Conception d’une lentille axicon à gradient d’indice de
réfraction GLA (GRIN Lens Axicon)
Mémoire
Jason Guenette
Maîtrise en Physique
Maître sciences (M. Sc.)
Québec, Canada
© Jason Guenette, 2018
Conception d’une lentille axicon à gradient d’indice de
réfraction GLA (GRIN Lens Axicon)
Mémoire
Jason Guenette
Sous la direction de :
iii
Résumé
Les axicons sont principalement connus pour leur propriété à produire des faisceaux
Bessel. Cependant, certains ont également la propriété de produire une focalisation en
anneau soit directement ou avec l’ajout d’une lentille. Nous avons analysé la possibilité de
faire un axicon avec un profil d’indice de réfraction qui produirait un anneau. Plus
précisément, nous avons analysé la possibilité de faire une composante qui incorpore la
fonction linéaire d’une lentille conique et la fonction parabolique d'une lentille. Le profil
d’indice de réfraction analysé a une variation radiale et permet de produire une focalisation
annulaire périodique. Un profil similaire a déjà été étudié sommairement par E. Marchand
puis par Rosa M. Gonzalez. Cependant, les solutions proposées par eux sont des solutions
approximatives et leur analyse est limitée. Il existe déjà des fibres optiques avec des indices
de réfraction semblable à ce que l’on cherche, donc ces axicons ont le potentiel d’être
utilisés directement pour une fibre optique. Nous avons déterminé la solution exacte du
profil d’indice de réfraction qui permet la focalisation en anneau et nous avons démontré
théoriquement que l’anneau produit est de bonne qualité. Nous avons étudié la possibilité
de produire un faisceau Bessel à partir de cette composante optique que nous nommons
GLA (Grin Lens Axicon) et les simulations montrent que le Faisceau Bessel peut être de
très bonne qualité. Des tests expérimentaux ont été faits pour montrer qu’il est possible de
produire un faisceau Bessel avec le GLA.
iv
Abstract
Axicons are mostly known for their capacity to produce Bessel beam. However,
some axicon has the propriety to produce annular focusing whether directly or by adding a
lens. In this text we have study the possibility to produce an axicon with gradient index of
refraction that produce an annular focusing. More precisely we study the possibility to
produce a component which incorporates the linear function of a conical lens and the
parabolic function of a lens. The study refraction index profile has a radial variation and
allow to a periodic annular focalisation. A similar refractive index profile has already been
study by E. Marchand then by Rosa M. However, the solutions proposed by them are
approximate solutions and their studies are limited. Some optical fiber already has index
profile like the one we are interest so this axicon have the potential to be use for optical
fiber application. We have demonstrated theoretically the exact refractive index profile that
produce annular focusing and we have demonstrated theoretically that the ring produce is
of good quality. We have also studied the possibility to produce a Bessel beam with this
device that we name GLA (Grin Lens Axicon) and the simulation show that the beam could
be of excellent quality. Some experimental tests have been done to show that it is possible
to produce a Bessel beam with a GLA.
v
Table des matières
Résumé iii Abstract iv
Table des matières ... v
Liste des tableaux ... viii
Liste des figures ... ix
Introduction ... 1
1 Chapitre 1 : Introduction théorique sur les axicons et les faisceaux Bessel ... 6
1.1 L’axicon ... 6
1.2 Le faisceau Bessel ... 8
1.3 Faisceau Bessel-Gauss ... 9
1.4 Utilisation de la lentille pour produire une transformée de Fourier ... 10
1.5 Méthodes de productions de faisceau Bessel ... 11
1.6 Pointe de l’axicon conique ... 16
1.7 Technique de fabrication ... 18
2 Chapitre 2 : Propagation dans un milieu à gradient d’indice ...20
2.1 Équation eikonale ... 20
2.2 Équation des rayons lumineux ... 22
2.3 Propagation dans un milieu d’indice n(r) ... 23
2.4 Profil d’indice de réfraction optimal ... 25
2.5 Chemin optique ... 30
2.6 Ajout d’une lentille ... 32
2.7 Profil pour fabrication ... 32
3 Chapitre 3 : Propagation dans la GLA en tenant compte de la diffraction ...35
3.1 Propagation dans le GLA ... 35
3.2 Solution onde plane ... 36
3.2.1 Comparaison théorique vs simulation ... 37
3.3 Solution faisceau gaussien ... 38
vi
3.4 Ajout d’une lentille ... 40
4 Chapitre 4 : Analyse des différentes situations ...42
4.1 Production de l’anneau ... 42
4.2 GLA avec lentille ... 43
4.2.1 Angle ... 45
4.2.2 Diamètre ... 45
4.3 Ajout d’une courbure à la dernière surface ... 49
4.3.1 Position et valeur de la courbure ... 50
4.3.2 Angle de sortie ... 53
4.3.3 Angle ... 54
4.3.4 Diamètre ... 55
4.4 Autres cas ... 56
4.5 Utilisation du GLA dans un liquide ... 57
4.6 Utilisation pour fibre optique ... 59
4.7 Aberration chromatique... 60
5 Chapitre 5 : Simulation numérique avec CODE V ...64
5.1 Méthodologie ... 64
5.2 La lentille conique ... 65
5.3 GLA avec lentille ... 68
5.4 GLA avec rayon de courbure ... 70
5.5 Analyse des résultats ... 72
6 Chapitre 6 : Résultats expérimentaux ...76
6.1 Fabrication du GLA ... 76 6.2 Dimension du GLA ... 77 6.3 Coupe de la préforme ... 78 6.4 Montage ... 79 6.5 Prédiction théorique ... 80 6.6 Mesures ... 80 6.7 Analyse ... 83 Conclusion ...85
Avantages et inconvénients du GLA ... 86
vii
Annexe...89
A. Somme d’onde conique ... 89
B. Démo τ0=tanh(ωa0) ... 90
C. Solution pour l’indice de réfraction... 90
Preuve de la solution en sech... 90
Autre solution ... 92
D. Production d’un anneau collimé avec le GLA ... 95
E. Solution ponctuelle ... 97
viii
1
Liste des tableaux
Tableau 1 : Paramètres choisis pour la comparaison théorique vs simulation... 37 Tableau 2 : Dimension des lignes focales produites par les trois longueurs d’onde analysées. ... 61 Tableau 3 : Résumé des dimensions du faisceau Bessel produit par les 3 axicons. ... 73
ix
2
Liste des figures
Figure 1 : Représentation transverse de la lentille conique et des rayons qui la traversent ... 7
Figure 2 : Fonction Bessel J0 qui représente le champ électrique d’un faisceau Bessel et fonction Bessel au carré J02 qui représente l’intensité d’un faisceau Bessel. ... 9
Figure 3 : Axicon traversé par une onde plane. ... 9
Figure 4 : Production de l’image en champ lointain avec une lentille. ... 11
Figure 5 : Production d’un faisceau Bessel à l’aide d’une ouverture annulaire et d’une lentille. ... 12
Figure 6 : Production d’un anneau à l’aide d’un axicon et d’une lentille... 12
Figure 7 : Schéma de l’axicon logarithmique. ... 13
Figure 8 : Axicon acoustique variable (TAG lens). ... 14
Figure 9 : Schéma de l’AXIGRIN. ... 14
Figure 10 : Axicon sur la pointe d’une fibre optique produit par polissage2 ... 15
Figure 11 : Schéma d’un axicon produit à partir d’une fibre avec un cœur à anneau ... 15
Figure 12 : Schéma de la méthode de génération de faisceau non diffractant par génération de modes. ... 16
Figure 13 : Intensité d’un faisceau Bessel le long de l’axe de propagation produit avec une lentille conique parfaite et une onde d’entrée d’amplitude gaussienne. ... 17
Figure 14 : a) Lentille conique non parfaite (avec défaut sur la pointe). b) L’intensité du faisceau Bessel le long de l’axe de propagation produit par cet axicon avec une onde d’entrée plane d’amplitude gaussienne. ... 18
Figure 15 : Propagation dans le GLA. ... 25
Figure 16 : Représentation de l’indice de réfraction selon l’équation (3.57). ... 27
Figure 17 : Tracés de rayons pour le profil de la forme (3.75) et (3.57). ... 30
Figure 18 : Propagation des rayons dans un GLA avec une lentille. ... 32
Figure 19 : Schéma du GLA avec les dimensions pour la fabrication. ... 33
Figure 20 : Indice de réfraction en fonction de la distance radiale. ... 34
Figure 21 : Profil d’intensité de l’anneau selon l’équation théorique et selon la simulation, pour une onde d’entrée plane. ... 38
Figure 22 : Profil d’intensité de l’anneau selon l’équation théorique et selon la simulation, pour une onde d’entrée gaussienne. ... 40
Figure 23 : Tracé de rayon dans le GLA pour une onde d’entrée plane (a) et pour une onde d’entrée ponctuelle (b). ... 43
Figure 24 : GLA avec lentilles... 44
Figure 25 : Positions des angles γ et β. ... 46
Figure 26 : Les valeurs D, de L et l’angle θ sont présentées. ... 47
Figure 27 : Ligne focale complète et ligne focale incomplète. ... 49
Figure 28 : Propagation des rayons dans le GLA avec une courbure à la dernière surface. ... 50
Figure 29 : Paramètres utilisés pour trouver le rayon de courbure des rayons se propageant dans le GLA. ... 51
Figure 30 : GLA avec un rayon de courbure. ... 54
Figure 31 : GLA avec une GRIN lens et GLA avec un dioptre ... 56
x
Figure 33 : GLA ajustée pour permettre au faisceau de sortir collimé dans l’eau. ... 58
Figure 34 : GLA avec une GRIN lens dans l’aire et dans l’eau... 58
Figure 35 : Même lentille que la figure 32 a) suivie d’une couche d’air, d’un écran pour conserver la couche d’air et se termine dans l’eau. ... 59
Figure 36 : Schéma d’un axicon pour fibre optique fabriqué avec le GLA. ... 60
Figure 37 : Propagation de rayons des raies C, d et F dans une lentille à gradient d’indice de réfraction. ... 61
Figure 38 : Propagation de rayon dans le GLA pour les raies C, d et F. ... 62
Figure 39 : Comparaison de la ligne focale produite par la raie C et F (en intensité). ... 62
Figure 40 : Comparaison des profils d’intensité du faisceau Bessel produit par les 3 raies. ... 63
Figure 41 : Exemple d’ajustement de courbe pour le cas du GLA avec rayon de courbure. ... 65
Figure 42 : Graphiques des simulation dans code V pour la lentille conique avec une onde d’entrée plane et uniforme. ... 67
Figure 43 : Graphiques des simulation dans code V pour la lentille conique avec une onde d’entrée gaussienne... 67
Figure 44 : Graphiques des simulation dans code V pour la GLA avec lentille avec une onde d’entrée plane et uniforme. ... 69
Figure 45 : Graphiques des simulation dans code V pour la GLA avec lentille avec une onde d’entrée gaussienne. ... 70
Figure 46 : Graphiques des simulation dans code V pour la GLA avec un rayon de courbure avec une onde d’entrée plane et uniforme ... 71
Figure 47 : Graphiques des simulation dans code V pour la GLA avec une onde d’entrée gaussienne... 72
Figure 48 : Le schéma dans codeV des 3 cas sur une même échelle de grandeur. ... 74
Figure 49 : Comparaison des diamètres des faisceaux à mi-hauteur pour les 3 cas. ... 75
Figure 50 : Indice de réfraction de la préforme utilisée pour les tests expérimentaux. ... 77
Figure 51 : Tracé de rayon dans le GLA pour une longueur de 1,2mm et pour 2,4mm. ... 78
Figure 52 : Image prise au microscope de la préforme coupée (non polis). ... 79
Figure 53 : Photo du montage utilisé pour les tests expérimentaux. ... 79
Figure 54 : Intensité mesuré par la caméra et coupes transverses des images prises par la caméra. . 82
Figure 55 : Mesure de l’intensité du faisceau produit par l’expérience le long de l’axe z. ... 83
Figure 56 : Onde conique et onde quelconque (avec une symétrie radiale)... 90
Figure 57 : Décomposition de vecteur k en kr et kz. ... 90
Figure 58 : Indice de refraction de la forme 𝑛1sinh3𝜔𝑟2/3cosh3𝜔𝑟. ... 94
Figure 59 : Propagation dans un GRIN avec un indice de réfraction de la forme (9.30). ... 95
Figure 60 : GLA dont le faisceau de sortie est divergent. ... 96
Figure 61 : Tracé de l’équation 𝑧 = 𝑎2 − 𝑟 − 𝑅2 (la partie réelle). ... 96
Figure 62 : GLA avec une surface torique produisant un anneau collimé. ... 96
1
Introduction
En optique l’élément le plus commun est la lentille, elle est utilisée dans presque tous les systèmes optiques. Son comportement a énormément été étudié et de nombreux types de lentilles ont été développés. Il existe cependant beaucoup d’autres éléments importants en optique. Un de ces éléments est l’axicon. L’axicon est beaucoup moins connu (il est tellement moins connu du grand public qu’il n’est même pas dans le dictionnaire de Microsoft Word), mais même s’il est moins connu, il n’en est pas moins important. Historiquement, l’axicon a été évoqué pour la première fois en 1954 par J. H. McLeod1, mais certains types d’axicons ont été utilisés avant cette
date. Par exemple, le sténopé (camera obscura) ou bien la tache de Fresnel (the Poisson spot), (the Arago spot) qui ont été utilisés avant 1954 sont considérés comme des axicons2. À partir de cette
date, la recherche sur les axicons s’est développée. En 1987, J. Durnin met en évidence dans un article que les faisceaux Bessel, comme ceux produits par une lentille conique, sont ‘’non diffractant’’3. Pour être vraiment non diffractant les ondes doivent être infinies, mais il démontre
que malgré cela, les systèmes finis peuvent se comporter comme un système non diffractant sur une certaine distance. La possibilité de produire un faisceau Bessel était déjà connu avant 1987 de ceux qui travaillaient sur le sujet4,5, mais aucun article n’avait traité spécifiquement du sujet,
l’information sur le sujet provenait d’ouvrage sur l’électromagnétisme et était présenté sous forme de solutions de cas particuliers sans utiliser le terme faisceau Bessel et sans faire l’analyse des propriétés de ce faisceau. Néanmoins, l’information n’était pas connue de tous, ce qui fait que l’article de J. Durnin a eu un impact sur la recherche dans le domaine. Depuis ce temps, beaucoup de recherches ont été faites sur les axicons et la recherche sur le sujet est d’ailleurs toujours active.
De nos jours, la technologie progresse très rapidement et l’on cherche sans cesse de nouvelles façons de l’améliorer. L’optique occupe une place importante et en augmentation dans le domaine des technologies. Donc, ce n’est pas surprenant que les axicons, grâce à leur propriété unique, soient de plus en plus utilisés pour surmonter les défis technologiques. L’axicon peut être utilisé entre autres pour augmenter la profondeur de champ6, produire des trappes/pinces optiques7, pour
améliorer les systèmes de microscopie8 et même pour accélérer des électrons9. C’est dans cette
optique d’amélioration des technologies que s’inscrit mon projet de maitrise.
Plus particulièrement, nous cherchons à concevoir un nouveau type d’axicon. Il existe déjà beaucoup de types d’axicons, mais peu sont adaptés à être fabriqué à de petites dimensions. Être capable de produire des axicons de petite taille est essentiel dans le contexte des technologies actuel où l’on cherche constamment à miniaturiser. En particulier, cela est important pour tout ce qui a
2
trait aux systèmes tout-fibres qui sont de plus en plus utilisés. Il sera donc question dans ce mémoire d’un type particulier d’axicon qui selon nous pourrait aider à répondre à certains problèmes technologiques actuels.
En général, les axicons servent à produire une ligne focale, ce qui permet d’augmenter la profondeur de champ. La ligne focale est souvent produite grâce au faisceau Bessel qui lui peut être produit avec une lentille conique (axicon). Cependant, les axicons peuvent aussi servir à produire un anneau focal. D’ailleurs, il est possible de passer d’un faisceau Bessel à un anneau focal et vice et versa simplement en produisant une transformée de Fourier. Comme nous le verrons plus loin, la transformée de Fourier peut être produite par une simple lentille (voir section 2.4 pour plus de détail). Un faisceau Bessel peut d’ailleurs être produit à l’aide d’une ouverture annulaire en ajoutant une lentille devant l’ouverture à une distance focale (Figure 5). Cette méthode est toutefois très peu efficace d’un point de vue énergétique puisque la majorité de l’énergie est perdue, seulement une très petite partie du faisceau incident passe par l’ouverture annulaire. Pour la production d’un anneau, il est d’usage d’utiliser un axicon standard servant à produire un faisceau Bessel (généralement une lentille conique) combiné avec une lentille (Figure 6). Outre la méthode qui consiste à utiliser un axicon avec une lentille pour produire un anneau focal, il n’existe pas beaucoup d’autres méthodes pour produire efficacement un anneau.
Alors pour arriver à l’idée du type d’axicon que nous allons étudier nous avons pris le problème de la conception d’un axicon dans le sens inverse de ce qui est fait habituellement, c'est-à-dire qu’au lieu de vouloir produire un axicon qui produit c'est-à-directement un faisceau Bessel nous allons chercher à concevoir un axicon qui produit un anneau focal. Il existe déjà certaines lentilles qui peuvent produire un anneau, entre autres la bilentille de Billet10 et la lentille excentrique11. On peut
envisager de faire la même chose qu’une lentille excentrique avec une lentille à gradient d’indice de réfraction (GRIN). Nous avons donc décidé d’explorer la possibilité d’utiliser une GRIN pour produire un anneau. Le principe est d’utiliser un profil comme celui d’une lentille à gradient d’indice de réfraction, mais de le décentrer radialement de sorte que l’indice de réfraction maximal est à une position r≠0. La possibilité de faire un axicon avec une lentille à gradient d’indice n’est pas nouvelle et a d’abord été étudiée par E. Marchand12 puis détaillé par Rosa M. Gonzalez13. Ces
derniers ont utilisé un profil de la forme 𝑛2(𝑟) = 𝑛
02(1 + 𝑎𝑟 − 𝑏𝑟2) qui est l’équivalent du profil 𝑛(𝑟) = 𝑛0(1 − 𝑏𝑟2) pour une lentille à gradient d’indice. Cependant, cette solution n’est pas la solution exacte au même titre que la solution 𝑛(𝑟) = 𝑛0(1 − 𝑏𝑟2) n’est pas la solution exacte pour une lentille à gradient d’indice (qui à une solution exacte de la forme 𝑛(𝑟) = 𝑛0sech(𝛼𝑟)). Cela
3
permet de combiner la fonction linéaire de la lentille conique avec la fonction parabolique d’une lentille comme un système axicon lentille qui produit en anneau.
L’anneau focal produit par un tel axicon pourrait être focalisé avec une lentille pour produire un faisceau Bessel. Selon nos recherches, la possibilité de produire un faisceau Bessel avec un tel axicon n’avait pas encore été étudiée même pour les profils de E.Marchand et de Rosa M. Gonzalez. Un tel axicon pourrait avoir des avantages par rapport à un axicon conique. Par exemple, il a l’avantage de ne pas avoir de pointe ce qui est un avantage important, car comme nous le verrons plus loin la pointe de l’axicon peut être problématique. Cet axicon pourrait être fabriqué avec les mêmes procédés que les fibres optiques, il serait donc possible de produire une préforme d’une certaine dimension (avec le profil d’indice de réfraction voulu), puis l’étirer jusqu’à obtenir la dimension voulue. Cela permettrait d’avoir un axicon de qualité même à de petites dimensions et possiblement à un cout abordable (puisqu’une préforme pourrait produire une grande quantité d’axicons une fois étirée). Cela pourrait également être pratique dans les systèmes tout-fibres qui sont de plus en plus populaire, car peu d’axicons sont adaptés à ce type d’application.
Le projet de ma maîtrise consiste à analyser la possibilité de faire un tel axicon. Comme cela n’a pas été fait, nous devrons trouver le profil d’indice de réfraction idéal et l’étudier plus en profondeur. L’axicon ainsi produit est nommé GLA (
Grin Lens Axicon
). Nous allons démontrer qu’il est possible d’utiliser la GLA pour produire un faisceau Bessel. Différentes méthodes seront utilisées pour montrer la validité et la performance de l’axicon. Le lecteur devrait donc en lisant ce mémoire comprendre le fonctionnement de l’axicon, avoir une bonne idée de la performance de celui-ci comparé à celle d’une lentille conique, ainsi qu’avoir l’information nécessaire pour ça fabrication.Les lignes qui suivent présente la structure du mémoire. Le chapitre 1 commencera par une introduction sur les axicons et leurs histoires. Ensuite, il sera expliqué ce qu’est un faisceau Bessel, un faisceau Bessel Gauss ainsi que l’utilisation de la lentille pour produire une transformée de Fourier. Nous présenterons quelques axicons en lien avec celui dont il est question dans le mémoire. Puis nous parlerons du problème de la pointe de la lentille conique ainsi que des méthodes possibles de fabrication d’une composante à gradient d’indice de réfraction de style GLA.
Le chapitre 2 portera sur la propagation des rayons dans un milieu à gradient d’indice de réfraction et de la solution exacte pour notre problème. Pour modéliser la propagation dans un
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milieu à gradient d’indice, nous utiliserons l’équation eikonale et de cela, nous trouverons une solution générale pour un milieu avec un gradient d’indice radial n(r). À partir de cette solution, nous trouverons la solution exacte pour l’indice de réfraction de notre problème. Nous parlerons ensuite du chemin optique puis de l’ajout d’une lentille et nous terminerons ce chapitre en déterminant les paramètres qui serviront pour la fabrication.
Dans le chapitre 3, nous analyserons le problème du point de vue de la diffraction. Pour cela, nous trouverons la formule qui permet de déterminer la valeur du champ électrique à la sortie du GLA. De cette formule, nous calculerons la forme de l’anneau produit par l’axicon pour un faisceau d’entré plan et pour un faisceau d’entré gaussien. Pour les deux cas, une comparaison avec une simulation sera faite afin de s’assurer que les formules théoriques trouvées sont correctes. Ensuite, nous évaluerons l’effet de l’ajout d’une lentille pour nous assurer que le faisceau Bessel est bien produit.
Le chapitre 4 est consacré à l’étude des différents cas d’axicon qui peuvent être générés avec le GLA. Le chapitre commence par présenter les différentes façons de produire un anneau grâce au GLA. Ensuite, différentes configurations pour produire un faisceau Bessel sont étudiées. Le cas de l’ajout d’une lentille et celui de l’ajout d’un rayon de courbure seront plus particulièrement étudiés. Dans les deux cas, des formules seront trouvées pour permettre d’avoir un point de comparaisons entre les axicons, mais également pour avoir un point de comparaison avec la lentille conique (ce qui nous permettra plus tard (chapitre 5) de comparer les différents cas avec des simulations). Nous étudierons ensuite l’effet de l’utilisation du GLA dans un liquide puis nous terminerons par l’étude de la possibilité d’utiliser le GLA pour une fibre optique.
Dans le chapitre 5, nous allons étudier la qualité du faisceau Bessel produit par les différents cas d’axicons soit, le GLA avec une lentille le GLA avec un rayon de courbure et ils seront comparés à la lentille conique. Pour cela, nous allons utiliser des simulations numériques produites par CodeV. Comme tous les trois produisent un faisceau Bessel de très bonne qualité, nous avons comparé la qualité des faisceaux Bessel à partir de leur longueur, leur diamètre et leur uniformité le long de l’axe z.
Dans le chapitre 6, nous présentons les résultats expérimentaux obtenus. Les mesures ont été faites à partir d’une préforme de fibre optique qui avait un profil d’indice de réfraction
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approximativement comme celui voulu. Nous présenterons les résultats puis nous les analyserons en les comparant aux résultats attendus.
Puis, nous conclurons en résumant le contenu du mémoire. Nous en profiterons pour récapituler les avantages et les inconvénients du GLA puis nous présenterons les perspectives de développement sur le sujet.
6
1
Chapitre 1 : Introduction théorique sur les axicons et les faisceaux
Bessel
Avant de se lancer dans le vif du sujet, une introduction sur les sujets de base de ce mémoire sera présentée. Comme il a déjà été mentionné, l’axicon est une composante importante en optique, mais il est relativement peu connu, il est donc pertinent d’expliquer ce qu’est un axicon. La première partie sera donc simplement sur les axicons afin d’assurer une bonne compréhension du sujet et d’éviter les confusions. L’augmentation de la profondeur de champ est une des caractéristiques les plus importantes de l’axicon et celle-ci est généralement obtenues en produisant un faisceau Bessel. C’est pourquoi la partie suivante de ce chapitre sera sur la production de faisceau Bessel et de faisceau Bessel-Gauss. Ensuite, une courte introduction au concept de l’utilisation de la lentille pour produire une transformée de Fourier sera présentée puisque ce concept est important dans la conception de notre axicon. Nous présenterons ensuite différents types d’axicons existants qui sont en lien avec ce que nous cherchons à faire afin de mieux comprendre la place que notre axicon pourrait avoir parmi la panoplie d’axicons existants. Nous parlerons également de l’effet que peuvent avoir les défauts de la pointe des lentilles coniques sur la qualité du faisceau Bessel produit. Pour finir, nous parlerons de la fabrication d’un axicon à gradient d’indice de réfraction afin de déterminer si c’est possible de le fabriquer et par quelle méthode.
1.1 L’axicon
Pour mettre les choses aux claires, dans cette section il sera expliqué ce qu’est un axicon. Cela peut sembler simple à priori, mais il s’avère que la définition de ce qu’est un axicon peut être différente selon les sources. Souvent, lorsqu’il est question d’axicon, le mot axicon est utilisé pour désigner une lentille de forme conique Figure 1. Il est vrai que la lentille conique est un axicon, mais le mot axicon a une signification plus large, il désigne un ensemble d’éléments optiques dont la lentille conique fait partie. Il est important de prendre le temps de faire la distinction, car à certains endroits l’erreur est faite de définir l’axicon comme une lentille conique. L’erreur était d’ailleurs faite sur la page de Wikipédia, lorsque consultée (celle en anglais, 2018), ce qui n’est pas pour aider à la confusion.
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Le mot axicon a été utilisé pour la première fois dans la publication de John H. McLeod parue en 1954 ayant pour titre ‘’The Axicon: A New Type of Optical Element’’1 . L’axicon y est
défini comme un élément ayant une symétrie de révolution qui image un point source sur son axe en une série de points sur son axe. Cette définition est assez large et englobe beaucoup d’éléments optiques. Par exemple, une lentille peut être vue comme un cas particulier d’axicon, où au lieu de former des points repartis sur l’axe, tous les points se forment à la même place. Bien sûr, dû à cette définition large, les axicons ont été utilisés avant même que le terme axicon soit inventé, mais c’est avec la publication de McLeod que la recherche sur le sujet a vraiment commencé.
Depuis l’axicon est utilisé un peu partout principalement pour produire une ligne focale (généralement des faisceaux Bessel) et aussi pour produire des anneaux focaux ce qui peut servir à une panoplie d’applications. Nous nous n’attarderons pas plus sur le sujet, mais si le lecteur désire avoir plus d’information sur l’historique de l’axicon il peut se référer à la publication de Zbigniew Jaroszewicz2 .
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1.2 Le faisceau Bessel
Un des concepts qui revient beaucoup lorsque lorsqu’il est sujet d’axicon est celui des faisceaux Bessel. Cette section sera donc consacrée au faisceau Bessel. Il existe plusieurs types de faisceaux lumineux, en général on les caractérise par le profil de leurs champs électriques. Les plus communs sont l’onde plane qui a un profil de champ électrique constant sur toute sa largeur (l’onde plane parfaite est infinie) et le faisceau gaussien qui a un profil de champ électrique de forme gaussien. Pour ce qui est du faisceau Bessel, il a un profil de champ électrique qui suit une fonction de Bessel de première espèce (Figure 2). Pour le produire, il est nécessaire d’avoir une onde conique, c'est-à-dire une onde plane avec une symétrie de rotation se propageant avec un angle par rapport à l’axe de symétrie (Figure 3). C’est l’interférence de l’onde conique qui produira un faisceau Bessel.
Le champ électrique d’un faisceau Bessel peut être exprimé comme suit3:
𝐸(𝑟, 𝑧) = 𝐴𝑒𝑖𝑘∥𝑧𝐽
0(𝑘⊥𝑟). (1.1)
Où 𝑘∥2+ 𝑘⊥2= 𝑘2 avec k qui est le nombre d’onde, J0 est une fonction Bessel de première espèce
d’ordre 0 et A est l’amplitude. L’intensité du faisceau Bessel produit est donc :
𝐼(𝑟) = |𝐸(𝑟, 𝑧)|2= |𝐴|2𝐽02(𝑘⊥𝑟). (1.2) On note qu’il n’y a pas de composante en z dans l’intensité donc l’intensité reste toujours la même le long de l’axe de propagation z, d’où la propriété non diffractant du faisceau Bessel. Cependant, ce faisceau est produit par des fronts d’ondes infinies, il n’est donc pas réaliste. D’ailleurs, si on calcule la puissance totale on trouve que la puissance du faisceau est infinie. Il peut quand même exister des faisceaux qui se comporte comme les faisceaux Bessel dans une certaine limite, dans ce cas on les appels parfois quasi-Bessel, un type de faisceaux quasi-Bessel bien connue est le faisceau Bessel-Gauss.
9
Figure 2 : Fonction Bessel J0 qui représente le champ électrique d’un faisceau Bessel (en rouge) et fonction Bessel au
carré J02 qui représente l’intensité d’un faisceau Bessel (en bleu) pour des unités arbitraires.
Figure 3 : Axicon traversé par une onde plane (lignes rouges), l’axicon transforme l’onde plane en onde conique.
1.3 Faisceau Bessel-Gauss
Pour avoir un faisceau qui est réaliste, il est possible de remplacer l’onde plane et uniforme par une onde plane d’amplitude gaussienne. L’onde plane est, par définition, infinie donc pas
10
réaliste, mais si son amplitude est gaussienne, son intensité diminue plus on s’éloigne du centre de sorte qu’elle a une énergie finie. L’onde d’amplitude gaussienne est donc beaucoup plus réaliste et c’est d’ailleurs ce type de faisceau qui est généralement produit par les lasers et les fibres optiques. Lorsqu’on remplace l’onde plane et uniforme par une onde plane d’amplitude gaussienne, il est possible d’obtenir une solution à équation d’onde de la forme :
𝐵𝐺0𝑒(𝑟, 𝑧) = 𝐴 0𝐽0( ℎ𝑟 1 − 𝑗 𝑧 𝑧⁄ 𝑅 ) 𝑒𝑗 ℎ2𝑧 2𝑘(1−𝑗𝑧 𝑧⁄ 𝑅) 𝑗𝑧𝑅 𝑞̃(𝑧)𝑒 𝑗2𝑞̃(𝑧)𝑘𝑟2 (1.3)
qui est l’équation d’un faisceau Bessel-Gauss14. Le faisceau Bessel-Gauss est une approximation
paraxiale contrairement au faisceau Bessel. Le faisceau Bessel-Gauss est en quelque sorte une version du faisceau Bessel modulé par un faisceau gaussien. En fonction de la valeur de la gaussienne, le faisceau peut ressembler plus à un faisceau Bessel, à un faisceau gaussien où un mélange des deux. Cela permet d’avoir une solution réaliste tout en ayant un faisceau qui est très proche du faisceau Bessel. D’ailleurs en remplaçant les ondes planes infinies par une onde d’amplitude gaussienne, le problème de la puissance infini est réglé. Lorsque la taille du faisceau gaussien est suffisamment grande, le faisceau se comporte comme un faisceau Bessel sur une certaine distance. Dans ce cas, on parle de faisceau quasi-Bessel, car il est plus proche du faisceau Bessel que du faisceau gaussien. D’ailleurs, la distinction ne saura pas faite dans ce texte, donc la plupart du temps lorsqu’on parle de faisceau Bessel il est question de faisceau quasi-Bessel. Pour plus de détails sur les faisceaux Bessel-Gauss voir14.
1.4 Utilisation de la lentille pour produire une transformée de Fourier
Un des concepts importants pour la compréhension du fonctionnement du GLA est qu’une lentille peut produire une transformée de Fourier, en approximation paraxiale. Nous avons déjà mentionné le concept dans ce texte, mais ici nous allons expliquer un peu plus le phénomène. Le premier concept à savoir est que la lentille permet de reproduire le schéma de diffraction en champ lointain. Plus précisément, lorsqu’un objet est placé à une distance focale de la lentille, l’image de l’autre côté à une distance focale est l’équivalent du schéma de diffraction en champ lointain (Figure 4).
11
Figure 4 : Illustration de la production de l’image en champ lointain avec une lentille, l’image produite par la lentille à la position focale est l’équivalent de l’image en champ lointain de l’objet à la focale de l’autre côté.
Le schéma de diffraction en champ lointain peut être trouvé à l’aide de la diffraction de Fraunhofer qui est une approximation pour les champs lointains. Il s’avère que la diffraction de Fraunhofer produit par une ouverture est équivalente à une transformée de Fourier de l’ouverture (une transformée de Fourier en 2D). Donc si un objet est placé au foyer d’une lentille, une transformée de Fourier de l’objet sera produite de l’autre côté au foyer. Nous ne ferons pas la démonstration de cela ici, mais pour plus de détails sur le sujet le lecteur peut se référer au livre ‘’Optics’’ de Eugene Hecht15 ou le livre ‘’Introduction to Fourier Optics’’ de Joseph W.
Goodman16.
1.5 Méthodes de productions de faisceau Bessel
Jusqu'à maintenant, nous avons vu ce qu’est un faisceau Bessel, mais nous n’avons pas encore vues de façons concrètes de le produire. Pour produire un faisceau Bessel, il existe plusieurs façons de faire, la plus simple est, comme nous l’avons déjà mentionné, à l’aide d’une lentille conique. La lentille conique transforme un front d’onde plan en front d’onde conique, l’interférence de cette onde conique produit un faisceau Bessel comme il a été démontré mathématiquement dans la section 1.2.
Une autre façon de produire un faisceau Bessel est de produire un anneau lumineux combiné avec une lentille17. La transformée de Fourier d’un anneau produit une fonction Bessel,
12
alors en plaçant la lentille à la bonne position, un faisceau Bessel est obtenu. La méthode la plus simple pour produire cet anneau est d’utiliser un masque en forme d’anneau (Figure 5). Cependant, cette méthode bloque la majorité du faisceau ce qui la rend très peu efficace d’un point de vue énergétique. C’est une des raisons pour laquelle la plupart du temps on utilise une lentille conique pour produire un faisceau Bessel.
Figure 5 : Production d’un faisceau Bessel à l’aide d’une ouverture annulaire et d’une lentille.
Cependant, il existe d’autres façons de produire un anneau focal. Une de ces façons est d’utiliser une lentille conique avec une lentille convergente18 (Figure 6). C’est souvent cette
méthode qui est utilisée pour produire des anneaux focaux, mais elle n’est pas utilisée pour faire un faisceau Bessel puisqu’on peut simplement utiliser une lentille conique.
Figure 6 : Production d’un anneau à l’aide d’un axicon et d’une lentille.
On peut aussi imaginer produire un anneau avec une lentille qui possède une forme particulière (exemple : une bilentille de Billet10 ou une lentille excentrique11), mais ces lentilles sont
13
Il existe beaucoup de types d’axicon, nous ne les énumèrerons pas tous, car la liste est trop longue. Dans notre cas, nous nous contenterons d’étudier un axicon à gradient d’indice semblable à ceux déjà étudiés par E. Marchand12 et par Rosa M. Gonzalez13, mais nous allons pousser plus loin
l’analyse en démontrant leurs capacités à produire un faisceau Bessel et en faisant une analyse plus complète de l’axicon. Avant de passer à la première étape de l’analyse, nous énumérons quelques types d’axicons à avoir été étudiés et qui ont certaines ressemblances avec ce que nous cherchons à faire.
Il existe entre autres un type d’axicon à gradient d’indice qui utilise un profil d’indice de réfraction logarithmique19 (Figure 7). Ce type d’axicon est basé sur l’approximation des lentilles
minces ce qui fait qu’idéalement la variation d’indice doit être élevée pour permettre d’avoir une lentille la plus mince possible. Un autre désavantage de cette technique est que la partie centrale est perdue (ne produis pas de faisceau Bessel) donc c’est peu pratique lorsque le faisceau incident est gaussien puisque le maximum d’intensité qui est au centre est perdu.
Figure 7 : Schéma de l’axicon logarithmique tiré de l’article19.
Il existe aussi une lentille acoustique variable (TAG lens, tunable acoustic gradient index of refraction lens)20 (Figure 8). Cette lentille permet de varier l’indice de réfraction à l’aide d’onde
acoustique et peut entre-autres produire une focalisation en anneau. Les TAG produisent une variation d’indice périodique (temporellement) donc il doit être utilisé avec un laser pulsé et être synchronisé avec celui-ci. De plus, il est probablement difficilement à miniaturiser, voire
14
impossible, à cause de la longueur d’onde des ondes acoustique qui sont probablement trop grandes pour une application sur une fibre optique. De plus, à cause de sa conception il serait probablement dispendieux et complexe à utiliser.
Figure 8 : Axicon acoustique variable (TAG lens) l’image est tirée du brevet20.
Un autre type d’axicon qui est bien adapté pour les fibres optiques est l’AXIGRIN21 (Figure
9). Cet axicon consiste en une lentille à gradient d’indice ‘’GRIN lens’’ qui finit en forme de cône (en forme de lentille conique). Cependant, lorsque l’on veut miniaturiser l’axicon on se retrouve avec le même problème qu’avec l’axicon conique soit la fabrication de la pointe (voir section 1.6).
15
Il est également possible de produire une pointe directement sur la fibre soit par polissage, par ‘’etching’’ ou par d’autres processus 22–24(Figure 10). Le désavantage de cette méthode est que
l’on doit faire fabriquer directement sur la fibre optique et cela peut être compliqué (ça implique d’envoyer la fibre au fabricant) et le résultat peut varier en fonction du type de fibre. Le problème de la fabrication de la pointe est aussi un limitant de cette méthode.
Figure 10 : Axicon sur la pointe d’une fibre optique produit par polissage, l’image est tirée de l’article22.
Un autre type d’axicon est celui produit par une fibre optique à cœur en anneau25 (Figure
11). Dans cette méthode, on utilise l’anneau produit par la fibre qu’on transforme en faisceau Bessel. Cela permet de produire facilement un faisceau Bessel avec un système que l’on peut intégrer directement à la fibre. Cette méthode est très pratique pour les fibres à cœur en anneau, mais n’est pas pratique pour une fibre normale.
16
Il est également possible de simplement ajouter un bout de fibre multimode à la fin d’une fibre monomode, il est alors possible de générer des modes qui vont produire des faisceaux Bessel ou quelque chose qui s’en approche26 (Figure 12). Pour que le tout fonctionne, les dimensions du
bout de fibre doivent être soigneusement choisies, mais comme les modes dépendent de la longueur d’onde, l’axicon produit seulement un faisceau Bessel pour une longueur d’onde ou du moins autour de celle-ci.
Figure 12 : Schéma de la méthode de génération de faisceau non diffractant par génération de modes, figure tirée de l’article26.
Donc en résumé, il y a déjà plusieurs manières de produire un axicon, mais lorsqu’il est question de produire un axicon polyvalent et à faible cout pour mettre au bout d’une fibre optique il semble y avoir un manque à combler.
1.6 Pointe de l’axicon conique
Un des avantages de notre axicon est qu’il n’a pas de pointe, cela a d’ailleurs été mentionné à quelques reprises dans les sections précédentes. Puisque c’est un des avantages principaux de notre axicon, nous allons prendre le temps d’expliquer pourquoi la pointe des lentilles coniques est problématique. La fabrication de la pointe est en effet un problème majeur pour les lentilles coniques. Il n’existe pas de méthode parfaite pour fabriquer la pointe de l’axicon et il va toujours rester une imperfection sur celle-ci. En général, les lentilles coniques sont soumises à un polissage afin d’obtenir un fini lisse, mais celui-ci ne permet pas d’avoir une pointe parfaite. Le polissage est fait par rotation, la pointe de l’axicon se retrouve à la limite de la surface polie, elle peut donc facilement être brisée ou arrondie par le polissage. D’autres façons de fabriquer une lentille conique existent, mais il y aura toujours un défaut sur la pointe.
17
Un autre point à savoir est que, puisqu’on peut minimiser le défaut sur la pointe, si l’axicon utilisé est assez gros, le défaut peut être négligeable. Cependant, il y a une limite à ce qu’on peut faire pour minimiser le défaut sur la pointe et si l’on veut faire un axicon de petite taille on atteint parfois un point où le défaut de la pointe affecte la qualité du faisceau Bessel de manière importante.
Il est donc important de savoir l’effet que ce défaut peut avoir sur le faisceau Bessel. On peut facilement imaginer que ce défaut réduira la longueur du faisceau Bessel, car la partie qui n’est pas en pointe ne produira pas de faisceau Bessel, alors la partie du faisceau la plus près de l’axicon sera perdue. Si c’était le seul inconvénient du défaut de la pointe, ce ne serait pas très grave, mais ce n’est pas le cas. Le défaut produit une onde qui va interférer avec le faisceau Bessel ce qui va créer une modulation de l’intensité du faisceau Bessel en z (dan la direction de propagation). Cette modulation peut s’avérer problématique dans plusieurs cas, il existe toutefois un moyen de corriger cela en filtrant le faisceau27, mais cela nécessite l’ajout de plusieurs pièces optiques. Dans la Figure
13 nous avons tracé l’intensité d’un faisceau Bessel le long de l’axe de propagation produit avec une lentille conique parfaite et une onde d’entré d’amplitude gaussienne.
Dans la Figure 14 nous avons utilisé une lentille conique, mais nous avons utilisé un paramètre conique fini de sorte que la pointe n’est pas parfaite, on peut voir dans la Figure 14 a) que la pointe est arrondie. On voit dans la Figure 14 b) qu’en plus d’être modulé, la ligne focale est plus courte (car elle aurait commencé à 0 si l’axicon était parfait).
Figure 13 : Intensité d’un faisceau Bessel le long de l’axe de propagation produit avec une lentille conique parfaite et une onde d’entrée d’amplitude gaussienne.
18
a) b)
Figure 14 : Figure 14 a) Lentille conique non parfaite (avec défaut sur la pointe). Figure 14 b) L’intensité du faisceau Bessel le long de l’axe de propagation produit par cet axicon avec une onde d’entrée plane d’amplitude gaussienne.
1.7 Technique de fabrication
Dans cette section, nous allons explorer les façons possibles de fabriquer un axicon à gradient d’indice de réfraction. Nous ne cherchons pas à expliquer précisément comment faire l’axicon à gradient d’indice, mais plutôt à explorer les méthodes de fabrications possibles et de déterminer la ou les plus appropriées. Nous ne savons d’ailleurs pas encore la forme du profil parfait, mais nous savons qu’il doit avoir approximativement la forme de celui présenté par González 13.
Nous allons donc commencer par définir nos besoins en termes d’indice de réfraction. Nous cherchons à faire un axicon de petite taille, le genre qui pourrait être mis sur une fibre optique. Il y a trois choses principales à regarder lorsqu’on choisit un mode de fabrication pour un objet à gradient d’indice.
La première chose est la variation d’indice maximal. Plus la variation du gradient est faible, plus l’axicon devra être long, mais puisque l’on veut l’utiliser sur une fibre, ce n’est pas très grave si elle est plus longue, donc ce critère n’est pas le plus important.
La deuxième est la taille à laquelle l’objet peut être fabriqué. Dans ce cas si on voudrait qu’il puisse être de taille comparable à une fibre optique.
L’autre aspect à regarder est la forme du profil d’indice de réfraction qu’il est possible de faire. Dans notre cas comme nous le verrons dans le chapitre 3, on veut un profil de la forme de la Figure 16, la complexité de ce profil est surtout la pointe au centre.
15:08:04
New lens from CVMACRO:cvnewlens.seq Scale: 57.00 01-Dec-17
0.44 MM 0 100 200 300 400 500 600 700 0 5 10 15 20 In ten sité Distance radiale (mm)
Intensité axiale
19
Pour produire la pointe, il faut être capable d’avoir un changement très précis de l’indice de réfraction. La plupart des méthodes auraient tendance à produire une forme arrondie au lieu d’une pointe bien nette, c’est le cas de la méthode par échange ionique28 et du dopage ionique29. Si l’on
considère aussi la taille, il reste seulement quelques méthodes possibles dont le dépôt chimique en phase vapeur30 (CVD ou MCVD), l'irradiation neutronique31 et par écriture laser directe32. De ces 3
méthodes, celle du MCVD se démarque plus que les autres. Déjà, cette méthode est utilisée pour la fabrication de fibre optique, donc il y a de bonnes chances qu’elle soit la plus appropriée pour ce que l’on veut. Avec cette méthode la dimension de la fibre (ou de l’axicon) peut-être contrôlée en étirant la fibre. De plus, comme l’indice de réfraction est fait couche par couche et en géométrie cylindrique, il est possible de faire le profil voulu. En plus de ça, cette méthode a tendance à produire un ‘’défaut’’ au centre qui est un pique d’indice vers le bas qui est dû à la présence d’un espace d’aire dans la fibre (les couches sont faites de l’extérieur vers le centre donc le centre ne peut pas être complètement remplie, en étirant la fibre la couche d’air vient presque à disparaitre). Or, ce défaut produit justement la pointe que l’on cherche à produire au centre qui est la partie la plus complexe à produire. Il serait donc possible de se servir de ce défaut à notre avantage pour fabriquer l’axicon à gradient d’indice de réfraction.
20
2
Chapitre 2 : Propagation dans un milieu à gradient d’indice
Dans le chapitre précédent, quelques types d’axicons ont été présentés. Maintenant, nous nous attaquons à l’analyse du cas qui nous intéresse soit de l’axicon à gradient d’indice de réfraction de la forme similaire à ceux de E. Marchand12 et par Rosa M. Gonzalez13. Dans la publication de Rosa
M. Gonzalez, il est démontré qu’un profil de la forme 𝑛2(𝑟) = 𝑛02(1 − 𝑎𝑟 + 𝑏2𝑟2) peu produire une focalisation partielle en forme d’anneau. Cependant, cette formule n’est pas la formule exacte pour la valeur de n(r) ce qui engendre des aberrations. Dans ce chapitre, nous démonterons donc la solution exacte qui permet d’obtenir un anneau parfait du point de vue de l’optique géométrique. Pour cela, nous aurons à nous familiariser avec les équations qui régissent la propagation dans un milieu à gradient d’indice. À partir de ces équations, une solution exacte pour le profil d’indice de réfraction sera trouvée.
2.1 Équation eikonale
Nous cherchons maintenant à modéliser la propagation des rayons dans un milieu ayant un indice de réfraction variable. Pour modéliser cela, l’équation eikonale sera utilisée. Cette équation est une approximation de la propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu avec un indice de réfraction n (qui peut être variable). L’approximation consiste à considérer la longueur d’onde très petite par rapport aux variations du milieu. L’équation eikonale peut être considérée comme l’équation fondamentale de propagation de rayon en optique géométrique, car toutes les lois d’optique géométrique peuvent être trouvées à partir de celle-ci. L’équation eikonale est trouvée à partir des équations de Maxwell :
∇ ⃗⃗ × 𝐸⃗ = −𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 (2.1) ∇ ⃗⃗ × 𝐻⃗⃗ = 𝐽 +𝜕𝐷⃗⃗ 𝜕𝑡. (2.2)
Puisque nous cherchons la formule qui régit la propagation des rayons, les équations peuvent être réécrites sous la forme qui ne dépend plus du temps. Pour cela, nous supposons une variation harmonique du champ électrique et magnétique. Les équations de maxwell peuvent alors être exprimées seulement à l’aide de la partie vectorielle du phaseur 𝐸⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) et 𝐻⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧). La densité
21
de courant est supposée nulle donc 𝐽 =0 et si le milieu est linéaire et isotrope 𝐷⃗⃗ = 𝜖𝐸⃗ et 𝐻⃗⃗ = 1 𝜇𝐵⃗ , les équations (2.1) et (2.2) deviennent :
Nous cherchons une solution de la forme :
(𝜗 est une fonction qui représente un front d’onde de phase constante). Avec ces solutions, les équations (2.3) et (2.4) deviennent :
Avec l’identité vectorielle ∇⃗⃗ × (𝜑𝐴 ) = 𝜑∇⃗⃗ × 𝐴 + ∇⃗⃗ 𝜑 × 𝐴 , les équations (2.7) et (2.8) peuvent être réécrites :
À cette étape, pour simplifier l’équation, une approximation est faite, soit que la longueur d’onde est très petite λ→0 donc k0→∞. Cette approximation est équivalente à supposer que la longueur
d’onde est beaucoup plus petite que la variation du milieu, c’est l’approximation fondamentale l’équation eikonale. Les équations (2.9) et (2.10) deviennent :
En isolant 𝐻⃗⃗ 0 dans l’équation (2.11) et en le mettant dans l’équation (2.12), l’équation suivante est obtenue :
Qui peut aussi s’écrire comme suit : ∇ ⃗⃗ × 𝐸⃗ = −𝑗𝜔𝜇𝐻⃗⃗ (2.3) ∇ ⃗⃗ × 𝐻⃗⃗ = 𝑗𝜔𝜖𝐸⃗ . (2.4) 𝐸⃗ = 𝐸⃗ 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗 (2.5) 𝐻⃗⃗ = 𝐻⃗⃗ 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗 (2.6) ∇ ⃗⃗ × 𝐸⃗ 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗 = −𝑗𝜔𝜇𝐻⃗⃗ 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗 (2.7) ∇ ⃗⃗ × 𝐻⃗⃗ 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗 = 𝑗𝜔𝜖𝐸⃗ 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗. (2.8) 1 𝑗𝑘0 ∇ ⃗⃗ × 𝐸⃗ 0− ∇⃗⃗ ϑ × 𝐸⃗ 0 = −𝑐𝑛𝜇𝐻⃗⃗ 0 (2.9) 1 𝑗𝑘0 ∇ ⃗⃗ × 𝐻⃗⃗ 0+ ∇⃗⃗ ϑ × 𝐻⃗⃗ 0= 𝑐𝑛𝜖𝐸⃗ 0 . (2.10) ∇ ⃗⃗ ϑ × 𝐸⃗ 0− 𝑐𝑛𝜇𝐻⃗⃗ 0= 0 (2.11) ∇ ⃗⃗ ϑ × 𝐻⃗⃗ 0+ 𝑐𝑛𝜖𝐸⃗ 0 = 0 . (2.12) ∇ ⃗⃗ ϑ × (∇⃗⃗ ϑ × 𝐸⃗ 0) + 𝑛2𝐸⃗ 0= 0 (2.13) ∇ ⃗⃗ ϑ(∇⃗⃗ ϑ ∙ 𝐸⃗ 0) − ∇⃗⃗ ϑ ∙ ∇⃗⃗ ϑ𝐸⃗ 0+ 𝑛2𝐸⃗ 0 = 0 . (2.14)
22
Il est possible de montrer que ∇⃗⃗ 𝜗 ∙ 𝐸⃗ 0 = 0, puisque le gradient de 𝜗 est dans la direction de propagation et que 𝐸⃗ 0 est perpendiculaire à la direction de propagation (dans le cas d’un milieu isotrope). Alors, l’équation (2.14) devient :
|∇⃗⃗ ϑ|2 = 𝑛2. (2.15)
Cette dernière équation est l’équation eikonale.
2.2 Équation des rayons lumineux
Nous avons trouvé l’équation eikonale, mais sous cette forme il est difficile de trouver la trajectoire des rayons. Nous allons donc trouver une forme plus pratique qui permettra de modéliser plus facilement la propagation des rayons. Posons la trajectoire des rayons comme étant S, et 𝑟 étant la distance d’un point sur la courbe S à partir de l’origine. Il est alors possible d'écrire un vecteur unitaire tangentiel à la courbe comme :
𝑎 𝑠= 𝑑𝑟 𝑑𝑠.
(2.16)
Le gradient de la fonction ϑ est perpendiculaire au plan de phase constante, donc il pointe dans la direction de propagation. Le vecteur unitaire peut donc être exprimé comme suit :
𝑎 𝑠 = ∇ ⃗⃗ ϑ |∇⃗⃗ ϑ|= ∇ ⃗⃗ ϑ n (2.17)
(|∇⃗⃗ ϑ| a été remplacé par n grâce à l’équation eikonale). Les équations (2.16) et (2.17) sont combinées pour obtenir l’équation :
∇
⃗⃗ ϑ = n𝑑𝑟 𝑑𝑠.
(2.18)
Nous cherchons maintenant à éliminer le terme en ϑ, pour cela il faut trouver une autre expression avec le terme ϑ. Il est possible pour cela de prendre le gradient de l’équation eikonale pour obtenir :
2∇⃗⃗ 𝜗 ∙ ∇⃗⃗ (∇⃗⃗ 𝜗) = 2𝑛∇⃗⃗ 𝑛 . (2.19)
Si l’on met les deux équations ensemble, on obtient : 𝑑𝑟 𝑑𝑠∙ ∇⃗⃗ (n 𝑑𝑟 𝑑𝑠) = ∇⃗⃗ 𝑛 (2.20) et puisque 𝑑 𝑑𝑠= 𝑑𝑟
𝑑𝑠∙ ∇⃗⃗ , il est possible de réécrire l’équation comme suit : 𝑑
𝑑𝑠(n 𝑑𝑟
𝑑𝑠) = ∇⃗⃗ 𝑛 .
23
Cette équation est l’équation de la propagation des rayons. Elle est l’équivalent de l’équation eikonale, mais cette forme-ci sera plus pratique dans notre cas.
2.3 Propagation dans un milieu d’indice n(r)
Nous allons nous intéresser au profil d’indice de réfraction dont la variation est radiale et de géométrie cylindrique. Ce profil est particulièrement intéressant, car il est relativement simple à produire et plusieurs composantes optiques utilisent déjà un tel profil (exemple : lentille à gradient d’indice et fibre optique). La solution recherchée est une solution ou les rayons se propageant dans la GRIN sont méridionaux et puisque la géométrie du problème est de forme cylindrique un vecteur quelconque perpendiculaire à la trajectoire d’un rayon peut être écrit comme suit :
𝑟 = 𝑟𝑎 𝑟+ 𝑧𝑎 𝑧 . (2.22)
La composante angulaire est omise, car elle est toujours constante puisque les rayons sont méridionaux. La variation de vecteur 𝑟 le long de la courbe S peut alors être écrite:
𝑑𝑟 𝑑𝑠 = 𝑑𝑟 𝑑𝑠𝑎 𝑟+ 𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑠𝑎 𝜙+ 𝑑𝑧 𝑑𝑠𝑎 𝑧 . (2.23)
Avec cela, l’équation (2.21) est réécrite comme suit : ∇ ⃗⃗ 𝑛 = 𝑑 𝑑𝑠(n 𝑑𝑟 𝑑𝑠) 𝑎 𝑟+ 𝑑𝑎 𝑟 𝑑𝑠 n 𝑑𝑟 𝑑𝑠+ 𝑑 𝑑𝑠(nr 𝑑𝜙 𝑑𝑠) 𝑎 𝜙+ 𝑑𝑎 𝜙 𝑑𝑠 nr 𝑑𝜙 𝑑𝑠 + 𝑑 𝑑𝑠(n 𝑑𝑧 𝑑𝑠) 𝑎 𝑧 +𝑑𝑎 𝑧 𝑑𝑠 n 𝑑𝑧 𝑑𝑠 . (2.24)
Pour simplifier l’équation, les relations suivantes sont utilisées : 𝑑𝑎 𝑟 𝑑𝑠 = 𝑑𝑎 𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝑠 = 𝑑𝜙 𝑑𝑠𝑎 𝜙 , (2.25) 𝑑𝑎 𝜙 𝑑𝑠 = − 𝑑𝜙 𝑑𝑠𝑎 𝑟 , (2.26) 𝑑𝑎 𝑧 𝑑𝑠 = 0 (2.27) et ∇ ⃗⃗ 𝑛 =𝑑𝑛 𝑑𝑟𝑎 𝑟 (2.28)
24 ∇ ⃗⃗ 𝑛 = [𝑑 𝑑𝑠(n 𝑑𝑟 𝑑𝑠) − nr ( 𝑑𝜙 𝑑𝑠) 2 ] 𝑎 𝑟+ [ 𝑑 𝑑𝑠(nr 𝑑𝜙 𝑑𝑠) + 𝑛 𝑑𝜙 𝑑𝑠 𝑑𝑟 𝑑𝑠] 𝑎 𝜙+ 𝑑 𝑑𝑠(n 𝑑𝑧 𝑑𝑠) 𝑎 𝑧 =𝑑𝑛 𝑑𝑟𝑎 𝑟 . (2.29)
Puisque le profil d’indice de réfraction est radial, la composante de 𝑎 𝜙 doit être nulle donc : 𝑑 𝑑𝑠(nr 𝑑𝜙 𝑑𝑠) + 𝑛 𝑑𝜙 𝑑𝑠 𝑑𝑟 𝑑𝑠= 0 (2.30) d’où nr2𝑑𝜙 𝑑𝑠 = 𝑐1 . (2.31)
C’est la même chose pour 𝑎 𝑧, puisque le profil d’indice de réfraction est radial, la composante 𝑎 𝑧 doit être nulle d’où :
n𝑑𝑧 𝑑𝑠= 𝑐2 .
(2.32)
L’équation (2.29) peut donc s’écrire : 𝑑 𝑑𝑠(n 𝑑𝑟 𝑑𝑠) − nr ( 𝑑𝜙 𝑑𝑠) 2 =𝑑𝑛 𝑑𝑟. (2.33)
Avec l’expression pour l’équation 𝑐1 (2.31), l’équation (2.33) devient : 𝑛𝑑𝑛 𝑑𝑠 𝑑𝑟 𝑑𝑠+ 𝑛 2𝑑 2𝑟 𝑑𝑠2− 𝑐12 r3− 1 2 𝑑𝑛2 𝑑𝑟 = 0 . (2.34)
De l’équation (2.32) on peut trouver :
n 𝑑 𝑑𝑠= 𝑐2
𝑑 𝑑𝑧 ,
(2.35)
ce qui permet, après quelques manipulations, de réécrire l’équation (2.34) 𝑐22 𝑑2𝑟 𝑑2𝑧− 𝑐12 r3− 1 2 𝑑𝑛2 𝑑𝑟 = 0 . (2.36)
On intègre ensuite par rapport à r pour obtenir : 𝑑𝑟 𝑑𝑧= 1 𝑐2 [𝑛2−𝑐1 2 r2− 𝑐3] 1 2 ⁄ . (2.37)
On peut montrer que 𝑐3 = 𝑐22. Pour les rayons méridionaux, les valeurs des constantes 𝑐1 et 𝑐2 de l’équation (2.37) sont les suivantes :
𝑐1= 0 (2.38)
𝑐2 = 𝑛1cos 𝛾0 (2.39)
25 𝑐22 𝑑2𝑟 𝑑𝑧2− 1 2 𝑑𝑛2 𝑑𝑟 = 0 (2.40) (𝑑𝑟 𝑑𝑧) 2 =𝑛 2 𝑐22 − 1 . (2.41)
Nous avons donc une équation pour le trajet des rayons en fonction de l’indice de réfraction.
2.4 Profil d’indice de réfraction optimal
Nous cherchons à trouver un profil d’indice qui permet au faisceau de se propager en ayant une oscillation et ne dépendant pas de l’angle d’entrée comme sur la Figure 15. Les rayons seront donc des rayons méridionaux. On pose que, en se propageant, les rayons suivent une trajectoire G(z)=r(z), on peut donc écrire :
𝑑𝐺 𝑑𝑧 = 𝜕𝐺 𝜕𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑧 (2.42)
et en mettant le tout au carré, on obtient : 𝑑2𝐺 𝑑𝑧2 = 𝜕2𝐺 𝜕𝑟2( 𝑑𝑟 𝑑𝑧) 2 +𝜕𝐺 𝜕𝑟 𝑑2𝑟 𝑑𝑧2 . (2.43)
Si on multiplie l’équation (2.40) par 𝜕𝐺
𝜕𝑟, on obtient : 𝑐22 𝜕𝐺 𝜕𝑟 𝑑2𝑟 𝑑𝑧2− 1 2 𝑑𝑛2 𝑑𝑟 𝜕𝐺 𝜕𝑟 = 0 . (2.44)
Figure 15 : Propagation dans le GLA, on voit que peu importe l’angle d’entrée 𝜸𝟎 les rayons ont toujours la même
26
Si l’on met dans l’équation (2.43) dans celle-ci, on trouve : 𝑐22[ 𝑑2𝐺 𝑑𝑧2− 𝜕2𝐺 𝜕𝑟2( 𝑑𝑟 𝑑𝑧) 2 ] −1 2 𝑑𝑛2 𝑑𝑟 𝜕𝐺 𝜕𝑟 = 0 . (2.45)
Avec l’équation (2.41) on obtient : 𝑐22[ 𝑑2𝐺 𝑑𝑧2− 𝜕2𝐺 𝜕𝑟2( 𝑛2(𝑟) 𝑐22 − 1)] − 1 2 𝑑𝑛2 𝑑𝑟 𝜕𝐺 𝜕𝑟 = 0 (2.46)
et avec quelques manipulations on obtient : 𝑐22[ 𝑑2𝐺 𝑑𝑧2 + 𝜕2𝐺 𝜕𝑟2] = 𝑛 [ 𝜕 𝜕𝑟(𝑛 𝜕𝐺 𝜕𝑟)]. (2.47)
On cherche une distribution n(r) telle que la propagation des rayons soit périodique et ne dépende pas de 𝑐22. Donc, il faut que :
𝑑2𝐺 𝑑𝑧2 = −𝛼2𝐺 (2.48) et que : 𝑑2𝐺 𝑑𝑧2+ 𝜕2𝐺 𝜕𝑟2 = 0 . (2.49)
Cela implique que :
𝜕2𝐺 𝜕𝑟2 = 𝛼2𝐺 (2.50) et : 𝜕 𝜕𝑟(𝑛 𝜕𝐺 𝜕𝑟) = 0 . (2.51)
De l’équation (2.50) on trouve que :
𝐺(𝑟) = 𝑎 cosh(𝛼𝑟) + 𝑏 sinh(𝛼𝑟) (2.52) et de l’équation (2.51) on trouve : 𝑛𝜕𝐺 𝜕𝑟 = 𝑐𝑡𝑒. (2.53) On trouve donc : 𝑛(𝑟) = 𝑛0𝑏 𝑎 sinh(𝛼𝑟) + 𝑏 cosh(𝛼𝑟) . (2.54) On veut que 𝑑𝑛 𝑑𝑟 = 0 à r=a0, donc : 𝑎 cosh(𝛼𝑎0) + 𝑏 sinh(𝛼𝑎0) = 0, (2.55) d’où :
27
𝑎 = −𝑏 tanh(𝛼𝑎0). (2.56)
Si on réécrit l’équation (2.54) avec cela, on obtient :
𝑛(𝑟) = 𝑛1sech(𝛼(𝑟 − 𝑎0)) (2.57)
avec 𝑛0= 𝑛1sech(𝛼𝑎0). L’équation (2.57) est la formule pour l’indice de réfraction idéal (Figure 16), il est à noter que la démonstration pour le profil en sech (pour a0=0) a été faite par33–35 et que la
démonstration ici est faite de façon différente. Cependant, la démonstration n’avait pas été faite pour le profil décentré comme celui que nous avons obtenu (avec une valeur a0≠0). Nous
appellerons les axicons qui utilisent ce profil d’indice de réfraction des GLA (
Grin Lens Axicon
). Avec cet indice de réfraction, on devrait donc obtenir des faisceaux qui se propagent de façon périodique avec une périodicité qui ne dépend pas de l’angle γ0.Figure 16 : Représentation de l’indice de réfraction selon l’équation(2.57). Les valeurs de l’indice de réfraction ne sont pas très réalistes, ici nous avons seulement tracé pour bien voir la forme en sech de la courbe.
Nous allons maintenant déterminer la trajectoire ce qui nous assurera de la validité de l’équation (2.57). À partir de l’équation (2.52) on trouve que :
𝑑2𝐺 𝑑𝑧2 = −
𝜕2𝐺
𝜕𝑟2 = −𝛼2𝐺.
(2.58)
Puisqu’on cherche une solution périodique, cela implique :
𝐺(𝑧) = 𝐴 cos(𝛼𝑟) +𝐵 sin(𝛼𝑟), (2.59)
donc avec la condition (2.58) on obtient :
-3 -2 -1 0 1 2 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Distance radiale (a0) In di ce d e ré fr ac tio n
28 𝑑2𝐺
𝑑𝑧2 = −𝛼
2[𝐴 cos(𝛼𝑟) +𝐵 sin(𝛼𝑟)] = −𝛼2[𝑎 cosh(𝛼𝑟) + 𝑏 sinh(𝛼𝑟)] (2.60) d’où
[𝐴 cos(𝛼𝑟) +𝐵 sin(𝛼𝑟)] = [𝑎 cosh(𝛼𝑟) + 𝑏 sinh(𝛼𝑟)]. (2.61)
On dérive l’équation (2.61) par rapport à z pour obtenir :
−𝛼𝐴 sin(𝛼𝑟) +𝛼𝐵 cos(𝛼𝑟) = [𝛼𝑎 sinh(𝛼𝑟) + 𝛼𝑏 cosh(𝛼𝑟)]𝑑𝑟 𝑑𝑧.
(2.62)
On pose les conditions initiales :
𝑟 = 0, 𝑑𝑟
𝑑𝑧= 0 à = 0 .
(2.63)
Avec ces conditions initiales, on obtient B=0, donc l’équation (2.61) devient :
𝐴 cos(𝛼𝑟) = [𝑎 cosh(𝛼𝑟) + 𝑏 sinh(𝛼𝑟)] . (2.64)
Avec la valeur trouvée précédemment pour ‘’a’’ (équation (2.56)) l’équation devient :
𝐴 cos(𝛼𝑟) = 𝑏[sinh(𝛼𝑟) − tanh(𝛼𝑎0) cosh(𝛼𝑟)] . (2.65) Puis avec quelques manipulations, on trouve :
𝐴 cos(𝛼𝑧) = 𝑏 cosh(𝛼𝑎0)
sinh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑟0). (2.66)
Avec 𝑛0= 𝑛1sech 𝛼𝑎0 l’équation (2.66) devient :
𝑛1𝐴 cos(𝛼𝑧) = 𝑛0𝑏 sinh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑎0). (2.67)
Avec les conditions initiales 𝑧 = 0 et 𝑟 = 𝑟0 on obtient :
𝑛1𝐴 = 𝑛0𝑏 sinh(𝛼𝑟0− 𝛼𝑎0), (2.68)
donc en utilisant (2.68) l’équation (2.67) devient :
cos(𝛼𝑧) = sinh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑎0) sinh(𝛼𝑟0− 𝛼𝑎0)
. (2.69)
Pour trouver la valeur de sinh(𝛼𝑟0− 𝛼𝑎0) on dérive par rapport à z pour obtenir : −αsinh(𝛼𝑧) =𝛼 cosh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑎0)
sinh(𝛼𝑟0− 𝛼𝑎0) ( 𝑑𝑟 𝑑𝑧).
(2.70)
On évalue ensuite à 𝛼𝑧 =𝜋2 pour obtenir : (𝑑𝑟
𝑑𝑧)𝛼𝑧=𝜋 2⁄ = − sinh(𝛼𝑟0− 𝛼𝑎0)
(2.71)
29
tan 𝛾0= sinh(𝛼𝑟0− 𝛼𝑎0) (2.72)
où 𝛾0 est l’angle maximal du rayon (donc l’angle à 𝛼𝑧 = 𝜋 2⁄ ), alors la formule (2.69) peut également être écrite comme suis :
cos(𝛼𝑧) =sinh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑎0) tan 𝛾0 . (2.73) Si on isole r, on obtient : 𝑟(𝑧) =1 𝛼sinh −1(tan 𝛾 0cos(𝛼𝑧)) − 𝑎0 . (2.74)
Cette formule représente la trajectoire des rayons dans un milieu avec un indice de réfraction de la forme (2.57). On voit que la périodicité en z dépend seulement de la constante α, comme nous le voulions.
Pour comparer cette solution (qui est la solution exacte) à la solution de Rosa M. Gonzalez13, nous allons faire le tracé de rayon pour un indice de réfraction de la forme
𝑛2(𝑟) = 𝑛
12(1 + 𝑎𝑟 − 𝑏𝑟2) (2.75)
et nous allons le comparer à la solution trouvée. La Figure 17 a), b) et c) sont les tracés de rayons pour un indice de réfraction de la forme (2.75) pour différentes valeurs de variation d’indice ∆𝑛. On voit que si le ∆𝑛 est élevé, il y a beaucoup d’aberrations, mais pour le profil d’indice de réfraction trouvé, qui est représenté à la Figure 17 d), peu importe la valeur de ∆𝑛, le profil est toujours exact.
a) b) 0 5 10 15 20 25 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
30
c) d)
Figure 17 : Les figures a), b) et c) sont les tracés de rayons pour le profil de la forme (2.75) avec une variation d’indice de réfraction de 0.03, 0.1 et 0.3 respectivement. La figure d) est celui pour la forme exacte (2.57) avec une variation d’indice de réfraction de 0.3.
2.5 Chemin optique
Il existe une autre façon de voir le problème, au lieu de résoudre le problème en termes de tracé de rayon, il est possible de le voir en termes de chemin optique. Le chemin optique est défini comme la distance parcourue entre deux points, multipliée par l’indice de réfraction. Deux rayons de même phase qui parcourent un chemin optique de même valeur auront la même phase à leurs arrivées, en fait ils auront fait exactement le même nombre d’oscillations. Selon le principe de Fermat, le parcours de la lumière entre deux points est le parcours qui prend le moins de temps. Donc puisque dans notre cas la propagation est périodique, les rayons qui partent de l’anneau focal (à 0 sur la Figure 15) arrivent tous au même point après une distance de π/α. Dans cet intervalle les rayons ont forcément le même chemin optique, car selon le principe de Fermat ils ont tous pris le parcours le plus cours, donc ils arrivent tous en même temps et en phase sur l’anneau. Il aurait donc pu être exigé dans la démarche pour trouver le profil d’indice de réfraction idéal que la longueur du chemin optique soit constante peu importe la trajectoire des rayons. Cela aurait permis de s’assurer que les rayons produisent bien un anneau. Cependant, en exigent que le tracer de rayon soit périodique et que la périodicité ne soit pas dépendante de γ0, on a de façon indirecte exigée que la
longueur du chemin optique soit constante, peu importe la trajectoire des rayons du point z=0 à π/α. Puisque que les rayons entre l’intervalle z=0 à π/2α et z= π/2α à π/α sont symétriques, nous pouvons également dire que la longueur du chemin optique entre z=0 et π/2α est constante.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
