Compression d'impulsions d'électrons à l'aide d'impulsions laser térahertz ultrabrèves et fortement focalisées

Compression d'impulsions d'électrons à l'aide

d'impulsions laser térahertz ultrabrèves et fortement

focalisées

Mémoire

Simon Robitaille

Maîtrise en physique - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

Compression d’impulsions d’électrons à l’aide

d’impulsions laser térahertz ultrabrèves et fortement

focalisées

Mémoire

Simon Robitaille

Sous la direction de:

R´

esum´

e

Il est possible d’acc´el´erer des ´electrons par champ direct avec une impulsion laser intense de quelques cycles optiques et de polarisation radiale. Cette m´ethode peut g´en´erer des impulsions d’´electrons convenables pour de la diffraction ´electronique ultrarapide. Les impulsions ´ electro-niques ainsi g´en´er´ees vont toutefois s’´etirer en se propageant vers une cible dˆu `a la diff´erence d’´energie entre les ´electrons d’une mˆeme impulsion et `a la r´epulsion coulombienne. Afin de comprimer ces impulsions d’´electrons, nous proposons d’utiliser des impulsions laser t´erahertz intenses. En effet, le puissant champ ´electromagn´etique des impulsions laser t´erahertz peut acc´el´erer les ´electrons `a l’arri`ere du paquet ou ralentir ceux `a l’avant. Le pr´esent m´emoire de maˆıtrise explore la possibilit´e de comprimer des impulsions d’´electrons en utilisant des ondes t´erahertz lin´eairement polaris´ees (dans le mode LP01). Des simulations num´eriques ont ´et´e r´ealis´ees afin d’´etudier ce sch´ema de compression. Les r´esultats montrent entre autres qu’il est possible de comprimer une impulsion ´electronique de 400 fs `a 150 fs avec un gain net en ´ ener-gie. Cependant, les amplitudes de champ ´electrique n´ecessaires sont de l’ordre du GV/m (109 V/m), ce qui est un d´efi pour la technologie actuelle. Des champs ´electriques moins importants peuvent toutefois ˆetre utilis´es pour comprimer des paquets d’´electrons mono´energ´etiques. Les impulsions ´electroniques peuvent ainsi subir une compression de 350 fs `a 20 fs. Ce sch´ema pourrait ˆetre une alternative aux cavit´es radiofr´equences souvent utilis´ees pour comprimer des impulsions ´electroniques.

Abstract

Electrons can be directly accelerated by the longitudinal electric field component of an intense, few-cycle, radially-polarized laser pulse. It has been predicted that the method can be used to produce electron pulses suitable for ultrafast electron diffraction. However, after acceleration, electron pulses broaden as they travel up to a target due to energy dispersion and space charge effects. In ordre to achieve the compression of electron pulses, one can use intense terahertz laser pulses. In fact, the intense electromagnetic fields of terahertz laser pulses may accelerate the electrons trailing at the end of electron pulses or decelerate the electrons at the front. The present master’s thesis investigate the possibility of compressing electron pulses using linearly polarized terahertz waves (LP01mode). Numerical simulations have been made to explore this compression scheme. Some results show that a 400 fs electron pulse can be compressed to 150 fs with a net energy gain. However the required electric field amplitude must be in the GV/m scale (109 _{V/m), which is a challenge for actual technology. Lower} electric field amplitude can be used to compress monoenergetic electron pulses. Thereby, electron pulses can be compressed from 350 fs to 20 fs. This approach may be an alternative to the radiofrequency cavity scheme often used for electron pulse compression.

Table des mati`

eres

R´esum´e iii

Abstract iv

Table des mati`eres v

Liste des tableaux vi

Liste des figures vii

Remerciements xi

Introduction 1

1 Diffraction ´electronique ultrarapide et acc´el´eration d’´electrons par laser 3

1.1 Diffraction ´electronique ultrarapide (UED). . . 3

1.2 Acc´el´eration d’´electrons par laser . . . 7

1.3 Solutions exactes de faisceaux laser . . . 9

1.4 Compression d’impulsions d’´electrons. . . 22

2 Compression d’impulsions d’´electrons avec des impulsions THz 27 2.1 Caract´eristiques des impulsions THz . . . 27

2.2 G´en´eration de paquets d’´electrons . . . 29

2.3 Propagation d’´electrons dans le vide . . . 32

2.4 Sch´ema de compression . . . 33

2.5 Algorithmes de simulations . . . 35

3 Simulations num´eriques 41 3.1 R´esultats pour des impulsions d’´electrons g´en´er´ees par un canon `a ´electrons 41 3.2 R´esultats pour des impulsions d’´electrons g´en´er´ees par champ direct . . . . 53

3.3 R´esultats pour des impulsions d’´electrons mono´energ´etiques . . . 59

3.4 Discussion des r´esultats . . . 64

Conclusion 69

A Champ ´electromagn´etique d’une impulsion LP01 isodiffractante 71

Liste des tableaux

1.1 Vecteurs de Hertz ´electrique et magn´etique pour diff´erents faisceaux . . . 14

1.2 Fonctions associ´ees de Legendre . . . 16

1.3 Quelques phaseurs des modes de Laguerre-Gauss ´el´egants non-paraxiaux . . . . 17

1.4 D´eriv´ees utiles des phaseurs de Laguerre-Gauss . . . 18

1.5 Composantes des champs ´electromagn´etiques des impulsions TM, TE et LP . . 21

3.1 Distribution initiale de l’impulsion d’´electrons de 45 keV et d’une dur´ee de 400

fs. . . 42

3.2 Distribution des ´electrons `a la dur´ee minimale pour le cas A= 11,81 GV/m de

la figure 3.3.. . . 44

3.3 Distribution initiale de l’impulsion d’´electrons de 236 keV et d’une dur´ee de 2 fs. 54

3.4 Caract´eristiques de l’impulsion d’´electrons de la figure 3.20 (s = 3) apr`es 30 ps

de propagation . . . 58

3.5 Caract´eristiques de l’impulsion d’´electrons de la figure 3.21 (A = 500 MV/m)

Liste des figures

1.1 Spectre de Poisson pour diff´erentes valeurs de s. . . 19

1.2 Profil temporel d’une impulsion d´efinie par le spectre de Poisson pour diff´erentes valeurs de s.. . . 20

2.1 Distribution selon son axe de propagation d’un paquet d’´electrons g´en´er´es apr`es l’interaction d’une impulsions laser de polarisation radiale fortement focalis´ee (P = 300 GW, k0a = 20, s = 70 et λ0 = 800 nm) avec un nuage d’´electrons, sans effets de charge. [63] . . . 30

2.2 Distribution selon la dimension transversale du paquet d’´electrons de la figure 2.1 [63] . . . 31

2.3 Distribution en ´energie des ´electrons de la figure 2.1 [63] . . . 31

2.4 Dispersion d’impulsions d’´electrons en terme de largeur . . . 33

2.5 Dispersion d’impulsions d’´electrons en terme de dur´ee . . . 33

2.6 Sch´ema de compression avec une onde stationnaire t´erahertz . . . 34

3.1 Arriv´ee des ondes sur l’axe de propagation du paquet d’´electrons `a t = 11,8 ps (y = 0). . . 43

3.2 Amplitude du champ ´electrique des ondes THz sur l’axe de propagation du paquet d’´electrons `a t = 11,8 ps (y = 0, z = 0). . . 43

3.3 Compression d’une impulsion de 300 ´electrons de 45 keV et d’une dur´ee initiale de 400 fs par des ondes THz (f = 1 THz, s = 10, k0a = 1, t0 = 11,75 ps). . . . 44

3.4 Vitesses des ´electrons du paquet en fonction de leurs positions. . . 45

3.5 Vitesses de deux ´electrons aux extr´emit´es d’un paquet de 400 fs et de 45 keV. . 46

3.6 Effet de la phase φ des ondes THz sur la compression du paquet d’´electrons.. . 47

3.7 Effet de la position x0 des ondes THz sur la compression du paquet d’´electrons. 48 3.8 Effet du nombre d’´electrons sur la compression du paquet d’´electrons. . . 49

3.9 Effet du param`etre s sur la compression du paquet d’´electrons. . . 50

3.10 Effet du param`etre s sur le profil du champ ´electrique Ex. . . 51

3.11 Effet du param`etre k0a sur la forme du champ `a l’´etranglement (y = 0, z = 0 ). 52 3.12 Effet du param`etre k0a sur la compression du paquet d’´electrons. . . 52

3.13 Compressions d’une impulsion de 300 ´electrons de 45 keV et d’une dur´ee initiale de 400 fs par des ondes THz (f = 300 GHz, s = 1, k0a = 1, t0 = 11,75 ps).. . . 53

3.14 Compression d’une impulsion de 300 ´electrons d’une dur´ee initiale de 2 fs et d’une ´energie de 236 keV par des ondes t´erahertz fortement focalis´ees (f = 1 THz). . . 54

3.15 Compression d’une impulsion de 300 ´electrons d’une dur´ee initiale de 2 fs et d’une ´energie de 236 keV par des ondes t´erahertz fortement focalis´ees (f = 0, 3

THz). . . 55

3.16 Vitesses des ´electrons du paquet en fonction de leur positions, pour un paquet

d’´electrons d’une dur´ee initiale de 2 fs et de 236 keV d’´energie. . . 55

3.17 Compression d’une impulsion de 300 ´electrons d’une dur´ee initiale de 2 fs et d’une ´energie de 236 keV par des ondes t´erahertz fortement focalis´ees (f = 0,3

THz) pour diff´erentes phases φ. . . 56

3.18 Compression d’une impulsion de 300 ´electrons d’une dur´ee initiale de 2 fs et d’une ´energie de 236 keV par des ondes t´erahertz fortement focalis´ees (f = 0,3

THz) pour diff´erentes valeurs de x0. . . 57

3.19 Compression d’une impulsion de 300 ´electrons d’une dur´ee initiale de 2 fs et d’une ´energie de 236 keV par des ondes t´erahertz fortement focalis´ees (f = 0,3

THz) pour diff´erentes valeurs de k0a. . . 57

3.20 Compression d’une impulsion de 300 ´electrons d’une dur´ee initiale de 2 fs et d’une ´energie de 236 keV par des ondes t´erahertz fortement focalis´ees (f = 0,3

THz) pour diff´erentes valeurs de s. . . 59

3.21 Compression d’une impulsion de 300 ´electrons d’une dur´ee initiale de 350 fs (ayant une distribution en ´energie centr´ee `a 38 keV avec une largeur de 5 eV)

par des ondes t´erahertz fortement focalis´ees (f = 1 THz). . . 60

3.22 Effets du param`etre k0a sur la compression d’une impulsion ´electronique

mo-no´energ´etique . . . 61

3.23 Effets du param`etre s sur la compression d’une impulsion ´electronique mono-´

energ´etique . . . 61

3.24 Effets de la phase φ des ondes THz sur la compression d’une impulsion ´

electro-nique mono´energ´etique . . . 62

3.25 Agrandissement de la figure 3.24 . . . 62

3.26 Effets de la largeur de la distribution d’´energie sur la compression d’une

impul-sion ´electronique . . . 63

3.27 Compression d’un paquet d’´electrons ayant une dispersion en ´energie de 500 eV. 64

3.28 Effets du nombre d’´electrons par impulsion pour une distribution mono´energ´

e-tique . . . 65

3.29 Comparaison entre les champs ´electriques Ex au centre de l’impulsion `a la

`

Les amours, les travaux, mˆeme le chant d’un oiseau, ton coeur, mes mots, font tourner le monde.

Remerciements

Ce travail n’aurait pu ˆetre r´ealis´e sans la pr´esence de nombreuses personnes. Je tiens d’abord `

a remercier mon directeur de recherche, le Prof. Michel Pich´e, qui a accept´e de diriger mes travaux. J’aimerais le remercier pour sa patience, pour la confiance qu’il m’a accord´ee tout au long de ma maˆıtrise, pour son aide et ses r´eflexions lors de mes nombreux moments de ques-tionnement et pour sa compr´ehension par rapport `a mon d´ebut de carri`ere en enseignement en parall`ele `a mes ´etudes. J’aimerais ´egalement remercier les professeurs Julien Beaudoin-Bertrand et Bernd Witzel qui ont accept´e d’´evaluer mon m´emoire.

Merci aux anciens ´etudiants du groupe de recherche de Michel qui m’ont aid´e `a d´emarrer mon projet : Vincent Marceau, Charles Varin et Pascal Hogan-Lamarre. Les nombreuses discussions et les nombreux ´echanges de courriels ont ´et´e indispensables `a ma compr´ehension. Merci aussi `

a Jean-Luc D´eziel pour son aide et ses connaissances en informatique.

Merci `a mes coll`egues et amis de ma cohorte pour leur pr´esence, leur support et les bons moments pass´es en leur compagnie. J’aimerais sp´ecialement remercier Charles Murphy et F´elix Blais pour leurs savoirs, leurs conseils et leurs blagues.

Merci `a mes coll`egues enseignants du C´egep de Ste-Foy pour leurs mots d’encouragement et leurs trucs du m´etier.

Merci `a mes amis et partenaires de jeu de la Ligue Universitaire d’Improvisation, sans qui mon parcours universitaire n’aurait pas ´et´e aussi plaisant, drˆole et festif.

Merci `a Pierre-Luc, Alexis, J´er´emie, Laurence et Marie-Pier pour leur soutien moral au quo-tidien. Merci `a Nicolas, qui serait d´e¸cu que je ne le remercie pas.

Merci finalement `a ma famille : mes parents Christiane et Pierre ainsi que mes fr`eres Fran¸cois et Mathieu pour leur ´ecoute et pour avoir cru en moi.

Introduction

L’acc´el´eration de particules est un domaine important de la physique, n´ecessaire `a divers secteurs, notamment en recherche fondamentale et en m´edecine. Pour pouvoir acc´el´erer des particules `a de tr`es hautes ´energies, les acc´el´erateurs (lin´eaires ou circulaires) doivent ˆetre immenses (de l’ordre de plusieurs kilom`etres). `A titre d’exemples, l’acc´el´erateur lin´eaire de Stanford (SLAC) mesure 3,2 kilom`etres et le Grand collisionneur de hadrons (LHC) de l’Or-ganisation europ´eenne pour la recherche nucl´eaire (CERN) est un acc´el´erateur circulaire dont la circonf´erence mesure 26,7 kilom`etres. Il apparaˆıt ´evident que la construction de structures de ce genre implique des coˆuts importants, en plus de n´ecessiter beaucoup d’espace. De plus petites installations `a faibles coˆuts seraient donc bien accueillies par la communaut´e scien-tifique. C’est exactement ce que permettent les sch´emas d’acc´el´eration par faisceaux laser. Avec des intensit´es de plus en plus ´elev´ees et des impulsions de plus en plus courtes, les lasers ont permis de d´evelopper des techniques d’acc´el´eration de particules pouvant ˆetre r´ealis´ees dans des laboratoires conventionnels de dimensions raisonnables. L’´electron est d’ailleurs la particule qui est particuli`erement ´etudi´ee dans de tels sch´emas.

L’acc´el´eration d’´electrons est `a la base de la microscopie ´electronique et de la diffraction ´

electronique. Ces deux techniques n´ecessitent g´en´eralement des impulsions d’´electrons tr`es courtes, mono´energ´etiques et poss´edant une charge suffisante. Durant ses travaux de doctorat, Charles Varin a montr´e qu’il ´etait possible d’obtenir de telles impulsions d’´electrons `a l’aide d’un sch´ema d’acc´el´eration par laser dans le vide [99]. Pour ce faire, il a utilis´e des impulsions laser de polarisation radiale ultrabr`eves et fortement focalis´ees. Pour un faisceau laser dans le mode TM01, la composante longitudinale du champ ´electrique devient importante et permet d’acc´el´erer des ´electrons `a des ´energies de quelques keV jusqu’`a des ´energies de l’ordre du GeV dans les cas les plus extrˆemes.

Quelques ann´ees plus tard, `a l’aide de ce sch´ema d’acc´el´eration, Vincent Marceau a d´ emon-tr´e dans ses travaux de doctorat qu’il ´etait possible d’obtenir des impulsions ultrabr`eves d’´electrons sous-relativistes, sondes de choix pour des exp´eriences de diffraction ´electronique ultrarapide [62]. Avec une solution exacte sous forme ferm´ee aux ´equations de Maxwell pour d´ecrire le champ ´electromagn´etique de l’impulsion TM01, solution d´evelopp´ee par Alexandre April dans ses travaux de doctorat [5], Vincent Marceau a obtenu des r´esultats montrant la

possibilit´e de g´en´erer des impulsions d’´electrons d’une dur´ee de l’ordre de la femtoseconde ayant une ´energie de quelques centaines de keV.

De telles impulsions ´electroniques ont toutefois tendance `a s’´etirer `a cause de la force de Cou-lomb ainsi que de la distribution de vitesses des ´electrons. Diff´erentes techniques permettent de comprimer des impulsions ´electroniques afin de les propager jusqu’`a un ´echantillon `a obser-ver. Dans ce m´emoire, nous proposons d’utiliser des impulsions laser t´erahertz ultrabr`eves et fortement focalis´ees de polarisation lin´eaire afin de comprimer de telles impulsions d’´electrons. Ce sch´ema de compression pourrait ˆetre une alternative aux autres techniques de compression utilis´ees lors de la propagation d’impulsions ´electroniques.

Nous pr´esenterons d’abord plus en d´etails au chapitre 1 ce en quoi consiste la diffraction ´

electronique ultrarapide ainsi que le sch´ema d’acc´el´eration dans le vide par impulsions laser ultrabr`eves et fortement focalis´ees. Le chapitre 2 pr´esentera ensuite le sch´ema de compression `

a l’aide d’impulsions laser t´erahertz. Le chapitre 3 montrera finalement les divers r´esultats obtenus au moyen de simulations num´eriques.

Chapitre 1

Diffraction ´

electronique ultrarapide

et acc´

el´

eration d’´

electrons par laser

1.1

Diffraction ´

electronique ultrarapide (UED)

L’origine du microscope optique remonte `a la fin du 16e si`ecle en Hollande grˆace `a Zacharias Jansen et son p`ere Hans Jansen. Ceux-ci auraient ´et´e les premiers `a aligner deux lentilles pour constater qu’il y avait un grossissement de l’objet observ´e [87]. Cependant, le microscope fut utilis´e pour la premi`ere fois `a des fins scientifiques par Galil´ee en 1610. Plusieurs avanc´ees technologiques ont par la suite permis d’am´eliorer la qualit´e des microscopes ainsi que leur pouvoir de r´esolution. Le microscope optique a toutefois une limite de r´esolution due `a la diffraction de la lumi`ere. Une source lumineuse ponctuelle observ´ee par un microscope optique donnera donc une tache d’Airy, c’est-`a-dire une image floue caus´ee par le ph´enom`ene de diffraction. Deux sources lumineuses, ou deux objets, seront donc tout juste discernables si leurs taches d’Airy le sont.

La diffraction varie selon l’ouverture num´erique (NA) du microscope et selon la longueur d’onde de la lumi`ere utilis´ee. En n´egligeant les aberrations optiques, la r´esolution d d’un microscope est donn´ee par la formule

d = λ

2NA. (1.1)

Th´eoriquement, la plus grande ouverture num´erique possible pour un microscope optique est NA = 1. En utilisant de courtes longueurs d’onde, on diminue la r´esolution. ´Etant donn´e que la plus petite longueur d’onde de la lumi`ere visible est de λ = 400 nm, la meilleure r´esolution que peut avoir un microscope se situe autour de 200 nm, ce qui correspond `a la taille de plusieurs constituants de cellules biologiques. Pour observer des objets de plus petites tailles tels que des virus ou des mol´ecules, ou en d’autres termes, pour obtenir une r´esolution spatiale `

a l’´echelle interatomique, il faut se tourner vers d’autres techniques comme la diffraction par rayons X ou encore la diffraction ´electronique.

1.1.1 La diffraction par rayons X et la diffraction ´electronique

La d´ecouverte des rayons X par R¨ontgen (prix Nobel de physique, 1901) a ouvert la voie aux premi`eres exp´eriences de diffraction par rayons X en cristallographie. Les travaux de Max von Laue (prix Nobel de physique, 1914) ainsi que ceux de W.H. et W.L. Bragg (prix Nobel de physique, 1915) ont ainsi permis de d´eterminer la structure tridimensionnelle moyenn´ee dans le temps de diff´erents mat´eriaux tels que des sels diatomiques (NaCl), des prot´eines, des virus et ultimement de l’acide d´esoxyribonucl´eique (ADN) en 1953 par Watson et Crick (prix Nobel de m´edecine 1962) [107] [112]. Ces derni`eres structures sont de l’ordre du nanom`etre et ne peuvent ˆetre observ´ees `a l’aide d’un microscope optique.

L’histoire de la diffraction ´electronique s’est d´eroul´ee en parall`ele `a celle de la diffraction par rayons X. Apr`es la d´ecouverte de l’´electron par J. J. Thomson en 1897 et apr`es le postulat de la nature ondulatoire de cette particule en 1924 par de Broglie, plusieurs exp´eriences de diffraction ´electronique ont ´et´e r´ealis´ees. L’exp´erience de Davisson et Germer en 1927 (prix Nobel de physique, 1937), qui consistait `a bombarder un cristal de nickel avec des ´

electrons de 54 eV, a confirm´e le postulat de de Broglie et, par le fait mˆeme, fut la premi`ere exp´erience de diffraction ´electronique par un cristal. Mark et Wierl effectu`erent par la suite la premi`ere exp´erience de diffraction ´electronique avec un gaz [89]. Le domaine de la diffraction ´

electronique s’est d´evelopp´e du point de vue des techniques et applications dans les d´ecennies qui suivirent [35].

La diffraction par rayons X et la diffraction ´electronique permettent d’obtenir une figure de diffraction dans l’espace r´eciproque qui, une fois invers´ee dans l’espace r´eel, permet d’obtenir la structure tridimensionnelle moyenn´ee dans le temps de l’objet d’int´erˆet. Si celle-ci est moyenn´ee dans le temps, c’est parce que les faisceaux de rayons X ou d’´electrons utilis´es interagissent avec l’´echantillon ´etudi´e sur un intervalle de temps beaucoup plus grand que celui sur lequel se d´eplacent les atomes et mol´ecules.

Afin de pouvoir observer des ph´enom`enes tr`es rapides `a l’´echelle atomique, par exemple une r´eaction chimique ou une transition de phase, il faut avoir des impulsions d’´electrons ou de rayons X particuli`erement courtes. En effet, la dur´ee de celles-ci doit ˆetre de l’ordre de l’inter-valle de temps du ph´enom`ene en question. Dans le cas d’une r´eaction chimique, l’´ev´enement le plus rapide `a ´etudier est le bris d’une liaison chimique. Une liaison chimique est dite « bris´ee » lorsque deux masses sont s´epar´ees par le double de la longueur de la liaison `a l’´equilibre. La vitesse des masses lors du bris de liaison peut ˆetre approxim´ee `a la vitesse du son. En prenant une longueur de liaison `a l’´equilibre de 1 ˚A, et une vitesse du son dans des mat´eriaux orga-niques de 105<sub>cm/s, on s’int´eresse au temps que prennent les deux masses pour se d´eplacer de</sub> 1 ˚A, soit 10−13s ou 100 fs [81]. En premi`ere approximation, il faudrait donc des impulsions d’´electrons ou de rayons X tr`es courtes, soit d’une dur´ee d’au maximum 100 fs afin de pou-voir observer des structures tridimensionnelles instantan´ees de mol´ecules. Comme pour une

photo, si le temps d’exposition est trop long, on obtient une image floue avec de l’information moyenn´ee dans le temps. Afin d’obtenir de l’information instantan´ee sur une structure mol´ e-culaire, il est donc primordial d’avoir des impulsions ultrabr`eves. On parle donc de diffraction ultrarapide, ´etant donn´e les tr`es courtes dur´ees des impulsions.

Les ´electrons et les rayons X sont tous deux capables de fournir des d´etails de dynamique mol´eculaire `a l’´echelle atomique avec une bonne r´esolution spatiale. Il y a toutefois des avan-tages `a utiliser des ´electrons plutˆot que des rayons X pour la diffraction ultrarapide. D’abord, les ´electrons poss`edent une section efficace environ un million de fois plus grande que celle des rayons X [95] `a ´energie ´egale. Les ´electrons sont donc des sondes de choix pour analyser des ´echantillons gazeux ou des structures solides tr`es minces [26]. De plus, les ´electrons sont moins dommageables pour l’´echantillon `a l’´etude. L’´energie d´epos´ee par les ´electrons pour chaque collision ´elastique utile est environ mille fois moins grande que pour des rayons X [45] [90]. Ultimement, la diffraction ´electronique ultrarapide peut ˆetre r´ealis´ee dans des labora-toires standards, contrairement aux exp´eriences avec des rayons X. Celles-ci n´ecessitent des installations de plusieurs kilom`etres pour atteindre l’intensit´e requise pour de la diffraction ultrarapide. Les projets European XFEL `a Hambourg en Allemagne et LCLS `a Stanford aux

´

Etats-Unis en sont des exemples.

La difficult´e avec les impulsions d’´electrons est de les propager tout en conservant leurs dur´ees int´eressantes. La dispersion en vitesse ainsi que la r´epulsion que chaque ´electron subit par la loi de Coulomb font en sorte que les impulsions ont tendance `a s’´elargir en se propageant.

1.1.2 La diffraction ´electronique ultrarapide

Les exp´eriences de diffraction ´electronique ultrarapide sont r´ealis´ees `a partir d’un laser femto-seconde qui vient engendrer un ph´enom`ene quelconque dans l’´echantillon (r´eaction chimique, transition de phase, etc.). Ce laser est synchronis´e avec la source d’´electrons, faisant en sorte qu’il est possible de mesurer le d´elai temporel entre le d´ebut du ph´enom`ene initi´e par le laser et le moment o`u l’impulsion d’´electrons sonde l’´echantillon. En r´ep´etant l’exp´erience pour des d´elais temporels diff´erents, il est possible d’obtenir des figures de diffraction pour diff´erents instants, et ainsi voir l’´evolution du ph´enom`ene dans le temps. De cette mani`ere, il est pos-sible de construire un « film mol´eculaire », o`u l’on peut voir, image par image, comment se comporte une mol´ecule sur des intervalles de temps tr`es courts.

Les impulsions d’´electrons utilis´ees doivent respecter plusieurs crit`eres. D’abord, comme men-tionn´e plus haut, les impulsions d’´electrons doivent avoir une dur´ee assez courte pour pouvoir r´esoudre temporellement les ph´enom`enes ultrarapides ´etudi´es. Les ´electrons doivent aussi poss´eder la coh´erence spatiale n´ec´essaire pour g´en´erer une figure d’interf´erence apr`es leur in-teraction avec l’´echantillon ´etudi´e. La nature fermionique des ´electrons ainsi que la r´epulsion coulombienne compliquent la g´en´eration de faisceaux d’´electrons coh´erents [9]. G´en´eralement,

la longueur de coh´erence longitudinale d’une impulsion d’´electrons est beaucoup plus grande que l’´epaisseur de la structure qui doit ˆetre ´etudi´ee. Toutefois, la longueur de coh´erence trans-verse de l’impulsion ´electronique doit, en r`egle g´en´erale, ˆetre trois fois plus grande que la taille de l’´echantillon pour obtenir des figures d’interf´erence [81].

De plus, les ´electrons d’une mˆeme impulsion doivent poss´eder des ´energies tr`es semblables. En effet, plus les ´electrons ont des ´energies similaires, plus la distribution de vitesses est homog`ene et moins l’impulsion aura tendance `a s’´etirer. Il en va de mˆeme pour la coh´erence : plus la distribution d’´energie est ´etroite, plus la coh´erence spatiale sera grande.

Les impulsions doivent aussi contenir un certain nombre d’´electrons afin d’obtenir un ratio signal-sur-bruit ´elev´e. Les impulsions d’´electrons doivent donc avoir minimalement une charge allant de 6 fC `a 160 fC en r´egime single-shot (avec une seule impulsion d’´electrons) [81,97,94]. Il est toutefois possible d’effectuer plusieurs tirs d’impulsions lorsque la charge par impulsion n’est pas assez ´elev´ee.

1.1.3 Exemple d’UED

Le passage de l’´etat solide `a l’´etat liquide (la fusion) est un ph´enom`ene qui peut sembler banal ´etant donn´e que nous l’observons sur une base quotidienne. Or, cette transition de phase devient plus complexe lorsqu’on s’y int´eresse `a l’´echelle atomique. La pertinence de la diffraction ´electronique ultrarapide peut donc ˆetre mise en valeur par l’´etude de la fusion de mat´eriau, par exemple, la fusion de l’aluminium.

Un article de Guo et al. paru en 2000 dans Physical Review Letters pr´esente l’´etude de la fusion de l’aluminium induite par impulsion laser femtoseconde [39]. En chauffant locale-ment l’´echantillon d’aluminum polycrystallin `a l’aide d’un laser femtoseconde ´emettant des impulsions laser de dur´ee de 130 fs et de longueur d’onde de 800 nm, Guo et al. ont ´etudi´e l’´evolution temporelle de la partie en fusion de l’´echantillon en mesurant la constante di´ elec-trique de celui-ci. Leurs observations optiques montrent que les propri´et´es di´electriques de l’´echantillon s’approchent de celles d’un liquide sur 500 fs. Guo et al. ont donc avanc´e l’id´ee que la fusion se produisait sur cette ´echelle de temps, laquelle est plus petite que le temps de couplage ´electron-phonon pour le chauffage local ultrarapide (de l’ordre de la picoseconde). Selon cet ´enonc´e, la fusion ne serait donc pas caus´ee par des effets thermiques, mais bien par un effondrement de la structure de bande, induite par une forte excitation ´electronique. La technique utilis´ee par Guo et al. est de nature optique (λ = 800 nm), de sorte qu’elle ne peut donner d’informations sur l’´echantillon `a l’´echelle atomique. La diffraction ´electronique ultrarapide devient donc int´eressante ici puisque cette technique a une meilleure r´esolution. En 2003, Siwick et al. ont publi´e un article dans la revue Science o`u ils exposent leurs r´esultats sur la fusion de l’aluminium `a partir d’une exp´erience de diffraction ´electronique ultrarapide [91]. En effet, en utilisant des impulsions d’´electrons d’une dur´ee de 600 fs et en chauffant

localement un ´echantillon d’aluminium polycrystallin `a l’aide d’un laser femtoseconde, ils ont pu r´esoudre dans le temps l’´evolution de la structure de l’aluminium en fusion. Il ont pu remarquer la perte d’ordre `a longue distance pr´esente dans la structure cristalline et l’´emergence d’une structure liquide o`u seul un ordre `a courte distance est pr´esent. Le tout se d´eroule sur une plage temporelle de 3,5 ps, temps qui se rapproche de celui du couplage ´

electron-phonon lors de chauffage local ultrarapide. L’exp´erience de Siwick et al. vient donc d´emontrer que, contrairement `a l’hypoth`ese avanc´ee par Guo et al., la nature de la fusion de l’aluminium est bien thermique.

1.2

Acc´

el´

eration d’´

electrons par laser

D`es l’av`enement des sources laser au d´ebut des ann´ees 1960, la communaut´e scientifique s’est int´eress´ee `a l’acc´el´eration de particules `a partir de cette technologie [86]. Plusieurs sch´emas d’acc´el´eration ont vu le jour au cours des derni`eres d´ecennies dans le but d’exploiter les puis-sants champs ´electromagn´etiques g´en´er´es par les lasers. L’´elaboration de ces sch´emas n’est toutefois pas une chose simple. En effet, le th´eor`eme de Lawson-Woodward, souvent cit´e dans la litt´erature, stipule qu’il est impossible, sous certaines conditions, d’acc´el´erer un ´electron avec une onde ´electromagn´etique. Il est donc n´ecessaire, dans ces sch´emas d’acc´el´eration, de briser l’une des conditions du th´eor`eme qui se lit comme suit [27] :

Th´eor`eme de Lawson-Woodward. Pour un ´electron se d´epl¸cant avec une vitesse v dans un champ ´electromagn´etique, si les conditions suivantes sont respect´ees :

1. le champ ´electromagn´etique se propage dans le vide sans murs ou sans fronti`eres ; 2. l’´electron voyage `a une vitesse ultra-relativiste (v ≈ c) sur toute sa trajectoire ; 3. aucun champ statique (´electrique ou magn´etique) n’est pr´esent ;

4. la r´egion d’interaction est infinie ;

5. les effets pond´eromoteurs (les forces non lin´eaires, par exemple la force v_{× B) sont} n´egligeables ;

alors le gain net en ´energie de l’´electron sur l’ensemble de sa trajectoire est nul.

Ainsi, pour l’acc´el´eration d’´electrons, plusieurs sch´emas ont fait leurs preuves tels que l’ac-c´el´eration par effet Cherenkov inverse [57], l’acc´el´eration par structure lin´eaire di´electrique [14, 72] , l’acc´el´eration par ondes de sillage dans un plasma (Laser plasma wakefield accele-ration) [20, 93] et l’acc´el´eration dans le vide, pour ne nommer que ceux-ci. Ce dernier nous int´eressera particuli`erement.

L’acc´el´eration dans le vide consiste `a acc´el´erer un ´electron directement avec le champ ´ elec-tromagn´etique d’un laser. L’interaction entre le champ et l’´electron est d´ecrite par la force

pond´eromotrice pour un champ ´electrique non uniforme. Cette force non lin´eaire qui s’´ecrit Fpond =−e2/(4meω2)∇|E|2, a pour effet d’entraˆıner les ´electrons vers les zones de faible in-tensit´e. `A des ´energies relativistes, l’´electron obtient un gain significatif en ´energie cin´etique par le m´ecanisme de diffusion pond´eromotrice relativiste. Dans ce sc´enario, la forte intensit´e du champ ´electrique du faisceau laser vient rapidement expulser l’´electron de la r´egion fo-cale, de sorte que la force de rappel agissant sur l’´electron diminue de mani`ere exponentielle. L’´electron en sort donc acc´el´er´e longitudinalement et d´evi´e dans une direction transverse par le terme v_{×B de la force de Lorentz [}42,55,56]. Ce sch´ema a ´et´e v´erifi´e exp´erimentalement en 1990 par Malka et al. [61]. D’autres sch´emas utilisent ce principe pour acc´el´erer des ´electrons, notamment en superposant deux faisceaux laser ayant pour but de pi´eger les ´electrons dans un puits de potentiel pond´eromoteur qui aura pour effet d’acc´el´erer le paquet d’´electrons ainsi que de le comprimer [58].

Une autre avenue possible est l’acc´el´eration d’´electrons en champ direct, c’est-`a-dire un r´egime selon lequel le champ ´electrique longitudinal d’une impulsion laser est si intense qu’il peut conf´erer une vitesse ultra-relativiste `a des ´electrons `a l’int´erieur d’un demi-cycle optique. En effet, il est possible actuellement de g´en´erer des impulsions lumineuses tr`es intenses. L’am-plitude du champ ´electrique de celles-ci peut atteindre une valeur de l’ordre de 1014 V/m [7]. Une fois focalis´ees, une composante longitudinale (dans le sens de propagation de l’onde) apparaˆıt. Cette composante est g´en´eralement faible par rapport aux composantes de champ transversales. Toutefois, il est possible, `a l’aide d’un faisceau de polarisation radiale (TM01) fortement focalis´e, de g´en´erer un champ ´electrique dont la composante longitudinale exc`ede de mani`ere significative la composante transversale [25,103].

Ce sont les travaux de Charles Varin et de Michel Pich´e, publi´es en 2002, qui ont mis en ´ evi-dence la possibilit´e d’acc´el´erer des ´electrons en champ direct avec le mode laser TM01 [101]. Selon leur sch´ema, des ´electrons initialement au repos `a l’´etranglement d’un faisceau laser puls´e ultra-intense dans le mode TM01commencent `a osciller longitudinalement lorsque l’impulsion lumineuse approche. L’oscillation est due aux premiers cycles de la composante longitudinale du champ ´electrique. Lorsqu’un certain seuil de puissance est atteint, les ´electrons sont violem-ment acc´el´er´es en ´etant synchronis´es avec l’oscillation du champ ´electrique. L’acc´el´eration se d´eroule `a l’int´erieur d’un demi-cycle optique, d’o`u le nom « acc´el´eration sous-cycle ». On peut s’imaginer un demi-cycle optique du champ ´electrique longitudinal comme ´etant une vague sur l’eau et les ´electrons comme ´etant des surfeurs sur cette vague. Les travaux de Pich´e et Varin ont ouvert la voie `a d’autres groupes de recherche pour la sch´ematisation d’acc´el´eration d’´electrons `a l’aide du mode laser TM01 [11,24,32,51,60,62,63,77,78,103,50].

Ce sch´ema d’acc´el´eration avec des impulsions TM01 de haute puissance a pour avantages de pr´esenter de faibles pertes radiatives dues `a l’acc´el´eration lin´eaire [102] et, ultimement, peut g´en´erer des impulsions d’´electrons relativistes ultrabr`eves, d’une dur´ee de l’ordre de la femtoseconde (10−15s) voire de l’attoseconde (10−18s) tout en ´etant bien collim´ees [51, 103].

Des travaux exp´erimentaux ont aussi permis de valider le sch´ema d’acc´el´eration. Les groupes des Profs. Jean-Claude Kieffer et Fran¸cois L´egar´e du laboratoire ALLS de l’INRS (Varennes) ont r´ealis´e en 2012 une exp´erience utilisant une impulsion laser de polarisation radiale dans son mode fondamental (TM01) fortement focalis´ee par un miroir parabolique de grande ouverture num´erique afin d’ioniser un gaz de faible densit´e [71]. Le puissant champ ´electrique longitudinal de l’impulsion a permis d’acc´el´erer des ´electrons jusqu’`a une ´energie de 23 keV. Cette ´energie n’est pas relativiste, mais le r´esultat laisse quand mˆeme pr´esager un avenir int´eressant pour ce sch´ema d’acc´el´eration. D’autres travaux exp´erimantaux ont montr´e qu’il ´etait possible d’acc´el´erer des ´electrons par champ direct [16], notamment avec des impulsions t´erahertz [69]. Ces travaux th´eoriques et exp´erimentaux ont permis d’en connaˆıtre beaucoup plus sur les pos-sibilit´es qu’offre un tel sch´ema. Toutefois, beaucoup d’´etudes th´eoriques ont ´et´e faites `a l’aide de l’approximation paraxiale ou de l’approximation de l’enveloppe lente, deux approximations qui n’ont plus lieu d’ˆetre avec des impulsions ultrabr`eves et fortement focalis´ees. Pour explo-rer les sc´enarios d’acc´el´eration avec de telles impulsions, il faut se tourner vers des solutions moins approximatives. `A cet effet, Alexandre April a d´evelopp´e, dans ses travaux, des solu-tions exactes `a certains types de faisceaux laser qui permettent de mod´eliser des impulsions tr`es courtes fortement focalis´ees, notamment pour le mode laser TM01[3,5].

Quelques ann´ees plus tard, ces solutions exactes ont permis `a Vincent Marceau et al. de simuler num´eriquement la g´en´eration d’impulsions d’´electrons ultrabr`eves `a partir de ce sch´ema d’ac-c´el´eration [62,63,64,100]. Au moyen de simulations de type particule test et particle-in-cell (PIC), le groupe a montr´e sans l’approximation paraxiale et l’approximation de l’enveloppe lente que ce sch´ema d’acc´el´eration directe par champ longitudinal permettait la g´en´eration d’impulsions d’´electrons de quelques centaines de keV bien collim´ees avec un ´etalement ´ ener-g´etique de 5% et une dur´ee de l’ordre de la femtoseconde. De telles impulsions seraient des sondes de choix pour de la diffraction ´electronique ultrarapide. Le d´efi est maintenant de propager ces impulsions ´electroniques jusqu’`a une cible en conservant, le plus possible, leurs caract´eristiques int´eressantes. Ceci constitue le but du pr´esent m´emoire.

1.3

Solutions exactes de faisceaux laser

Puisqu’il a ´et´e mentionn´e que l’approximation paraxiale ainsi que l’approximation de l’enve-loppe lente ne sont plus valides dans le r´egime qui nous int´eresse (impulsions ultrabr`eves et fortement focalis´ees), il est pertinent de pr´esenter sommairement les outils permettant d’obte-nir des solutions ad´equates qui repr´esentent correctement le champ ´electromagn´etique d’une impulsion. La m´ethode pr´esent´ee dans cette section a ´et´e d´evelopp´ee par Alexandre April lors de ses ´etudes doctorales [4]. Le lecteur int´eress´e par de plus amples explications est invit´e `a consulter la th`ese d’Alexandre April [5].

1.3.1 Faisceau gaussien paraxial

Fondamentalement, le champ ´electrique E(r, t) et le champ magn´etique H(r, t) d’un faisceau laser doivent satisfaire les quatre ´equations de Maxwell. Dans le vide, les ´equations de Maxwell sous leur forme diff´erentielle sont

∇ × E = −µ0 ∂H ∂t , (1.2) ∇ × H = 0 ∂E ∂t, (1.3) ∇ · E = 0, (1.4) ∇ · H = 0, (1.5)

o`u µ0 et 0 sont respectivement la perm´eabilit´e et la permittivit´e du vide. En combinant les ´

equations (1.2) `a (1.5), on obtient les ´equations d’onde dans le vide pour les champs ´electrique et magn´etique ∇2_E− 1 c2 ∂2E ∂t2 = 0, (1.6) ∇2_H− 1 c2 ∂2H ∂t2 = 0, (1.7)

o`u c = (µ00)−1/2. Les ´equations (1.6) et (1.7) ont leurs ´equivalents dans le domaine spectral, soient les ´equations de Helmholtz

∇2E + k˜ 2E = 0,˜ (1.8)

∇2H + k˜ 2H = 0,˜ (1.9)

o`u ˜E et ˜H sont respectivement les transform´ees de Fourier des champs ´electrique et magn´ e-tique.

On consid`ere souvent, `a des fins de simplification, que les faisceaux lasers sont des ondes transverses ´electromagn´etiques (TEM). Ces ondes ont la propri´et´e d’avoir un champ ´electrique et un champ magn´etique perpendiculaires `a l’axe de propagation. Or de telles ondes n’existent que si elles ont des dimensions transversales infinies. C’est uniquement le cas de l’onde plane uniforme.

Prenons, par exemple, une onde lin´eairement polaris´ee selon l’axe des x se propageant selon l’axe des z. Par d´efinition, la composante Eydu champ sera nulle. La composante Exdu champ pourra alors satisfaire l’´equation (1.6), mais le champ aura n´ecessairement une composante longitudinale Ez afin de satisfaire l’´equation (1.4). En effet, pour obtenir ∂E_∂xx +∂E_∂zz = 0, la composante Ezdoit ˆetre non nulle. Il en est de mˆeme pour le champ magn´etique, ce qui fait en sorte qu’une onde aux dimensions finies dans un plan transversal `a sa direction de propagation

a toujours une composante de champ ´electromagn´etique longitudinale. C’est d’ailleurs cette composante de champ qui sera exploit´ee pour l’acc´el´eration d’´electrons en champ direct. Il est possible de d´ecrire simplement le champ ´electromagn´etique d’une onde grˆace `a l’ap-proximation paraxiale. Un faisceau de lumi`ere se propageant dans une certaine direction est dit paraxial lorsque son angle de divergence est petit, c’est-`a-dire lorsque le faisceau diverge lentement dans la direction transversale.

Soit le phaseur du champ d’un faisceau laser se propageant selon l’axe des z ˜

E≡ ˜Ae−ikz, (1.10)

o`u ˜A est l’amplitude complexe qui d´ecrit le profil transverse du fasceau. En substituant (1.10) dans (1.8), on obtient l’´equation

∂2A˜ ∂x2 + ∂2A˜ ∂y2 + ∂2A˜ ∂z2 − 2ik ∂ ˜A ∂z = 0. (1.11)

En utilisant l’approximation paraxiale,      ∂2A˜ ∂z2            2k∂ ˜A ∂z      , (1.12)

on obtient l’´equation de Helmholtz paraxiale [88] ∂2A˜ ∂x2 + ∂2A˜ ∂y2 − 2ik ∂ ˜A ∂z = 0. (1.13)

Cette ´equation permet de simplifier grandement l’analyse de faisceaux laser. Une solution `a l’´equation (1.13) g´en´eralement utilis´ee est celle du faisceau gaussien dont l’amplitude complexe peut s’´ecrire [88] : ˜ A(x, y, z) = A e −ikz+iψ(z) q 1 + (<sub>z</sub>z R) 2 exp  −x 2<sub>+ y</sub>2 w2<sub>(z)</sub> − ik x2+ y2 2R(z)  , (1.14) o`u w(z) = w0 s 1 + z zR 2 , (1.15) R(z) = z + z 2 R z , (1.16) ψ(z) = arctan z zR  , (1.17)

zR´etant la distance de Rayleigh du faisceau et w0 la taille du faisceau `a l’´etranglement. Pour que l’approximation paraxiale demeure valide et pour que la solution du faisceau gaussien paraxial tienne la route, il faut que la taille du faisceau `a l’´etranglement soit beaucoup plus

grande que sa longueur d’onde (w0  λ0). Si cette condition n’est pas respect´ee, cela veut dire que le faisceau est fortement focalis´e. Dans ce cas, on ne peut plus dire que l’angle de divergence est petit. Il faut donc se tourner vers d’autres expressions pour les champs ´

electromagn´etiques.

Dans le sch´ema d’acc´el´eration en champ direct mentionn´e `a la section pr´ec´edente et dans le sch´ema de compression pr´esent´e au chapitre suivant, on utilise des faisceaux laser fortement focalis´es. L’expression du faisceau gaussien paraxial n’est donc plus valide pour repr´esenter correctement le champ ´electromagn´etique de ces faisceaux. Il est toutefois possible, avec la m´ethode des sources/puits ponctuels complexes et avec la m´ethode des vecteurs de Hertz, d’obtenir des solutions exactes aux ´equations de Maxwell pour des faisceaux non paraxiaux. Pour des impulsions tr`es courtes, il faudra en plus faire appel au spectre de Poisson.

1.3.2 Les vecteurs de Hertz

Les champs ´electrique (E(r, t)) et magn´etique (H(r, t)) d’un faisceau quelconque peuvent ˆetre associ´es `a un potentiel ´electrique V (r, t) et `a un potentiel magn´etique A(r, t). Ceux-ci sont d´efinis comme [49,79] E≡ −∇V −∂A ∂t , (1.18) H_≡ 1 µ0∇ × A. (1.19)

Ainsi, il est possible de calculer les champs d’un faisceau en d´eterminant des potentiels. Pour que le tout soit coh´erent, les potentiels doivent satisfaire l’´equation d’onde dans le vide :

∇2_{V −} 1 c2 ∂2V ∂t2 = 0, (1.20) ∇2_A− 1 c2 ∂2A ∂t2 = 0. (1.21)

Ceci est possible en imposant la condition de Lorentz (ou jauge de Lorentz) qui s’´ecrit [49] ∇ · A + 1

c2 ∂V

∂t = 0. (1.22)

La m´ethode des vecteurs de Hertz permet de calculer simplement, dans un r´egime paraxial ou non, les champs spatiotemporels d’impulsions se propageant dans le vide. Les vecteurs de Hertz ´electrique et magn´etique sont not´es Πe et Πm respectivement. Il sont aussi appel´es « potentiels de polarisation » et sont d´efinis comme [12]

V ≡ −∇ · Πe, (1.23)

A_≡ 1 c2

∂Πe

Ainsi, les vecteurs de Hertz satisfont l’´equation d’onde dans le vide et respectent l’´equation (1.22) (condition de Lorentz). En utilisant l’identit´e vectorielle_∇(∇·Πe) =∇2Πe+∇×∇×Πe, on peut substituer les ´equations (1.23) et (1.24) dans les ´equations (1.18) et (1.19) et on obtient [4] E(r, t) =∇ × ∇ × Πe− µ0 ∂ ∂t∇ × Πm, (1.25) H(r, t) =_{∇ × ∇ × Π}m+ 0 ∂ ∂t∇ × Πe. (1.26)

On peut v´erifier que les ´equations (1.25) et (1.26) sont bel et bien des solutions aux quatre ´

equations de Maxwell (1.2- 1.5). ´Etant donn´e que la divergence du rotationnel de n’importe quelle fonction diff´erentiable F est toujours nulle (_{∇ · ∇ × F ≡ 0), les ´equations (}1.4) et (1.5) sont satisfaites.

V´erifions maintenant l’´equation (1.2), en prenant le rotationnel de l’´equation (1.25) : ∇ × E = ∇ × (∇ × ∇ × Πe− µ0

∂

∂t∇ × ∇ × Πm). (1.27)

En utilisant l’identit´e vectorielle _{∇ × ∇ × Π = ∇(∇ · Π) − ∇}2Π, l’´equation (1.27) devient ∇ × E = ∇ × [∇(∇ · Πe)− ∇2Πe]− µ0

∂

∂t∇ × ∇ × Πm, (1.28) Sachant que le rotationnel du gradient de n’importe quelle fonction scalaire f diff´erentiable est toujours nul (∇ × (∇f)) et ´etant donn´e que les vecteurs de Hertz satisfont l’´equation d’onde on peut ´ecrire ∇ × E = ∇ ×  −_c1₂∂ 2_Π e ∂t2  − µ0 ∂ ∂t∇ × ∇ × Πm. (1.29)

En substituant l’´equation (1.26) dans (1.29), on obtient ∇ × E = −1 c2∇ × ∂2Πe ∂t2 − µ0 ∂ ∂t  H− 0 ∂ ∂t∇ × Πe  =₋1 c2 ∂2 ∂t2∇ × Πe− µ0 ∂H ∂t + µ00 ∂2 ∂t2∇ × Πe, =_−µ0 ∂H ∂t, (1.30)

puisque µ00= 1/c2. L’´equation (1.30) correspond bien `a l’´equation de Maxwell dans le vide (1.2). De la mˆeme mani`ere, on peut obtenir l’´equation (1.3) en prenant le rotationnel de l’´equation (1.26).

1.3.3 La m´ethode des vecteurs de Hertz

La m´ethode des vecteurs de Hertz consiste `a consid´erer que les vecteurs de Hertz sont lin´ eai-rement polaris´es, c’est-`a-dire qu’ils ne contiennent qu’une seule composante cart´esienne non nulle [4]. Ces composantes non nulles o´ebissent alors `a une ´equation d’onde scalaire alors que les champs ´electrique et magn´etique ob´eissent `a une ´equation d’onde vectorielle puisqu’il y a g´en´eralement plus qu’une composante de champ non nulle. La m´ethode des vecteurs de Hertz vient donc simplifier la r´esolution pour obtenir une solution `a l’´equation d’onde. On peut ensuite obtenir les champs ´electrique E(r, t) et magn´etique H(r, t) en substituant les vecteurs de Hertz dans les ´equations (1.25) et (1.26).

Le choix de la composante non nulle des vecteurs de Hertz d´epend de l’´etat de polarisation du faisceau d’int´erˆet. Le tableau (1.1) regroupe les vecteurs de Hertz pour les faisceaux transverses magn´etiques TM, transverses ´electriques TE et lin´eairement polaris´ees LP, o`u Ψ(r, t) est une fonction scalaire dont les unit´es sont le volt-m`etre et η0 est l’imp´edance intrins`eque du vide [5].

Tableau 1.1: Vecteurs de Hertz ´electrique et magn´etique pour diff´erents faisceaux Faisceau TM Faisceau TE Faisceau LP

Πe= ˆazΨ(r, t) Πe= 0 Πe= ˆaxΨ(r, t) Πm = 0 Πm = ˆazη0−1Ψ(r, t) Πm = ˆayη0−1Ψ(r, t)

Il ne reste plus qu’`a d´eterminer une solution valide `a l’´equation d’onde scalaire ∇2_{Ψ(r, t)−} 1

c2

∂2Ψ(r, t)

∂t2 = 0, (1.31)

ce qui est possible avec la m´ethode des sources/puits ponctuels complexes.

1.3.4 La m´ethode des sources/puits ponctuels complexes

Pour obtenir une solution exacte, il est plus commode de travailler dans le domaine spectral, soit avec l’´equation de Helmholtz qu’on obtient par transform´ee de Fourier de l’´equation (1.31) :

∇2_{Ψ(r, ω) + k˜} 2_{Ψ(r, ω) = 0.˜ (1.32)}

La solution la plus simple `a l’´equation de Helmholtz est l’onde sph´erique, ˜Ψ± = e±ikR/R, o`u R = [x2 _{+ y}2_{+ (z− z}

s)2]1/2 est le rayon de courbure sph´erique et zs est la coordonn´ee o`u se situe la source ponctuelle sur l’axe z. La solution avec un signe_{− repr´esente une onde} sph´erique divergente (source) alors que celle avec un signe + repr´esente une onde sph´erique

convergente (puits). Ces solutions pr´esentent toutefois une singularit´e `a R = 0. En utilisant le fait qu’une combinaison lin´eaire des solutions de l’´equation de Helmholtz est ´egalement une solution valide on peut ´eliminer la discontinuit´e en R = 0. Ainsi

˜ Ψ(r, ω) = Ψ+− Ψ−, (1.33) ˜ Ψ(r, ω) = e +ikR R − e−ikR R , (1.34) ˜ Ψ(r, ω) = 2isin(kR) R , (1.35)

La superposition des deux ondes sph´eriques devient un faisceau gaussien non paraxial lorsque la source et le puits se situent `a une position purement imaginaire zs = −ia o`u a est le param`etre confocal [2, 85]. Le rayon de courbure sph´erique devient alors complexe : ˜R = [r2+ (z + ia)2]1/2, o`u r = (x2+ y2)1/2. Ainsi ˜ Ψ(r, ω) = Ψ0e−ka e−ik ˜R ˜ R − e+ik ˜R ˜ R ! , (1.36) =−2ikΨ0e−ka sin(k ˜R) k ˜R , (1.37)

est une solution valide o`u Ψ0 est une amplitude constante et e−ka est un facteur d’amplitude qui assure la continuit´e entre les r´egimes non paraxial et paraxial. Le facteur ka est appel´e « param`etre confocal normalis´e » et d´ecrit le degr´e de focalisation du faisceau, o`u k = 2π/λ est le nombre d’onde. Ainsi, un faisceau est dit paraxial si ka <sub> 1 [</sub>2]. Il est g´en´eralement admis que la limite entre les deux r´egimes se situe autour de ka = 7 [75]. Dans le cas paraxial, le param`etre a peut aussi ˆetre exprim´e en fonction de la taille du faisceau `a l’´etranglement w0 et de la distance de Rayleigh zR= 1₂kw02 a = w0  1 + 1 2kw 2 0 1/2 = zR  1 + 2 kzR 1/2 . (1.38)

L’´equation (1.37) repr´esente donc le phaseur du faisceau gaussien non paraxial et constitue une solution exacte `a l’´equation de Helmholtz, parmi un grand nombre de solutions exactes.

1.3.5 Faisceaux de Laguerre-Gauss

D’autres solutions `a l’´equation de Helmholtz sont les faisceaux de Laguerre-Gauss ´el´egants non paraxiaux qui sont donn´es par les fonctions ˜U_p,mσ (r) et ˜V_p,mσ (r). Analytiquement ceux-ci

s’expriment [2,5] : ˜ U_p,mσ (r, ω) = F (ω)2p+2 ka 2 p+1+m/2 p X s=0 p + m s + m  (4s + 2m + 1)(2s− 1)!! (2p + 2s + 2m + 1)!! ψ˜ σ 2s+m,m(r), (1.39) ˜ V_p,mσ (r, ω) = F (ω)2 p+2 i  ka 2 p+1+m/2 p X s=0 p + m s + m  (4s + 2m + 3)(2s + 1)!! (2p + 2s + 2m + 3)!! ψ˜ σ 2s+m+1,m(r), (1.40) o`u F (ω) est une distribution d’amplitude spectrale, g´en´eralement gaussienne pour des impul-sions relativement longues. Nous verrons plus loin que le spectre de Poisson est utilis´e pour des impulsions tr`es courtes. La notation double factorielle est d´efinie de mani`ere r´ecursive

n!! = (

1 si _{− 2 < n ≤ 0;}

n_{× (n − 2)!! si n > 0.} (1.41)

Ainsi n!! = (n_{× (n − 2) × (n − 4) × ...). Le terme ˜}ψσ_n,m(r) repr´esente les solutions sph´eriques complexes `a l’´equation de Helmholtz. Les modes pairs et impairs s’´ecrivent respectivement

˜

ψ_n,me (r) = e−kajn(k ˜R)Pnm(cos ˜θ) cos(mφ), (1.42) ˜

ψ_n,mo (r) = e−kajn(k ˜R)Pnm(cos ˜θ) sin(mφ), (1.43) o`u e−ka est une constante de normalisation, jn(k ˜R) sont les fonctions de Bessel sph´eriques de premi`ere esp`ece d’ordre n et d’argument k ˜R et P_nm(cos ˜θ) sont les fonctions associ´ees de Legendre. Les fonctions de Bessel sph´eriques qui nous seront utiles sont les suivantes :

j0(x) = sin x x , (1.44) j1(x) = sin x x2 − cos x x , (1.45) j2(x) = 3 sin x x3 − 3 cos x x2 − sin x x , (1.46)

et les principales fonctions associ´ees de Legendre [6] sont r´epertori´ees dans le tableau (1.2). Tableau 1.2: Fonctions associ´ees de Legendre

P₀0(cos ˜θ) = 1 P₂0(cos ˜θ) = 1₂(3 cos2θ˜_{− 1)} P₁0(cos ˜θ) = cos ˜θ P₂1(cos ˜θ) = 3 cos ˜θ sin ˜θ P₁1(cos ˜θ) = sin ˜θ P₂2(cos ˜θ) = 3 sin2θ˜

Ainsi, on trouve des expressions des phaseurs des modes de Laguerre-Gauss ´el´egants non-paraxiaux en fonction des solutions sph´eriques complexes. Le tableau (1.3) en pr´esente quelques uns.

Tableau 1.3: Quelques phaseurs des modes de Laguerre-Gauss ´el´egants non-paraxiaux Fonction ˜U_p,mσ (r) Fonction ˜V_p,mσ (r) ˜ U_0,0σ = ˜ψσ_0,0 V˜_0,0σ =−i ˜ψσ_1,0 ˜ U_1,0σ = 2₃( ˜ψ_0,0σ + ˜ψσ_2,0) V˜_1,0σ =_−i2₅( ˜ψ_1,0σ + ˜ψσ_3,0) ˜ U_2,0σ = 8(₁₅1ψ˜σ_0,0+₂₁2ψ˜σ_2,0+₃₅1 ψ˜_4,0σ ) V˜_2,0σ =_−i8(351ψ˜σ_1,0+₄₅2 ψ˜_3,0σ +₆₃1 ψ˜_5,0σ ) ˜ Uσ 1,1 = 152(6 ˜ψσ1,1+ ˜ψ3,1σ ) V˜1,1σ =−i27( 2 3ψ˜2,1σ +15ψ˜σ4,1) ˜ U_1,2σ = 2₇( ˜ψ_2,2σ +₁₅1ψ˜_4,2σ ) V˜_1,2σ =−i2 45( ˜ψ3,2σ +17ψ˜5,2σ ) ˜ U_0,mσ = ˜ ψσ m,m (2m_{− 1)!!} V˜ σ 0,m= −i ˜ψσ_m+1,m (2m + 1)!!

1.3.6 Champs et faisceaux non paraxiaux

On peut maintenant construire les vecteurs de Hertz. La m´ethode des source/puits ponctuels complexes nous donne une solution ˜Ψ(r, ω) `a l’´equation de Helmholtz, solution qui repr´esente la composante non nulle des transform´ees de Fourier des vecteurs de Hertz. Cette solution peut ˆetre proportionnelle au phaseur du faisceau gaussien non paraxial (´equation (1.37) ou au phaseur du faisceau de Laguerre-Gauss ´el´egant (´equations du tableau (1.3)). En prenant la transform´ee de Fourier inverse du terme ˜Ψ(r, ω), on trouve la composante non nulle Ψ(r, t) des vecteurs de Hertz.

Par la suite on peut remplacer les vecteurs de Hertz dans les ´equations (1.25) et (1.26) afin d’obtenir les expressions des champs ´electrique et magn´etique du faisceau. Plusieurs calculs de d´eriv´ees sont n´ecessaires afin d’´evaluer les rotationnels des vecteurs de Hertz. Le tableau (1.4) r´epertorie certaines d´eriv´ees utiles.

Il est possible d’obtenir, dans le tableau (1.4), des fonctions o`u les indices sont n´egatifs. On peut alors utiliser les relations

˜ U_p+1,−1e =_{− ˜}U_p,1e , (1.47) ˜ U_p+1,−1o = ˜U_p,1o , (1.48) ˜ V_p+1,−1e =_{− ˜}V_p,1e , (1.49) ˜ V_p+1,−1o =− ˜V_p,1o . (1.50)

1.3.7 Solution non paraxiale du LP01

Comme mentionn´e dans le tableau (1.1), les vecteurs de Hertz servant `a g´en´erer le faisceau lin´eairement polaris´e (LP) sont ˜Πe = ˆaxΨ˜0U˜p,me et ˜Πm= ˆayΨ˜0U˜p,me , o`u ˜Ψ0 est une amplitude constante. De tels indices signifient que l’on g´en`ere le faisceau LPp,m+1. Afin de trouver les

Tableau 1.4: D´eriv´ees utiles des phaseurs de Laguerre-Gauss Fonction ˜U_p,mσ (r) Fonction ˜V_p,mσ (r) ∂ ˜U_p,me ∂x = 1 2k( ˜U e p+1,m−1− ˜Up,m+1e ) ∂ ˜V_p,me ∂x = 1 2k( ˜V e p+1,m−1− ˜Vp,m+1e ) paires ∂ ˜U e p,m ∂y =− 1 2k( ˜U o p+1,m−1− ˜Up,m+1o ) ∂ ˜V_p,me ∂y =− 1 2k( ˜V o p+1,m−1− ˜Vp,m+1o ) ∂ ˜U_p,me ∂z =−ik ˜V e p,m ∂ ˜V_p,me ∂z = ik( ˜U e p+1,m− ˜Up,me ) ∂ ˜U_p,mo ∂x = 1 2k( ˜U o p+1,m−1− ˜Up,m+1o ) ∂ ˜V_p,mo ∂x = 1 2k( ˜V o p+1,m−1− ˜Vp,m+1o ) impaires ∂ ˜U o p,m ∂y = 1 2k( ˜U e p+1,m−1− ˜Up,m+1e ) ∂ ˜V_p,mo ∂y = 1 2k( ˜V e p+1,m−1− ˜Vp,m+1o ) ∂ ˜Uo p,m ∂z =−ik ˜V o p,m ∂ ˜Vo p,m ∂z = ik( ˜U o p+1,m− ˜Up,mo )

composantes des champs ´electrique et magn´etique, on substitue les vecteurs de Hertz dans les ´

equations (1.25) et (1.26) et on obtient `a l’aide du tableau (1.4) et avec un peu d’alg`ebre ˜ E = E0[ˆax 1 4(4 ˜U e p,m+ 4 ˜Vp,me − 2 ˜Up+1,me + ˜Up,m+2e + ˜Up+2,m−2e ) + ˆay 1 4( ˜U o p,m+2− ˜Up+2,m−2o ) + ˆaz 1 2i( ˜U e p,m+1+ ˜Vp,m+1e − ˜Up+1,m−1e − ˜Vp+1,m−1e )], (1.51) ˜ H = H0[ˆay 1 4(4 ˜U e p,m+ 4 ˜Vp,me − 2 ˜Up+1,me − ˜Up,m+2e − ˜Up+2,m−2e ) + ˆax 1 4( ˜U o p,m+2− ˜Up+2,m−2o ) + ˆaz 1 2i( ˜U o p,m+1+ ˜Vp,m+1o + ˜Up+1,m−1o + ˜Vp+1,m−1o )], (1.52) o`u E0 et H0 = E0/η0sont des amplitudes constantes. Les ´equations (1.51) et (1.52) expriment donc les solutions non paraxiales pour le faisceau polaris´e lin´eairement. Dans le cas de l’ordre le plus bas de ce faisceaux, avec p = m = 0, les champs du mode LP01 s’´ecrivent [5]

˜ E = E0[ˆax 1 2(2 ˜U e 0,0+ 2 ˜V0,0e − ˜U1,0e + ˜U0,2e ) + ˆay 1 2( ˜U o 0,2) + ˆazi( ˜U0,1e + ˜V0,1e )], (1.53) ˜ H = H0[ˆax 1 2( ˜U o 0,2) + ˆay 1 2(2 ˜U e 0,0+ 2 ˜V0,0e − ˜U1,0e − ˜U0,2e ) + ˆazi( ˜U0,1o + ˜V0,1o )]. (1.54) Ces ´equations d´ecrivent donc spatialement les champs ´electrique et magn´etique du faisceau laser LP01 non paraxial en r´egime continu. Pour mod´eliser des faisceaux non paraxiaux en r´egime impulsionnel, il faudra utiliser le spectre de Poisson.

0 1 2 3 4 5 6 ω/ω0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 F (ω ) s =1 s =10 s =23

Figure 1.1: Spectre de Poisson pour diff´erentes valeurs de s.

1.3.8 Spectre de Poisson

Une distribution d’amplitude spectrale gaussienne est g´en´eralement utilis´ee pour mod´eliser des impulsions laser. Toutefois, pour des impulsions ultrabr`eves, le contenu spectral de la distribution gaussienne s’´etend dans les fr´equences n´egatives, ce qui est inacceptable phy-siquement. L’expression de l’amplitude de l’impulsion pr`es de l’axe optique est juste, mais diverge `a l’infini pour une composante transversale ´eloign´ee de l’axe optique. Afin de corriger ce comportement non physique en conservant tout de mˆeme des expressions math´ematiques ´

el´egantes, on peut utiliser le spectre de Poisson qui s’exprime [4,17,30] F (ω) = 2πe−iφ0 s

ω0 s+1

ωse−sω/ω0

Γ(s + 1) θ(ω), (1.55)

o`u φ0 est une phase constante, s est un param`etre positif qui r´egit la forme et la largeur du spectre, ω0 est la fr´equence o`u l’amplitude est maximale, Γ(s + 1) est la fonction gamma et θ(ω) est la fonction Heaviside qui est nulle pour les valeurs n´egatives de ω et vaut 1 pour ω > 0. Il est `a noter que l’on retrouve le spectre gaussien pour des valeurs de s beaucoup plus grandes que 1. La figure (1.1) montre le spectre de Poisson pour diff´erentes valeurs de s. Si on prend le cas du faisceau gaussien non paraxial (´equation (1.37)), on peut r´e´ecrire cette ´

equation pour une impulsion ˜ Ψ(r, ω) = Ψ0F (ω)e−ka e−ik ˜R ˜ R − e+ik ˜R ˜ R ! , (1.56)

o`u F (ω) est le spectre de Poisson qui d´etermine une amplitude pour chaque composante spectrale de l’impulsion en fonction de leur fr´equence ω. La transform´ee de Fourier inverse du

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 ω0t −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 Re { f (t )} s =1 s =10 s =23

Figure 1.2: Profil temporel d’une impulsion d´efinie par le spectre de Poisson pour diff´erentes valeurs de s.

spectre de Poisson est f (t) = 1

2π Z ∞

−∞

F (ω)eiωtdω = e−iφ0



1₋iω0t s

−(s+1)

. (1.57)

La solution dans le domaine temporel de l’´equation (1.56) s’obtient en prenant sa transform´ee de Fourier inverse, ce qui ne se r´esout pas de mani`ere triviale, ´etant donn´e que le param`etre confocal a peut d´ependre de la fr´equence. Pour une impulsion isodiffractante, c’est-`a-dire une impulsion dont les fronts d’onde ont le mˆeme rayon de courbure pour toutes les composantes spectrales, le param`etre confocal a est ind´ependant de la fr´equence. Ceci permet d’obtenir des solutions analytiques relativement simples et ´el´egantes. On peut donc prendre la transform´ee de Fourier inverse de l’´equation (1.56) et on obtient

Ψ(r, t) = 1 2π Z ∞ −∞ Ψ0F (ω)e−ka e−ik ˜R ˜ R − eik ˜R ˜ R ! eiωtdω = Ψ0 ˜ R [f (˜t−)− f(˜t+)], (1.58) o`u ˜t±≡ t ± ˜R/c + ia/c. La figure 1.2montre le profil temporel associ´e au spectre de Poisson pour diff´erentes valeurs de s. Le spectre de Poisson nous permet donc d’obtenir une solution `

a l’´equation d’onde pour des impulsions. On peut ainsi mod´eliser des impulsions ultrabr`eves et fortement focalis´ees pour diff´erents modes.

1.3.9 Impulsion LP01 non paraxiale

Les ´equations (1.53) et (1.54) d´ecrivent le champ ´electromagn´etique d’un faisceau LP01 continu. Pour une impulsion, les champs ´electrique et magn´etique spatiotemporels sont donn´es par les ´equations (1.25) et (1.26). Dans un cas g´en´eral, les vecteurs de Hertz peuvent s’´ecrire Πe = ˆpeΨ(r, t) et Πm = ˆpmη

−1

et la fonction Ψ(r, t) est l’´equation (1.58). On peut remplacer les vecteurs de Hertz dans ces ´

equations et on obtient en fonction des vecteurs unitaires ˆp_e et ˆp_m E = (ˆp_e· ∇)∇Ψ − 1 c2pˆe ∂2Ψ ∂t2 + 1 cpˆm× ∇ ∂Ψ ∂t, (1.59) H = 1 η0  (ˆp_{m· ∇)∇Ψ −} 1 c2pˆm ∂2_Ψ ∂t2 − 1 cpˆe× ∇ ∂Ψ ∂t  . (1.60)

En prenant les diff´erents vecteurs de Hertz des diff´erents ´etats de polarisation (tableau (1.1)) et en les substituant dans les ´equations (1.59) et (1.60), on obtient les composantes des champs ´

electrique et magn´etique de chacun de ces ´etats de polarisation (voir tableau (1.5)).

Tableau 1.5: Composantes des champs ´electromagn´etiques des impulsions TM, TE et LP Champ ´electrique E(r, t) Champ magn´etique H(r, t)

Er = ∂2Ψ ∂z∂r Hr= 0 r ∂2Ψ ∂φ∂t Impulsion TM Eφ= 1 r ∂2Ψ ∂z∂φ Hφ=−0 ∂2Ψ ∂t∂r Ez = ∂2Ψ ∂z2 − 1 c2 ∂2Ψ ∂t2 Hz= 0 Er =− 1 cr ∂2Ψ ∂φ∂t Hr= ∂2Ψ ∂z∂r Impulsion TE Eφ= 1 c ∂2Ψ ∂t∂r Hφ= 1 η0r ∂2Ψ ∂z∂φ Ez = 0 Hz= 1 η0  ∂2_Ψ ∂z2 − 1 c2 ∂2Ψ ∂t2  Ex = ∂2Ψ ∂x2 + 1 c ∂2Ψ ∂z∂t − 1 c2 ∂2Ψ ∂t2 Hx= 1 η0 ∂2Ψ ∂x∂y Impulsion LP Ey = ∂2Ψ ∂x∂y Hy = 1 η0  ∂2_Ψ ∂y2 + 1 c ∂2Ψ ∂z∂t − 1 c2 ∂2Ψ ∂t2  Ez = ∂2_Ψ ∂x∂z − 1 c ∂2_Ψ ∂x∂t Hz= 1 η0  ∂2_Ψ ∂y∂z − 1 c ∂2_Ψ ∂y∂t 

On peut donc obtenir les expressions des champs pour les modes TM01, TE01 et LP01 en substituant l’´equation (1.58) dans les expressions du tableau (1.5). Les champs ´electrique et

magn´etique d’une impulsion LP01 s’´ecrivent Ex(r, t) = Ψ0Re " G(0)₋  3x 2 ˜ R5 − 1 ˜ R3  + G(1)₊  3x 2 c ˜R4 − 1 c ˜R2  − G(1)− cos ˜θ c ˜R2 − G (2) + cos ˜θ c2_R˜ + G(2)₋  x2 c2_R˜3 − 1 c2_R˜ # , (1.61) Ey(r, t) = Ψ0Re  G(0)₋ 3xy ˜ R5 + G (1) + 3xy c ˜R4 + G (2) − xy c2_R˜3  , (1.62) Ez(r, t) = Ψ0Re " x cos ˜θ ˜ R2 3G(0)₋ ˜ R2 + 3G(1)₊ c ˜R + G(2)₋ c2 ! + x c ˜R2 G(1)₋ ˜ R + G(2)₊ c !# , (1.63) Hx(r, t) = 1 η0 Re[Ey], (1.64) Hy(r, t) = Ψ0 η0 Re " G(0)₋  3y 2 ˜ R5 − 1 ˜ R3  + G(1)₊  3x 2 c ˜R4 − 1 c ˜R2  − G(1)− cos ˜θ c ˜R2 − G (2) + cos ˜θ c2_R˜ + G(2)₋  y2 c2_R˜3 − 1 c2_R˜ # , (1.65) Hz(r, t) = Ψ0 η0 Re " y cos ˜θ ˜ R2 3G(0)₋ ˜ R2 + 3G(1)₊ c ˜R + G(2)₋ c2 ! + y c ˜R2 G(1)₋ ˜ R + G(2)₊ c !# , (1.66)

o`u Re[...] est la partie r´eelle de l’argument, Ψ0 est une amplitude constante, c est la vitesse de la lumi`ere dans le vide, ˜R = [r2+ (z + ia)2]1/2, cos ˜θ = (z + ia)/ ˜R et G(n)_± = ∂_tn[f (˜t−)± f(˜t+)] avec ˜t±= t± ˜θ/c + ia/c. Les d´eriv´ees de l’´equation (1.57) s’´ecrivent

f(n)(t) =e−iφ0Γ(s + n + 1) Γ(s + 1)  iω0 s n 1₋iω0t s −(s+n+1) . (1.67)

Le d´eveloppement math´ematique qui m`ene aux ´equations (1.61) `a (1.66) est montr´e `a l’annexe (A). On a donc des expressions ´el´egantes pour les champs ´electrique et magn´etique qui sont des solutions exactes aux ´equations de Maxwell pour mod´eliser des impulsions laser LP01 ultrabr`eves et fortement focalis´ees.

1.4

Compression d’impulsions d’´

electrons

A la section (1.2), nous avons vu sommairement comment g´en´erer des impulsions d’´electrons ultrarapides `a partir de faisceaux laser `a polarisation radiale fortement focalis´es. Pour uti-liser ces impulsions ´electroniques `a des fins de diffraction ´electronique ultrarapide, il faut les propager jusqu’`a une certaine cible (l’´echantillon `a observer) en conservant la dur´ee et les dimensions transversales int´eressantes des impulsions. En effet, les ´electrons des impul-sions g´en´er´ees vont avoir tendance `a s’´eloigner les uns des autres. Ceci est dˆu `a la r´epulsion

coulombienne et `a la distribution initiale d’´energie cin´etique des ´electrons. Plus celle-ci est ´

etroite, plus les ´electrons auront des vitesses semblables. En se propageant, les ´electrons les plus rapides vont se retrouver `a l’avant de l’impulsion et les plus lents `a l’arri`ere. Ceux `a l’avant seront donc acc´el´er´es par les ´electrons `a l’arri`ere dˆu `a la force coulombienne et ceux `

a l’arri`ere seront ralentis de la mˆeme fa¸con. L’impulsion va donc s’´etirer longitudinalement de cette mani`ere. Plus la diff´erence de vitesse entre les ´electrons est grande, plus l’impulsion s’´etirera rapidement. De plus, plus il y a d’´electrons dans l’impulsion, plus les interactions coulombiennes sont fortes, ce qui a pour effet d’´etirer l’impulsion davantage.

Pour comprimer une impulsion d’´electrons, il faut donc ralentir les ´electrons `a l’avant de l’im-pulsion ou acc´el´erer les ´electrons `a l’arri`ere. Ainsi, apr`es un certain temps de propagation, les ´

electrons `a l’arri`ere auront rattrap´e les ´electrons `a l’avant, ce qui donnera une impulsion plus courte longitudinalement. Diff´erentes techniques sont utilis´ees dans les sch´emas de diffraction ´

electronique ultrarapide pour obtenir cette inversion de vitesse qui m`ene `a la compression longitudinale de l’impulsion. Il existe, entre autres, des techniques comme l’utilisation d’un champ ´electrostatique (r´eflectron) [106], l’utilisation d’une cavit´e radiofr´equence [97, 98] ou l’utilisation d’impulsions laser.

1.4.1 Compression d’impulsions ´electroniques avec un r´eflectron

Il est possible de comprimer une impulsion d’´electrons `a l’aide d’un champ ´electrostatique appel´e « r´eflectron ». L’id´ee derri`ere un r´eflectron est bas´ee sur la physique classique. Prenons pour exemple deux corps subissant la force gravitationnelle de la Terre. Un corps voyageant rapidement en sens oppos´e `a la force gravitationnelle mettra plus de temps `a retomber sur Terre qu’un corps voyageant plus lentement dans la mˆeme direction. De la mˆeme mani`ere, un ´

electron plus rapide qui entre dans un potentiel n´egatif mettra plus de temps `a le quitter qu’un ´

electron moins rapide. Ainsi, une impulsion d’´electrons qui s’´etire, entrant dans un r´eflectron, verra ses ´electrons plus lents se retrouver `a l’avant d’elle et les plus rapides `a l’arri`ere une fois sortie du r´eflectron. L’impulsion se comprimera donc d’elle-mˆeme par la suite en se propageant. L’impulsion ´electronique s’´etirera de nouveau une fois que le maximum de compression sera atteint, c’est-`a-dire lorsque les ´electrons derri`ere auront rattrapp´es ceux `a l’avant.

Plusieurs simulations ont ´et´e effectu´ees par divers groupes de recherches afin de tester l’effi-cacit´e du sch´ema. Les simulations ont montr´e qu’il ´etait possible de comprimer des ´electrons par un facteur 60 [106] avec des dur´ees de l’ordre de la centaine de femtosecondes [108,53].

1.4.2 Compression d’impulsions avec une cavit´e radiofr´equence

Une autre technique utilis´ee pour comprimer longitudinalement des impulsions d’´electrons est la cavit´e radiofr´equence. Cette technique consiste `a faire passer le faisceau d’´electrons acc´el´er´es dans une cavit´e o`u est g´en´er´ee une onde stationnaire dans le mode TM010. Cette