UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À
MONTRÉAL
DOCTORAT EN MATHÉMATIQUES
UNIVERSITÉ PARIS.DIDEROT
(Paris 7)
École doctorale de
sciences
math
ématiques de Paris-Centre
DOCTORAT EN INFORMATIQUE
STRUCTURE DES PAVAGES, DROITES DISCRÈTES 3D ET
COMBINATOIRE DES MOTS
soutenue
le
4
mai
2012
par
Sébastien
LABBÉ
JURY
M
.
Christophe
REUTENAUER, Président
M. Pierre ARNOUX,
Rapporteur
M.
Dominique PERRIN
,
Rapporteur
M.
Xavier PROVENÇAL,
Membre
Mme Valérie
BERTHÉ,
Directrice
M. Srecko
BRLEK
,
Directeur
-UNIVERSITÉ DU QUÉBEC
À
MONTRÉAL
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La diffusion de cette thèse se fait dans le r
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commercialiser ou non ce travail dont [il] possède un exemplaire.»
REMERCIEMENTS
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toujours judicieux.
Merci aux membres
,
professeurs
,
personnels
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Goupil, Christophe
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Merci
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m'o
n
t
pr
écé
d
é
au LaCIM et
dont j
'
ai suivi
l
es traces
.
Merci
à nos amis
les
Discobols de
Nîmes et e
n
particulier à Pierril, Julie, Chr
i
sto
ph
e,
Léa, Florence et Alex qui
nous
ont accue
illi
s
d
a
ns
l
e
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s et no
u
s ont
fait
connaître
l
a
cult
ur
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du
su
d
d
e
l
a
Fran
ce
.
iv
Merci
à
Franco Saliola, William Stein
, Florent
Hivert
et Nicolas Thiéry dont
j
'ai
appris beaucoup sur l'utilisation de l'ordinat
eur pour résoudre des
problèmes
mathéma-t
iques et notamment sur le logiciel Sage.
Merci à Julien Cassaigne,
Thierry Monteil, Vincent Delecroix et
Élise Vaslet pour
leur
accueil
à
Marseille, et surtout
pour les
discussions
mathématiques,
informatiques
ou polit
iques que nous avons eues
.
Merci
à
Philipp
e Langlois (Perpignan),
Damien J
amet,
J
acques-Oliver Lachaud
,
Paul Zimmerman
, Christophe Fiorio
, Gwénaël Richomme,
J
ean Berst
el, Pierre Arnoux,
Eric Andres et Arnaud Hilion avec lesquels j
'ai eu des échanges ayant
un impact certain
sur mes
recherches
.
Merci
à
mes collègues
Frédéric
Rieux,
T
arek Sellami,
Louis
-François
Préville-Rat
elle,
Yannic Vargas,
Carlos
de
la
Mora
et Timo
Jolivet
dont
j
'ai part
agé
la vie
de
thésard. Merci
à
J
érôme
Tremblay,
Christian Stump
, Marco
Robado
et
Franco Saliola
pour leurs connaissances en Linux,
Latex, Tikz et autr
es
bidouilles informatiques.
Merci
à
Vivien Rip
oll
et
Fernand Beaudet pour les échanges
que nous
avons eus
à
propos
du
cours de calcul que
nous donnions en parallèle à
l'automne 2011.
Merci b
eaucoup
àLise
Tourigny, secrétaire
du LaCIM jusqu'e
n 2011
et notre
mère à tous comme disait Srecko.
Sa
personnalité aura influencé
l'ambiance et les
habi-tudes
du LaCIM même
après
son d
épart pour un autr
e départemant
à l
'UQAM
. Mer
ci
aussi
à
Manon Gauthier qui
a t
ouj
ours su faciliter les
démarches a
dministratives au
département de mathématiques
.
Mer
ci au CRSNG qui a fi
nancé mes études
de doctorat
et au FQRNT
qui a facilité
la réalisation
de
la cotutelle de doctorat
.
Merci
à m
on frère J
ean-P
hilippe et mes parents Madeleine et Jean qui ont
gran-dement
influencé
l'
évolut
ion
de
ma pensée. Mer
ci
à tous
mes amis
de
Mont
réal
et du
Québec avec lesquels je part
age
mes a
utres passions.
Finalement, je dois offrir toute ma
reconnaissance
à
ma compagne Renée
pour
son
sout
ien avec
qui la vie es
t
si agréable.
LISTE DES
FIGURES .
LISTE DES TABLEAUX
RÉSUMÉ
. . .
I
N
TRODUCTIO
N
C
HAPITRE I
PRELIMINAIRES
1.1
Nombres
.
.
.
1.2 Combinatoire
des
mots.
1.3
Morp
hi
smes
1.4 L
a
ngages
.
1.
5
G
éo
métri
e
d
i
scrète
TABLE DES
MATIÈRES
1.6
Comb
in
atoire des
mots et chem
in
s discrets
1.
7
Mot
de contour
. .
. .
.
. .
.
.
.
. .
. .
. .
C
HAPITRE II
STRUCTURE
DES
P
AVAGES
PAR UN
POLYOMINO
ix
xv
xvii
1
11
11
12
16
19
24
26
29
33
2.1
A parallelogram tile
fills
the plane by translation in at most two distinct ways 36
2.2
Two
infinite families of polyominoes that tile the plane by translation
in
two
distinct
ways
.
. .
.
46
2.3
Fibonacci
snowfiakes
2.4 Tu
il
es
de Fibona
cc
i duales
.
2.5
Combinatorial
prop
erties
of double square tiles
CHAPITRE
III
COMPLEX
IT
É
PALINDROMIQUE
3.1
Palindromic complexity of
codings
of rotations
3.2 Quatre classes de complexité palindromique
3.3 Conjecture de
Hof
,
Knill et Simon
3.4
Mots pl
e
ins
.
.
.
.
. . . .
.
. .
57
70
84
117
120
133
133
135
vi
305 Mots dont le défaut est fini non nul 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 140 306 Mots dont le défaut est infini et de complexité palindromique infinie 141 307 Mots dont le défaut est infini et de complexité palindromique finie 144 308 Complexité palindromique des mots périodiques 154 309 Conclusion
CHAPITRE IV
SEGMENTS DISCRETS ET DROITES DISCRÈTES 3D 401 Mots de Christoffel 0 0 0 0 0 0
401.1 Algorithme d'Euclide 401.2 Récurrence
402 Mots sturmiens 0 0 40201 Droite discrète 2D
403 Droites discrètes 3D 6-connexes antérieures 40301 Droite de Reveillès
40302 Droite d'Andres 0
4.4 Combinatoire de la droite d'Andres 0 405 Le mot de Tribonacci 0 0 0 0 0 0 0 0
406 Algorithmes de fractions continues multidimensionnelles 407 Droites 3D engendrées par substitutions
40701 Invariance sous une permutation 408 Critères de comparaison 0 0 40801 Distance euclidienne 40802 Discrépance 0 0 0 0 0 40803 Complexité en facteurs 408.4 Équilibre 0 0 409 L'exemple (41, 11, 8) 4010 Résultats expérimentaux 0
156 159 160 161 163 164 166 166 167 169 171 174 178 183 189 189 190 190 191 191 191 193 4011
An Arithmetic and Combinatorial Approach to Three-Dimensional
Dis
crete
4.12
Uniformly balanced
words
with
linear complexity
and prescribed
letter
fre-quencies
..
CONCLUS
I
ON .
.
BIBLIOGRAPHIE
vii213
223
231
LISTE
DES FIGURES
Figure
Page
0.1
Correspondance entre
la
discrétisation d
'
une
droite euclidienne et
l
es
mots sturmiens défini
s combinatoirement comme les mot
s possédant
exac-tement
n+
1 fact
eurs de longueur n
. . . . . . . . . . . . . . . .2
0
.
2 Quelques exemples de polyominos.
.
.
.
.
.
.
. . .
. .
.
. .
.
.
.
.
.
.
2
0
.
3 Dét
erminer
si un ensemble de polyminos
pave
l
e plan
est
indécidable. .
.
3
0.4 Cont
ours
d
'
une tuile
carrée et d
'une t
uile
hexagona
l
e.
L
es
deux
im
ages
ne sont
pas des
po
lyomin
os,
mais e
ll
es
illu
strent
que les concepts de tuiles
carrées et hexagona
l
es
peuvent êtr
e définis dans un contex
t
e plus général.
Dans cette t
hèse,
nous nous intéressons aux p
olyominos.
. . . .
.
.
.
4
0
.
5
Étant do
nné une tuile carrée
Set un polyomino P
, la composit
ion
S o
P
est obtenue en
remplaçant chaque carré unité
de P
par une copie
de
S.
Une t
uile
T
est i
nd
éco
mpo
sa
bl
e si T
=S
o
P
implique que
P
ou S
est
le
carré unité.
. . .
.
.
.
.
.
.
. . . .
. .
. . . . .
.
. .
.
0.6 Deux pavages périodiques distincts
d
'
une t
uile carrée.
5
5
1.1
Sur l
'
alphabet A
=
{1
,
2
,
3}
,
on r
e
pr
é
sent
e
le typ
e
d
'
e
xtension E(w)
d
'
un
facteur bispécial
w
par
un tableau.
Un
e
croix (x)
e
st pr
é
s
e
nt
e
àl'int
e
r-section de
l
a ligne a et
de
l
a colonne b si et seulement si
(a
,
b)
EE (
w).
.
22
x
1.3
Le c
h
e
min
w
=01012223211
.
Le
mot
d
es
différen
ces
fini
es
b.
(w)
=1311001330
.
L
e c
h
e
min homologu
e w
=
33010003232.
On v
ér
ifi
e
que
T
(w)
= -T
(w)
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. . . . .
.
. .
.
.
.
.
. . .
.
.
.
28
1.4
Le
codage de
Fr
ee
m
a
n d
'
un pol
yo
mino
sur
l
'alph
abet
F.
Le mot
de
contour de
cette
tui
le
se
f
acto
ri
se e
n
6
p
a
rti
es.
C'est
l
a
factori
sa
tion de
B
ea
uqui
e
r-Niv
at (Bea
uqui
er et
Nivat,
1991
a)
considérée au C
h
apitre 2.
.
30
1.5
L
e mot de contour w
=01033011212233
délimitant
un polyomino
8-connexe
n'est
pas
simple.
Tout
e
fois
,
le
chemin
I:;0([
S(
b.
(
[
w
]
))
])
est
s
i
mp
le.
Alors
,
on
dit que
w
est sa
n
s
cro
ise
m
en
t.
2.1
(a)
Une
tuil
e
d
e
Christoffel
e
ng
en
dr
e
deux
p
avages
non
symét
rique
s
du
p
la
n
. (
b
)
La
tui
le
d
e
Fibona
cc
i d
'o
rdr
e
deux
et
ses
d
eux
pavages
du pl
a
n
.
On
remarque
qu
e ces
tuiles doubles carrées
sont
in
variantes par rotat
i
on
31
de
18
0
degrés.
.
.
. .
.
.
. .
.
.
. . .
.
.
. . .
.
. . . .
.
. . .
.
. .
.
.
.
33
2.2
Troi
s
tui
les
doubl
es car
r
ées
qui
n
e
sont
ni
de Christoffe
l
ni
d
e
Fibon
acc
i.
L
es
d
eux
factori
sations ca
rr
ées
sont
r
e
pr
ése
nt
ées
par
l
es po
in
ts
bl
a
nc
s et
noir
s. .
. .
.
. .
. .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. .
. .
.
34
2.3
(a)
U
ne
tuil
e ca
rr
é
e
Qdont
le mot de
contour est
ABÂÊ =
00
·
101
·
22
·
323.
(b) Le morphisme homologue
'PA,B·(c
)
Un polyomino P dont
l
e
mot de
contour est
u= 00121001222333.
(d)
La
tu
il
e
décomposable
dont
le
mo
t
d
e co
n
to
ur
est
<p A,B (u). (
e)
L
e
pentamino X
est
une tuile
double
carrée
X
dont l
e
mot
co
ntour
est v
=010121232303
.
(f)
La
tu
ile
décomposable dont
le
mot
d
e
contour
est
<p A,B (v)est aussi
un
e
tu
ile
doubl
e ca
rr
ée.
.
.
. .
.
. .
. . .
.
.
.
. .
.
. .
.
.
.
. .
.
.
. . .
. .
.
. .
35
2.4
(a)
Une tuil
e
carrée
Q'
dont
l
e
mot de
contour est
ABÂÊ =
0100 ·
11
·
2232
· 33.
Àcette
tuile
carrée,
on associe le morphisme
cp A,Btel que
0
f-tA,
1
f-tB
, 2
f-tÂ
, 3 f-t
Ê.
(b) Le pen tomino
X
est
une tuile double
carrée X
et
son mot
d
e
contour
est
v
=
010121232303.
(c)
La tuile
décomposable dont
le
mot de
contour est
cp A,B(v)
n'est pas invariante
xi
par rotation
p2de 180 degrés.
.
.
.
.
. . . . .
.
. .
.
.
. . .
.
.
. .
.
.
.
36
2.5
P
avages
de la tuile de Fibonacci duale d'ordre
1. . . . . .70
2.6
P
avages
de
la tuile de Fibonacci duale d
'
ordre 2. .
.
.
.
.
. .
.
. .
. .
.
71
2.7 Thiles de Fibonacci duales d'ordre n
=0, 1
,
2
,
3
,
4
,
5. . .
. .
.
.
.
.
.
.
.
82
2.8 Thiles de Fibonacci d'ordre n
= 0, 1, 2, 3, 4, 5. .
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
82
3.1
Graphe du nombre de palindromes de mots représentatifs des quatres
classes de
comp
lexit
é
palindromique. .
.
. .
. .
. .
. . .
. .
. .
134
3.2 Proportion de mots pleins parmi l
es
mots d'une lon
gueur
donnée
sur
un
alphabet
à
2, 3
,
4 ou 5 lettres.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
.
. .
. . .
. .
. .
.
. .
.
138
3.3 Graphe des 23 palindromes
apparaissant
dans
l
e
langage
L
17de la
sub
-stitution ()
:
a
f-tabb
,
b
f-tba. Une flèche relie
l
es
palindromes
paux
palindromes
exp ex.
. . .
.
.
.
.
.
3.4 Graphe des 9 palindromes apparaissant dans le mot infini périodique
146
(
aababb
)w.
Une flèche
r
e
li
e
les palindromes p
aux
palindromes
apex. . . .
152
3.5 Graphe de Rauzy du langage
des
mots
sur
l
'a
lph
abet
{a
,
b}
de longueur
11 de complexité palindromique minimale.
.
.
.
.
.
. .
.
. . . .
.
. . . .
155
xii
4.2 On obtient
l
e
mot de
Chr
i
stoffel
w
0de pente 11
/
15
en
inversant
l
'
algo-rithme
d
'
Euclide
et associant
à chaque
matrice une
subtitut
ion
sur
l
'
a
l-phabet
{a,
b}
.
Les
subst
itution
s sont app
liqu
ées sur
l
e
mot initial
w 4 =a. 162
4.3
Illustration 2D d
e
l
'
équiva
l
e
nce
e
ntr
e
l
a
droite d
'
Andres
et
un mot de
billard.
.
. .
.
. .
.
. .
. .
.
. .
. . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
17 4
4.4
Complexité
en
facteurs du
préfixe
pde
lon
gue
ur
10000 du mot
w1.175
4
.
5
La droite discrète
codée
par le
mot
de Tribonacci.
178
4.6 Discrépance pour
l
es tr
ipl
ets
d
'
entiers strictement
positifs
(al
,
a2, a3)
t
e
l
s
que a1
+
a2
+
a3
=N et N
=20
pour
l
'
a
l
gorithme Poincaré.
. . .194
4
.
7 Discrépance pour
l
es
triplets d
'
entiers strictement
positifs
( a1,
a2,
a3)
tels
que a1
+
a2
+
a3
=
N
et N
=
100
pour l
'
algor
it
hme Brun.
. . . . . . .194
4.8 Discrépance pour les triplets d'entiers
strictement
positifs
( a1
,
a2
,
a3)
te
l
s
que a1
+
a2
+
a3
=Net
N
=100 pour l'algorithme
Selmer. . . . .195
4
.
9
Discrépance pour les
tr
ipl
ets
d
'
entiers str
i
ctement
positifs
(al,
a2
,
a3)
te
l
s
que
a1
+
a2
+
a3
=
N
et N
= 100 pour
l
'a
l
gorithme Fully
subtractive.195
4.
10
Discrép
a
nce
pour les
triplets
d
'
entiers strictement
positifs
(al
,
a
2
, a3)
te
l
s
qu
e
a 1
+
a
2
+
a
3
=
N et N
= 100 pour
l
'a
l
gorithme Poincaré.
. . . . .196
4.11
Discrépance pour les
tr
ipl
ets
d
'
entiers strictement
positifs
(al
,
a2
,
a3)
tels
que a 1
+
a
2
+
a
3
=
N
et
N
=
100
pour l
'
a
l
gorithme
Arnoux-Rauzy.Cet a
l
gor
i
thme
n
'e
s
t
d
é
fini
q
u
e
p
o
ur l
es vecte
ur
s
don
t
l
a va
l
e
ur
max
im
a
l
e
es
t plu
s
gr
a
nde que
l
a s
omme d
es
d
e
ux autr
e
s pour toutes
les itérations
d
e
la
fonction
TAR· . . . . . . .196
4.12
Discrépanc
e
pour
l
es trip
l
ets
d
'
entiers str
i
ct
e
ment positifs
(al
,
a2
,
a
3
)
te
l
s
que a1
+
a2
+
a
3
=
N et N
=
100 pour
l
'
algorithme
Arnoux-Rauzy-Selmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197
xiii
4.13
Discr
é
p
a
n
ce
pour l
es
tripl
ets
d
'ent
i
e
rs
strictement positifs
(al, a2,a3)
tels
que
a1+
a2
+a3
=Net N
=
100 pour l
'algorithme
Arnoux-Rauzy-Brun
.
197
4.14
Discr
é
p
a
nc
e
pour l
es
triplets d'entiers strictement positifs
(
a1, a2, a3)tels
que
a1+
a2+
a3
=
Net
N=
100
pour
l
'a
l
gor
ithm
e
Arnoux-Rauzy-Fully
subtractive
.
. . .
.
.
. .
. .
. .
. .
.
.
.
. .
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
19
8
4.15
Discr
é
pan
ce
pour l
es
trip
l
ets d
'e
nti
e
r
s str
i
ctement positifs
(
a
1 ,a
2,a3 )
tels
que
a1+
a2+
a3
=
Ne
t
N=
100
pour
l
'a
l
gor
ithm
e
Arnoux-Rauzy-Poincaré.
.
.
.
. . . . .
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
. . . .
19
8
4.16 La
valeur d'équilibre
p
e
ut
s
ubir un
e aug
m
e
ntation a
rbitr
a
i
re
m
ent g
r
a
nd
e
par
une
a
pplication d
e
l
a s
ub
st
itution d
e
Poinc
a
r
é.
Sur
l
'
im
age,
l
a va
l
e
ur
d
'é
quilibr
e
p
asse
d
e 2B
à
3B.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
.
. . . .
.
.
.
. .
.
. .
226
4
.17
Pr
é
im
ages
d
'ord
re 0
et
d'ordre
1 d
e
l
a
fonction de
P
oi
n
caré
Tp.
4
.
18 Pr
é
ima
ges
d'ordr
e 2
d
e
l
a
fon
ct
ion d
e
P
o
in
caré
Tp
.
4.19
Pr
é
im
ages
d
'o
rdre
3
d
e
l
a fonction
d
e
P
o
in
ca
r
é
Tp.
227
228
229
LISTE DES TABLEAUX
Tableau
2
.1
Chemins Eo(
[
qn
]
) et
Eo(
[
tn
]
)
pour
0
:::;
n:::;
8 ..
2
.
2 Chemins Eo(
[
qn
]
)
et
Eo(
Ct
n
J
)
pour
9:::;
n:::;
11
.
2.3 Chemins Eo(
[
qn
]
) et
Eo(
Ct
n
J
)
pour
12
:::;
n:::;
14
.
2.4
L
es vecte
ur
s
des
chem
in
s
Eo(
[
qn
J
)
et
Eo(
Ct
n
J
)
pour
n<
1
8.
3.
1 L
es
quatre classes de
comp
lex
it
é
palindromique.
. . .
. .
. . .
Page
75
76
77
78
133
3.2 Nombre de mots
pl
e
in
s s
ur un
alp
h
abet
de 2, 3, 4 ou
5
l
e
ttr
es se
lon l
a
lon
g
u
e
ur
n. .
.
.
.
. .
. . .
.
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
136
3.3 Nombre
d
e
morphismes primitifs pro
l
ongeables
s
ur l
a
l
ett
r
e a te
l
s
que
I'P(
ab)
1
:::;
11
générant
des points fixes
se trouvant
dans
chacune des
quatre
classes de
comp
l
ex
i
té
palindromique. Bien qu'il
existe
des points fixes de
morphisme
sur
un a
lp
habet à deux
l
ettres
dont
l
e
défaut
est
fini non nul,
aucun
n'est
te
l
que
i<p(ab)i:::;
11
, d'où
le
0
dans
l
e tableau.
.
.
. .
.
.
. .
143
3.5 Justifications
que
apaf/:
La pour
tous
l
es pa
li
ndromes
p EP23
te
l
s q
u
e
apa
f/:
P23où
l
a substitution considérée est
cr: a
1--tabb
,
b
1--tba.
. . . .
.
147
3.6 Nombre
de
mots sur l'alphabet
à
deux
,
trois ou quatre
lettres
possédant
un
nombre minimal de palindromes. . .
. . .
.
.
.
. .
.
4.1
Complex
i
té en facteurs
du mot
(abacabaacbaabacaba)w.
150
xvi
4.2 Complexité en facteurs
du préfixe
pde
longueur 10000 du mot
w
1.Les
valeurs d
e
1L
n
(p)
1sont inférieures à
n 2+
n+
1 à
partir de n
=14
car le
préfixe
p de
longueur 10000 n
'est p
as assez
long
pour
contenir
t
ous
les
fact
eurs.
. . .
.
. . .
.
.
.
. .
.
. .
. . .
.
. .
.
. . .
.
.
. .
.
.
.
. .
175
4.3 Matrices canonique
s
et substitutions associées
à
chaque algorithme. .
182
4.4 Statistiques
pour la
discrépance
pour les triplet
s
d'entier
s strictement
RÉSUMÉ
Cette thèse,
co
nstituée
d'une série
d
'a
rticl
es, co
n
s
id
ère
des
qu
est
ion
s
i
ss
u
es
de
l
a géo
m
ét
ri
e
discrète en
les traitant
du
poin
t
de vue de
l
a co
mbin
atoi
r
e
des
mo
ts
qui
s'avère
un
outil
puissant
et approprié
pour l
es
r
éso
udr
e. No
u
s
utili
so
n
s
l
es
mots
so
it
pour
représenter
un ch
e
min dans
7!}
ou
Z
3 ,soit
pour
coder
l
a s
uit
e
d
es
virages
d
'
un
chemin ou
l
e
contour
d'une figure discr
ète
f
ermée
. P
ar
mi l
es
thèmes abordés, on
co
mpt
e
l
es
p
avages
du plan par polyominos
,
l
a
notion
d
e com
pl
ex
it
é e
n f
ac
t
e
ur
s
p
a
lindrom
es et
l
a gé
n
é
r
at
ion d
e
droites
discrèt
es
3D.
La pr
e
mi
è
r
e
partie
concerne
le
s
p
avages
du
pl
a
n
où
nous
ét
udion
s
l
e
nombr
e
d
e
pavages
r
ég
uli
e
r
s
du plan par un
e
tuile
ca
rr
ée, c
'
est
-
à
-dire
un
e
tuile ayant
qu
atre
tuiles
ad
ja
ce
nt
es
identiques.
Il
s'avère
qu
e
certaines tuiles
carrées
pavent
l
e
pl
a
n
de
d
e
ux
fa-çons distinctes
et
elles sont appelées doubles
carrées.
Nous démontrons
d
'a
bord qu
'
il
y a
a
u plus d
e
u
x
tels pavages
réguli
e
rs p
a
r un
e t
uil
e ca
rr
ée.
En
s
uit
e,
nous considérons
d
eux
familles
p
art
i
c
uli
è
r
es
d
e
tuiles
doubl
es ca
rr
ées :
l
es t
uil
es
de Christoffel et l
es
tuiles de
Fibon
acc
i
.
Ces deux
famille
s
d
écr
iv
e
nt l
es
pl
u
s
p
et
i
ts exemp
l
es
de
tu
il
es
doubl
es ca
rr
ées
et
p
e
uv
ent êt
r
e
d
é
fini
es à
partir d
es
mot
s
de
Ch
ri
stoffe
l
et
du
mot
de
Fibonacci par
des
r
èg
l
es
d
e
substitution et
d
e
concaténation.
L
es
tuiles de
Fibon
acc
i d
éfi
ni
sse
nt
aussi
un
e
fractale, obtenue
par un
chemin
a
uto-
év
it
a
nt
,
dont
nou
s avo
n
s calc
ul
é
plu
s
ieurs
stat
is-tiqu
es,
comme
l
e
r
a
pport de l
'a
ir
e
d
e
l
a
fr
actale s
ur l
'a
ir
e
de
so
n
enve
lopp
e
convexe.
D
a
ns l
'a
rticl
e s
uivant, nous démontrons qu
e
tout
doubl
e
carré
ind
éco
mposabl
e est
in-variant sous
une rotation de 180 d
eg
r
és.
Cette
propri
été géomé
triqu
e
est équivalente
a
u
fait que
l
e
mot
de
contour
d
e
la
tuile
se
f
acto
ri
se e
n un
produit de palindromes.
Notr
e
pr
e
uv
e
r
epose s
ur un
e
m
é
thode d
e
génération
ex
h
a
u
st
iv
e
des tuiles
d
o
ubles
carrées.
L
a
deuxième
p
a
r
t
i
e
concerne
l
a co
mpl
exité
p
a
lindromiqu
e
- l
e
nombr
e
d
e
f
acte
ur
s
palindromes
di
st
in
cts
-
,
un
s
uj
et
propr
e
à
l
a combinato
ir
e
des mots. Nous
y co
n
s
id
érons
quatre classes
d
e
complexité
p
a
lindromiqu
e
qui découlent naturellement
d
e
l
a
notion
d
e
défaut. Nous
ca
ractérisons not
a
mm
e
nt l
es
mot
s
de
com
pl
ex
it
é
palindromiqu
e
mini
-male sur
un
a
lph
abet
à
d
e
ux l
et
tr
es et
nou
s
démontrons que
l
es
mots
infini
s
obtenus
p
a
r
co
d
age
de rotations
sur
d
e
ux int
e
rv
a
ll
es atte
i
gne
nt l
a co
mpl
ex
ité p
a
lindromiqu
e
maximale.
D
a
n
s
une
tro
i
siè
m
e
partie, nous
proposons
une méthode basée sur des algorithmes
de
fractions continues
multidimensionnelles pour
l
a génération
de droite
dis
crètes 3
D
6
-connexes. Les expér
im
entations
illustrent
que
la complexité
en
facteurs des mots
ainsi gé
-n
é
r
és se
r
a
it lin
éa
ire.
Cela se compare avantageusement
a
u
x a
utr
es
d
éfi
nition
s
de droites
discrètes 3D 6-connexes
dont la
comp
l
exité
en facteurs est
quadr
atique.
L
es a
rticl
es co
ntenu
s
d
a
n
s
l
a t
h
èse so
nt
é
num
érés
ci-bas.
xviii
Articles sur la
structure des
pavages
par
un polyomino
:
-
A.
Blondin
Massé, S.
Brlek and
S.
Labbé,
A parallelogram
tile fills the plane
by translation
in at
most
two
distinct ways
, Discrete Applied
Mathematics
160
(2012)
1011-
1018.
doi: 10.
1016/ j . dam
.
2011
.
12
.
023
-
A.
Blondin
Massé
,
S.
Brlek,
A. Garon
and
S.
Labbé,
Two
infinite
families of
polyominoes that t
ile the
plane by
t
rans
lation
in
two
distinct
ways
, Theoret.
Comput
. Sei. 412
(2011)
4778-4786.
doi: 10.
1016/j. tes
.
2010
.12
.
034
-
A
. B
londi
n
Massé, S.
Brlek,
S.
Labbé and
M.
Mendès
France,
Fibonacci snow
-flakes,
Ann.
Sei. Math.
Québec
35
(2011)
, no
2,
141-152.
-
A.
Blondin
Massé
,
A
.
Garon
and
S.
Labbé,
Combinatorial properties of double
square
tiles
, Theoretical
Computer
Science
(2012),
accepté.
Un
article sur
la
complexité
pal
indromique :
-
A
. Blondin
Massé, S.
Brlek
,
S.
Labbé and L.
Vuillon
, Palindromic complexity
of
codings
of
rotations,
Theoret.
Comput. Sei. 412
(2011
)
6455-6463.
doi:1
0
.
1
016/j.tcs.2011
.
08
.
007
Deux
articles
de conférences sur les
droites discrètes 3D :
-
V. Berthé, et
S.
Labbé
.
An
arit
hmet
ic and combinatorial
approach
to
three-dimensional discrete lines.
Dans
Proceedings of the
16th IAPR international
conference on Discrete geometry
for
computer imagery, 47-
58.
DGCI'
11
. Berlin
,
Heidelber
g :
Springer-Verlag
,
2011.
-
V.
Berthé and
S
. Labbé,
Uniformly balanced words
with linear complexity and
prescribed letter
frequencies
, In Petr
Ambroz
, Stepan Holub and Zuzana
Masa-kova
:
Proceedings 8th International
Conference Words 2011
(WORDS
2011)
,
Prague,
Czech
Republic,
12-16th
September 2011, El
ectronic
Proceedings
in
Theoretical
Computer Science 63
, pp. 44-
52
.
Mots-clés
: combinatoire
des
mots ; géométrie
discrète
;
pavage
;
polyomino
;
com-plexité palindromique
;
droite discrète;
algorithme
de fractions
continues
multidimen-sionnelles.
INTRODUCTIO
N
La
représentation d
'obj
et
s sous
forme
de suite
de symboles est naturell
e
et
largement
présente dans la
litt
érature scientifique. La
l
angue écrite et l
'éc
ritur
e
des
nombres dans
une base sont
sans
doute
l
es premiers
pas dans cette lignée.
Les séquences
biologiques
t
e
ll
es l'ADN et les
protéines
sont
des exemples
plus contemporains. Les
origines
de
l
a combinatoire
des mots aux 19
e
et 20
e
siècles
ont été examinées en dét
ails dans
un
art
icle
de Bers
t
el
et
Perrin
en 2007
(Bers
t
e
l
et
Perrin
,
2007).
Les ouvrages
de
M. Lo
-thaire
(Lothaire,
2002
;
Lothaire,
2005
) et
de
Pytheas
Fogg (Fogg, 2002
)
illustr
ent
l
es
aspect
s a
l
gébriques de
l
a combinatoire des
mot
s et
ses applications dans divers domaines
dont les algorithmes
de recherche de motifs dans
un text
e qui
sont possibles
grâce
à
l
a
représentation de données
dans un
l
angage
inform
atique.
Un
a
utre domaine
d
'a
pplication de
l
a combinatoire
des
mots est
l
a géométrie discrète
et c'est dans
ce cadre
que se situe cette t
hèse de
doctorat
.
La
r
e
l
ation
entre ces
deux
domaines est bien connue et
un
lien classique entre eux est certainement le codage
d'un
chemin dans
71}, a
ussi
appe
l
é codage
de Freeman
(Freeman
,
1961
;
Freeman
,
1970
),
par
un mot sur un alphabet
A
= {0
,
1
, 2
,
3} où chaque let
t
r
e
a
EA
est associée
à un vecteur
de
'Z}.Le fait qu
'
un chemin dans 71} soit
la
discrétisation d
'un
e
droite
e
uclidienne est
équivalent à des condit
ions sur le nombre de facteurs (sous
-mot
s de lettres
consécutives)
dans le mot
associé. Cet
te équiva
l
ence
démontrée
par Morse et
Hedlund en 1940 a créé
un p
ont entre
la t
héorie des
nombres et
l
a combinat
oir
e
(Figure
0
.
1).
La combinatoir
e des
mots est ut
ile a
ussi dans
la
description
et l
'ét
ude des
figures
dis-crètes appelées
p
o
l
yominos,
sous-
e
nsembles
4-connexes
et
sans tr
ou
de
'Z}(Figure 0
.2).
Il
s'ag
it de considérer l
e
bord du pol
yomino,
un
c
h
em
in fermé,
et
de
l
e
représenter par
un mot de A*
appe
lé mot de contour.
À part
ir du mot de cont
our
,
on peut calculer
(La-casse, 2008
;
Brlek
,
Labelle et Lacasse, 2005a;
Brlek
,
Labelle et Lacasse,
2006)
plusieurs
2 ' t,....-' y !,...-' ...
.-1,/ ... !,...-' c1;v'2 = aabaabaaabaabaaabaa · · ·Figure 0.1
Correspondance entre
l
a
discréti
sat
i
o
n
d'une
droit
e e
uclidi
e
nne
et les
mots
sturmi
e
n
s
d
é
fini
s combinatoirement co
mme
les
mots
pos
sé
dant
exactement n+
1 fact
e
ur
s
de
longueur
n
.
statistiques
du polyomino
,
dont
l'aire,
le
moment d'in
e
rtie
, les
proj
ections
horizontal
es
et
vertical
es, so
n
centre
d
e masse.
Un
autre
probl
ème en géométrie
discr
è
te
est
de dét
e
r-...
Figure 0.2
Qu
elques exemples de
pol
yo
mino
s.
miner
s
i un
e
fi
g
ure discr
ète est co
nv
exe (l'a
d
a
pt
atio
n
de cette
notion
a
u monde dis
c
r
et
n'est
p
as
triviale).
(Brlek
,
L
acha
ud
et
Prov
e
n
çal, 2008;
Brlek
et
a
l.
, 2009) ont
propo
sé
un
algo
ri
t
hm
e
r
a
pid
e
et optimal
p
o
ur d
étecte
r
la co
nv
ex
it
é
d
'
un p
olyo
mino
codé
p
a
r
son
mot d
e co
n
to
ur.
La
m
ét
hod
e est
ba
sée s
ur
la
f
acto
ris
at
ion d
e Lyndon et
la
r
eco
n-nais
sa
nc
e
de
f
acte
ur
s
sturmiens. En
évitant
l
es calcu
l
s ar
ithm
étiq
u
es,
l
'algorithme
est
conceptuellement
plus
simple que
les
m
ét
hod
es con
nue
s
(Debled-Rennesson,
Rémy et
Rouy
e
r
-
D
eg
li
, 2003), et
plu
s rapide
e'
n pratiqu
e
.
Dans ce t
exte,
nous mont
rons
que
la
combinatoire
des
mots
peut
encore contribuer
à
la
géométrie
d
i
scrète e
n illu
strant
l
e fait que
certa
in
es
questions
peuvent êt
r
e
r
éso
lu
es
grâce à
des
techn
iqu
es
nouve
ll
es basées sur
l
a combinatoire
des mots
.
Cette
thèse
se
divis
e en trois
parties
:
Stru
ct
ur
e
d
es
pavage
s
p
ar
un
polyomino,
Compl
ex
it
é palindromique,
3
-
Droites discrètes 3D.
Structure des pavages par un polyomino
Un
pavage
est
une partition d
'
un espace par un ensemble fini d
'é
léments appelés
tuiles.
Un
pavage par translation
est
un pavage où deux
copies
d
e
la m
ê
me tuile
so
nt
isomé-triques par translation. Dans la
suite,
on
considère
l
e
pavage du plan par des tuiles
polygonales. Le
problème du domino ou problème du pavage, consistant
à
déterminer
si un
ensemble
de tuiles peut paver le plan,
est
indécidabl
e
(Berger,
1966)
.
Berger r
é
-pondait ainsi
à
la question de
son
professeur Rao Wang qui
avait conjecturé en
1961
l
'existence
d'un a
lgorithm
e pouvant répondre
à cette question. Pour
y arriver,
il
avait
réduit le problème du pavage au problèm
e
de l
'
arrêt
d
'
une machin
e
de Turing
connu
comme étant
indécidable.
Il
avait aussi
démontr
é
l
'ex
ist
e
nce d
'
un
ensemble
de 20426
tuiles de Wang (et plus tard d'un
ensemble
de 104 tuiles) qui pav
e
nt uniquement de
façon apériodique. Ce nombre a
été
r
éduit par la suite
par Penrose puis
a été
réduit
à
14 par (Kari
,
1996
) et à
13
,
le minimum connu,
l
'a
nnée suivante
(Culik et
Kari
,
1997
).
P
endant ce
temps
,
(Go
lomb
, 1970)
a
démontré que le problème du pavage du plan par
des
cop
i
es
d
'
un ensemble fini de polyominos
était
é
quival
e
nt
au
problème du domino
(donc aussi indécidable) en assoc
i
ant
des ensemb
l
es
de tuiles de Wang
à
des
ensembles
de polyominos (voir Figure 0.3). Malgré tout
,
il existe
un
algorithme
qui détermin
e
si
4
un polyomino pave le plan par trans
lat
ion
(Wijshoff
et
Van Leeuwen,
1984,
Théorème
6.1).
Hélas, si les
rotations
et
les symétries sont
autorisées
,
on
ne sait
pas
si
le problème
du pavage
par un polyomino
est
décidable
(Keating
et
Vince,
1999;
Rhoads
,
2005).
Pour qu'un polyomino
pave
le plan
.
(rotat
ions
et
réflexions
permises),
une condition
suffisante est
donnée
par le critère
de Conway
(Schattschneider
,
1980; Rhoads,
2005)
:
la
frontière
du
polyomino doit
être
composée
de deux
ou trois paires
de
côtés
qui
s'en-castrent. Par la
suite
,
(Beauquier
et Nivat,
1990
;
Beauquier
et
T
ivat,
1991b)
ont
dé-montré que
cette
condition
était aussi
nécessaire pour les pavages
par
translation
.
Plus
précisément,
ils ont
énoncé qu
'
un
polyomino
P
pave le plan
par translation
si et
seule-ment
si
le
mot
de contour d
e
Pse
factorise en
XY ZXY
Z
où
au plus
un des
mots X
, Y~
![Tableau 2.1 Chemins Eo ( [ qn ] ) et Eo ( [tn ] ) pour 0 ::; n ::; 8.](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/3392678.98274/93.902.19.871.74.1040/tableau-chemins-eo-qn-eo-tn.webp)
