Approches algebriques SDG-IBM et SDG-IBFM et applications en spectroscopie nucleaire

Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Re her he S ientique

Université de Batna

Fa ulté des S ien es

Département de Physique

THÈSE

Présentée par

ZERGUINE Salima

En vue de l'obtention du Diplme de Do torat en S ien es

Spé ialité : Physique Théorique

Option : Physique Nu léaire

Thème

Appro hes algébriques

sdg

-IBM et

sdg

-IBFM et

appli ations en spe tros opie nu léaire

Soutenue le 28/04/2009

Devant la Commission d'Examen

Président Mr. S. Tobbe he, Maître de onféren es, Université de Batna

Rapporteurs Mr. A. Bouldjedri, Professeur, Université de Batna

Mr. P. Van Isa ker, Cher heur CEA, GANIL Caen, Fran e

Examinateurs Mme F. Benra hi, Professeur, Université de Constantine

Mr. N. Mebarki, Professeur, Université de Constantine

J e

medois tout d'abord de remer ier le Ministère Algérien de l'Enseignement Supérieur et de la Re her he S ientique d'avoir nan é mon séjour au GANIL

(Grand A élérateur National d'Ions Lourds). Je voudrais également remer ier la

dire tion du GANIL de m'avoir a euillie ausein du laboratoireet veiller à e que

mathèse se soitdéroulée dans lesmeilleures onditions.

J

'exprime maprofondegratitude à Mr S.Tobbe he d'avoir a epté de présider lejuryde ettethèse.J'adresse mesplusvifs remer iementsàMmeF.Benra hi,Mr

N. Mebarki etMr K. Ben heikh pour l'intérêt que ha un a porté à mon travailet

d'avoira epté d'en être lesexaminateurs.

J

e tiens à remer ier Mr Bouldjedri de m'avoir mise sur la voie des méthodes algébriques. Jele remer ie en parti ulierpour sa onan e etlagrandelibertéqu'il

m'a a ordée.

U

n immensemer ià MrP.VanIsa ker, mon dire teur de thèse en Fran e,pour sa grande ompéten e, sa disponibilité et sa gentillesse. J'ai énormément appré ié

ses qualités de rigueur et d'honnêteté s ientiques. Je lui suis re onnaissante pour

toutes les onnaîssan es qu'il m'a transmises et j'espère pouvoir ontinuer à

olla-borer ave luidans le futur.

L

es mois passés au GANIL m'ont oert la han e de ren ontrer beau oup de personnes qui ontfait de mon séjour aussi serein qu'agréable.

J

e remer ie haleureusement Gérard, Marek et Gilles. Les nombreuses dis us-sions autour des repas de midi ont fait de es moments autant de détente que

d'é hange.

J

e tiens à remer ier Navin ainsi que tous les thésards et post-do s du GANIL pour les`Navinades' qui m'ont beau oup apporté.

U

n mer iparti ulier àmon amie Carolepour tous es moments agréables.Je te souhaitebeau oup de han e et une très bonne ontinuation.

J

evoudraisavoirunepenséepourmes ollèguesde bureauMirshod,Émmanuel et Praveen pour les dis ussions enri hissantes dans diérents axes de physique

nu- léaire.

J

'aimerais tout parti ulièrement remer ier mes hères amies Zohra, Dounia, Ibtissem, Dinare, Naïma etFatiha pour leur soutien eten ouragement. JeVous

re-mer ied'être toujours si pro hes de moimêmeà des milliers de kilomètres.

U

n très grand mer i à mes s÷urs Radia et Mimi et mes frères Tayeb et Mo-hammedpour leur amour, présen e et en ouragements.

to be the andle or the mirror that

re-e ts it...The essen eof taste is suitability.

Divest the world of its prim and priggish

impli ations, and see how it expresses the

mysteriousdemand ofthe eye and mind for

symmetry, harmony and order.

Wharton-Introdu tion 3

1 Le modèle des bosons en intera tion 7

1.1 Prin ipe . . . 7

1.2 Algèbre U(6)en IBM . . . 8

1.3 Sous-algèbresde U(6). . . 11

1.4 Classi ationdes représentations de U(6) . . . 13

1.5 Hamiltonien . . . 17

1.6 Symétriesdynamiques . . . 20

1.6.1 Symétrie dynamiqueU(5) : Limitevibrationnelle . . . 21

1.6.2 Symétrie dynamiqueSU(3) : Limite rotationnelle . . . 22

1.6.3 Symétrie dynamiqueO(6) : noyaux

γ

-instables . . . 24

1.7 Aspe t géométrique du modèle des bosons en intera tion . . . 25

1.8 Fondementmi ros opique du modèleIBM . . . 28

2 Modèle

sdg

des bosons en intera tion 31 2.1 Algèbre U(15) . . . 32

2.1.1 Limites de ouplage faible . . . 34

2.1.2 Limites de ouplage fort . . . 35

2.2 Classi ationdes représentations de U(15) . . . 38

2.2.1 Limites de ouplage faible . . . 39

2.2.2 Limites de ouplage fort . . . 42

2.3 Hamiltonien . . . 46

2.3.1 Symétries dynamiques . . . 48

2.4 Transitionséle tromagnétiques en

sdg

-IBM. . . 55

2.4.1 Transitions

E2

et

E4

. . . 55

2.4.2 Transitionsmonopolaireséle triques

E0

. . . 58

2.5 Mélange de ongurations en

sdg

-IBM . . . 60

2.5.1 Limite SU(3) . . . 61

léaires dans les noyaux atomiques 67

3.1 Introdu tion . . . 67

3.2 Hamiltonienetspe tres d'énergie . . . 70

3.3 Transitionsmonopolaireséle triques . . . 76

3.3.1 Systématique des transitions

E0

dans lesnoyauxatomiques . 77 3.4 Relationentre lestransitions monopolaireset lesrayons nu léaires . . 80

3.4.1 Interprétation physique des paramètres

α

et

β

. . . 83

3.4.2 Appli ationdans la régiondes terres rares . . . 85

3.5 Eetdu boson

g

sur lestransitions

E0

. . . 91

4 Limite lassique du modèle

sdg

-IBM 97 4.1 Paramétrisationdes états ohérentsen

sdg

-IBM . . . 97

4.2 Limite lassiquedu hamiltonien

sdg

-IBMgénéral . . . 100

4.3 Formes géométriques asso iées auxsymétries dynamiques du

sdg

-IBM104 4.3.1 Limite SU(3) . . . 104

4.3.2 Limite SU(5) . . . 105

4.3.3 Limite O(15) . . . 106

4.3.4 Limite SU(6) . . . 107

5 Modèle

sdg

- des bosons en intera tion ouplé à un fermion 111 5.1 Prin ipe du modèle . . . 111

5.2 Algèbre

U

B

₍₁₅₎

_{⊗ U}

F

_(n)

. . . 112

5.3 Classes de symétries dynamiquesen IBFM . . . 113

5.4 Hamiltonien . . . 115

5.5 Symétriesdynamiques en

sdg

-IBFM. . . 116

5.5.1 Symétries asso iées à la limite

O

BF

₍₁₅₎

. . . 117

5.5.2 Symétries asso iées à la limite

SU

BF

₍₅₎

. . . 125

5.5.3 Symétries asso iées à la limite

SU

BF

(3)

. . . 135 5.5.4 Symétries asso iées à

SU

BF

₍₆₎

. . . 141 Con lusion 147 Bibliographie 151

La résolutiondu problème nu léaireest rendue très omplexe parle grand

nom-bre de protons et de neutrons dont l'intera tion est forte et de ourte porté. C'est

ainsi que l'étude de la stru ture des noyaux atomiques a onstamment sus ité le

développementdemodèlesthéoriques. Eneet, es approximationsqui,parailleurs,

tirent prot des régularités pouvant ara tériser les noyaux à basse énergie

d'ex i-tation,visent toutesà mieuxdé rire, omprendreet interpréter lesrésultatsfournis

parlesmesuresexpérimentalesne essantde s'amplieren raisondu développement

de l'instrumentation nu léaire(déte teurs, a élérateurs et outils informatiques).

Le modèle `ma ros opique' de Bohr et Mottelson [1℄ a pu mettre en éviden e le

omportement olle tif des nu léons àl'intérieur du noyaueta onstitué un

vérita-bletremplinvers la des riptiondes ex itationsnu léaires olle tives.Parallèlement,

le modèle en ou hes, en tant qu'appro he `mi ros opique' [2℄, porte l'a ent sur le

omportement individuel des nu léons mouvant dans un potentiel entral moyen.

Le su ès de e modèle s'étale sur une large atégorie de noyaux en parti ulier les

noyaux légers ou eux dont le nombre de nu léons a tifs n'est pas appré iable. Le

nombre de es nu léons augmentant, la diagonalisation du hamiltonien du modèle

devient très di ile voire impossible en raison de l'augmentation rapide de sa

di-mension. On peut dès lors on evoir que es modèles, bien qu'ils soient diérents

dans leurshypothèsesetméthodologies,restent omplémentaires danslamesureoù

ils tou hent àdeux aspe ts diérentsde lastru ture nu léaire.

Une autre atégorie d'appro hes fondée par Elliott depuis le début des années

1950 [3℄est onnuesous lenomde méthodes algébriques. Cesappro hes quipuisent

du pouvoir de la théorie des groupes (d'où l'appélation `algébriques') ont été tout

d'abord appliquées à quelques noyaux légers. Cependant, leur hamp d'appli ation

en stru ture nu léaire s'est trouvé vite étendu dès la proposition du Modèle des

Bosons en Intera tion (Intera ting Boson Model) par Arima et Ia hello au milieu

desannées1970[4℄.Ce modèle,notéIBM(oùIBApour `Intera tingBoson

àpartsanature olle tive, emodèleaétéenoutreétendupour onsidérer

expli ite-ment les degrès de liberté fermioniques à travers les versions IBFM et IBFFM qui

her hent à dé rirelespropriétés des noyaux impair-pairsetimpair-impairs

respe -tivement.

Le modèle des bosons en intera tion a été tout d'abord dévolu à l'étude des

propriétés stru turales des noyaux pair-pairsen termes de paires olle tives de

nu- léons qu'on a baptisé bosons. Ainsi, la déformation quadripolaire de la surfa e

nu léairea été étudiée en introduisantdeux types de bosons, monopolaire noté

bo-son

s

etquadripolaireappeléboson

d

.Une ara téristiquefortintéressantede ette approximationrésidedans l'existen e,dansdes situationsparti ulières,de solutions

analytiques auproblème des ve teurs etdes valeurs propres.

En dépit de son su ès à dé rire et interpréter, dans une large mesure, les

phénomènes nu léaires de ara tère olle tif, Feshba h a évoqué la question

on- ernant la apa ité du modèle à onsidérer, entre autres degrés de liberté, le degré

delibertéhexadé apolaire[5,6℄.Eneet, lastru ture de ertainsspe tresd'énergie,

en parti ulier l'observation à basse énergie d'ex itation de bandes rotationnellesne

pouvant être interprétées dans le ontexte de la version originale du modèle des

bosonsen intera tion,asus itél'introdu tiond'untroisièmetypede bosonsde type

hexadé apolaire noté boson

g

. Lemodèle ainsi onstruit est noté

sdg

-IBM.

Ce travail de thèse s'intègre dans le adre de ette dernière approximation et

se stru ture omme suit. Nous ommençons dans un premier temps par présenter

une revue des diérentes notions liées aumodèle des bosons en intera tion dans sa

version la plus simple. Nous donnons ainsi sa réalisation algébrique,ses diérentes

symétriesdynamiquesainsi quequelquesexemplesd'appli ationde ha une d'entre

elles en spe tros opie nu léaire. Nous parlons également brièvement des deux

as-pe ts géométrique et mi ros opique du modèle. Le se ond hapitre est onsa ré au

développement du modèle

sdg

-IBM. Une démar he similaire à elle suivie dans le premier hapitre en e qui on erne la présentation des diérentes limites du

mod-èle sera adoptée. La dérivation analytique des expressions donnant les éléments de

matri e réduits de l'opérateur de transitions monopolaires sera également

dévelop-pée. Un a ent parti ulier sera ainsi porté sur lesnoyaux sphériques et axiallement

déformés. Ces al uls trouveront leur appli ation dans le troisième hapitre. Nous

mènerons également au ours du hapitre 2 une analyse des fon tions d'onde

or-respondant au modèle

sdg

-IBM. Cette étude aura pour obje tif de déterminer le mélange de ongurations bosoniques aux diérentes limites de ouplage fort du

tout d'abord menée dans le adre du modèle

sd

-IBM,est par lasuite étendue pour mettre en éviden e l'eet du boson

g

sur ette orrélation. Le quatrième hapitre traîte de l'aspe t géométrique du modèle

sdg

-IBM dans l'esprit de la limite las-sique de e modèle. Finalement, nous développons le modèle

sdg

-IBM ouplé à un fermion. Pré isément, e dernier hapitre sera destiné à la onstru tion algébrique

Le modèle des bosons en intera tion

Ce premier hapitreapourobje tifde présenterune revuedumodèledes bosons

en intera tion dans sa formulation originale tout en portant un a ent parti ulier

sur son aspe t algébrique.

1.1 Prin ipe

Danslemodèledesbosonseninteration(IBM)[4,7℄,seulslesnu léonsdevalen e

sont onsidérés responsablesdes ex itations olle tivesdans le noyau. Ces nu léons

sont traités en tant que paires appelées bosons. Dans sa formulation la plus simple

onsa rée essentiellementàdé rirelespropriétés olle tivesdesnoyauxpair-pairset

notée IBM-1, le modèle ne voit pas la nature de es paires et traite les protons et

les neutrons omme étant des parti ules identiques. De plus, les bosons ne peuvent

o uperquedes étatsde momentsangulaires

J = 0

(boson

s

)et

J = 2

(boson

d

), e dernierpossède inqsous-états possiblesave

J

z

= 0,

±1, ±2

.Ainsi,lesbosons

s

et

d

engendrentl'espa esix-dimensionneldu modèleIBM-1etformentles onstituants de base du groupe de Lie de transformations unitairesU(6).

L'introdu tion de es deux types de bosons est doublement justiée. D'abord,

elleest liée àl'importan ede l'intera tion d'appariement entre deux nu léons

iden-tiques. Si l'on onsidère deux parti ules identiques o upant le même état

j

de onguration

|j

2

_J

_i

et interagissant via une intera tion résiduelle de ourte portée,

l'état fondamental orrespondant est

J

π

_{= 0}

+

etlepremier étatex ité est

J

π

_{= 2}

+

,

e i onformément aux al uls établis par le modèle en ou hes [8℄ et les modèles

d'appariement[9,10℄.D'autre part,lefondementmi ros opiquedu modèleIBMest

basé sur une tron ature de l'espa e de valen etotal du modèle en ou hes au

sous-espa e

S

− D

onstruità partirde orrélations des nu léonsde valen e en pairesde moment angulaire

J = 0

(paire

S

) ou

J = 2

(paire

D

)[11℄.

géométrique [1℄, une appro he dans laquelle le hamiltonien s'exprime sous forme

d'unpolynmeen fon tiondes variables olle tivesquadripolaires

α

2µ

(dontla vari-ation implique un hangement de la surfa e nu léaire omme va être expliqué plus

loin) ainsi que leurs moments onjugués[12℄.Ils ont montré que les fon tions

d'on-des asso iées à un os illateur harmonique en inq dimensions onstituent une base

omplète dans laquelle e hamiltonien peut être diagonalisé. Cependant, bien que

lenombre de phonons dans ettebase (qui est essentiellementune base àphonons)

peutvarierdezéroàl'inni,ilaétéprouvéqu'unetron atureàunnombremaximum

N

de eux- i onstitueune bonne approximation.Enoutre, du faitquelesphonons satisfont lesmêmesrelationsde ommutationquelesbosons,lesétatsqui leurssont

asso iéspeuventêtre onsidérés ommeétantdesétatsà

N

-bosons ha unaun mo-ment angulaire

J = 2

(boson

d

). Mais, ompte tenu de la tron ature qui implique une onservation du nombre total de bosons,ilétait né essaired'introduire,en plus

des bosons

d

,un autretype de bosons de moment angulaire

J = 0

(boson

s

).

1.2 Algèbre U(6) en IBM

Leformalismeappropriéaumodèledesbosonsenintera tionest eluidela

deux-ièmequanti ation.L'algèbreu(6) est onstruite àpartirdes opérateursbosoniques

de réation

s

†

,

d

†

µ

et d'annihilation

s

et

d

µ

. Nousintroduisonsles opérateurs

b

†

lm

et

b

lm

pour désigner les paires (

s

†

_{, d}

†

µ

) et (

s, d

µ

) respe tivement ave

l = 0

(

m = 0

) pour le boson

s

et

l = 2

(

m = 0,

±1, ±2

) pour le boson

d

.Ces opérateurs obéissent auxrelations de ommutationde Bose données par

[b

†

_l,m

, b

†

_l

′

_,m

′

] = [b

l,m

, b

l

′

_,m

′

] = 0,

[b

l,m

, b

†

l

′

_,m

′

] = δ

_ll

′

δ

_mm

′

.

(1.1) Les36générateursdel'algèbre

u

(6)peuventêtreexprimésentermesde produits bilinéairesdes opérateurs

b

†

i

et

b

i

(

i = 1,

· · · , 6

)tels que

G

i,j

= b

†

i

b

j

.

(1.2)

Lesgénérateurs (1.2) vérient lesrelationsde ommutation

[G

i,j

, G

i

′

_,j

′

] = G

_i,j

′

δ

_j,i

′

− G

_i

′

_,j

δ

_j

′

_,i

,

i, i

′

, j, j

′

= 1, . . . , 6.

(1.3) En examinant les propriétés tensorielles des opérateurs bosoniques de réation

et d'annihilation nous onstatons que, ontrairement à

b

†

l,m

, l'opérateur

b

l,m

ne se transformepas ommeun tenseur sphérique par rapportaux rotations. Eneet, en

prenant le onjugué hermitiquede la transformation

ˆ

R b

†

_l,m

R

ˆ

−1

₌

X

m

′

où

R

ˆ

est l'opérateur asso ié aux transformations par rapport aux rotations,

D

m

′

_m

désignent les fon tions de Wigner et

(θ

1

, θ

2

, θ

3

)

sont les trois angles d'Euler, nous é rivons

ˆ

R b

l,m

R

ˆ

−1

=

X

m

′

D

m

(l)

′

_m

(θ

1

, θ

2

, θ

3

)

∗

b

l,m

′

.

(1.5) En employant lapropriété suivante des fon tions de Wigner

D

m

(l)

′

_m

(θ

1

, θ

2

, θ

3

)

∗

= (

−)

m

′

_−m

D

(l)

−m

′

_−m

(θ

1

, θ

2

, θ

3

) ,

(1.6) il s'en suit que

ˆ

R (

₋₎

l+m

b

_l,−m

ˆ

R

−1

₌

X

m

′

D

m

(l)

′

_m

(θ

₁

, θ

₂

, θ

₃

)



(

₋₎

l+m

′

b

_l,−m

′



.

(1.7)

Ainsi,onpeut remédierau ara tèrenon tensoriel de l'opérateur

b

l,m

en dénissant l'opérateurtensoriel sphérique

˜b

l,m

= (

−)

l+m

b

l,−m

.

(1.8) Anquelesgénérateursdel'algèbre

u

(6)dénisparl'équation(1.2)soientégalement invariantsparrapportauxrotations,ilest plus onvenabledelesréé riresous forme

de produits tensoriels en fon tion de

b

†

l,m

et

˜b

l,m

G

(λ)

µ

(l, l

′

)

≡ [b

†

l,m

× ˜b

l

′

_,m

′

]

(λ)

_µ

=

X

mm

′

hl m l

′

_m

′

_{|λ µi b}

†

l,m

˜b

l

′

_,m

′

,

(1.9) où

hl m l

′

_m

′

_{|λ µi}

désigne le oe ientde Clebs h etGordan,

l, l

′

_{= 0, 2}

et

λ = 0, . . . , 4

. Les opérateurs

b

†

l,m

et

˜b

l,m

sont ainsi ouplés à un moment angulaire total

λ

de proje tion

µ

sur l'axe

z

. Les générateurs

G

(λ)

µ

(l, l

′

)

satisfont les relations de ommutation

[G

(λ)

_µ

(l, l

′

), G

(λ

_µ

′

′

)

(l

′′

, l

′′′

) ] =

X

λ

′′

_µ

′′

p(2λ + 1)(2λ

′

_{+ 1)}

_hλµλ

′

_µ

′

_|λ

′′

_µ

′′

_i

×

"

(

₋₎

λ

′′

_+l+l

′′′

(

λ

λ

′

_λ

′′

l

′′′

_l

_l

′

)

δ

l

′

_l

′′

G

(λ

′′

₎

µ

′′

(l, l

′′′

)

−(−)

λ+λ

′

+l

′

+l

′′

(

λ λ

′

_λ

′′

l

′′

_l

′

_l

)

δ

ll

′′′

G

(λ

′′

₎

µ

′′

(l

′′

, l

′

)

#

,

(1.10)

où le symbole

{· · · }

dénote le oe ient

6j

de Ra ah [2℄. En eet, sa hant qu'un ensemble d'opérateurs

X

ˆ

vériantdes relationsde ommutationde laforme

[ ˆ

X

i

, ˆ

X

j

] =

X

κ

ainsi quel'identité de Ja obi

[[ ˆ

X

i

, ˆ

X

j

], ˆ

X

κ

] + [[ ˆ

X

j

, ˆ

X

κ

], ˆ

X

i

] + [[ ˆ

X

κ

, ˆ

X

i

], ˆ

X

j

] = 0,

(1.12) formentune algèbrede Lieave des onstantes destru ture

C

κ

ij

,onpeutvérierque

lesrelationsde ommutation(1.10) orrespondentà ellesdel'algèbreunitaire

u

(6). Ses 36 générateurss'é rivent expli itementen fon tion de

s

†

,

s

˜

,

d

†

,

d

˜

G

(0)

0

(0, 0) = [s

†

× ˜s]

(0)

0

,

G

(0)

₀

(2, 2) = [d

†

_{× ˜}

_d]

(0)

0

,

G

(1)

_µ

(2, 2) = [d

†

_{× ˜}

_d]

(1)

µ

,

G

(2)

µ

(2, 2) = [d

†

× ˜

d]

(2)

µ

,

G

(3)

_µ

(2, 2) = [d

†

_{× ˜}

_d]

(3)

µ

,

(1.13)

G

(4)

_µ

(2, 2) = [d

†

_{× ˜}

_d]

(4)

µ

,

G

(2)

µ

(0, 2) = [s

†

× ˜

d]

(2)

µ

,

G

(2)

_µ

(2, 0) = [d

†

_{× ˜s]}

(2)

µ

.

Dorénavant, nous employerons des lettres majus ules pour désigner les groupes de

transformationainsi que les algèbresqui leurs sontasso iées.

Laformetensorielle (1.13)des générateursde U(6)al'avantagede pouvoir

join-dreune signi ationphysiqueàlaplupartd'entre eux.Lestenseurs d'ordre0etqui

orespondent à

l = 0

et

l = 2

dénissent respe tivementlesopérateurs nombres des bosons

s

et

d

tels que

G

(0)

₀

(0, 0) = s

†

_{s = ˆ}

_n

s

,

G

(0)

₀

(2, 2) = [d

†

_{× ˜}

_d]

(0)

0

=

X

m

h2m 2 − m|00id

†

m

d

˜

−m

=

1

√

5

n

ˆ

d

,

(1.14)

eux d'ordre 1 orrespondent aux trois omposantes de l'opérateur moment

angu-laire. À partirde larelation (1.10)nous avons

[G

(1)

₀

(2, 2), G

(1)

₁

(2, 2)] =

√

1

10

G

(1)

1

(2, 2).

(1.15)

En omparant ette dernière équation aux relations de ommutationasso iées aux

moments inétiques

[ ˆ

L

0

, ˆ

L

±

] =

±ˆ

L

±

,

(1.16) nous obtenons

ˆ

L

µ

=

√

10[d

†

_{× ˜}

_d]

(1)

µ

.

(1.17)

L'opérateurnombre total déni par

ˆ

N = ˆ

n

s

+ ˆ

n

d

,

(1.18)

ommute ave tous lesgénérateurs(1.13) ainsique toute ombinaisonlinéaireentre

1.3 Sous-algèbres de U(6)

La re her he des diérentes haînes des sous-algèbres de U(6) part du fait que

seules elles ontenant legroupe de rotationsen trois dimensions O(3)sont

onsid-érées. Ainsi,lenombre quantique

L

asso iéaumomentangulaireguredans toutes les représentations irrédu tibles de U(6).D'autre part, les générateurs appartenant

à ha une de es haînes de sous-algèbresdoivent satisfaireles relationsde

ommu-tation asso iées àla même sous-algèbrede U(6).

Une première haîne de sous-algèbres est obtenue en ne onsidérant parmi les

générateurs de U(6) que eux ontenant le boson

d

, il s'agit des 25 générateurs

G

(λ)

µ

(2, 2)

ave

λ = 0, . . . , 4

dans (1.13). On peut vérier que l'ensemble de es générateurssatisfaitlesrelationsde ommutationdel'algèbreU(5).D'autrepart,les

ombinaisonsantisymétriques des générateursd'une algèbre unitaire U(

n

) vérient les relationsde ommutationde l'algèbreO(

n

). Dans le as de U(5), e sont les10 générateurs ayant

λ = 1

et

λ = 3

qui engendrent la sous-algèbre O(5). Finalement, O(3) est sous-algèbre de O(5) etest engendréepar legénérateur moment angulaire

donné par l'expression (1.17).

D'autres sous-algèbres de U(6) sont obtenues à partir de ombinaisonslinéaires

des opérateurs (1.13).En onsidérant les 9générateurs

ˆ

N = ˆ

n

s

+ ˆ

n

d

,

ˆ

L

µ

=

√

10[d

†

_{× ˜}

_d]

(1)

µ

,

ˆ

Q

µ

= [s

†

× ˜

d + d

†

× ˜s]

µ

(2)

+ χ[d

†

× ˜

d]

(2)

µ

,

(1.19)

et en utilisant les relations de ommutation (1.10), nous pouvons montrer qu'ils

forment les 9 générateurs asso iés à l'algèbreU(3). Cependant, omme l'opérateur

nombre

N

ˆ

ommute ave tous les générateurs de U(6), il peut être omis de (1.19). L'algèbre obtenue étant alors SU(3), ellepossède O(3) ommesous-algèbre.

Pour xer la valeur du oe ient

χ

dans l'expression des opérateurs

Q

ˆ

µ

, nous onsidérons le ommutateur

[ ˆ

Q

µ

, ˆ

Q

µ

′

]

et nous faisons appelà l'équation (1.10)

[ ˆ

Q

µ

, ˆ

Q

µ

′

] =

X

kκ

1

_{− (−)}

k

h2µ2µ

′

_{|2 2 kκi[d}

†

_{× ˜}

_d]

(k)

κ

(1.20)

−χ

2

X

kκ

1

_{− (−)}

k

· 5 ·

(

2 2 k

2 2 2

)

h2µ2µ

′

_{|2 2 kκi[d}

†

_{× ˜}

_d]

(k)

κ

.

Cette dernière équation est non nulleuniquement pour

k = 1

et

k = 3

. Cependant, seul le tenseur d'ordre 1 gure parmi les générateurs de SU(3) et orrespond au

doit alors s'annuler nous menant à

1

− 5χ

2

(

2 2 3

2 2 2

)

= 1

− 5 · χ

2

_·

4

35

= 0 .

(1.21)

Nousobtenons alors pour leparamètre

χ

les valeurs

χ =

±

√

7

2

.

Il est importantde noter i iquele groupede symétrieSU(3) a été tout d'abord

introduit par Elliottdans le adre du modèle en ou hes où il a interprété le

mou-vement rotationnel du noyau à travers la for e quadripolaire entre deux nu léons

o upantune ou hede l'os illateurharmonique.Lesgénérateursde SU(3)de degré

2ne sont ainsique les inq omposantes du momentquadripolaireéle trique donné

par [13℄

ˆ

Q

(2)

_µ

=

−

r 2π

5

X

lm

X

l

′

_m

′

h2lm|r

2

_Y

2µ

(θ, φ)

|2l

′

m

′

ib

†

l,m

b

l

′

_,m

′

,

(1.22)

où les états

|2lmi

orrespondent à des états simple-parti ule dans la ou he

sd

de l'os illateur harmonique. En modèle IBM-1, on hoisit généralement d'exprimer le

générateur

Q

ˆ

µ

en onsidérant la valeur

χ =

−

√

7

2

qui orrespond à un moment quadripolaire négatif de l'état

2

+

1

. Ce hoix trouve sa justi ationdans le adre du

modèle géométrique appliqué aux noyaux déformés où la forme prolate s'avère la

plus favorisée.

Une troisième haîne de sous-algèbres de U(6) peut être obtenue simplement à

partirde la rédu tion

U(n)

⊃ O(n)

ave

n = 6

. Eneet, les 10générateursde O(5) vérient ave les 5 générateurs

[s

†

_{× ˜}

_{d + d}

†

_{× ˜s]}

(2)

µ

les relations de ommutation de

l'algèbreO(6), le groupe de rotationsen six dimensions. Une autre sous-algèbre de

U(6) ayant O(3) omme sous-algèbre est U(4). Cependant, SU(4) est isomorphe à

O(6) eta été alors impli itement onsidérée.

On est ainsi arrivé à déterminer les trois et seules haînes de sous-algèbres de

U(6) ontenant le groupe de rotationO(3)

U(6)

_⊃















U(5)

⊃ O(5) ⊃ O(3) ⊃ O(2),

(I)

SU(3)

_{⊃ O(3) ⊃ O(2),}

(II)

O(6)

⊃ O(5) ⊃ O(3) ⊃ O(2).

(III)

(1.23)

Dans ette dernière équation, O(2) est une sous-algèbre de O(3) présentant les

ro-tations bi-dimensionnelles autour de l'axe

z

. Dans le tableau 1.1, nous donnons le nombre de générateurs (ordre du groupe) orrespondant à quelques algèbresde Lie

Tab. 1.1 Nombre de générateurs asso iés à quelques algèbres de Lie Algèbre Ordre

U(n)

n

2

SU(n)

n

2

_{− 1}

O(n)

n(n

_{− 1)/2}

Sp(n)

n(n + 1)/2

1.4 Classi ation des représentations de U(6)

Après avoir déterminé la stru ture sous-ja ente de l'algèbreU(6), nous sommes

en mesured'établirune lassi ationde sesdiérentes représentationsirrédu tibles.

Cettepro édure vanousservir, ommenousallons le onstaterplus loin,à

onstru-ire une base dans laquelle le hamiltonien du modèle peut être diagonalisé. Chaque

représentationirrédu tible(RI)estétiquetéeparunensembledenombresquantiques

entiers dontlenombre (rangdel'algèbre) estgénéralementdéterminéen faisant

ap-pel aux tableaux de Young [14℄. Nous donnons dans le tableau 1.2 le nombres de

labels ara térisant les RI de quelques groupes de Lie et en parti ulier eux

ren- ontrés au ours de ettethèse. Commeonne s'intéresseà présent qu'aux systèmes

de bosons qui sont omplètement symétriques,beau oup de simpli ationspeuvent

surgir quant auxRI asso iées aux haînes (I)-(III).

Tab. 1.2  Nombres de labels ara térisant les représentations irrédu tibles de

quelques algèbres de Lie

Algèbre Rang

U(n)

n

SU(n)

n

− 1

O(n)

,

n

pair

n/2

O(n)

,

n

impair

(n

− 1)/2

Sp(n)

n/2

Chaîne (I)

Les RI à lalimite U(5)sont étiquetées par lesnombres quantiques [15℄

U(6)

⊃ U(5) ⊃ O(5) ⊃ O(3) ⊃ O(2).

[N ]

n

d

v

L

M

L

Le symbole

[N]

indique une représentation omplètement symétrique de U(6).

N

étantlenombretotaldebosons,savaleurestégaleàlamoitiédunombredenu léons

devalen e.Ilpeutégalement ompter lamoitiédu nombredes trous ouplésà

l = 0

ou

l = 2

quand les nu léonso upent plus que lamoitié de la ou he de valen e.

Les règles de séle tion asso iées à la rédu tion

U(n)

⊃ U(n − 1)

permettent de déduireles valeurs de

n

d

ontenues dans

N

n

d

= 0, 1, . . . , N .

(1.25)

Le nombre quantique

v

ara térisant la RI de l'algèbre O(5) est appelé nombre de sénioritéetdésignelenombredebosons

d

n'étantpas ouplésàunmomentangulaire zéro.Lesvaleursde

v

sont déterminéesàpartirde larédu tion

U(5)

⊃ O(5)

etsont données par

v = n

d

, n

d

− 2, . . . , 1 ou 0.

(1.26)

Ladé ompositionde lareprésentation deO(5)vers elledeO(3)ren ontre un

prob-lème de multipli ité. Cela équivaut à dire qu'une représentation

v

de O(5) peut ontenir plusieurs états de même spin

L

. Un nombre quantique additionnel a été alors onsidéré etest noté

n

∆

[15℄.Il aété déni ommeétant lenombre de triplets debosons ouplésàunmomentangulairezéro.Cependant,ilne faitque ara tériser

les états (1.24) et ne va pas intervenir dans le spe tre d'énergie. Pour obtenir les

valeurs de

L

ontenues dans une représentation

n

d

de U(5), nous pro édons de la manièresuivante. Nous é rivons tout d'abord

n

d

= 2n

β

+ 3n

∆

+ η ,

(1.27)

où

n

β

est le nombre de paires de bosons ouplésà zéro etest dénipar

n

β

=

1

2

(n

d

− v).

(1.28)

À partirdes équations (1.26)et (1.28),

n

β

peut prendre lesvaleurs

n

β

= 0, 1, . . . ,

n

d

2

ou

n

d

− 1

2

.

(1.29)

Finalement, lesvaleurs de

L

sont données par

L = η, η + 1, η + 2, . . . , 2η

− 2, 2η,

(1.30)

Chaîne II

À lalimite SU(3) [16℄, lesRI sont étiquetées par lesnombres quantiques

U(6)

⊃ SU(3) ⊃ O(3) ⊃ O(2),

[N]

(f

1

, f

2

)

L

M

L

(1.31)

où deux nombres quantiques sont né essaires pour libeller la RI de SU(3).

Cepen-dant,aulieude

(f

1

, f

2

)

, obtenusdire tementàpartir desdiagrammes de Young,on utilise habituellementla représentation d'Elliott

(λ, µ)

liée à

(f

1

, f

2

)

par [13℄

λ = f

1

− f

2

,

µ = f

2

.

(1.32)

Ainsi, les valeurs de

(λ, µ)

sont obtenues en utilisant les règles de multipli ation des tableaux de Young orrespondant aux représentations de U(6) et SU(3). La

te hnique utiliséeen est lasuivante. On onsidère tout d'abord lamultipli ationde

deux représentations fondamentales [1℄ de U(6)

⊗

=

_⊕

.

(1.33)

Sa hantqu'unereprésentation[1℄de U(6)est de dimension6 ommesixétats àune

seule parti ulesontpermis,lareprésentation SU(3) orrespondanteest (2,0)quiest

également de dimension 6.Il s'en suit alors que

⊗

=

_⊕

_⊕

.

(1.34)

La représentation (4,0) est symétrique de même que (0,2) qui orrespond à une

représentation de deux trous. Les équations (1.33) et (1.34) nous mènent alors à

on lureque esdeuxreprésentationsdeSU(3)sont ontenuesdanslareprésentation

symétrique [2℄ de U(6). Larepésentation (2,1) est par onséquent ontenue dans la

représentationantisymétrique[1,1℄de U(6)etestdon ex luede l'espa edu modèle

IBM-1. En généralisant et algorithme, onobtient

(λ, µ) = (2N, 0), (2N

_{− 4, 2), (2N − 8, 4), . . . ,}

(

(0, N)

N pair

(2, N

_{− 1) N impair}

,

(2N

_{− 6, 0), (2N − 10, 2), (2N − 14, 4), . . . ,}

(

(2, N

− 4) N pair

(0, N

− 3) N impair

,

(2N

− 12, 0), (2N − 16, 2), (2N − 20, 4), . . . ,

(

(0, N

− 6) N pair

(2, N

− 7) N impair

,

(1.35)

où

(λ, µ)

sonttoujoursdesentierspositifs.Pourdéterminerlesvaleursde

L

ontenues dans une représentation

(λ, µ)

de SU(3), nous serons de nouveau onfrontés au problème de la multipli ité des représentations de O(3) ontenues dans une même

représentation de SU(3) et nous aurons besoin d'introduire un nombre quantique

additifqu'on note par

K

et auquel onfait asso ier les valeurs [13℄

K = min

_{{λ, µ} , min {λ, µ} − 2, . . . , 0 ou 1.}

(1.36) Lesvaleursde

L

sont nalement déterminéesà partir de elles de

K

tellesque

L = K, K + 1, K + 2, . . . , K + max

_{{λ, µ} ,}

(1.37) si

K

6= 0

et

L = max

{λ, µ} , max {λ, µ} − 2, . . . , 0 ou 1,

(1.38) pour

K = 0

.Les valeurs de

M

L

sonttoujours données par

−L ≤ M

L

≤ +L

.

La base d'Elliott, bien qu'elle ore une dérivation élégante des représentations

à la limite SU(3), elle a aussi l'in onvénient de ne pas être orthogonale. Une autre

base a été proposée par Vergadoset est onstruite à partir de la base d'Elliott[17℄

en introduisantun nouvelensemblede nombres quantiques

χ

˜

1

, ˜

χ

2

, . . . , ˜

χ

n

vériant

˜

χ

1

< ˜

χ

2

<

· · · < ˜

χ

N

. Labase de Vergados est alors dénie par

|(λ, µ), ˜

χ

1

, L, M

L

i = |(λ, µ), K

1

, L, M

L

i

0

|(λ, µ), ˜

χ

2

, L, M

L

i = x

21

|(λ, µ), K

1

, L, M

L

i + x

22

|(λ, µ), K

2

, L, M

L

i

. . .

|(λ, µ), ˜

χ

i

, L, M

L

i =

i

X

j=1

x

ij

|(λ, µ), K

j

, L, M

L

i

0

,

(1.39)

où

K

1

, K

2

, . . . , K

n

sontlesnombresquantiquesd'Elliottdénisparl'équation(1.36) ave

K

1

< K

2

<

· · · < K

n

.Lesétats

|(λ, µ), K, L, M

L

i

0

sontliésauxétats

|(λ, µ), K, L, M

L

i

par

|(λ, µ), K, L, M

L

i

0

= i

λ+2µ

|(λ, µ), K, L, M

L

i,

(1.40) etles oe ients

x

ij

sont déterminés àpartir de larelation

h(λ, µ), ˜

χ

i

, L, M

L

|(λ, µ), ˜

χ

j

, L, M

L

i = δ

ij

.

(1.41) D'après leur dénition, lesvaleursdes nombres quantiques de Vergados

χ

˜

1

, ˜

χ

2

,

. . . , ˜

χ

n

sontlesmêmesque ellesd'Elliott

K

1

, K

2

, . . . , K

n

.Cesontpluttlesvaleurs de

L

ontenues dans ha une des représentations

χ

˜

i

qui sont diérentes de elles ontenues dans les représentations

K

i

. Les équations (1.37)-(1.39) indiquent que si une valeur de

L

apparaîsse une fois dans une représentation, elle sera asso iée à la

valeur laplusbasse de

χ

˜

.Sil'on adeux valeurs de

L

, ellesappartiendrontauxdeux valeurs de

χ

˜

lesplus basses etainsi de suite. Uneex eption est faite pour

χ = 0

˜

où lesvaleursde

L

orrespondantes sont pairespour

λ

pair etimpairespour

λ

impair. Dans e s héma, la lassi ationdes états asso iés à la haîne (II) devient

U(6)

_{⊃ SU(3) ⊃ O(3) ⊃ O(2).}

[N]

(λ, µ)

χ

˜

L

M

L

(1.42)

Chaîne (III)

ÀlalimiteO(6)[18℄,lesreprésentationsdessous-algèbresdeU(6)sont lassiées

en introduisant leslabels

U(6)

⊃ O(6) ⊃ O(5) ⊃ O(3) ⊃ O(2).

[N]

σ

v

L

M

L

(1.43)

Larédu tion

U(6)

⊃ O(6)

permetdedéduirelesvaleursde

σ

en fon tionde

N

telles que

σ = N, N

_{− 2, . . . , 0 ou 1.}

(1.44)

De même, les valeurs de

v

sont obtenues à partir des règles de séle tionasso iées à la rédu tion

O(n)

⊃ O(n − 1)

etsont données par

v = σ, σ

_{− 1, . . . , 0.}

(1.45)

Les nombres quantiques

v

,

L

et

M

L

ont la mêmesigni ation que dans le as de la haîne (I) et obéissent par onséquent auxmêmes règles de rédu tion.

Il est intéressant de noter avant de lore ette se tion que haque valeur de

N

orrespond à un nombre bien déterminé d'états. C'est une ara téristique propre

au modèle des bosons en intera tion ar, dans le adre du modèle géométrique

par exemple, le spe tre peut s'étendre jusqu'à l'inni. C'est justement une autre

propriété du modèle IBM qui émerge i i ar, pour

N

→ ∞

, on parle de sa limite lassique qui onstitue une ontrepartie du modèlegéométrique.

1.5 Hamiltonien

La onstru tion du hamiltonien du modèle IBM part des hypothèses qu'il est

invariant par rapport aux rotations et réexions et qu'il doit être hermitique et

onservelenombre de bosons. Ainsi,l'expression générale du hamiltonien àun età

deux orps dans l'espa edes bosons

s

et

d

s'é rit en deuxième quanti ation

ˆ

H = E

0

+

X

l

ǫ

l

√

2l + 1[b

†

_l

טb

l

]

(0)

0

+

X

ll

′

_l

′′

_l

′′′

1

2

u

(L)

ll

′

_l

′′

_l

′′′

[[b

†

_l

×b

†

_l

′

]

(L)

×[˜b

_l

′′

טb

_l

′′′

]

(L)

]

(0)

0

.

(1.46)

Lehamiltonien(1.46)s'é ritexpli itementen termesdesbosons

s

et

d

souslaforme

ˆ

H = E

0

+ ǫ

s

n

ˆ

s

+ ǫ

d

n

ˆ

d

+

X

L=0,2,4

1

2

√

2L + 1 c

L

[[d

†

× d

†

]

(L)

× [ ˜

d

× ˜

d]

(L)

]

(0)

0

+

√

1

2

v

2

[[d

†

_{× d}

†

_]

(2)

_{× [ ˜}

_d

_{× ˜s]}

(2)

_{+ [d}

†

_{× s}

†

_]

(2)

_{× [ ˜}

_d

_{× ˜}

_d]

(2)

_]

(0)

0

+

1

2

v

0

[[d

†

_{× d}

†

_]

(0)

× [˜s × ˜s]

(0)

+ [s

†

_{× s}

†

_]

(0)

× [ ˜

d

_{× ˜}

d]

(0)

]

(0)

₀

(1.47)

+u

2

[[d

†

× s

†

]

(2)

× [ ˜

d

× ˜s]

(2)

]

(0)

0

+

1

2

u

0

[[s

†

_{× s}

†

_]

(0)

× [˜s × ˜s]

(0)

]

(0)

₀

.

Lehamiltonien(1.47) ontientalorsdeuxparamètresasso iésauxtermesàun orps

etseptparamètresliésauxintera tionsàdeux orps.

E

0

estune onstante représen-tantl'énergie de liaison du ÷ur etn'ayant pas d'eet sur lespe tre d'énergie.

Il est importrant de noter qu'en plus de l'expression (1.47), plusieurs autres

formes du hamiltonien IBM-1 peuvent être dérivées à partir de l'équation (1.46).

Leurs réalisations et expressions sont expli itées dans la référen e [19℄. Nous nous

ontentons i i, pour une utilisationultérieure, de donner l'expression dite

multipo-laire etqui s'é rit

ˆ

H = E

′

0

+ ǫ

d

n

ˆ

d

+ a

0

P

ˆ

†

· ˆ

P + a

1

L

ˆ

· ˆ

L + κ ˆ

Q

· ˆ

Q + a

3

T

ˆ

3

· ˆ

T

3

+ a

4

T

ˆ

4

· ˆ

T

4

,

(1.48) ave

ˆ

n

d

=

√

5[d

†

_{× ˜}

_d]

(0)

_,

ˆ

P =

1

2

( ˜

d

· ˜

d

− ˜s · ˜s),

ˆ

L =

√

10[d

†

× ˜

d]

(1)

,

ˆ

Q = [d

†

× ˜s + s

†

_{× ˜}

_d]

(2)

₋

√

7

2

[d

†

_{× ˜}

_d]

(2)

_,

ˆ

T

3

= [d

†

× ˜

d]

(3)

,

ˆ

T

4

= [d

†

× ˜

d]

(4)

.

(1.49)

Le symbole

·

dénote le produit s alaire de deux opérateurs tensoriels et est déni par [2℄

ˆ

T

(k)

· ˆ

U

(k)

= (

−)

k

√

_{2k + 1 [ ˆ}

_T

(k)

_{× ˆ}

_U

(k)

_]

(0)

0

=

X

µ

(

−)

µ

_T

_ˆ

(k)

µ

U

ˆ

(k)

−µ

.

(1.50)

Le al uldes élémentsde matri e du hamiltonien

H

ˆ

peut être ee tué àtravers une diagonalisationnumériquedans une base appropriée. Ayant ànotre disposition

les états de base établis dans la se tion pré édente, nous pouvons réaliser e

fort intéressantedu modèle IBMréside dans l'existen e de solutions analytiquesau

problème de valeurs propres pouvant être obtenues pour des hoix parti uliers des

paramètres du hamiltonien.Ainsi, nous protons de l'avantage du modèle de

pou-voir exprimer son hamiltonien en fon tion des opérateurs invariants asso iés aux

diérentes sous-algèbresde U(6)gurantséparément danslestrois haînes (I)-(III).

Rappelons i i qu'un opérateur invariant appelé aussi Casimir d'une algèbre de Lie

est l'opérateur qui ommute ave tous les générateurs de ette algèbre. Le

nom-bre d'opérateurs invariants, appelé rang de l'algèbre, est égal au nombre de labels

ara térisant sa représentation irrédu tible. Puisqu'on a onsidéré, dans le

hamil-tonien (1.47), que les termes à un et à deux orps, seuls les opérateurs de Casimir

du premieret du deuxièmeordre interviennent dans son expression. Lesopérateurs

invariants orrespondant auxdiérentes sous-algèbresdeU(6)ontété expli itement

al ulés dans laréféren e [20℄. Ils s'é rivent

ˆ

C

1

(U(6)) =

N ,

ˆ

ˆ

C

2

(U(6)) =

N ( ˆ

ˆ

N + 5),

ˆ

C

1

(U(5)) =

X

m

d

†

m

d

m

= ˆ

n

d

,

ˆ

C

2

(U(5)) = (d

†

· ˜

d)(d

†

· ˜

d) + 4(d

†

· ˜

d) = ˆ

n

d

(ˆ

n

d

+ 4),

ˆ

C

2

(O(5)) = ˆ

n

d

(ˆ

n

d

+ 3)

− (d

†

· d

†

)( ˜

d

· ˜

d),

ˆ

C

2

(O(3)) =

X

µ

(

₋₎

µ

L

ˆ

µ

L

ˆ

−µ

= 10

X

µ

(

₋₎

µ

[d

†

_{× ˜}

_d]

(1)

µ

· [d

†

× ˜

d]

(1)

−µ

,

ˆ

C

2

(SU(3)) =

2

₃

[2 ˆ

Q

· ˆ

Q +

3

₄

L

ˆ

· ˆ

L],

ˆ

C

2

(O(6)) =

N ( ˆ

ˆ

N + 4)

− (d

†

· d

†

+ s

†

· s

†

)( ˜

d

· ˜

d + ˜

s

· ˜s).

(1.51) Notons que les opérateurs

C

ˆ

2

(U(6))

et

C

ˆ

2

(U(5))

sont des fon tions des opérateurs nombres

N

ˆ

et

n

ˆ

d

et orrespondentpar onséquentàdesreprésentationsirrédu tibles omplètement symétriques.

Nous sommes à présent en mesure de réé rire le hamiltonien (1.47) sous forme

d'une ombinaisonlinéairedes opérateurs invariantsdu premier etdu se ond ordre

donnés par l'équation(1.51). Il s'é rit

ˆ

H = e

0

+ e

1

C

ˆ

1

(U(6)) + e

2

C

ˆ

2

(U(6)) + ǫ ˆ

C

1

(U(5)) + α ˆ

C

2

(U(5))

+ζ ˆ

C

1

(U(6)) ˆ

C

1

(U(5)) + η ˆ

C

2

(O(6)) + β ˆ

C

2

(O(5)) + δ ˆ

C

2

(SU(3))

+γ ˆ

C

2

(O(3)).

(1.52)

On peut remarquer que, tout omme l'expression (1.47), lehamiltonien (1.52)

on-tient dix paramètres indépendants qui ne sont que des ombinaisons linéaires des

quadratiquede U(6)nedépendent quede

N

qui est onstant dansun noyaudonné. Ces termes sont désormais in lus dans l'énergie de liaison et ne seront plus

on-sidérés expli itement dans l'expression du hamiltonien. Notons égalementl'absen e

de l'opérateur invariant asso ié àl'algèbre O(2). En eet, l'intérêt de ette algèbre

n'apparaît quelorsque le noyauest soumisà un hamp magnétique externe.

1.6 Symétries dynamiques

Le hamiltonien dans sa forme (1.52) n'est pas diagonal. Ce i est dû

essentielle-mentaufaitqu'un opérateurdeCasimirn'estdiagonalquedanslabaseirrédu tible

del'algèbrequiluiestasso iée( f.tableau1.3).Par onséquent,ladérivation

analy-tiquedesvaleurspropresde

H

ˆ

n'estpossiblequedansdessituationsparti ulièresoù ils'exprimeen fon tiondes opérateurs invariantsasso iés auxalgèbresappartenant

àl'une des trois haînes (1.23). Dans e as pré is, lehamiltonien aura lapropriété

de ommuter ave tous les générateursde l'algèbre en question. Nous parlonsalors

de la notion de symétries dynamiques du hamiltonien. Ainsi, trois symétries

dy-namiquessontprésentes en IBM-1, ha une labellée parlapremière sous-algèbrede

la haîne orrespondante.

Tab. 1.3  Valeurs propres des opérateurs de Casimir linéaires et quadratiques

asso iés à quelques algèbresde Lie.Tous les labelssont dénotés par

f

i

.

Algèbre Labels Ordre

h ˆ

C

i

U

(n)

[f

1

, f

2

, . . . , f

n

]

1

P

n

i=1

f

i

= f

2

P

n

i=1

f

i

(f

i

+ n + 1

− 2i)

SU

(n)

[f

1

, f

2

, . . . , f

n

= 0]

2

P

n

i=1

(f

i

−

f

n

)(f

i

−

f

n

+ 2n

− 2i)

SU

(3)

(λ, µ) = (f

1

− f

2

, f

2

)

2

2

3

(λ

2

+ µ

2

+ λµ + 3λ + 3µ)

O

(2n + 1)

(f

1

, f

2

, . . . , f

n

)

2

P

n

i=1

2f

i

(f

i

+ 2n + 1

− 2i)

O

(2n)

(f

1

, f

2

, . . . , f

n

)

2

P

n

i=1

2f

i

(f

i

+ 2n

− 2i)

Sp

(2n)

(f

1

, f

2

, . . . , f

n

)

2

P

n

i=1

2f

i

(f

i

+ 2n + 2

− 2i)

1.6.1 Symétrie dynamique U(5) : Limite vibrationnelle

Cette symétrie orrespond à

η = δ = 0

. Lehamiltonien orrespondant s'é rit

ˆ

H = E

0

+ ǫ ˆ

C

1

(U(5)) + α ˆ

C

2

(U(5)) + ζ ˆ

C

1

(U(6)) ˆ

C

1

(U(5)) + β ˆ

C

2

(O(5)) + γ ˆ

C

2

(O(3)),

(1.53)

ave

E

0

= e

0

+ e

1

N + e

2

N

2

. Le hamiltonien (1.53) est diagonal dans la base

|[N]n

d

vn

∆

LM

L

i

. Le développement analytique de l'expression de es états a été détaillé dans la référen e [20℄ et ne sera pas revu dans e paragraphe. Cependant,

ontient à souligneri ique lesétats

|[N]n

d

vn

∆

LM

L

i

onstituent aussi une base or-thogonale omplète du hamiltonien général (1.47). Mais alors, une diagonalisation

numérique est né essaire pour al uler les valeurs propres des deux termes

asso- iés à

C

ˆ

2

(O(6))

et

C

ˆ

2

(SU(3))

. En utilisant le tableau 1.3, les valeurs propres du hamiltonien (1.53)s'é rivent

E

I

(N, n

d

, v, L) = E

0

′

+ ǫn

d

+ αn

d

(n

d

+ 4) + 2βv(v + 3) + γL(L + 1).

(1.54) Lesvaleursattribuéesauxdiérentsnombresquantiquesgurantdans ettedernière

équationontétéétabliesdanslase tionpré édente.Notonsquelenombrequantique

n

∆

n'a au uneetsurlesénergies d'ex itationetson rles'a hèveàla onstru tion desétatspropresduhamiltonien(1.53).Unspe tred'énergietypiqueàlalimiteU(5)

est présenté sur le paneau à droite de la gure 1.1. Cette gure montre un triplet

d'états de moments inétiques

L = 0, 2, 4

orrespondant à

n

d

= 2

(deux phonons) et se situant à une énergie approximativement égale à

2E

2

+

₁

. On peut également

dis ernerunquintupletdemoments inétiques

L = 0, 2, 3, 4, 6

(troisphonons)situéà

3E

₂

+

1

.Lastru ture duspe tred'énergieàlalimiteU(5) orrespondainsià elled'un

vibrateuranharmonique[21℄.Ce ipeut se onrmer en al ulantlesprobabilitésde

transitionsquadripolairesà ettelimite.L'opérateurquadripolaireestdénipar[19℄

ˆ

T (E2) = q[d

†

_{× ˜s + s}

†

_{× ˜}

_d]

(2)

_,

(1.55)

où

q

est la harge ee tive du boson. La probabilité de transitions quadripolaires s'é rit

B(E2; L

′

_{= 2n}

d

+ 2

→ L = 2n

d

) =

1

2L

′

_{+ 1}

h[N]n

d

L

k ˆ

T (E2)

k [N]n

d

+ 1L

′

_i

2

=

1

4

q

2

_(2N

− L)(2L + 2),

(1.56)

où

h k k i

est l'élément de matri e réduitdéni par [2℄

hJ

′

_M

′

_{| ˆ}

_T

lm

|JMi = (−)

J

′

_−M

′

J

′

l

J

−M

′

_{m M}

!

hJ

′

_{k ˆ}

_T

l

k Ji,

(1.57)

où

T

ˆ

lm

estunopérateurtensorieletlesymboleentreparenthèsesdésignele oe ient

3j

deWigner.Notonsquelestransitions

E2

obéissentauxrèglesdeséle tion

∆n

d

=

±1

,

∆v =

±1

.

Finalement,onprésentesur lepaneaugau hede lagure1.1lespe tred'énergie

du

110

Cd omme un exemple de spe tre d'énergie à la limiteU(5).

Fig. 1.1  Spe tre d'énergie al ulé à la limite vibrationnelle U(5) pour

N = 7

(paneau gau he) omparé auspe tre expérimentaldu

110

Cd (paneau à droite)

.

1.6.2 Symétrie dynamique SU(3) : Limite rotationnelle

Lasymétrie SU(3) est obtenue àpartirdu hamiltonien (1.52)pour

ǫ = α = β =

η = 0

. Le hamiltonien orrespondants'é rit

ˆ

H

II

= E

0

+ δ ˆ

C

2

(SU(3)) + γ ˆ

C

2

(O(3)).

(1.58) Ce hamiltonien est diagonal dans labase de Vergadosdénie par l'équation (1.39).

Ses valeurs propres s'é rivent

E

II

(N, λ, µ, L) = E

0

+

2

3

(λ

2

_{+ µ}

2

_{+ λµ + 3λ + 3µ) + γL(L + 1).}

(1.59)

Unspe tretypiqueà ettelimiteest présentésurlagure1.2.Nousremarquonsque

lesétats d'énergie se omportent omme

L(L + 1)

. De plus, lespe tre possède une stru ture rotationnelle ave une bande fondamentale, une bande

β

(

K = 0

) et une bande

γ

(

K = 2

)biendis ernables(voir hapitre3pourlesdénitionsde es bandes dansle adredumodèlegéométrique).Ces onstatationsnous onduisentà

Fig. 1.2  Spe tre d'énergie al ulé à la limite SU(3) pour

N = 12

omparé au spe tre expérimentaldu

156

Gd.

nombre quantique

K

est identique à elui onsidéré par le modèle géométrique et qui orrespond à laproje tion du moment inétiquesur l'axelié aunoyau.

Contrairement à la limite U(5), deux modes olle tifs sont possibles pour un

noyauayant lasymétrieSU(3) ar, en plus des vibrations quadripolaires,il a

égale-mentlapossibilitéde tournerautourde l'axeperpendi ulaireàson axedesymétrie.

Un tel mouvement olle tif est favorisé par le nombre relativement onsidérablede

nu léons de valen e dans es noyaux.Une représentation

K

est ainsi asso iée à une bande rotationnelle tandis que diérentes représentations

(λ, µ)

dé rivent des ex i-tations olle tives vibrationnelles. Sur la même gure 1.2, le spe tre d'énergie du

156

Gdest présenté ommeun bonexemple d'un noyau ayant lasymétrie SU(3).

L'opérateur de transitions quadripolairesà ette limite est donné par

ˆ

T (E2) = q([d

†

× ˜s + s

†

_{× ˜}

_d]

(2)

₋

√

7

2

[d

†

_{× ˜}

_d]

(2)

_).

(1.60)

Laprobabilité de transitions quadripolairesdans labande fondamentale

(2N, 0)

est don

B(E2; L + 2

_{→ L) = q}

2

3

4

(L + 2)(L + 1)

(2L + 3)(2L + 5)

(2N

− L)(2N + L + 3).

(1.61) Celle dans la bande

β (2N

− 4, 2)

est donnée par

B(E2; L + 2

→ L)

= q

2

3

4

(L + 2)(L + 1)

(2L + 3)(2L + 5)



2N + L +

1

2

(L + 3)(L + 4)

2(2N

− 2)

2

_{− (L + 2)(L + 3)}



2

×

 2(2N − 2)

2

_{− (L + 2)(L + 3)}

2(2N

− 2)

2

_{− L(L + 1)}

  2N − 2 − L

2N + 1 + L



.

(1.62)

Fig. 1.3  Spe tre d'énergie al ulé à lalimite O(6) pour

N = 6

(paneau à droite) omparé auspe tre expérimentaldu

196

Pt (paneau à gau he).

L'opérateur

T (E2)

ˆ

estdans e asungénérateurdel'algèbreSU(3).Par onséquent, les transitions entre des bandes ayant diérentes représentations

(λ, µ)

sont inter-dites.

1.6.3 Symétrie dynamique O(6) : noyaux

γ

-instables

UnhamiltonienayantlasymétriedynamiqueO(6)estobtenupour

ǫ = α = δ = 0

ets'é rit

ˆ

H

III

= E

0

+ η ˆ

C

2

(O(6)) + β ˆ

C

2

(O(5)) + γ ˆ

C

2

(O(3)).

(1.63) Lesétats propresdu hamiltonien(1.63) sont notés

|[N]σvn

∆

LM

L

i

. Leur dérivation est également détaillée dans la référen e [20℄. Les valeurs propres du hamiltonien

ˆ

H

III

dans ette base sont données par

E

III

(N, σ, v, L) = E

0

+ 2ησ(σ + 4) + 2βv(v + 3) + γL(L + 1).

(1.64) Le paneau à droite de la gure 1.3 présente un spe tre d'énergie typique à la

limiteO(6).Àpremièrevue, espe treestidentiqueà elui orrespondantàlalimite

U(5).Cependant, onremarquelabrisuredu tripletà deux phonons

(0

+

_{, 2}

+

_{, 4}

+

₎

qui

ara tériselalimiteU(5) ar, ommelemontrelagure1.3,le

0

+

2

àlalimiteO(6)est

relativementplushautenénergie.Enoutre,ledoublet(

4

+

_{, 2}

+

)sesitueàuneénergie

quiest approximativement égaleà 2.5fois elle du

2

+

1

.La ontrepartie géométrique

delalimiteO(6) orrespondaumodèledurotateurdéforméasymétrique(

γ

-instable) deWiletsetJean[23℄.Le

196

Ptprésenteunbonexempledenoyauxayantlasymétrie

dynamiqueO(6).Sonspe treàbassesénergiesd'ex itationestprésentésurlepaneau

L'opérateur

T (E2)

ˆ

à ettelimite s'é rit [19℄

ˆ

T (E2) = q[s

†

_{× ˜}

_{d + d}

†

_{× ˜s]}

(2)

_.

(1.65)

Les valeurs de

B(E2)

al ulées dans la bande fondamentale (

σ = N

,

n

∆

= 0

et

L = 2v

)sont données par

B(E2; L + 2

_{→ L)}

=

1

2L + 5

h[N]N v 0 L = 2v k ˆ

T (E2)

k [N]N v + 1 0 L = 2v + 2i

2

= q

2

L + 2

8(L + 5)

(2N

− L)(2N + L + 8).

(1.66)

Remarquons quelestransitionsquadripolairesàlalimiteO(6)vérientlesrèglesde

séle tion

∆σ = 0

et

∆v =

±1

.

1.7 Aspe t géométrique du modèle des bosons en

intera tion

En plus de sa nature algébrique, le modèle des bosons en intera tion possède

également la propriété de pouvoir être asso ié d'un aspe t géométrique. En fait,

ettedernière ara téristiquedu modèle IBMdé ouleprin ipalementdes propriétés

des groupesde Liedont lastru ture algébriquesejoigne d'un espa etopologique.

La mise en éviden e de l'imagegéométrique du modèle IBM a été tout d'abord

abordéepar Gino hioetKirson[24℄,Dieperink, S holtenetIa hello[25℄etBohret

Mottelson[26℄quisesontinspirésdes travauxde GilmoreetFeng[27,28℄.Dansleur

appro he,GilmoreetFengontintroduitle on eptd'états ohérentsetontutiliséun

algorithmeleur permettantde onstruire equ'on appelle`lalimite lassique'd'une

algèbre ompa te de Lie.La proje tion de et algorithme au modèle des bosons en

intera tion né essite en premierlieuun hoix appropriédes variablesgéométriques.

Parailleurs, il aété établi que, pour un système quantique de

N

bosons dé rit par unealgèbreU

(n)

,onabesoind'introduire

(n

−1)

variables lassiques.Dansle asde l'algèbreU(6),Dieperink, S holtenetIa hello[25℄ont onsidéréunensemblede inq

oordonnées réelles(ou omplexessi l'onsouhaitedé rirelespropriétésdynamiques

du système)

α

µ

, ave

µ = 0,

±1, ±2

, en fon tion desquelles lesétats quantiques du système, appelés états ohérents ou intrinsèques et notés

|N, α

µ

i

s'expriment sous la forme

|N, α

µ

i =

s

†

+

+2

X

µ=−2

α

µ

d

†

µ

!

N

|0i.

(1.67)