la formule B. Soit PC le prix à payer pour x séances avec la formule C. Exprimer PA , PB et PC en fonction de x.

c) Représenter dans le même repère les trois fonctions définies au point b) pour x∈

[

0;110

]

d) Wanda a choisi la formule A et elle a payé 90 000 F. Combien a-t-elle suivi de séances ?

Justifier votre réponse avec un calcul.

e) 1) Déterminer, à l’aide d’une inéquation, à partir de quel nombre de séances le prix

à payer avec la formule B est plus avantageuse qu’avec la formule A .

2) Déterminer, à l’aide d’une inéquation, à partir de quel nombre de séances le prix à payer avec la formule C est plus avantageuse qu’avec la formule B .

Définition

Une fonction polynomiale de degré 2 est une fonction du type :

  2 f : x ax bx c f ( x ) → → + + =

où a ≠ 0, b et c sont trois constantes réelles quelconques

₍

a,b , c∈ 

₎

Autrement dit, l’image est un polynôme de degré 2.

Exemple

La fonction définie par f ( x )= − +x2 2x+ est une fonction de degré 2. ( a3 = −1 ; b=2 ; c=3 ) Étude d'une fonction de degré 2

1) Le domaine de définition d’une fonction de degré 2 est .

2) Le graphique d'une fonction de degré 2 est une parabole symétrique.

3) Pour déterminer les zéros, il faut résoudre l’équation : f ( x )=ax2+bx+ = c 0

Une fonction de degré 2 peut, selon le signe de ∆=b2 −4ac, avoir respectivement :

• Deux zéros : x₁ b et x₂ b lorsque 0

2a 2a

∆ ∆ _∆

− − − +

= = >

Le graphique de f coupe l’axe horizontal en deux points :

(

x ;0 et x ;0₁

) (

₂

)

et f ( x )=a x

(

−x₁

)(

x−x₂

)

• Un zéros : x₀ b lorsque 0

2a ∆

−

= =

Le graphique de f coupe l’axe horizontal en un point :

(

x ;0₀

)

et f ( x )=a x

(

−x₀

)(

x−x₀

)

• Aucun zéro : lorsque ∆< 0

Le graphique de f ne coupe pas l’axe horizontal et f ( x )=ax2 +bx+c.

4) L'ordonnée à l'origine d'une fonction de degré 2 est c. En effet : _{f 0}

( )

= ⋅_{a 0}2+ ⋅ + =_{b 0 c c}

Le graphique de f coupe l’axe vertical en un point :

( )

0;c

5) Théorème

Toute fonction polynomiale de degré 2 admet un axe de symétrie. Cet axe est la droite verticale d'équation x b

2a

tel que, quel que soit *

h∈ ₊, α+ et h α− donnent la même image ; c.à.d. h f

(

α+h

)

= f

(

α −h

)

.

Les images de α + et h α− sont : h 2

f (α+h )=a(α+h ) +b(α +h ) c+

2

f (α−h )=a(α−h ) +b(α−h ) c+ Si les deux images sont égales, on doit avoir :

(

)

(

)

2 2 2 2 f h f h a( 2 h h ) b bh c a( 2 h h ) b bh c 2 ah bh 2 ah bh 4 ah 2bh b 2a α α α α α α α α α α α α + = − ⇔ + + + + + = − + + − + ⇔ + = − − ⇔ = − − ⇔ =

La valeur de α existe et est unique.

6)

Si a>0 la fonction de degré 2 est d’abord décroissante et ensuite croissante, l’axe de symétrie séparant les deux parties.

Le graphique est une parabole symétrique convexe.

Si a<0 la fonction de degré 2 est d’abord croissante et ensuite décroissante, l’axe de symétrie séparant les deux parties.

Le graphique est une parabole symétrique concave.

7) Le point du graphique de f qui sépare la partie croissante de la partie décroissante, s'appelle le

sommet S de la parabole.

Le sommet de la parabole a donc comme coordonnées : S b ; f b

2a 2a ₋ ₋     _{ }  .

f

•

S

f

S

•

α−h α+h f(α−h)= f(α+h)

•

•

f

0 x y α

Si a> alors f admet un minimum en 0 x b 2a = − sur et f b 2a ₋   

  est la valeur minimale de f.

Le tableau suivant résume les diverses situations pour les fonctions de degré 2 :

∆ > 0

∆ = 0

∆ < 0

a > 0

a < 0

• S • _S S • • S • S • S

1) Df = 

2) Le graphique de f est une parabole (symétrique).

3) Zéro(s) de f : 2 f ( x )=0 ⇔ −x +2x+ = 3 0 ∆ =b2−4ac=22− ⋅ − ⋅ =4 ( 1 ) 3 16>0 ⇒ 2 solutions . x₁ b 2 16 3 et x₂ b 2 16 1 donc f ( 0 )1

{

1;3

}

2a 2 ( 1 ) 2a 2 ( 1 ) − − − ∆ − − − + ∆ − + = = = = = = − = − ⋅ − ⋅ −

Le graphique de f coupe l’axe horizontal en deux points :

(

−1;0

) (

et 3;0

)

et f ( x )= −

( )(

1 x+1

)(

x−3

)

4) Ordonnée à l’origine de f : f ( 0 )= = c 3

Le graphique de f coupe l’axe vertical en un point :

( )

0;3

5) La parabole possède un axe de symétrie en : x= b 2 1 2a 2 (-1)

− = − =

⋅

6) a = 1<0− ; la parabole est concave. 

7) Le sommet de la parabole a pour coordonnées : S b ; f b S 1; f ( 1 )

(

)

S 1;4

( )

2a 2a

₋ ₋ _{= =}

 

 _{ }

 

8) f admet un maximum en x= sur 1 et 4est la valeur maximale de f.

9) On utilise les résultats obtenus aux points 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7) et 8)

pour tracer le graphique de f.

Calculs supplémentaires : f ( 2 )− = f ( 4 )= − 5

a) Classer les fonctions déterminées par les expressions ci-dessous, dans les catégories suivantes

en indiquant la forme générale du graphique (droite, parabole, etc.).

2

- Fonctions de degré 0 ; f ( x ) a - Fonctions de degré 1 ; f ( x ) ax+b - Fonctions de degré 2 ; f ( x ) ax +bx+c - Autres = = = 2 1 f ( x )= x f ( x )₂ =2x f ( x )₃ =0,0012x 4 100 f ( x ) x = f ( x )5 = 0 2 1 6 f ( x )= ⋅2 10 + ⋅4 10 +9 2 7 f ( z )=5z +6 z+5 f ( x )₈ =3 x

(

−5

)(

x+1

)

f ( z )9 = −8 z3 2 10 0 0 1 f ( t ) gt v t x 2 = + + f ( x )₁₁ =5x− 9 f ( t )₁₂ = − t

b) x2 −2x+ , 3 x2−2x+ = et 3 0 f ( x ) x= −2 2x+ sont-ils les mêmes « objets » 3 mathématiques ? Justifier.

Que représente la lettre x dans chaque cas ?

Exercice 33

Considérons les fonctions de degré 2 définies par :

2 2 2

1 1 9

f ( x ) x x 3 g( x ) x 8 x 12 h( x ) x 3x

4 2 2

= + + = − + = − − −

Déterminer pour chacune de ces fonctions :

a) Le(s) zéro(s).

b) L’ordonnée à l’origine.

c) L’axe de symétrie de la parabole.

d) Les coordonnées du sommet S de la parabole.

e) Le signe du coefficient a (parabole concave ou convexe).

f) Le graphique de la fonction, l'axe de symétrie et le sommet S. Les 3 fonctions seront dessinées

dans le même repère orthonormé.

Indications : • On utilise les résultats obtenus aux points a), b), c), d) et e) pour tracer les graphiques.

• On prend un feuille A4 et on choisit l’échelle selon les zéros et le sommet. g) Déterminer : g( 8 ) , g ( 3 )−1 − et g 0;6 .

(

[ ]

)

Exercice 34

Considérons les fonctions de degré 2 définies par :

(

)(

)

(

)

2 2 1 3 27 f ( x ) x x 4 g( x ) x 2 x 4 h( x ) x 1 2 4 4 = − − = − + − = − −

1) En se référant aux quatre graphiques ci-dessous, déterminer le coefficient a pour chacune de ces

paraboles qui sont de la forme 2

f ( x )= a . x

a)

b)

c) d)

2) En se référant aux quatre graphiques ci-dessous, déterminer le coefficient a et c pour chacune de

ces paraboles qui sont de la forme f ( x )=ax2+c .

a) b)

1) Considérons les fonctions de degré 2 définies par : f ( x ) 1

(

x 2

)(

x 4

)

2 = − − g( x ) 1

(

x 4

)(

x 2

)

4 = − + − h( x ) 5

(

x 3

)(

x 3

)

9 = − − j( x ) 1

(

x 4

)(

x 4

)

2 = − + +

Parmi les graphiques ci-dessous, trouver ceux qui correspondent à la représentation graphique de f, g, h et j. (Donner à chaque fois deux arguments justifiant la réponse)

a) b)

c) d)

2) Considérons les fonctions de degré 2 définies par :

f ( x )=2 x

(

+4

)(

x+5

)

g( x ) 1

(

x 2

)(

x 2

)

4 = − − h( x ) 3 x 3

(

x 1

)

2   = _ − _ +  

(

)(

)

1 j( x ) x 4 x 7 7 = − + −

Sans calculs inutiles, déterminer le(s) zéro(s) et l’ordonnée à l’origine de chaque fonction.

3) Déterminer l’expression algébrique des fonctions représentées ci-dessous :

a) Déterminer l’expression algébrique de

la fonction f de degré 2 passant par les points A(−4;3), B(−2;2) et C(2;6) en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.

Indication : f ( x )=ax2+bx+ c b) Vérifier les résultats obtenus en a)

en calculant f(−4), f(−2) et f(2).

Exercice 38

a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 passant par les points

A(−4;1), B(−2;2) et C(2;−2) en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction g de degré 1 passant par les points

A(−4;1) et C(2;−2) en résolvant un système de 2 équations à 2 inconnues.

c) La droite h dont l’expression algébrique est h( x )=2x+ est-elle perpendiculaire à la droite g ? 1 Justifier avec un calcul.

Exercice 39

a) Déterminer l’expression algébrique de

la fonction f de degré 2 passant par les points S(2 ;1) et A(4;5) dont S est le sommet, en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.

b) Vérifier les résultats obtenus en a)

en calculant f(2), f(4) et f(0).

Exercice 40

a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 passant par les points S(2;5)

et A(0;1) dont S est le sommet, en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction g de degré 1 passant par les points

S(2;5) et A(0;1) en résolvant un système de 2 équations à 2 inconnues.

c) La droite h dont l’expression algébrique est h( x ) 1x 1 2

= + est-elle perpendiculaire à la droite g ? Justifier avec un calcul.

a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 qui coupe l’axe des y en –15

et une seule fois l’axe des x et dont l’axe de symétrie est la droite x = 1. Justifier par des calculs.

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction g de degré 2 qui passe par le point A(2;3), qui

coupe une seule fois l’axe des x et qui est symétrique par rapport à l’axe des y . Justifier par des calculs.

c) Déterminer l’expression algébrique de la fonction h de degré 2 qui coupe l'axe des x en 1 et en 5

et ayant comme ordonnée à l'origine la valeur 1000. Justifier par des calculs.

Exercice 42

Combien y a-t-il de paraboles coupant l'axe horizontal en 1 et en 5 et ayant : (Justifier vos réponses)

a) comme axe de symétrie la droite x = 3 ? b) comme axe de symétrie la droite x = 2 ? c) comme sommet S le point S(3;3) ? d) comme sommet S le point S(3;0) ? Exercice 43

Après 25 années de projet et 9 ans de construction, le pont suspendu de Seto-Ô hashi, reliant les villes japonaises de Kojima et Sakaide, a été ouvert au trafic en 1988.

Déterminer :

a) l’expression algébrique de la fonction

de degré 2 f ( x )=ax2+bx+ qui c représente approximativement le câble porteur.

b) Calculer la longueur de la suspente se

trouvant à 20 m d’un pylône.

Les informations disponibles sont les suivantes :

1) Le câble porteur fixé entre les deux sommets des pylônes a la forme d'une parabole. 2) Le « sommet » de la parabole est à 10 m au-dessus du tablier.

3) La hauteur des pylônes par rapport au tablier est de 90 m et leur écart de 400 m. Câble porteur Pylône Tablier Suspentes y x 0

Considérons les trois fonctions : 2 2 1 1 5 f ( x ) x x 1 ; g( x ) x x 1 ; h( x ) 2x 6 4 8 4 = − − = − + − = −

a) Déterminer, à l’aide des graphiques ci-dessus, les points d’intersections entre ces fonctions. b) Déterminer algébriquement les points d’intersections entre ces fonctions.

(réponse en valeur exacte)

Indication : Résoudre une équation de degré 2 à 1 inconnue.

c) Déterminer algébriquement l’ensemble des x tel que : i) f x

( )

≥2 ii) f x

( )

≤g x

( )

Exercice 45

Considérons les trois fonctions : 2 2

f ( x )=x −8 x+19 ; g( x )= − +x 8 x−13 ; h( x )= − x 3 a) Déterminer algébriquement les points d’intersections entre les fonctions.

(réponse en valeur exacte)

b) Tracer le graphique des fonctions f, g et h dans le même repère orthonormé et déterminer

graphiquement les points d’intersections entre ces fonctions.

Considérons les fonctions f et g définies par

( )

2

f x =x −2x−3 et g x

( )

1x 4 2

= − +

a) Déterminer de manière algébrique :

1) le(s) zéro(s) et l’ordonnée à l’origine de f et g. 2) l'image de 25 par f.

3) _f−1

( )

−_{5 noté également} r_f

( )

−_{5 .}

4) l’axe de symétrie de la parabole f.

5) les coordonnées du sommet S de la parabole f.

6) la représentation graphique des deux fonctions f et g sur un même repère et pour x∈ −

[

8;8

]

. (1 feuille A4 et on choisira l’échelle selon les zéros, les ordonnées et le sommet).

7) la ou les intersection(s) entre f et g. 8) l’ensemble des x tel que f x

( )

≥ g x

( )

.

b) Pour quelle(s) valeur(s) de c∈ , le graphique de la fonction 2

h( x )= x −2x+ coupe-t-elle c une fois l’axe des x ?

Exercice 47 *

Considérons les fonctions f et g suivantes définies par : 2

f ( x )=x −4 x+4 et g( x )=2x+k k∈

a) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont qu’un seul point commun ? b) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f ont deux points communs ? c) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont aucun point commun ?

Exercice 48 *

Considérons les fonctions f et g suivantes déterminées par : 2

f ( x )=x −4 x+4 et g( x )= ⋅ −k x 2 k∈

a) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont qu’un seul point commun ? b) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f ont deux points communs ? c) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont aucun point commun ?

Enoncé et résolution : partie I (cas particulier)

Un fermier désire délimiter une parcelle de terrain pour faire brouter ses moutons. Il dispose de 2420 mètres de clôture pour construire un enclos rectangulaire le long d'une rivière. Il n’utilise pas de clôture le long de la rivière.

a) Pour chaque champ représenté ci-dessus, calculer le périmètre de la clôture et l’aire du champ.

Que constate-t-on ? Quel est, parmi ces trois formes de champs, celui qui permet aux moutons de brouter le plus d’herbe ?

Réponse a)

Périmètre de la clôture Aire du champ

Champ A 2420 m 24'000 m2

Champ B 2420 m 726'000 m2

Champ C 2420 m 420'000 m2

On constate que l’aire du champ varie en fonction de sa forme et pas le périmètre de la clôture qui est constante.

Conclusion : C’est le champ B qui permet aux moutons de brouter le plus d’herbe.

b) Le dessin ci-dessus propose trois configurations différentes. Combien y a-t-il d’autres

configurations possibles ?

Réponse b) Il y a une infinité de configurations possible.

c) Parmi toutes les configurations possibles, la forme du champ B donne-t-elle l’aire maximale ?

Réponse c) Difficile à dire : il faudrait tester toutes les autres possibilités ! Idée : traiter le cas général à l’aide de la notion de fonction.

10 m 2400 m 550 m 1320 m 1000 m 420 m Rivière

Un fermier désire délimiter une parcelle de terrain pour faire brouter ses moutons. Il dispose de 2420 mètres de clôture pour construire un enclos rectangulaire le long d'une rivière. Il n’utilise pas de clôture le long de la rivière. Les dimensions x et y de l’enclos sont exprimées en mètres.

a) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ? Réponse a) x∈

]

0;1210

[

b) Trouver une relation entre x et y, puis exprimer y en fonction de x.

Réponse b) Périmètre de la clôture en fonction de x et y : P=2x+ =y 2420 y 2420⇔ = −2x.

c) Déterminer l’aire A de l’enclos en fonction de la longueur x c'est-à-dire A= f x

( )

. Réponse c) _{A= x y} ⋅ ⇒ _A=_{x 2420}

(

−_2x

)

= −_2x2+_{2420 x (fonction du 2}ème _degré)

a= −2 ; b=2420 ; c= 0 Parabole concave



car a= − <2 0

existence d'une valeur maximale pour A.

d) Pour quelle valeur de x l’aire A de l’enclos est-elle maximale ?

Réponse d) x b = 605 m (première coordonnée du sommet) 2a

= −

e) Quelles sont alors les dimensions de l'enclos et son aire maximale ? Réponse e) y 2420= − ⋅2 605=1210 m 2 2 e max A = f(605) =− ⋅2 605 +2420 605⋅ =732' 050 m (2 coordonnée du sommet) Amax

•

0 S A 1210 x f y x

La résolution d’un exercice d’optimisation doit comporter les points suivants : 1) Illustration du problème (si problème géométrique).

2) Déclarations des variables et des constantes (avec les unités). 3) Obtention des relations entre les variables et constantes

(obtention d’une fonction f à une variable).

4) Recherche de la valeur maximale ou minimale de f à l’aide de la « formule du sommet

de la parabole »..

5) Réponses aux questions posées (phrase en français).

Exercice 49

Un fermier dispose de 160 mètres de clôture pour entourer un champ de forme rectangulaire. Une grange de 13 m de long forme partiellement la clôture le long d’un de ses côtés.

a) Quelles seront les dimensions du plus grand champ que l’on pourra entourer ? b) Donner son aire maximale.

Exercice 50

On dispose de 288 m de clôture grillagée pour construire 6 enclos rectangulaires de même aire pour un zoo selon le plan ci-contre.

a) Quelles dimensions donner à ces 6 enclos de manière

à maximiser leur surface au sol ?

b) Donner l’aire maximale des 6 enclos.

Exercice 51

On veut construire une gouttière avec une longue feuille de métal de 12 cm de large en pliant les deux longs côtés et en les relevant perpendiculairement à la feuille. La longueur de la feuille est de 10 m.

a) Quelle hauteur doit-on donner aux côtés relevés

pour que la gouttière ait une contenance (volume) maximale ?

b) Quelle est la contenance (volume) maximale en litres ?

Dans un rectangle ABCD, dans lequel AB = 8 et AD = 4 , on construit un quadrilatère MNPQ tel que AM = BN = CP = DQ = x.

a) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ? b) Quel nom prend le quadrilatère MNPQ ?

c) Déterminer l’aire A de MNPQ en fonction de x c’est-à-dire A = f(x).

d) Pour quelle valeur de x l’aire A est-elle minimale ? Quelle est cette valeur minimale ? e) Pour quelle valeur de x l’aire A est-elle maximale ? Quelle est cette valeur maximale ?

Exercice 53

Une société de vente de livres par correspondance a actuellement 10'000 abonnés qui paient 50 francs par mois. Une étude a démontré que toute variation de 1 franc du prix de l'abonnement mensuel ferait varier le nombre d'abonnés d'une centaine. Attention, une augmentation du prix fait diminuer le nombre d'abonnés et une diminution du prix le fait augmenter.

a) Comment faut-il modifier le prix de l'abonnement mensuel pour obtenir le maximum de revenu ? b) Quel est le revenu maximum ?

Indication : Déterminer le revenu R en fonction de la variation du prix de l'abonnement de n francs c.à.d. R= f(n). n R 0 10'000 ⋅ 50 = 500’000 1 2 ... ... k M N P Q A B C D x

On considère la figure ci-dessous qui vérifie les conditions suivantes : • Le triangle ABC est rectangle en A tel que : AB = 3m ; AC = 2m

• On a la relation :BD+CE=10 m.

• On note x et y les longueurs respectives des segments [BD] et [CE].

a) Déterminer les valeurs de x et de y afin que l’aire de la partie hachurée soit maximale. b) Que vaut l’aire maximale de la partie hachurée ?

Exercice 55

Le propriétaire d’un verger de pommiers estime que si chaque hectare est planté de 48 arbres, chaque arbre produira 600 pommes chaque année. Chaque fois qu’il y a un arbre de plus par hectare, la production de chaque arbre en est diminuée de 6 unités.

a) Combien faut-il planter d’arbre par hectare pour obtenir la plus grande récolte ? b) Quel est le nombre maximum de pommes récoltées par hectare et par an ?

Exercice 56 *

On considère le triangle ABC rectangle en A tel que AB=9 cm et AC=4 cm. On considère un point D appartenant au segment

[ ]

AB

et on note x la longueur du segment

[ ]

BD .

On construit à partir du point D un rectangle DEFA tel que le point E appartient au segment

[ ]

BC et le point F appartient au segment

[ ]

AC .

a) Calculer l'aire A(x) de la surface hachurée en fonction de x. b) Quelles sont les valeurs possibles de x ?

c) Pour quelle valeur de x l'aire A de la surface ombrée est-elle minimale ? Justifier par des calculs. d) Quelle est alors cette aire minimale ? Justifier par des calculs.

e) Pour quelle valeur de x l'aire A de la surface ombrée est-elle maximale ? Justifier par des calculs. f) Quelle est alors cette aire maximale ? Justifier par des calculs.

Considérons une fonction polynomiale f de degré 2.

Démontrer que le sommet S de la parabole a pour coordonnées S b ; Δ

2a 4a _{− −}      avec 2 b 4ac ∆= − . Exercice 58 *

Considérons les fonctions f et g définies par :

( )

2

f x =x −2x−3 et g x

( )

1x 4 2

= − +

Déterminer de manière algébrique, la distance verticale d maximale entre la parabole f et la droite g pour x∈ −

[

2;3,5

]

.

Définition

La fonction inverse est la fonction définie par : f :* → 

x 1 f ( x ) x → = Représentation graphique Remarques a) 1 1 x x −

= ; cette expression n'est pas un monôme donc pas un polynôme.

b) Le graphique de la fonction inverse est appelée : hyperbole. c) La fonction inverse est décroissante sur  . *

Activité 1

Considérons la fonction f ( x ) 1 x

= , appelée fonction inverse.

1) Comment se comporte la fonction f pour des valeurs de x proche de 0 ?

x − 0,1 − 0,01 − 0,001 ... 0 ... 0,001 0,01 0,1

f(x) ∉

Lorsque x se rapproche de ... par la gauche , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ... Lorsque x se rapproche de ... par la droite , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ... Autrement dit : Si x ... alors 1 ... et si x ... alors 1 ...

x x

→ → → → .

La fonction inverse possède alors une asymptote verticale en x = 0.

2) L’image de 0 n’existe pas ; il n'y a pas d'ordonnée à l'origine. f ( 0 ) 1 ... 0

= ∉