Étude expérimentale et numérique du comportement biaxial des tôles minces

(1)

UNIVERSITE DE SHERBROOKE

Faculte des sciences appliquees

Departement de genie civil

ETUDE EXPERIMENTALE ET NUMERIQUE

DU COMPORTEMENT BIAXIAL DES TOLES MINCES

These de doctorat es sciences appliquees

Specialite: genie civil

Daniel E. GREEN

Sherbrooke (Quebec) CANADA Janvier 1996

(2)

1*1

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(3)

A mes fils, Timothy, David et William,

MonfiCsf

si tu re^ois mes paro(es, e.t si tu.gardes w)ec toi mes priceptes^

si tu Tends ton oreide. attentive a. (a. sagesse, et si tit inc.tims ton coeur a. HnteCGge.nce. ow, si tu. a.ppeCCes Ea sagesse., tt si tv, eEe-ves to. vov^ ve-rs C'intdGgcnce., si tu [a cfi&rcfies comnis. C'argent, situ. [a poursuis comme. un tresor, a£ors tu. comprendras fa. crcimte de G(LUme.l, e-t tu, trouve.ras to. c.onnaissance de <Die.u. Car ["Eteme-C donne. Ca sagesse.: de. so. 6oucfze sortent Id conwissance et HnidGgmce..

(Proverbes 2:1-6)

(4)

Resume

Ce travail, realise dans Ie cadre d'un projet de recherche qui implique Ie Centre de recherche et developpement ALCAN a Kingston et notre groupe de mecanique des solides a 1'Universite de Sherbrooke, a pour objectif principal de caracteriser Ie comportement biaxial des toles minces. A

;

1'aide d'un appareil servohydraulique et d'un extensometre biaxial con^us et developpes a 1'Universite de Sherbrooke, des eprouvettes cruciformes ont ete sollicitees dans leur plan, selon deux directions orthogonales en suivant des trajets de deformation proportionnels. Ces essais biaxiaux ont permis d'enregistrer 1'evolution des forces dans les bras des eprouvettes en fonction des deformations au centre, et ce pour deux toles d'aluminium orthotropes.

Un code d'elements finis qui incorpore differents modeles de plasticite anisotropes, et qui tient compte des conditions aux limites particulieres de 1'essai, a ete developpe en vue de determiner les contraintes dans 1'eprouvette cruciforme. Une procedure iterative a permis d'optimiser les simulations numeriques des essais biaxiaux, de sorte que 1'evolution des forces mesurees experimentalement est reproduite pour chaque rapport de deformation. Le modele de BARLAT et LlAN (1989), et dans une certaine mesure Ie critere de HILL (1990), menent a une description tres precise du comportement biaxial des toles minces.

Les modes de deformation biaxiaux imposes aux deux t61es ont egalement ete simules avec un programme numerique base sur un modele de plasticite polycristallin. La formulation tient compte du glissement dans certains plans atomiques, de 1'anisotropie elastique de la maille cristalline et de revolution de la texture au cours de la deformation.

L'analyse numerique avec ces deux types de modeles a permis de determiner les courbes contrainte-deformation biaxiales ainsi que les contours de travail plastique de chaque alliage. Les increments de deformation plastique etant normaux aux contours de travail, chacun de ceux-ci represente un potentiel plastique. Finalement, la forme des contours varie en fonction du travail accompli, indiquant un ecrouissage anisotorope du materiau.

Dans 1'ensemble, les criteres de plasticite phenomenologiques et Ie modele polycristallin menent a des predictions presque identiques du comportement des deux toles d'aluminium.

(5)

Remerciements

Cette these represente pour moi 1'achevement d'une etape importante, et je tiens a remercier tres sincerement tous ceux qui ont contribue a sa realisation.

Je voudrais remercier tout particulierement mon directeur de recherche, Ie professeur Kenneth W. Neale, de m'avoir confie cette etude, et pour tous les encouragements qu'il m'a donnes. Le temps quej'ai passe avec lui au doctorat m'a permis de connattre des experiences des plus enrichissantes. J'en suis tres reconnaissant.

Je remercie Stuart MacEwen de la compagnie ALCAN International pour avoir mis sur pied ce projet de recherche. La contribution scientifique et financiere de son equipe au Centre de recherche Alcan a Kingston represente un apport sans lequel je n'aurais pu effectuer ce travail. A titre de contribution financiere, je mentionnerai egalement Ie Conseil de recherches en sciences naturelles et en genie du Canada qui a encourage cette collaboradon avec 1'industrie.

J'aimerais signaler 1'assistance fort appreciee de Ade Makinde pendant les annees qu'il a passees a 1'Universite de Sherbrooke, ainsi que celle de Pirol Tugcu. Leur disponibilite continuelle m'a permis de profiter de leur experience. Je desire remercier Laurent Thibodeau pour toute son aide au laboratoire, sa sagesse et sa bonne humeur quotidienne. J'ai apprecie 1'interaction avec Ie personnel du departement et les etudiants. Je salue notamment les occupants du bureau 226, Olivier Chapuis, Yishan Qiu et Pei-Dong Wu. Un grand merci a Youdong Zhou et a Jean Savoie de 1'Universite McGill pour leur participation dans Ie projet de recherche. Je remercie Lise Dutrisac pour Ie temps qu'elle a passe a relire cette these et d'en corriger les erreurs typographiques.

I wish to express my love and appreciation for my father and my mother who laid the foundation of my education. From my earliest years you disciplined, trained and instmcted me to the best of your ability. The Bible was your guide, and by your example you showed me that "The fear of the Lord is the beginning of knowledge" (Prov. 1:7). I just want to say that the values you taught me are more important to me than all the academic training I have received. I would also like to thank relatives and friends who prayed for our family during the course of my studies. The help granted to us through your praying will only be known in a coming day.

Lastly, I want to acknowledge the tremendous debt I have toward my dear wife. Eileen, I want to thank you, for spending all those hours typing this thesis, and for the constant encouragements you gave me during my studies. You accepted my long absences and also continued to selflessly care for our family. This has been a difficult time for you and the boys, and I want to say sorry for all you went through. But it has taught me what a priceless wife I have: "Her price is far above rubies." Eileen, this is our thesis.

(6)

Table des matieres

Resume iii

Remerciements iv Table des matieres v

Liste des figures et des tableaux viii

Liste des symboles xvi

1. INTRODUCTION 1

2. REVUE DE LA PLASTICITE A GRANDES DEFORMATIONS 7

2.1 Modeles phenomenologiques 8 2.1.1 Revue historique des criteres d'ecoulement plastique 8 2.1.2 Theorie incrementale 15 2.1.3 Theorie de deformation 2 1 2.1.4 Conclusion 25

2.2 Modeles polycristaUins 26

2.2.1 Glissement dans les monocristaux 26 2.2.2 Deformations totalement imposees 28 2.2.3 Deformations partiellement imposees 30 2.2.4 Modeles autocoherents 31 2.2.5 Conclusion 32 2.3 Etudes experimentales en chargement biaxial 3 3

2.3.1 Essais sur eprouvettes tubulaires 34 2.3.2 Essais de gonflement hydrostatique 3 5 2.3.3 Essais sur eprouvettes cmciformes 37 2.3.4 Autres essais biaxiaux 3 8 2.3.5 Conclusion 41

3. DESCRIPTION DU TRAVAIL EXPERIMENTAL 43

3.1 Le dispositif experimental 44

3.1.1 La machine d'essais 44 3.1.2 Le systeme d'acquisition 47 3.1.3 L'extensometre biaxial 48

(7)

3.1.4 L'eprouvette cmciforme 50 3.2 Le programme d'essais 56 3.2.1 Les essais uniaxiaux 57 3.2.2 Les essais biaxiaux 60 3.2.3 Les alliages etudies 6 1 3.3 Definition du seuil d'ecoulement plastique 69 3.4 Calcul des contraintes dans les eprouvettes cmciformes : une revue historique 72

4. ANALYSE NUMERIQUE DES ESSAIS BIAXIAUX 75

4.1 Description phenomenologique de la plasdcite 76

4.1.1 Cinematique 76 4.1.2 Tenseurs des contraintes 79 4.1.3 Equations d'equilibre et principe des travaux virtuels 82 4.1.4 Lois constitutives 84 4.2 Apergu de la methode des elements finis 86 4.3 Presentadon du programme d'elements fmis 88 4.3.1 Discretisation des equations de base 88 4.3.2 Particularites du programme 92 4.3.3 Validation du programme 97 4.4 Methodologie pour 1'analyse des essais biaxiaux 99

4.4.1 Choix du maillage 99

4.4.2 Analyses preliminaires 103 4.4.3 Procedure d'optimisation des simulations 115

4.5 Fommlation d'un modele polycristallin 118

4.5.1 Description de la transformation elastoplastique du milieu cristallin 118 4.5.2 Simulation de 1'etirement biaxial des t61es 121

5. PRESENTATION DES RESULTATS 124

5.1 T61e d'aluminium AA3104 125

5.1.1 Simulations par elements finis : modeles phenomenologiques 125 5.1.2 Simulations avec un modele polycnstallin 135

5.2 Tole d'aluminium AA1145 147

5.2.1 Simulations par elements finis : modeles phenomenologiques 147

5.2.2 Simulations avec un modele polycristallin 156

5.3 Conclusion 170

(8)

6. VALIDATION DU TRAVAIL EXPERIMENTAL ET NUMERIQUE 172

6.1 Evaluation de 1'etude du comportement des toles 173 6.1.1 Qualite du travail experimental 173 6.1.2 Precision de 1'analyse numerique des essais biaxiaux 177 6.1.3 Presentation d'une alternative pour 1'analyse de 1'echantillon cmciforme 1 80

6.2 Validation des theories de plasticite 184

6.2.1 Les modeles phenomenologiques 1 85

6.2.2 Le modele polycristallin 1 98

6.3 Caracteristiques du comportement des deux toles d'aluminium 202 6.3.1 Description de 1'ecrouissage 202 6.3.2 Les contours de travail plastique 205 6.3.3 Les coefficients d'anisotropie 205 6.3.4 Conclusion 206

7. CONCLUSION GENERALE 209

ANNEXES 213

A. Introduction des condidons aux limites dans Ie code d'elements finis 214 B. Developpement du parametre d'ecrouissage h figurant dans la loi constitutive 220 C. Calcul des parametres d'anisotropie, des normales {l^ et du parametre h

pour chaque critere de plasticite 223

D. Resultats de 1'analyse numerique des essais biaxiaux avec la tole AA3104 233 E. Resultats de 1'analyse numerique des essais biaxiaux avec la tole AA1145 266

(9)

Liste des figures et des tableaux

Figure 2.1 Surface d'ecoulement definie par Ie critere de BUDIANSKY (1984). ... 13 Figure 2.2 Evolution de la surface d'ecoulement selon les modeles de PRAGER (1956) et

de ZIEGLER (1959). ... 19

Figure 2.3 Schema illustrant Ie principe de 1'ecrouissage mixte. ... 20

Figure 2.4 Representation du modele d'ecrouissage de MROZ ( 1967). ... 21

Figure 2.5 Surface d'ecoulement presentant un point singulier apres un chargement

proportionnel. ... 23

Figure 2.6 Limites acceptables du chargement non proportionnel pour une surface

d'ecoulement avec un coin. ... 24

Figure 2.7 Decomposition de la contrainte appliquee en une composante normale a et

une composante tangentielle T au plan de glissement. ... 26

Figure 2.8 Eprouvette de cisaillement con9ue par IOSIPESCU (1967). ... 40 Figure 2.9 Eprouvette de cisaillement con9ue par MT^AUCHI (1984). ... 40

Figure 3.1 Vue d'ensemble de Fappareil de traction biaxiale et du systeme de controle. . . 45

Figure 3.2 Photographic de 1'extensometre biaxial. ... 49

Figure 3.3 Geometric de Peprouvette cmciforme utilisee pour les essais sur la t61e 3104. 53 Figure 3.4 Geometric de Peprouvette cmciforme utilisee pour les essais sur la t61e 1145. 54

Figure 3.5 Schema de 1' assemblage des eprouvettes cruciformes. ... 55

Figure 3.6 Geometrie de 1'eprouvette de tracdon uniaxiale. ... 58

Figure 3.7 Comparaison des deformations mesurees avec une jauge de deformation et

avec 1'extensometre biaxial. ... 58

Figure 3.8 Comparaison des courbes F(s) obtenues lors de deux essais equibiaxiaux differents dans : a) la direction longitudinale, et b) la direction transversale. . 62 Figure 3.9 Figure de p61e < 111 > pour la t61e 3104 representee par 1696 grains. ... 63 Figure 3.10 Courbes a{e) uniaxiales pour la tole 3104 a 0°, 45° et 90° par rapport a la

(10)

Figure 3.11 Comportement uniaxial de la structure composite dans les bras des

echantillons cmciformes en aluminium 3104. ... 65

Figure 3.12 Figure de pole <111> pour la t61e 1 145 representee par 1568 grains. ... 66

Figure 3.13 Courbes a(e) uniaxiales pour la tole 1145 a 0°, 45° et 90° par rapport a la

direction de laminage. ... 68

Figure 3.14 Comportement uniaxial de la structure composite dans les bras des echantillons cmciformes en aluminium 1145. ... 68

Figure 3.15 Definitions diverses du seuil d'ecoulement plastique. ... 70

Figure 4.1 Description du mouvement dans un repere cartesien. ... 77

Figure 4.2 Element triangulaire a trois noeuds. ... 89

Figure 4.3 Conditions auxlimites imposees a 1'eprouvettecmciforme. ... 93

Figure 4.4 Comparaison des predictions avec notre programme d'elements finis et Ie code commercial ABAQUS pour a) p=0, etb) p =1. ... 98

Figure 4.5 Maillage du quart de 1'eprouvette cruciforme 1145 a 772 elements triangulaires (982 degres de liberte). ... 100

Figure 4.7 Maillage du quart de 1'eprouvette cruciforme 1145 a 1601 elements quadnlateraux (6860 degres de liberte). ... 102

Figure 4.8 Evolution de la force dans les bras en fonction de la deformation au centre de 1' echantillon pour chacun des maillages consideres. ... 104

Figure 4.9 Variation de la duree d'execution en fonction du nombre de degres de liberte de chacun des maillages consideres. ... 104

Figure 4.11 Repartition de la deformation principale maximale dans Ie quart de 1'eprouvette cruciforme lorsqu'elle est soumise a un chargement en deformations planes (p=0). La deformation equivalente au centre de I'echantillon est: a) £,=0,05 m/m,etb) £,=0,09 m/m. ... 107

Figure 4.12 Repartition de la deformation principale maximale dans Ie quart de 1'eprouvette cruciforme lorsqu'elle est soumise a une deformation equibiaxiale (p = 1). La deformation equivalente au centre de 1'echantillon est :a) £,=0,10 m/m,etb) £,=0,18 m/m. ... 108

(11)

Figure 4.13 Repartition de la contrainte equivalente dans Ie quart de 1'eprouvette cmciforme lorsqu'elle est soumise a un chargement en deformations planes (p=0). La deformation equivalente au centre de 1'echantillon est : a)

£,=0,05 m/m,etb) £,=0,09 m/m. ... 109

Figure 4.14 Repartition de la contrainte equivalente dans Ie quart de 1'eprouvette cmciforme lorsqu'elle est soumise a une deformation equibiaxiale (p = 1). La deformation equivalente au centre de 1'echantillon est: a) e, = 0,10 m/m,

etb) £,=0,18 m/m. ... 110

Figure 4.15 Repartition de la valeur absolue du cisaillement |y ] dans Ie quart de

1'eprouvette cruciforme lorsqu'elle est soumise'a'un chargement en deformations planes (p=0). La deformation equivalente au centre de

1'echantillon est: a) e, = 0,05 m/m, et b) e, = 0,09 m/m. ... 112

Figure 4.16 Repartition de la valeur absolue du cisaillement |y\ dans Ie quart de

1'eprouvette cruciforme lorsqu'elle est soumise a une deformation equibiaxiale (p = 1). La deformation equivalente au centre de 1'echantillon est

:a) £,=0,10 m/m,etb) £,=0,18 m/m. ... 113

Figure 4.17 Evolution de la sectioneffectiveen fonction de la deformation et du trajet de

deformation pour : a) Ap etb) A^. ... 114

Figure 4.18 Decomposition de la deformation elastoplastique du milieu cristallin. ... 119

Figure 5.1 Courbes ff(e) uniaxiales experimentale et simulee dans la direction

transversale de la tole 3104. ... 126

Figure 5.2 Courbes a(e) biaxiales simulees dans : a) la direction de laminage, et b) la direction transversale pour la tole 3104. La courbe <7e(£e) est determinee a

partir d'un essai de traction uniaxiale dans la direction de laminage. ... 127

Figure 5.3 Courbes F(e) biaxiales experimentales et simulees dans : a) la direction de

laminage, et b) la direction transversale pour la t61e 3104. La courbe a^{e )

est determinee a partir d'un essai de traction uniaxiale dans la direction de

laminage. ... 128

Figure 5.4 Evolution de 1'erreur absolue moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente. L'ecrouissage de la t61e 3104 est defini a

Figure 5.5 Evolution de 1'erreur relative moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente. L'ecrouissage de la tole 3104 est defini a

Figure 5.6 Courbes a (sj modifiees de fagon a reduire 1'erreur relative moyenne des

forces calculees. ... 131

Figure 5.7 Courbes c7(s) biaxiales simulees dans : a) la direction de laminage, et b) la direction transversale pour la t61e 3104. La courbe c^(^,) est determinee de

(12)

Figure 5.8 Courbes F(e) biaxiales experimentales et simulees dans : a) la direction de laminage, et b) la direction transversale pour la t61e 3104. La courbe a (e^) est determinee de f 09011 a minimiser 1'erreur relative moyenne des forces

calculees. ... 133

Figure 5.9 Evolution de Ferreur absolue moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente. L'ecrouissage de la tole 3104 est defini

par la courbe cr^e^ optimisee. ... 134

Figure 5.10 Evolution de 1'erreur relative moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente. L'ecrouissage de la tole 3104 est defini

par la courbe c^(s^) optimisee. ... 134

Figure 5.11 Courbes a(e) biaxiales "experimentales" pour la t61e 3104 dans : a) la

direction de laminage, et b) dans la direction transversale. ... 136

Figure 5.12 Comparaison de la courbe a(s) experimentale et simulee pour un chargement en traction uniaxiale dans la direction de laminage en vue d'evaluer Ie choix des parametres de la loi d'ecrouissage microstructural pour la t61e 3104. ... 137 Figure 5.13 Comparaison de la courbe a(e) experimentale et simulee pour un chargement

en traction uniaxiale dans la direction transversale de la t61e 3104. La loi d'ecrouissage microstructural est calibree a partir d'un essai de traction

uniaxiale dans la direction de laminage. ... 137

Figure 5.14 Courbes a(e) biaxiales predites par les differents modeles dans : a) la

direction de laminage, et b) la direction transversale pour la t61e 3104. La loi cTecrouissage microstmctural est calibree a partir d'un essai de traction

Figure 5.15 Comparaison de la courbe a(e) experimentale et simulee pour un chargement en deformations planes, en vue d'evaluer Ie choix des parametres de la loi

d'ecrouissage microstructural pour la tole 3104. ... 140

Figure 5.16 Courbes a(e) biaxiales predites par les differents modeles dans : a) la

direction de laminage, et b) la direction transversale pour la tole 3104. La loi cTecrouissage microstmctural est calibree a partir d'un essai en deformations

planes dans la direction de laminage. ... 141

Figure 5.17 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes theories de plasticite pour un travail plastique total fixe a Wp = 0, 022 MPa. . 142 Figure 5.18 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

theories de plasticite pour un travail plastique total fixe a Wp = 0, 25 MPa. .. 143 Figure 5.19 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

theories de plasticite pour un travail plastique total fixe a Wp = 0,515 MPa . . 144 Figure 5.20 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

theories de plasticite pour un travail plastique total fixe a Wp = 1, 34 MPa. ... 145 Figure 5.21 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

(13)

Figure 5.22 Courbes a(e) uniaxiales experimentale et simulees dans la direction

transversale de la tole 1 145. ... 147

Figure 5.23 Courbes a{e) biaxiales simulees dans : a) la direction de laminage, et b) la

direction transversale pour la t61e 1145. La courbe o (e^) est determinee a

Figure 5.24 Courbes F(e) biaxiales experimentales et simulees dans : a) la direction de laminage, et b) la direction transversale pour la t61e 1145. La courbe a^e ) est determinee a partir d'un essai de traction uniaxiale dans la direction de

laminage. ... 150

Figure 5.25 Evolution de Ferreur absolue moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente. L'ecrouissage de la t61e 1145 est defini a

Figure 5.26 Evolution de 1'erreur relative moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente. L'ecrouissage de la t61e 1145 est defini a

Figure 5.27 Courbes a (s^) modifiees de fa9on a reduire 1'erreur relative moyenne des

forces calculees. ... 152

Figure 5.28 Courbes a(e) biaxiales simulees dans : a) la direction de laminage, et b) la

direction transversale pour la t61e 1 145. La courbe o^sj est determinee de

fagon a minimiser 1'erreur relative moyenne des forces calculees. ... 153

Figure 5.29 Courbes F(e) biaxiales experimentale et simulees dans : a) la direction de

laminage, et b) la direction transversale pour la t61e 1 145. La courbe a [e^ ) est determinee de fagon a minimiser 1'erreur relative moyenne des forces

calculees. ... 154

Figure 5.30 Evolution de 1'erreur absolue moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente. L'ecrouissage de la tole 1145 est defini

par la courbe CTg (e^) optimisee. ... 155

Figure 5.31 Evolution de 1'erreur relative moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente. L'ecrouissage de la tole 1145 est defini

par la courbe cr,(£^) optimisee. ... 155

Figure 5.32 Courbes a(e) biaxiales "experimentales" pour la tole 1145 dans : a) la

direction de laminage, et b) dans la direction transversale. ... 157

Figure 5.33 Comparaison de la courbe o"(e) experimentale et simulee par un chargement en traction uniaxiale dans la direction de laminage en vue d'evaluer Ie choix des parametres de la loi d'ecrouissage microstmctural pour la tole 1145. ... 158 Figure 5.34 Comparaison de la courbe a(e) experimentale et simulee pour un chargement

en traction uniaxiale dans la direction transversale de la tole 1145. La loi d'ecrouissage microstructural est calibree a partir d'un essai de traction

(14)

Figure 5.35 Courbes ff(e) biaxiales predites par les differents modeles dans : a) la

direction de laminage, et b) dans la direction transversale pour la tole 1145. La loi d'ecrouissage microstructural est calibree a partir d'un essai de traction

Figure 5.36 Comparaison de la courbe a(s) "experimentale" et simulee pour un essai en deformations planes en vue d'evaluer Ie choix des parametres de la lot

d'ecrouissage microstructural pour la t61e 1145. ... 161

Figure 5.37 Courbes a(s) biaxiales predites par les differents modeles dans : a) la

direction de laminage, et b) dans la direction transversale pour Ie tole 1145. La loi d'ecrouissage microstructural est calibree a partir d'un essai en

deformations planes dans la direction de laminage. ... 162

Figure 5.38 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes theories de plasticite pour un travail plastique total fixe a Wp = 0,025 MPa . . 163 Figure 5.39 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

theories de plasdcite pour un travail plastique total fixe a Wp = 0,05 MPa. .. 164 Figure 5.40 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

theories de plasticite pour un travail plastique total flxe a Wp = 0,15 MPa . ... 165 Figure 5.41 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

theories de plasticite pour un travail plastique total fixe a Wp = 0,36 MPa . .. 166 Figure 5.42 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

theories de plasticite pour un travail plastique total fixe a Wp = 0,9 MPa . .... 167 Figure 5.43 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

theories de plasticite pour un travail plastique total fixe a Wp = 2 MPa. ... 168 Figure 5.44 Surface d'ecoulement "experimentale" et celles predites par differentes

theories de plasticite pour un travail plastique total fixe a Wp = 5,19 MPa . ... 169

Figure 5.45 Contours de travail plastique pour la tole 1145 ou : 1) Wp = 0,15 MPa, 2)

Wp = 0,36 MPa, 3) ~WP =0,9~MPa, 4) Wp = 2 MPa, 5) Wp = 5,19 MPa. 171

Figure 6.1 Evolution a) du rapport de deformation impose experimentalement, et b) de la force mesuree, en fonction du temps ecoule depuis Ie debut d'un essai a

deformations equibiaxiales sur la tole 3104. ... 175

Figure 6.2 Evolution a) du rapport de deformation impose experimentalement, et b) de la force mesuree, en fonction du temps ecoule depuis Ie debut d'un essai a

deformations equibiaxiales sur la t61e 1145. ... 176

Figure 6.3 Comparaison de trajets de deformation simules et experimentaux pour la t61e

3104. ... 178

Figure 6.4 Comparaison de trajets de deformation simules et experimentaux pour la tole

(15)

Figure 6.5 Evolution de 1'erreur absolue moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente pour deux valeurs du coefficient de

Poisson dans les bras de 1'eprouvette cruciforme. ... 180

Figure 6.6 Comparaison de la surface d'ecoulement de la t61e 3104 definie par une analyse alternative et Ie contour de travail plastique etabli par notre methode

d'analyse iterative lorsque £/ = 0,001 m/m. ... 182

Figure 6.7 Comparaison de la surface d'ecoulement de la t61e 1145 definie par une analyse alternative et Ie contour de travail plastique etabli par notre methode

d'analyse iterative lorsque £/ = 0,001 m/m. ... 183

Figure 6.8 Prediction de la limite d'elasticite en traction uniaxiale en fonction de 1'angle entre la direction de chargement et la direction de laminage pour : a) la t61e

3104, et b) la tole 1145. ... 186

Figure 6.9 Prediction du coefficient d'anisotropie en fonction de 1'angle entre la direction

de traction et la direction de laminage pour : a) la t61e 3104, et b) la t61e

1145. ... 187

Figure 6.10 Prediction de la limite d'elasticite en traction uniaxiale avec Ie modele de HILL (1990) en fonction de 1'angle entre la direction de chargement et la direction

de laminage pour la tole 3104. ... 192

Figure 6.11 Prediction du coefficient d'anisotropie avec Ie modele de HILL (1990) en

fonction de 1'angle entre la direction de chargement et la direction de laminage

pourlat61e3104. ... 192

Figure 6.12 Surfaces d'ecoulement definies par Ie modele de BILL (1990) pour trois cas

d'anisotropie. ... 193

Figure 6.13 Evolution de 1'erreur absolue moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente, pour deux valeurs de 1'exposant m dans Ie

modele de HILL (1990). ... 194

Figure 6.14 Evolution de 1'erreur absolue moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente, pour deux valeurs de 1'exposant m dans Ie

modele de BARLAT et LIAN (1989). ... 196

Figure 6.15 Evolution de 1'erreur absolue moyenne des forces calculees en fonction de la deformation plastique equivalente, pour deux valeurs de la limite d'elasticite

en traction equibiaxiale. ... 197

Figure 6.16 Comparaison de la courbe a(e) experimentale et simulee pour un chargement en traction uniaxiale dans la direction de laminage, en vue d'evaluer Ie choix des parametres de la loi d'ecrouissage microstmctural pour la t61e 1145. ... 199 Figure 6.17 Prediction du coefficient d'anisotropie avec Ie modele polycristallin en

fonction de 1'angle entre la direction de traction et la direction de laminage

pour : a) la t61e 3104, et b) la tole 1145 (adapte de SAVOIE et coll., 1995). .. 201

Figure 6.18 Figures de p61e (111) indiquant la texture a) initiale, et b) finale de la tole

1145 soumise a un chargement equibiaxial (p = 1) jusqu'a une deformation

(16)

Figure A.l Schema du maillage de 1'eprouvette cruciforme. ... 214

Tableau 3.1 Composition chimique de 1'alliage 3104. ... 63

Tableau3.2 Proprietes mecaniques delat61e3104-H19. ... 64

Tableau 3.3 Proprietes mecaniques de la t61e 1145-0. ... 67

Tableau 6.1 Valeurs des parametres d'anisotropie de la fonction d'ecoulement de HILL (1990) calculees pour la t61e 3104 selon trois methodes differentes. ... 191

(17)

Liste des symboles

a, c, h, p coefficients du critere d'ecoulement de BARLAT et LlAN (1989) a, b, a coefficients du critere d'ecoulement de HJLL (1990)

Ap A^ sections effectives de 1'eprouvette cmciforme pour les deux directions de chargement

Ap..., A() coefficients du critere d' ecoulement de GOTOH (1977) A, B, C, F, G, H coefficients du critere d'ecoulement de ?LL (1979) b(s), bw vecteur direcdon de glissement dans Ie monocristal c constante d'ecrouissage caracteristique du matenau (2-33) c, p, q constantes apparaissant dans Ie critere de HH.L (1993)

Cy coefficients du critere d'ecoulement de JONES et GDJJS (1984)

Cir C^, €44 composantes non nulles du tenseur des modules elastiques de la maille

cristalline L°

Cy.y tenseur des complaisances plastiques instantanees dWP increment de travail plastique

day deplacement du centre de la surface d'ecoulement de^ increment de deformation

depj tenseur increment de deformation plastique

def, de^, dsf increments des deformadons plastiques principales

de^ increment de deformation equivalente plastique dy increment de cisaillement

dy(g) increment de cisaillement dans Ie plan de glissement cristallin

dX scalaire posidf

d[i facteur de proportionnalite positif

rfcTy tenseur increment de contrainte

da]j tenseur increment de contrainte elastique d<^ variation de la foncdon d'ecoulement plastique

D\ Dp, D tenseurs taux de defonnadon elastique, plastique et total du reseau cristallin E, £5, ET modules elastique, secant et tangent

£'?...,£'„ modules elastoplastiques tangents constants du cntere de MROZ ( 1967) E tenseur de deformation macroscopique du polycristal

E , Epj tenseur taux de deformation plastique macroscopique / composantes des forces volumiques

(18)

fp..., f,, surfaces d'ecoulement definies par Ie modele d'ecrouissage de MROZ (1967)

f(9) fonction de transition dans la theorie a coins J^

F(s) courbe force-deformation

Fe, F vecteurs des forces connues elementaire et global

Fe, F vecteurs des increments de force connus elementaire et global

F , Fp, F gradients de la transformation elastique, plastique et totale du milieu cristallin F, G, H, L, M, N coefficients du critere d'ecoulement de HILL (1948)

g(a) rayon de la surface d'ecoulement pour Ie critere de BUDIANSKY (1984)

g;, g' vecteurs de base covariants et contravariants dans la base non defomiee gy, gu composantes covariantes et contravariantes du metrique dans la base non

deformee

G,, G' vecteurs de base covariants et contravariants dans la base deformee

Gy, Gl] composantes covariantes et contravariantes du metrique dans la base deformee h scalaire determine par Ie taux d'ecrouissage

h taux d'ecrouissage asymptotique

J^ deuxieme invariant du tenseur deviatorique des contraintes k parametre

K parametre dans la loi de Hollomon (4-88)

K^, K^ invariants du tenseur de contrainte (2-17), (2-19) Ke, K matnces de rigidite elementaire et globale

L tenseur des modules elasdques de la maille cristalline

U, L, Lc tenseurs des modules elastoplastiques instantanes d'interaction, de la matnce et du cristal (section 2.2.4)

U, L, If gradients vitesse de la transformation elasdque, plasdque et totale du milieu cristallin (section 4.5.1)

/s >s

tenseurs des modules elastique, elastoplastique instantanes

coefficient de sensibilite a la vitesse de deformation m = 3 Log a 13 Log £

facteur de Schmid du cristal

parametres reels

facteurs de Taylor pour Ie monocristal et Ie polycnstal

tenseurs des complaisances elastique et elastoplastique instantanees coefflcient d'ecrouissage n = 9 Log o"/<9 Log £

vecteur normal au plan de glissement constante dependant de E, £5, E^ (2-39)

nombre de grains dans la discretisation de la texture cristallographique vecteur des fonctions d'interpolation

L,

m

m(s m, M, A. M, n n(8)

N

L

', m^

n

M

/\

M

n(g) , 1^

(19)

(^j composantes physiques du tenseur des contraintes de Kirchhoff R coefficient d'anisotropie : R=de^/de^

RQ , ^45, 2^o coefficients d'anisotropie determines par essai de traction uniaxiale a 0°, 45° et

90° de la direction de laminage

R coefficient d' anisotropie moyen Sy tenseur deviatorique des contraintes S facteur defini par : S=T /<7^

tl composantes du vecteur tracdon nominale u, M, vecteur deplacement

ue u vecteurs des deplacements nodaux elementaire et global

/\ /"\

ue, u vecteurs des increments de deplacement nodaux elementaire et global Wp travail plastique par unite de volume

Wp potentiel plastique (2-40), (2-41) et(2-42)

a angle

a rapport des contraintes a = o^a^

a constante dans la loi constitutive elastoplastique generale (3-35)

a fonction d'accommodation plasdque de BERVED.LER et ZAOUI (1 979)

Oy composantes du tenseur de contrainte exprimant la position du centre de la

surface d'ecoulement

,5 angle que font les tangentes a un point singulier avec la direction radiale y composante de cisaillement dans Ie plan d'une tole

y(s) taux de cisaillement pour un systeme de glissement /o taux de cisaillement de reference

8j symbole de Kronecker : ^ = 1 si i = j, mais <5J =0 si t^ 7

8W , 8We travail virtuel des forces mtemes et extemes

£, ep deformation, deformation plastique

£^,£, y composantes du tenseur de deformations dans Ie plan d'une tole €i, £2' £3 deformations principales

e taux de deformation

e tenseur de deformation microscopique (2-46) e, £y tenseur taux de deformation

epj composantes du tenseur de defomiation plastique £pj composantes du tenseur taux de defomiation plastique e defonnation equivalente

(20)

£;

£z'

^

Tl", 0,

A

A,

^y

jU

^

v 71

p

PQ^ <J

^

r1,

i1y

np ' 'lij 00» ec

^

p

a(e)

a{e'\

^

^o»

^

a.(e

a, 0, (7.

^

a,

^

s

£, T, <,

e')

cr^, CT3 • <745» (790

A)

a.i a, , CTy, T^y > 0-0

^

r,

^

defomiation plastique equivalente

deformations axiale et circonferencielle dans un tube tenseur de deformation de Lagrange

tenseur taux de deformation de Lagrange

tenseur taux de defonnation plastique de Lagrange angles

scalaire positif

allongements principaux

composantes de la normale exterieure a la surface qui delimite Ie domaine elastique dans 1'espace des taux de deformation

module de cisaillement elastoplastique vecteur normal a la surface d'ecoulement coefficient de Poisson

constante 7T=Arccos(-l)

rapport de la deformation principale dans la direction transversale sur la

deformation principale dans la direction longitudinale de la tole

densite du milieu a 1'etat inidal et deforme contrainte de traction uniaxiale

courbe contrainte-deformation

courbe contrainte-deformation plastique contraintes pnncipales

limites d'elasticite pour les essais uniaxiaux a 0°, 45° et 90° par rapport a la direction de laminage

limite d'elasticite en tracdon equibiaxiale contrainte equivalente

courbe contrainte equivalente-defonnation equivalente tenseur des contraintes

tenseur taux de contrainte

limite d'elasticite en traction uniaxiale (pour un materiau isotrope) composantes du tenseur des contraintes dans Ie plan d'une tole limite du comportement lineaire elastique

contraintes axiale et circonferencielle dans un tube tenseur de contrainte macroscopique du polycdstal tenseur taux de contrainte macroscopique du polycristal tenseur de contrainte de Kirchhoff

(21)

T(y) courbe d'ecrouissage microstructural

To cission critique initiale d'un systeme de glissement ^ cission resolue critique

T, TQ?) cission resolue dans un plan de glissement

T, cission de saturation dans la loi d'ecrouissage (4-103)

Tyi limite d'elasticite en cisaillement simple \a^ = (Jy = 0, T^, = Tyi Ty2 limite d'elasdcite en cisaillement pur [a^ = -Oy = T 2, T^y = OJ

0, ^{Oij} fonction d'ecoulement

% angle

(22)

Chapitre 1

(23)

1. INTRODUCTION

Depuis longtemps, 1'homme cherche a transformer les materiaux qui lui sont disponibles pour en faire des objets qui servent ses ambitions. Un des precedes de transformation qu'il a decouvert consiste a modifier la forme d'un metal par deformation plastique. En effet, les peuples antiques ont appris a travailler Ie fer et Ie cuivre dans Ie but d'obtenir, par exemple, des armes pour les hommes et des parures pour les femmes. Certains, par contre, ont concentre leurs talents dans 1'adoration de Dieu, comme c'est Ie cas de Bezaleel, cet artisan hebreu employe a former des omements d'une grande beaute pour Ie Tabernacle. Son habilete lui a permis de realiser, entre autres choses, un chandelier a six branches et des cherubins en martelant des lopins d'or massif.

Bien que la mise en forme des metaux soit une technique tres ancienne, elle contribue toujours a meubler notre environnement. Dans notre quotidien, nous employ ons de nombreux objets obtenus par formage : nos appareils electromenagers, les bottes de conserves, et meme Ie trombone qui tralne sur Ie bureau. A 1'heure actuelle, les metaux peuvent etre transformes par une multitude de precedes differents, et 1'on distingue habituellement deux types de mise en forme : celle des "produits longs" ou massifs et celle des "produits plats", en 1'occurrence, les t61es. Dans Ie premier cas, on retrouve des operations telles que Ie forgeage, 1'extrusion et Ie trefilage. Le forgeage de pieces mecaniques n'est plus realise au marteau et a 1'enclume, mais a 1'aide de presses tres puissantes. Le vilebrequin dans Ie moteur d'une automobile, par exemple, est realise par forgeage a chaud. L'extrusion et Ie trefilage consistent, d'une £09011 generale, a forcer un lingot de metal a travers une filiere pour obtenir des tubes et autres profiles ou du fil.

Les toles, quant a elles, sont obtenues par laminage : cette operation consiste a envoyer un lingot de metal a grande vitesse entre deux rouleaux de meme diametre pour en reduire 1'epaisseur. Une tole mince est alors un produit semi-fini qui peut etre mis en forme par pliage, par estampage ou par emboutissage. L'industrie de 1'automobile utilise Ie precede d'estampage pour former les elements de carrosserie : un poin^on vient enfoncer la t61e au fond d'une matrice creuse pour qu'elle en epouse la forme. L'emboutissage profond est employe couramment dans 1'industrie alimentaire pour produire des cannettes de boisson ainsi que des contenants de formes tres variees. Le travail que nous allons presenter s'insere justement dans Ie cadre de la mise en forme des t61es.

Parmi tous les precedes de formage auxquels nous avons fait allusion, la mise en forme des t61es est probablement celui qui, de nos jours, offre encore Ie plus grand defi. Si 1'on considere par exemple la fabrication des panneaux de carrosserie d'une voiture, les exigences en matiere de

(24)

poids, de resistance mecanique et de corrosion deviennent de plus en plus severes, sans parler des tolerances geometriques qui sont attendues du produit final. L'emboutissage des cannettes de boisson est egalement devenue une operation tres complexe : en effet, plus 1'epaisseur des parois tend a diminuer, meilleures doivent etre les performances mecaniques de la t61e. Qui plus est, les tolerances exigees, quant a la geometric d'une cannette, sont maintenant de 1'ordre de 0,01 mm

(HOSFORD et DUNCAN, 1994).

La reussite d'une telle operation de mise en forme depend d'un grand nombre de facteurs : les taux de deformations imposes, les phenomenes de frottement entre Ie metal et 1'outillage, Ie comportement mecanique de la t61e (sa ductilite et son homogeneite), Ie developpement des instabilites plastiques, et les effets de retour elastique apres 1'extraction, pour n'en citer que quelques-uns. Face a la complexite du probleme et aux co1&ts entratnes lorsque ces procedes font defaut en milieu industriel, on est en droit de se demander s'il est possible de prevoir la combinaison optimale de tous ces facteurs de maniere definitive. En d'autres termes, comment peut-on produire, a moindre cout, des objets emboutis ou estampes ayant les proprietes requises? Voila tout Ie defi qui est lance a 1'ingenieur de mise en forme.

L'approche traditionnelle pour optimiser un processus de formage consiste a modifier tour a tour chacun des facteurs contribuant au deroulement de 1'operation. Le praticien pouvait ainsi se forger, au fil des annees, une experience et un savoir-faire lesquels servaient ^ lui donner une longueur d'avance sur Ie concurrent. La mise en forme d'une tole etait alors un art qui ne pouvait guere se transmettre d'une personne a une autre. Dans Ie contexte socio-economique actuel, cette approche artisanale n'est plus envisageable parce que trop couteuse. De nos jours, la communaute scientifique se penche sur ces problemes industriels dans 1'optique de proposer des solutions rationnelles. Pour cette raison, les chercheurs de disciplines diverses tentent premierement de comprendre les phenomenes enjeu lors de la mise en forme, puis de les modeliser.

Bien que 1'etude de la mise en forme touche a des domaines de recherche tres varies, nous allons, dans ce travail, concentrer notre attention sur la caracterisation du comportement mecanique des t61es. La plupart des procedes de mise en forme induisent des modes de deformation complexes et des deformations plastiques qui, localement, peuvent etre tres elevees. II est done necessaire de formuler des lois de comportement qui soient a la fois precises quant a leurs predictions et generales dans leur application. Cela fait deja plus d'un siecle que les ingenieurs et chercheurs etudient la plasticite des alliages metalliques, et dans ce domaine, il existe essentiellement deux philosophies de la modelisation : 1'approche cristalline et 1'approche phenomenologique.

(25)

Dans Ie premier cas, on s'interesse a 1'influence de la structure inteme et du comportement des constituants du materiau. C'est ainsi que 1'on a reussi a determiner la structure atomique des metaux et leurs principaux mecanismes de deformation plastique. Les progres en sciences des materiaux ont mene a la decouverte importante des dislocations au debut des annees 1930. L'observation du deplacement des dislocations dans certains plans cristallographiques a contribue a la comprehension du glissement, et plus generalement, de 1'ecoulement plastique dans les

monocnstaux.

Le resultat de ces phenomenes microscopiques est ensuite extrapole au comportement global des polycristaux par une operation de moyenne qui s'appuie sur 1'agencement de ses constituants. Cette approche a permis de formuler une classe de modeles tres puissants, parce que bases sur la microstructure du materiau et les mecanismes physiques de deformation a 1'echelle de 1'atome. Cependant, 1'etude de la structure inteme des materiaux polycristallins a revele la complexite des phenomenes lies a la deformation, et il est difficile de modeliser Ie comportement macroscopique a pardr de ces seules variables intemes. De plus, 1'integration de ces modeles dans les codes de calcul n'est pas chose evidente, et a toute fin pratique, ils ne sont pas utilises pour la simulation numerique des precedes industriels.

La deuxieme approche consiste en une description phenomenologique du comportement plastique des materiaux, c'est-a-dire qu'un modele rheologique, faisant intervenir certaines variables macroscopiques, etablit une relation entre les contraintes appliquees et la deformation resultante sans tenir compte des mecanismes de deformation microscopiques. La puissance de cette formulation mathematique provient de ce que les lois de comportement sont facilement mises en oeuvre et representent un outil que 1'industrie peut directement utiliser. Toutefois, leur faiblesse decoule de la necessite d'effectuer de nombreux essais pour chaque materiau considere.

Le travail experimental necessaire pour caracteriser Ie comportement macroscopique d'une t61e vise, d'une part, a decrire 1'anisotropie du materiau et, d'autre part, a en determiner la loi d'ecrouissage. En effet, la capacite d'emboutissage d'une t61e est directement liee a sa capacite de s'ecrouir, et Ie developpement de comes d'emboutissage depend etroitement de 1'anisotropie de celle-ci. Differents types d'essais ont done ete corpus pour repondre a ce besoin, et Ie plus connu d'entre eux est 1'essai de traction uniaxiale. Un certain nombre d'essais permettent en outre de determine! Ie comportement biaxial des toles. Cependant, ces essais mecaniques courants presentent des limitations qui sont independantes de la qualite de leur realisation. D'une maniere generate, les modes de defomiation qui sont imposes restent simples, et ainsi les renseignements sur Ie comportement demeurent restreints.

(26)

L'objectif principal de notre etude est de developper une procedure experimentale qui permette de caracteriser Ie comportement biaxial d'une tole et de fournir des donnees qui sont encore difficiles, voire impossible a obtenir avec les essais classiques. Le chargement d'une eprouvette cruciforme dans son plan est sans doute la meilleure fa9on de simuler les sollicitations biaxiales qui sont imposees a une t61e lors de sa mise en forme. Plusieurs chercheurs ont deja employe ce type d'essai, mais pour la plupart, les resultats experimentaux restent limites de par la nature des hypotheses introduites dans leur analyse. Jusqu'a present, cet essai biaxial n'a pas ete pleinement exploite. Nous aliens done proposer une methode d'analyse des essais sur eprouvettes cmciformes qui soit rigoureuse, et qui puisse decrire 1'anisotropie et 1'ecrouissage des toles minces selon divers modes de deformation.

Dans un premier temps, nous passerons en revue 1'essentiel du travail qui a ete realise pour modeliser les phenomenes de plasticite a grandes deformations. Nous serons amenes a considerer divers modeles phenomenologiques, puis les differentes classes de modeles cristallins. Nous ferons egalement une revue des etudes experimentales qui permettent de determiner Ie comportement biaxial des materiaux.

A la suite de ce tour d'horizon, nous decrirons en detail Ie travail experimental que nous avons effectue sur eprouvettes cmciformes. Nous presenterons Ie materiel et Ie protocole d'essais qui nous ont permis de caracteriser Ie comportement et 1'anisotropie de deux t61es d'aluminium. Du reste, nous etudierons certaines considerations liees a 1'analyse des donnees experimentales telles que la definition du seuil d'ecoulement plastique et la determination des contraintes dans les eprouvettes cruciformes.

Par ailleurs, nous verrons que 1'analyse rigoureuse de cette methode experimentale passe par la simulation numerique des essais biaxiaux. Nous presenterons done les equations de la mecanique des milieux continus qui permettent d'elaborer un modele de plasticite phenpmenologique. Differents modeles anisotropes ont ete incorpores a un programme d'elements finis, et les aspects particuliers du code qui ont ete developpes en vue de 1'analyse de 1'echantillon cruciforme sont mis en relief. Cet outil numerique est ensuite employe dans Ie cadre d'une methode d'analyse iterative que nous avons mise au point, et qui mene a une description precise du comportement des toles minces. Finalement, nous presentons succinctement la formulation et la mise en oeuvre d'un modele de plasticite polycristallin, dans Ie but de simuler Ie comportement des

(27)

Apres la presentation des resultats de 1'analyse numerique des essais biaxiaux au chapitre 5, nous procedons a la validation du travail experimental d'abord, et des analyses numeriques ensuite. Ayant utilise differentes theories de plasticite au cours de 1'etude, nous sommes en mesure de comparer les predictions de chacune et d'en evaluer les forces et les faiblesses. Nous mettons egalement en contraste notre methode d'analyse iterative des essais biaxiaux et une technique que nous avions utilisee anterieurement. En dernier lieu, nous commentons sur les donnees experimentales obtenues a partir des essais biaxiaux en soulignant certains phenomenes tels que 1'evolution de 1'anisotropie au cours de la deformation, et dont la prise en consideration dans les modeles phenomenologiques ameliorerait certainement les predictions.

(28)

Chapitre 2

REVUE DE LA PLASTICITE

A GRANDES DEFORMATIONS

(29)

2. REVUE DE LA PLASTICITE A GRANDES DEFORMATIONS

2.1 Modeles phenomenologiques

L'etude du comportement inelastique des metaux, effectuee dans Ie cadre de la mecanique des milieux continus, a permis d'etablir un fondement mathematique et une description pheno-menologique complete de la theorie de la plasticite. II est generalement reconnu que cette description comporte trois grandes parties : un critere de plasticite qui definit une surface d'ecoulement plastique, un critere d'ecrouissage qui caracterise 1'evolution de cette surface au cours du chargement, et une loi constitutive associee qui relie les contraintes et les deformations.

D'emblee, il est necessaire de definir un critere d'ecoulement afin de determiner 1'etat de contrainte a partir duquel une deformation irreversible apparait, et ceci quel que soit Ie trajet de chargement. On definit habituellement ce seuil comme etant la contrainte apres une certaine deformation inelastique fixee, mais parfois on Ie definit par extrapolation. La maniere de definir Ie seuil de plasticite influe sur la taille et la forme de la surface d'ecoulement, et par consequent ceci affecte les calculs de limites de formage (BARLAT, 1987). C'est pourquoi de nombreux travaux ont ete consacres a la determination de criteres d'ecoulement pour materiaux isotropes et anisotropes, et nous allons revoir les plus importants d'entre eux.

2.1.1 Revue historique des criteres d'ecoulement plastique

Criteres d'ecoulement isotropes

En 1864, TRESCA a etabli un critere d'ecoulement simple decrivant un materiau isotrope sans effet Bauschinger. L'ecoulement plastique se produit lorsque la cission maximale atteint la

limite d'elasticite en cisaillement pur Ty^ (o'y = -o"^ = T 2' T^y = 0):

CTi-(T3=2T^ (2-1)

ou o"i et o"3 sont respectivement les contraintes principales maximale et minimale.

En 1913, VON MlSES a formule un critere d'ecoulement en fonction de la limite d'elasticite en traction uniaxiale a^:

(30)

ou J^ est Ie deuxieme invariant du tenseur deviatorique des contraintes. Le critere J^ a sans doute ete Ie plus employe pour decrire Ie comportement plastique de materiaux isotropes.

Plus recemment, HOSFORD (1972) a generalise Ie critere quadradque de VON MlSES en introduisant un parametre m qui permet d'ajuster la forme de la surface d'ecoulement:

(ff, - ^)" + (ff, - ,73)" + (<7, - <73)" = 20; (2-3)

Bien que ces principaux criteres d'ecoulement plastique pour materiaux isotropes soient largement utilises, notamment celui de VON MlSES, leur domaine d'application demeure relativement restreint. En effet, la plupart des materiaux presentent un certain degre d'anisotropie, et c'est Ie cas plus particulierement des t61es qui servent dans les precedes de mise en forme. Nous allons done revoir quelques-uns des criteres anisotropes rencontres dans les ouvrages deja publies.

Criteres d'ecoulement anisotropes

HILL (1948) fut Ie premier a developper un critere d'ecoulement anisotrope. Dans Ie cas general de chargement. Ie critere s'ecrit sous la forme :

20(a,) = F(a, - cr,)2 + G(<T, - a,)2 + H(a, - a,)2

+2L^+2Mr^+2Nr^=l

ou F, G, H, L, M et N sont des parametres qui decrivent 1'anisotropie. Dans Ie cas oH Ie materiau est isotrope dans Ie plan et Ie chargement est en contraintes planes, Ie critere peut se reduire a:

a[ +c^ + R (a, - a^f = (1 + R)a^ (2-5)

ou R est Ie coefficient d'anisotropie defini par:

'p

R=u^ (2-6)

de^

lorsque la t61e est soumise a une traction uniaxiale dans la direction de laminage (direction 1).

Ce critere d'ecoulement quadratique est tres simple et a certainement ete Ie plus employe pour decrire les surfaces d'ecoulement de t61es minces. Pour un etat de chargement plan, trois essais de traction uniaxiale sont suffisants pour determiner completement la surface : chacun des essais sert a etablir les valeurs de 7^, R^ et R^Q (1'indice inferieur represente 1'angle en degres que fait la direction de traction par rapport a la direction de laminage). Malgre cela, certaines limitations

(31)

intrinseques ont ete mises en evidence.

On peut montrer par exemple que 1'equation (2-5) se ramene a:

-l2

^

o-,,

1+R

_(2-7)

lorsque a^ est la limite d'elasticite en traction equibiaxiale (c7i = a^ = CT^,), ce qui signifie que ablau et ^ sont superieurs ou inferieurs a 1 simultanement.

Cependant les travaux experimentaux de WOODTHORPE et PEARCE (1970) ont montre que F aluminium ne verifiait pas cette condition. Ainsi les metaux qui presentent ce "comportement anormal", c'est-a-dire lorsque R est inferieur a 1, ne peuvent pas etre decrits adequatement par ce critere. De plus, BARLAT (1987) souligne que les limites de formage calculees a partir du critere de HILL (1948) sont beaucoup plus elevees que celles obtenues experimentalement. Mais a cause de sa simplicite, il est encore largement utilise.

En 1977, GOTOH (1977a; 1977b) a propose un critere d'ecoulement sous forme d'une fonction polynomiale du quatrieme degre, afin de surmonter Ie probleme de "comportement

anormal":

0(0,) = ACT,4 + 40^, + 4(7^ + A4CT^ + 4^

+(A^2+^^+4^)+A,<

(2-8)

ou les neuf coefficients A^ a A^ peuvent 8tre determines a partir de quatre essais de traction uniaxiale et un essai de traction equibiaxiale. Bien que son critere soit plus lourd a manipuler que celui de HILL, GOTOH (1977b) montre experimentalement qu'il decrit mieux 1'ecoulement plastique initial pour des t61es en acier "calme" a 1'aluminium et en Cu- (X)H.

En se basant sur les mecanismes de deformation elementaires dans les monocristaux ainsi

que sur les modeles de deformation polycristallins, BASSANI (1977) a etabli un critere

d'ecoulement pour les materiaux isotropes dans un plan, lequel est defini a partir de quatre parametres seulement:

0(^)=

^1+^2 2a, n + a,-a,

2^

-1

(2-9)

(32)

(pour maintenir la convexite de la fonction). En fixant la valeur de m (m = 2, par exemple), Ie "comportement anormal" disparalt. De plus, dans Ie cas de materiaux isotropes, Ie critere de BASSANI decrit de fa9on plus precise que celui de VON MlSES les surfaces d'ecoulement calculees a

1'aide du modele polycristallin de BISHOP et HILL (1951a; 1951b) (BASSANI, 1977).

En 1979, HELL a propose un autre critere d'ecoulement, non quadratique cette fois, decrit a 1'aide de sept param^tres dans sa forme generale:

CT:=For, -o,

+G

cr.-cr,

+H

CT, -C^ +

A|2o\ - a^ - G^\" + B\2a^ - a^ - a^' + C\la^ - a^ - a^\

mais qui peut se reduire a la forme suivante pour une tole isotrope dans son plan:

\(7, + ^\m + (1 + 2R)\a, - a^ = 2(1 + R)al;

(2-10)

(2-11)

Le parametre m, qui est superieur a 1, permet une description plus souple de la surface d'ecoulement que Ie critere de 1948 et de plus, Ie "comportement anormal" n'apparatt plus (HILL, 1979; DODD et CADDELL, 1984). Ce modele d'ecoulement est particulierement utile pour decnre Ie comportement plastique de materiaux dont la valeur de R est inferieure a 1 et pour predire les limites de formage (PARMAR et MELLOR, 1978). Neanmoins, les directions de chargement et les axes d'orthotropie doivent rester coaxiaux (BARLAT, 1987). Lorsque Ie materiau envisage est anisotrope dans son plan, on remplace generalement Ie coefficient d'anisotropie R par une valeur moyenne R :

~R - RQ + 2R45 + R90

4 (2-12)

Mais certains auteurs (KOBAYASHI et coll., 1985; HILL, 1990) doutent de la validite de la

simplification (2-12), et y voient un manque de rigueur.

Ce deuxieme critere de HILL surmonte done certains inconvenients poses par celui de 1948 et semble decrire adequatement un certain nombre de materiaux (KOBAYASHI et coll., 1985). Cependant, il n'est pas necessairement Ie meilleur critere pour toutes les applications (VlAL et coll.

1983).

En 1980, LOGAN et HOSFORD ont public un critere d'ecoulement relativement simple, qui prend la forme suivante sous chargement plan:

(33)

Un seal essai de traction uniaxiale permet de determiner les valeurs R et a , et la valeur m = 6 semble dormer la meilleure correlation avec les points experimentaux pour les materiaux CC, alors que m = 8 pour les metaux CFC. Toutefois, 11 ne tient pas compte du "comportement anormal" de certains matenaux (DODD et CADDELL, 1984).

Quatre annees plus tard, JONES et GlLLIS (1984) ont propose un nouveau critere d'ecoulement quadratique qui se ramene au critere de VON MlSES lorsque Ie materiau etudie est isotrope:

cllcr0 + cl2°0(790 + C13a0(745 + C22<790 + C23cr90(745 + C33(745 = °'. (2-14)

ou a^ est la contrainte equivalente (voir Ie paragraphe 2.1.2) definie en fonction de a^ 045 et 090, les contraintes dans les directions a 0°, 45° et 90° de la direction de laminage. Les six constantes Cy. sont determinees experimentalement et en conjonction avec Ie principe de 1'equivalence du travail plasdque, et pennettent de decrire Ie comportement plastique avec plus de precision que Ie critere de HILL a trois parametres (2-11). Parmi les inconvenients associes a cette loi d'ecoulement, nous

mentionnerons Fhypothese faite par JONES et GlLLIS (1984) de negliger Ie cisaillement dans un

materiau orthotrope sollicite uniaxialement a 45° par rapport a la direction de laminage. Cette hypothese permet de dire que les directions principales des contraintes coincident avec celles des deformations, mais sa validite n'a pas ete prouvee. Finalement, Ie vecteur increment de deformation obtenu a partir de cette formulation, quoiqu'il soit unique, n'est pas forcement normal

a la surface d'ecoulement.

En 1984 toujours, BUDIANSKY a propose une loi d'ecoulement plastique pour les materiaux isotropes dans Ie plan, qui prend la forme d'une fonction parametrique:

cr,+<7, I x = "\' -1 = ^(a)cos a 2(7,,

^ (2-l5)

<^-0i /,.^ . 1);=^_"1 =gWsma l'y2

ou g{a) est la valeur du ray on de la surface cTecoulement normalisee, et a est 1'angle que fait Ie rayon considere avec 1'axe des abscisses (Fig. 2.1):

(34)

^_

2

-0; T.

1

-1

g(")y

a

1 _^

2

+0-1

^

Figure 2.1: Surface d'ecoulement definie par Ie critere de BUDIANSKY (1984).

Un grand avantage de cette loi d'ecoulement generale est de pouvoir decrire la plupart des criteres precedents. En couplant ce critere avec les relations constitutives appropriees, il est possible de trouver les solutions exactes pour certains problemes en petites deformations, comme celui d'un trou circulaire dans une plaque mince chargee en traction equibiaxiale (BUDIANSKY,

1984).

Parce qu'ils sont conscients de la grande influence de la forme des surfaces d'ecoulement sur les resultats obtenus dans les problemes d'instabilite, BARLAT et RICHMOND (1987) ont propose leur propre critere. Us ont modifie Ie critere isotrope de HOSFORD (2-3), et, pour un etat de contrainte plane, la loi d'ecoulement devient:

\K, - K^ + \K, + K^ + |2^F = 2o-,m

ou K^ et K^ sont des invariants du tenseur des contraintes definis par:

(2-16)

K,= o\. + a,

(2-17)

L'in variant K^ depend de la composante de cisaillement afin que Ie critere puisse decrire completement les materiaux orthotropes et non seulement les t61es isotropes dans Ie plan. En effet, la forme des surfaces de charge a trois composantes varie suivant la valeur du coefficient

(35)

S= r /a^. Pour les materiaux isotropes CFC, ce critere mene a des surfaces qui coincident parfaitement avec les valeurs calculees a partir du modele polycristallin de BISHOP-HILL (195 la; 1951b), puis en conjoncdon avec Ie modele de MARCINIAK-KUCZYNSKI (1967), les diagrammes de limites de formage et les directions de striction calculees sont tres proches des resultats experimentaux.

En 1989, BARLAT et LlAN ont etendu Ie critere precedent (2-16) aux materiaux anisotropes dans Ie plan. Dans ce cas, on a:

a\K^ + K^\m + a\K, - K^ + c\2K^ = 2 a;' (2-18)

0. + ^0\,

K,=:—12-

_{^~ 2}

avec ^^ ,_^ ^2 (2-19)

^^^'

ou a, c, h, p sont des constantes determinees a partir de trois essais de traction uniaxiale, un essai de cisaillement simple (o^ = o\, =0, T^, = Tyi) et un essai de traction equibiaxiale : elles sont exprimees en fonction des limites d'elasticite respectives Oo, 045, ^o, T i et c^ (BARLAT et LlAN, 1989). En plus de bien decrire la forme de la surface d'ecoulement predite par les modeles polycristallins, ce critere est capable de representer Ie comportement des t61es anisotropes dans leur plan, meme lorsque les axes de chargement ne sont pas colineaires aux axes d'orthotropie de la t61e.

En 1990, HILL a propose un troisieme critere d'ecoulement qui permet de decrire Ie comportement de t61es sollicitees dans leur plan suivant une direction quelconque par rapport aux axes d'orthotropie. Dans Ie cas general, cette loi se presente sous la forme d'une somme de

termes:

,wi I . im . f , 1m| im

(2aJ = |CT, + CT^F +{cT,/Ty4"l|o-i - aj' +

(2-20)

of + CT^ -2a(c7? - a^) + b(a^ - 0-2) cos2a

ou a represente 1'angle que font les directions principales des contraintes par rapport aux axes d'orthotropie et m est un parametre superieur a 1. a et b sont deux constantes sans dimension qui dependent des valeurs des limites d'elasticite cTo, a^, a^ et a^. Dans Ie cas ou Ie materiau est isotrope dans Ie plan, Ie critere se reduit a 1'expression suivante:

(36)

G-,+0.

+{<T,/T,,}>i-<=(2CT,,)" (2-21)

qui est alors equivalente au critere propose par HILL en 1979 (2-11).

II semblerait que cette loi d'ecoulement soit capable de decrire de nombreux cas de chargement et d'anisotropie, et ceci a 1'aide de cinq parametres seulement. Ces parametres sont determines a parttr de cinq essais simples ou 1'on mesure la limite d'elasticite.

Recemment, HILL (1993) a propose un critere convivial ("user-friendly") pour pouvoir representer une classe de materiaux particuliere ou OQ « CTgo , mais RQ ^ T^o ou vlce versa (2^ » T^o et GQ -^ 090). HILL argumente qu'aucune des fonctions d'ecoulement existantes n'est capable de decrire Ie comportement de tels materiaux. II propose done une fonction non homogene possedant un terme quadratique et un terme cubique qui, dans Ie cas general, peut s'ecrire :

^-c^+^+\(p+^Pal±^\^=l (2.22)

<JO or0(790 (790 I crfc J °'0(790

oup, q etc sont des constantes qui dependent des valeurs de RQ, T^o, OQ, a^ et a^. Enfin, il sera necessaire de verifier la convivialite de ce critere d'ecoulement a 1'aide de donnees experimentales.

2.1.2 Theorie incrementale

Suite a cette revue succincte des principaux criteres d'ecoulement plastique, nous sommes en mesure d'etablir la surface d'ecoulement initiale des materiaux elastoplastiques. Cependant, il reste a definir les lois qui regissent Ie comportement au-dela du seuil de plasticite. La theorie mathematique de la plasticite a principalement ete formulee par HILL en 1950, et depuis lors, plusieurs lois constitutives ont ete developpees, dont certaines sont encore largement utilisees. Ces lois phenomenologiques ont en general deux elements en commun : un critere d'ecrouissage qui permet de suivre 1'evolution de la surface de charge au cours de la deformation plastique, et une relation contrainte-deformation incrementale associee au critere d'ecoulement. Nous proposons done de revoir quelques principes de base de la theorie de la plasticite ainsi que les principaux modeles d'ecrouissage. Nous presenterons toutefois Ie developpement des lois constitutives au chapitre 4.

(37)

Principes de base de laplasticite

La theorie de la plasticite, telle qu'elle est acceptee aujourd'hui, repose entre autres sur Ie postulat de DRUCKER. D'apres lui, lorsqu'un materiau est stable et ecrouissable, Ie travail realise au cours d'une deformation plastique est positif:

da^ > 0 (2-23)

(<7,,-<T;)de,pO (2-24)

ou a^. represente un etat de contrainte a 1'interieur ou sur la surface d'ecoulement. La deuxieme inegalite (2-24) ne peut etre satisfaite que lorsque la surface d'ecoulement est convexe et que F increment de defonnation plastique depj est normal a cette surface:

dep,=d^-^- (2-25)

7y

(j> etant la fonction d'ecoulement, et dK un scalaire qui varie proportionnellement avec 1'increment de deformation plastique. Ainsi, lorsqu'un matenau se trouve dans un etat de contrainte situe sur la surface d'ecoulement et qu'il est sollicite par un increment de contrainte tel que:

<90

<9cr..,

da^ > 0 (2-26)

il se deforme alors plastiquement. Connaissant 1'etat de contrainte, il suffit done de determiner la valeur de d\ pour obtenir 1'increment de deformation plastique correspondant. Pour que la loi constitutive reflete Ie comportement d'un materiau particulier. Ie facteur J/l doit evidemment etre relie a une courbe contrainte-deformation experimentale.

Mis a part Ie principe de normalite postule par DRUCKER, V equivalence du travail plastique est egalement une des pierres angulaires de la theorie mathematique de la plasticite. Le travail plastique total par unite de volume Wp accumule au cours d'une deformation irreversible est donne par la relation:

WP=\dWP=\a^ (2-27)

ou F integration est effectuee tout Ie long du chemin de deformation. En tenant compte de la definition (2-25), 1'increment de travail plastique peut encore s'ecrire :

dWP = G^ = (7,,^ ^- (2-28)

(38)

Lorsque la fonction d'ecoulement ^(cTy.J est homogene en Oy et de degre m, Ie theoreme d'Euler

etablit que

3<t)

9a.

(7'j~^~=m(l)

et F equation (2-28) peut alors se mettre sous la forme:

dWP = ciy de^ = m(f) dX (2-29)

On appelle generalement la quantite scalaire m(j) la contrainte equivalente (a = m(f)). Du fait que Ie scalaire dX soit la quantite conjuguee de m<f> par rapport au travail plastique dWP, on 1'assimile a un increment de deformation; on parle alors de la deformation plastique equivalente ef. L'equation

(2-29) permet egalement de determiner 1'amplitude de dK dans la relation (2-25). Le principe de

Pequivalence du travail plastique peut encore etre enonce de la maniere suivante:

dWP = a^ = a,dep, (2-30)

Le developpement precedent permet de mettre en evidence plusieurs consequences qui decoulent de ce principe. Nous pouvons en effet remarquer d'apres 1'identite d'Euler, que la contrainte equivalente (a^ =m^») a la meme valeur en tous points de la surface d'ecoulement ^(cTy). II est done possible de ramener un etat de contrainte multiaxial a un scalaire dont la valeur

depend de la foncdon ^(<7yJ et de la quantite de travail plastique realisee.

Connaissant la valeur de a^, la deformation plastique equivalente est obtenue a 1'aide de 1'equation (2-30). Ainsi, quel que soit Ie type de chargement multiaxial, 1'ecrouissage d'un materiau est determine par une courbe unique <^e(£pe} (HILL 1991). Afin d'identifier cette courbe equivalente au comportement d'un materiau donne, la procedure la plus courante consiste a la determiner a partir d'un essai de traction uniaxiale. Dans ce cas, la relation (2-30) se reduit tout simplement a cr^ef = o^de^ . Cependant, un essai en deformations planes, ou encore un essai sous chargement equibiaxial (o-i =a^= a^ (HILL 1990; 1991), pourrait servir tout autant pour caracteriser Fecrouissage du materiau. Nous aurons d'ailleurs 1'occasion de revenir sur ce point ulterieurement.

Nous venons de considerer deux principes de la theorie classique de la plasticite : Ie principe de normalite permet de definir 1'orientation de Fincrement de deformation plastique, alors que Ie principe de 1'equivalence du travail plastique permet cTen definir 1'amplitude.

(39)

Criteres d'ecrouissage

Au cours de la deformation plastique d'un materiau, la surface d'ecoulement subit des changements de forme et de taille, et peut-etre une translation dans 1'espace des contraintes. Ces phenomenes attribues a 1'ecrouissage du materiau ont ete mis en evidence experimentalement depuis longtemps. Cependant, seulement quelques modeles simples qui decrivent 1'evoludon de la surface de charge ont ete proposes .

Ecrouissage isotrope

Le modele Ie plus simple est sans doute celui decrivant une surface de charge qui grandit sans changer de forme et sans se deplacer : 1'ecrouissage est dit isotrope. La taille de la surface est determinee a 1'aide d'un parametre d'ecrouissage k, ou encore a partir de la contrainte equivalente

^•-^(a,,)-kl=<l,(a,,)-aj=0 (2-31)

Ainsi, la surface de charge actuelle est celle qui correspond a la plus grande valeur du parametre d'ecrouissage rencontree pendant toute 1'histoire du chargement. Ce modele est employe couramment, mais ne decrit pas adequatement la plupart des materiaux, en particulier ceux pour lesquels se manifesto 1'effet Bauschinger.

Ecrouissage cinematique

Dans Ie but de surmonter les limitations du modele precedent, PRAGER (1956) a enonce un critere d'ecrouissage ou la surface de charge se translate sans rotation et sans changement de taille. Ainsi les positions subsequentes de la surface sont reperees par la position du centre a,y dans 1'espace des contraintes, et Ie critere s'ecrit:

(f>(^-a^=k2 (2-32)

Dans Ie modele d'ecrouissage cinematique de PRAGER, la direction de la translation est parallele a la nomiale exterieure a la surface cTecoulement au point de chargement. En d'autres termes, il existe une dependance lineaire entre Ie deplacement du centre et 1'increment de defomiation plastique: