Génération de supercontinuum dans l'infrarouge en régime nanoseconde

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PHILIPPE GAGN ´E

G´

en´

eration de supercontinuum dans l’infrarouge en

r´

egime nanoseconde

Mémoire présenté `

a la Faculté des études supérieures de l’Université Laval dans le cadre du programme de maˆıtrise physique pour l’obtention du grade de maˆıtre ès sciences (M. Sc.)

Faculté de sciences et génie UNIVERSITÉ LAVAL

QU ´EBEC

2011

c

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Avant-Propos

Je tiens d’abord à remercier mon directeur et mon codirecteur de recherche, Réal Vallée et Jérôme Genest, pour leur support durant toute la durée de mes études de maˆıtrise. Les nombreux conseils qu’ils m’ont offerts ont été très utiles à l’aboutissement de ce projet.

Je suis aussi reconnaissant envers les étudiants et le personnel technique du COPL avec qui j’ai collaboré ; l’aide qu’ils m’ont offerte a été très importante à la réussite du projet. J’aimerais en particulier souligner le soutien qui m’a été apporté par Vincent Fortin tout au long de ma maˆıtrise.

Finalement, un merci tout sp´ecial `a ma famille pour le soutien moral inconditionnel dont ils ont toujours fait preuve.

(3)

iii

R´

esum´

e

La génération de supercontinuum consiste en un élargissement spectral extrême d’une source laser généralement pulsée par l’intermédiaire des effets non-linéaires. Une fibre optique est le plus souvent utilisée vu l’excellent confinement qu’offre ce type de milieu. La génération de supercontinuum trouve des applications dans de nombreux domaines que ce soit en spectroscopie, en métrologie, ou même en médecine. Depuis plusieurs années de nombreuses recherches ont été conduites visant à repousser les li-mites de l’élargissement. Pour pallier à la limite fondamentale que représente les pertes matérielles dans l’infrarouge de la silice, plusieurs se sont tournés vers des verres plus exotiques tels que les verres fluorés [?, ?, ?] et les verres de chalcogénure [?, ?, ?]. Le but principal de ce mémoire est d’étudier en profondeur la génération de supercontinuum dans l’infrarouge à partir d’impulsions nanosecondes dans des fibres de verre fluoré. Ce mémoire présente premièrement les concepts théoriques derrière les effets non-linéaires menant à la génération de supercontinuum. Ensuite, on y décrit les méthodes utilisées pour caractériser et les propriétés importantes des fibres optiques utilisées. Finalement, les différents supercontinua générés sont présentés et les mécanismes menant à l’´ elar-gissement spectral sont analysés.

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Introduction

La génération de supercontinuum est l’un des moyens pour tirer profit des effets non-linéaires présents dans la plupart des matériaux utilisés en optique. Elle consiste en fait à utiliser les effets non-linéaires pour arriver à créer un spectre considérablement élargi. On obtient ainsi une véritable source blanche ayant le grand avantage de parfois conserver un certain degré de cohérence.

Les avantages d’une telle source sont énormes. En spectroscopie d’absorption par exemple, une source de supercontinuum peut avantageusement remplacer les corps noirs traditionnellement utilisés puisque la densité de puissance d’une telle source peut lar-gement dépasser la leur. La largeur du spectre peut de plus être finement contrôlée uniquement en variant la puissance ou le taux de répétition de la pompe utilisée. En utilisant le battement entre deux sources pulsées stabilisées, il est possible de générer des peignes de fréquences permettant de réaliser des expériences de spectroscopie ultra-rapides. L’utilisation d’un supercontinuum permet d’élargir la plage d’application de ces peignes à la condition que ce dernier soit cohérent. Finalement, malgré qu’un spectre de l’ampleur d’un supercontinuum ne soit pas nécessaire, un élargissement spectral per-met d’améliorer la résolution axiale des images obtenues par tomographie par cohérence optique.

La génération de supercontinuum a d’abord été observée en 1969 par Alfano et Sha-piro [?]. Ceux-ci ont pu constater un élargissement spectral après propagation d’une impulsion picoseconde centrée aux alentours de 530 nm dans des blocs de calcite, de quartz et de chlorure de sodium. En 1975, Lin et Stolen [?] ont mis en évidence l’avan-tage d’utiliser une fibre optique pour la génération de supercontinuum. En effet, la fibre optique confine le champ électrique dans un petit volume et permet la propagation sur une distance beaucoup plus grande qu’un bloc de verre. Les effets non-linéaires étant additifs, l’utilisation de fibres optiques permet donc de maximiser les effets non-linéaires en diminuant l’aire efficace. Le phénomène principal menant à l’élargissement dans l’ex-périence de Lin et Stolen était l’auto-modulation de phase. Ceux-ci avaient initialement utilisé un laser à colorant produisant des impulsions de 10 nanosecondes et une fibre

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de silice dans un régime de dispersion normale. Ils raffinèrent par la suite l’expérience en utilisant un laser à mode bloqu´_{e (« mode-locked ») produisant des impulsions de} quelques picosecondes [?].

En 1978, Lin et Nguyen ont amélioré l’expérience développée par Lin et Stolen et utilisant une source de « Q-switched »150 kW produisant des impulsions de 20 nanose-condes ainsi qu’une fibre de silice dopée au germanium de 315 mètres de long et ayant un coeur de 33 µm. Ils ont ainsi réussi à produire un spectre s’étendant de 0,7 µm à 1,6 µm. En utilisant une autre fibre ayant cette fois-ci un coeur de 6 µm, ils ont cette fois-ci généré un spectre s’étendant entre 0,9 µm à 1,7 µm et ont sans le savoir observé les premiers solitons optiques [?].

En 1980, Fuji et al. ont utilisé un laser à mode bloqué Nd :YAG générant une puissance crête d’au moins 100 kW et une fibre de germano-silicate de 10 µm de coeur [?]. Ils ont ainsi généré un spectre couvrant la quasi-totalité de la plage possible dans ce type de fibre, soit un spectre allant de 300 nm à 2100 nm. Les auteurs ont attribué la génération de fréquence dans le visible au mélange à quatre ondes mais n’ont pas donné d’explication satisfaisante pour la génération de fréquences dans l’infrarouge.

Par la suite, la communauté scientifique s’intéressa aux fibres de silice en régime de dispersion anomale près du zéro de dispersion [?, ?]. Les phénomènes de fission de solitons et d’auto-décalage en fréquence furent alors découverts expliquant ainsi les supercontinuua s’étendant dans les hautes longueurs d’onde .

L’arrivée des fibres microstructurées amena de nouveaux développements dans la g´ e-nération de supercontinuum [?]. Ce type de fibre permet en effet de contrôler la position du zéro de dispersion des fibres optiques vu la très importante dispersion de guidage y étant présente. De plus, la structure des fibres microstructurées permet d’obtenir un ex-cellent confinement du faisceau amenant ainsi la formation d’un large supercontinuum `

a partir de faibles puissances [?, ?, ?, ?, ?, ?, ?]. Il est aussi possible d’obtenir le même effet de confinement et de contrôle de la dispersion de guidage en réduisant le diamètre de la fibre par ´_{etirement (« taper »). Encore une fois, il est possible de générer un large} supercontinuum à l’aide d’une faible puissance de pompe [?, ?].

Plus récemment, on a tenté de repousser les limites de l’élargissement spectral en changeant la composition des verres utilisés. Vu les récents progrès dans la fabrication des verres fluorés et des verres de chalcogénure, il est devenu possible de créer des fibres optiques permettant une transmission au-delà de 4 µm. Dans une fibre de verre fluoré, Xia et al. [?] et Islam et al. [?] ont tout deux rapporté un supercontinuum s’étendant jusqu’à 4,5 µm en utilisant une source nanoseconde amplifiée. Domachuk et al. [?] ont

(9)

Introduction 3

quant à eux utilisé une fibre de tellure microstructurée et une source femtoseconde à 1550 nm pour générer un spectre dépassant 4,8 µm.

Finalement, la demande pour des sources de supercontinuum fiable en recherche a éveillé l’intérêt de l’industrie pour le domaine et de nombreuses compagnies telles que Fianium, NTK Photonics et Leukos.

Le but de mon projet de maˆıtrise s’inscrit donc dans cette ligne de pensée. La plage spectrale s’étendant entre 2.5 µm et 5 µm est intéressante, particulièrement en spec-trométrie. De plus, cette plage est inaccessible lorsque des fibres de silice sont utilisées vu les grandes pertes matérielles dans cette région spectrale. Pour générer un super-continuum s’étendant sur une telle largeur, une source nanoseconde haute puissance est utilisée avec différentes fibres de verre fluoré.

Ce mémoire est organisé comme suit : le premier chapitre présente l’équation r´ egis-sant la propagation d’un signal pulsé dans une fibre optique et les effets non-linéaires découlant directement de cette propagation. Le second chapitre présente en détail les propriétés d’intérêts des fibres optiques pour la génération de supercontinum tel que la dispersion, l’aire effiace, les pertes et le coefficient non-linéaire. Finalement, le dernier chapitre présente d’abord les résultats et les phénomènes régissant l’élargissement dans une fibre de silice et par la suite ceux d’une fibre de verre fluoré.

(10)

Th´

eorie

Le présent chapitre a pour but de présenter les éléments de théorie permettant de comprendre la génération de supercontinuum. Le point de départ est donc l’obtention de l’équation de propagation non-linéaire dans une fibre optique. Par la suite, certains effets non-linéaires d’intérêt, soit l’auto-modulation de phase, l’instabilité de modula-tion, l’auto-raidissement et la diffusion Raman sont décrits. Pour finir, ne technique de résolution numérique de l’équation est présentée.

1.1 Equation de Schr¨

´

odinger non-lin´

eaire

Les effets non-linéaires et linéaires présents dans une fibre optique affectent le spectre du signal s’y propageant, il est important d’avoir un modèle théorique pour tenter de prédire et de mieux comprendre les différents effets en jeu.

En utilisant les ´equations de Maxwell, il est possible d’obtenir l’´equation d’onde pour une fibre optique [?] :

∇ × ∇ × E = −1 c2 ∂2_E ∂t2 − µ0 ∂2_P ∂t2 , (1.1)

où E : vecteur de champ électrique, c : vitesse de la lumière,

t : variable temporelle,

(11)

Chapitre 1. Th´eorie 5

P : vecteur de polarisation induite.

Pour le développement qui suit, on néglige la susceptibilité d’ordre 2 (χ(2)). En effet, celle-ci est généralement nulle pour les milieux isotropes tels que les fibres optiques. La contribution principale aux effets non-linéaires provient donc de la susceptibilité d’ordre 3 (χ(3)) puisque les fréquences d’intérêts sont généralement éloignées de toute résonance. Elle est responsable de l’indice de réfraction non-linéaire et donc de la majorité des effets non-linéaires considérés ici [?,?]. La polarisation induite est décomposée en deux partie, un partie linéaire et une partie non-linéaire [?, ?, ?] :

P(r,t) = PL(r,t) + PNL(r,t), (1.2)

o`u PL : vecteur de polarisation induite lin´eaire,

PNL : vecteur de polarisation induite non-lin´eaire,

r : variable radiale.

Les portions lin´eaire et non-lin´eaire de la polarisation induite prennent la forme suivante : PL(r,t) = 0 t Z −∞ χ(1)(t − t0) · E(r,t0)dt0, (1.3) PNL(r,t) = 0 t Z −∞ dt1 t Z −∞ dt2 t Z −∞

dt3× χ(3)(t − t1,t − t2,t − t3)...E(r,t1)E(r,t2)E(r,t3), (1.4)

où l’opérateur... est le produit scalaire triple et doit être utilisé vu la nature tensorielle de χ(3)

0 : permittivit´e du vide,

χ(1) : susceptibilit´e d’ordre 1, χ(3) : susceptibilit´e d’ordre 3, t0, t1, t2, t3 : variables temporelles.

En utilisant l’´equation (??) et la relation suivante :

∇ × ∇ × E ≡ ∇(∇ · E) − ∇2_{E = ∇} ∇ · D

0

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où D est la densité de flux électrique. Cette dernière quantité est nulle puisqu’on se trouve en l’absence de charge libre dans le milieu considéré. On substitue maintenant dans l’équation (??) et on obtient :

∇2E − 1 c2 ∂2_E ∂t2 = µ0 ∂2_P L ∂t2 + µ0 ∂2_P NL ∂t2 . (1.6)

La forme de PNL présentée à l’équation ?? est cependant plus générale que le cadre

du présent travail ne l’exige puisque certains effets tels que la génération de troisième harmonique et le mélange à quatre onde ne surviennent que lorsque des conditions bien spécifiques d’accord de phase sont satisaites et y sont implicitement inclus. Il sera possible de simplifier cette expression en utilisant la forme suivante pour la susceptibilité d’ordre 3 (χ(3)_{) [?] :}

χ(3)(t − t1,t − t2,t − t3) = χ(3)R(t − t1)δ(t1− t2)δ(t − t3), (1.7)

où R(t) : réponse temporelle finie de la non-linéarité contenant les contributions électroniques et de vibration (Raman),

δ(t) : fonction delta de Dirac.

La fonction R(t) est normalis´ee de telle fa¸con que

∞

R

−∞

R(t)dt = 1. Elle peut être décomposé de la fa¸con suivante [?] :

R(t) = (1 − fR)δ(t) + fRhR(t), (1.8)

où fR : fraction décalée de l’effet Raman,

hR(t) : fonction de r´eponse Raman.

Il est donc maintenant possible de simplifier l’expression de la polarisation non-linéaire en substituant l’expression de χ(3) présentée à l’équation (??) dans l’équation (??) et en supposant que le signal de la porteuse varie beaucoup plus rapidement que l’enveloppe ce qui permet de séparer les variations lentes et rapides du champ. Ce dernier prend la forme suivante :

E(r,t) = 1

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o`u E(r,t) : vecteur de champ magn´etique,

E(r,t) : enveloppe temporelle (variation lente), ω0 : fr´equence angulaire centrale,

c.c. : complexe conjug´e .

Finalement, la polarisation non-lin´eaire prend la forme suivante :

PN L(r,t) = 30 4 χ (3) xxxxE(r,t) t Z −∞ R(t − t1)E∗(r,t1)E(r,t1)dt1, (1.10)

où χ(3)xxxx est une composante du tenseur de susceptibilité non-linéaire d’ordre 3. En

utilisant les équations précédentes et en passant dans le domaine des fréquences, on obtiendra la forme suivante de l’équation d’onde :

∇2_{E + n}_˜ 2_(ω)k2 0E = −ik˜ 0α − χ(3)xxxxk 2 0 Z ∞ Z −∞ ˜ R(ω1− ω2)× ˜ E(ω1,z) ˜E∗(ω2,z) ˜E(ω − ω1+ ω2,z)dω1dω2, (1.11)

où ˜E : transformée de Fourier du champ électrique, ˜

R : transformée de Fourier de la réponse temporelle Raman (voir equation ??), n : indice de réfraction,

k0 : nombre d’onde,

α : coefficient de perte, ω1, ω2 : variable spectrale,

z : variable spatiale.

Pour résoudre l’équation (??), il est nécessaire d’utiliser la technique de séparation de variable. On suppose donc que la forme du champ électrique décrite dans l’équation (??) prend la forme suivante :

E(r,t) = 1

2{F (x,y)A(z,t) exp [i(β0z − ω0t)] + c.c} , (1.12) o`u x, y, z : variables spatiales,

(14)

A(z,t) : amplitude de l’enveloppe, β0 : constante de propagation.

Après plusieurs manipulations algébriques (voir [?] pour les détails), on arrive à résoudre l’équation ?? pour finalement obtenir la forme suivante :

∂A ∂z = − α 2A − X k≥2 βk ik−1 k! ∂k ∂Tk ! A + iγ 1 + 1 ω0 ∂ ∂T ×  (1 − fR)A|A|2 + fRA ∞ Z 0 hR(τ )|A(z,T − τ )|2dτ  , (1.13) o`u T , τ : variables temporelles, βn = d n_β dωm ω=ω0 ordres de dispersion.

Le coefficient non-linéaire γ est défini par l’équation suivante :

γ = n2ω0 cAef f

, (1.14)

où n2 : indice non-linéaire du matériau,

Aeff : Aire efficace du mode.

Cette équation est dénommée équation de Schrod¨ınger non-linéaire généralisée ou équation GNLSE (Generalized NonLinear Schrod¨ınger Equation) [?]. Il est possible de simplifier l’équation (??) pour arriver à une interprétation physique plus aisée. Pour ce faire, le terme |A(z,T − τ )|2 est développé en série de Taylor et seul les deux premiers coefficients sont conservés :

∂A ∂z + α 2A + iβ2 2 ∂2A ∂T2 − β3 6 ∂3A ∂T3 = iγ |A|2A + i ω0 ∂(|A|2A) ∂T − TRA ∂|A|2 ∂T . (1.15)

On utilise ici le fait que

∞

R

0

R(t) = 1. Le facteur TR est en fait li´e `a la pente du gain

(15)

valeur d’environ 3 fs près de 1550 nm pour un verre de silice [?]. On peut le définir de fa¸con plus formelle à l’aide de l’équation suivante :

TR= ∞ Z 0 tR(t)dt ≈ fR ∞ Z 0 thR(t)dt = fR d(Im{˜hR}) d(∆ω) ∆ω=0 . (1.16)

Le terme iγ|A|2A représente l’auto-modulation de phase qui est traitée en détail à la section ??. Le terme _ωi

0

∂(|A|2_A)

∂T représente l’auto-raidissement qui est traité à la section

??. Finalement, le terme TRA∂|A|

2

∂T représente l’effet Raman qui est traité à la section

??.

Dans de nombreux cas, seule l’auto-modulation de phase est d’intérêt et les termes représentant l’auto-raidissement et l’effet Raman peuvent être négligés. L’effet de la dis-persion d’ordre 3 étant aussi généralement négligeable (excepté près du zéro de disper-sion), ce dernier terme est aussi négligé. L’équation (??) prend donc la forme suivante :

∂A ∂z + α 2A + iβ2 2 ∂2A ∂T2 = iγ|A| 2_A. _(1.17)

On nomme généralement cette équation : équation NLS (NonLinear Schrod¨ınger equation).

1.2 Auto-Modulation de phase

L’auto-modulation de phase, ou SPM (Self-Phase Modulation), est l’un des effets les mieux connus amenant à l’élargissement du spectre et donc à la génération de su-percontinuum. Lorsqu’une impulsion se propage dans un milieu non-linéaire et que la puissance crête est suffisamment élevée, on assiste à une accumulation de phase non-linéaire variant dans le temps. Cette variation temporelle de la phase implique que la fréquence instantanée n’est pas constante le long de l’impulsion et donc qu’un glissement de fréquence est présent.

Pour estimer les distances de propagation nécessaires pour observer les différents phénomènes en jeu, il est possible de définir plusieurs distances caractéristiques. Pre-mièrement, la longueur non-linéaire estime la distance nécessaire pour que les effets

(16)

non-linéaires deviennent significatifs. Physiquement, cette longueur représente la dis-tance à parcourir pour amasser une phase non-linéaire maximale de 1 radian :

LNL =

1 γP0

, (1.18)

P0 repr´esente ici la puissance crˆete de l’impulsion. La longueur de dispersion joue le

mˆeme rˆole, mais pour la dispersion :

LD =

T2 0

|β2|

, (1.19)

T0 représente ici la largeur à 1_e de l’impulsion. La longueur efficace permet quant à

elle de tenir compte de l’influence des pertes dans le guide :

Leff =

1 − exp[−αL]

α . (1.20)

La SPM découle en fait directement de la réponse non-linéaire instantanée et est mathématiquement représentée par le terme en iγ|A|2_{A dans les diff´}_{erentes formes de}

l’équation de Schrod¨ınger non-linéaire. Pour bien comprendre l’effet qu’à la SPM sur une impulsion, on peut considérer le cas où seule l’auto-modulation de phase agit. Dans l’équation (??), on prend donc la limite où β2 et α tendent vers zéro (milieu sans

dispersion et sans perte) pour obtenir la forme suivante :

∂U ∂z = i LN L |U |2U, (1.21) o`u U = √A

P0 est l’amplitude normalisée de l’impulsion. L’équation (??) peut être

ais´ement r´esolue et sa solution prend la forme suivante [?] :

U (L,T ) = U (0,T ) exp [iφN L(L,T )] , (1.22)

o`u φN L(L,T ) = |U (0,T )|2 L_Lef f

N L est la phase non-lin´eaire accumul´ee.

La signature spectrale de l’auto-modulation de phase est caractérisée par une struc-ture à plusieurs pics. L’amplitude des maxima aux extrémités est significativement plus

(17)

(a) vue g´en´erale (b) profil final

Figure 1.1 – Structure spectrale multi-pics de la SPM. Résultats de simulation norma-lisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 0 ps

2

km, P0 = 100W (´echelle lin´eaire).

élevée. La phase non-linéaire accumulée lors de la propagation étant directement d´ epen-dante de l’intensité de l’impulsion, celle-ci est caractérisée par un maximum au centre de l’impulsion et par des décroissances de part et d’autre. Sachant que la fréquence est égale à la dérivée temporelle de la phase, il est possible de trouver deux points de fr´ e-quences égales ce qui peut mener à de l’interférence. Cette dernière mène à la formation de la structure multi-pics caractéristique de la l’auto-modulation de phase montrée à la figure ??.

L’enveloppe de l’impulsion temporelle, quant à elle ne subit aucune modification due à l’effet de l’auto-modulation de phase seule. Par contre, cette dernière introduira un glissement de fréquence dépendant de l’intensité sur l’impulsion. Le glissement de fréquence sera positif à droite de l’impulsion (t−β1z

T 0 > 0) et négatif de l’autre côté.

En supposant que l’impulsion initiale est de forme gaussienne, sans glissement de fréquence et en l’absence de dispersion, il est possible de relier la phase non-linéaire maximale accumulée et le nombre de pics dans la structure à l’aide de l’équation (??) [?] :

φmax ≈ M −1 2 π. (1.23)

(18)

Figure 1.2 – Effet temporel d’une dispersion normale sur l’auto-modulation de phase Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètes suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 10 ps

2

km, P0 = 100W

(´echelle lin´eaire).

1.2.1 Effet de la dispersion

Dans la plupart des cas, la dispersion d’ordre 2 est le terme de dispersion dominant. On peut donc distinguer deux cas. Celui o`u la dispersion est positive (D > 0, β2 < 0),

ou anomale, et celui o`u la dispersion est n´egative (D < 0, β2 > 0), ou normale. Cette

nomenclature est conserv´ee tout au long du pr´esent ouvrage.

Dans un cas ou la dispersion est normale et éloignée du zéro de dispersion, cette der-nière élargit rapidement l’impulsion temporelle d’une fa¸con telle que l’auto-modulation de phase devient négligeable et n’influence plus la forme du spectre. Les figures ?? et ?? montrent un tel cas.

Par contre, lorsque l’impulsion est soumise à une dispersion anomale, on peut voir apparaˆıtre un soliton, une impulsion dont l’effet de la dispersion compense l’effet de l’auto-modulation de phase. On caractérise généralement l’ordre du soliton (N ) à l’aide de l’équation (??) : N =r LD LN L = s γP0T02 |β2| . (1.24)

(19)

Figure 1.3 – Effet spectral d’une dispersion normale sur l’auto-modulation de phase Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 10 ps

2

km, P0 = 100W

Lorsque N = 1, on se trouve dans le cas du soliton fondamental et l’impulsion se propage sans aucun changement. Par contre, lorsque N > 1, l’impulsion retourne à sa forme initiale de fa¸con périodique. Les figures ?? et ?? présentent cette situation.

Lorsque l’impulsion est à une longueur d’onde telle que la dispersion de second ordre devient négligeable, il est nécessaire de considérer l’effet de la dispersion de troisième ordre. Les figures ?? et ?? montrent un tel cas.

Il est possible de constater que la dispersion de troisième ordre introduit une asym´ e-trie dans l’impulsion aussi bien dans le domaine temporel que dans le domaine spectral. Il en est de même pour tous les ordres de dispersion impairs alors que les ordres de dispersion pairs conserverent la symétrie de l’impulsion.

1.2.2 Effet du glissement de fr´

equence

Un glissement de fr´equence peut avoir un effet dramatique sur le spectre d’une impulsion soumise `a l’auto-modulation de phase. Pour examiner l’effet du glissement

(20)

Figure 1.4 – Effet temporel d’une dispersion anomale sur l’auto-modulation de phase. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = -10 ps

2

km, P0 = 100W

Figure 1.5 – Effet spectral d’une dispersion anomale sur l’auto-modulation de phase. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivantsFWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = -10 ps

2

km, P0 = 100W (´echelle

(21)

Figure 1.6 – Effet temporel de la dispersion de troisième ordre sur l’auto-modulation de phase. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 0 ps

2

km, β3 = 0.1 ps3

Figure 1.7 – Effet spectral de la dispersion de troisième ordre sur l’auto-modulation de phase. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 0 ps

2

km, β3 = 0.1 ps3

(22)

(a) vue g´en´erale (b) profil initial

Figure 1.8 – Effet spectral du glissement de fréquence sur l’automodulation de phase. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = -10 ps

2

km, P0 = 100W , L

= 20 LN L (´echelle lin´eaire).

de fr´equence, on prend une impulsion gaussienne de la forme :

U (0,T ) = exp −(1 + iC) 2 T2 T2 0 , (1.25)

où C est le paramètre de glissement de fréquence.

La figure ?? montre que pour un glissement de fréquence positif, on voit encore un élargissement de fréquence. Cet élargissement est plus important que pour une impulsion gaussienne standard. La structure multi-pics, par contre, est beaucoup moins apparente. Toutefois, pour un glissement de fréquence négatif, on assiste à un étrecissemment du spectre.

1.3 Instabilit´

e de modulation

Plusieurs systèmes non-linéaires montrent des instabilités pouvant amener à une mo-dulation de l’état d’équilibre. Ce type d’effet est présent dans de nombreux domaines entre autre en dynamique des fluides. Il est donc important de vérifier si la solution

(23)

ob-Chapitre 1. Th´eorie 17

tenue à partir de l’équation NLS est stable lorsque légèrement perturbée. Physiquement, le bruit inhérent à tout système optique met en évidence les instabilités fondamentales de la solution obtenue précédemment. En effet, un système non-perturbé mène aux r´ e-sultats obtenus à la section ??. On pose donc un nouveau champ affecté par un bruit représenté par le paramètre :

A(z,T ) =pP0+ (z,T ) exp(iφN L). (1.26)

Pour examiner l’effet de la perturbation , on substitue maintenant l’équation (??) dans l’équation (??) puis on linéarise selon :

i∂ ∂z = β2 2 ∂2 ∂T2 − γP0( + ∗ ). (1.27)

Vu le terme ∗, les fréquences −Ω et Ω sont couplées et il devient nécessaire de considérer une solution de la forme :

(z,T ) = 1exp[i(Kz − ΩT )] + 2exp[−i(Kz − ΩT )], (1.28)

où K et Ω représentent le nombre d’onde et la fréquence de perturbation. La solution se doit de satisfaire la relation de dispersion (??) pour être non-triviale :

K = ±1 2|β2Ω| p Ω2_{+ sgn(β} 2)Ω2c, (1.29) o`u Ω2_c = 4γP0 |β2| = 4 |β2|LN L . (1.30)

Physiquement, cette fréquence Ωc représente une fréquence telle que le gain ne peut

exister si |Ω| > Ωc.

Dans le cas o`u la dispersion est normale (β2 > 0), K a une valeur r´eelle pour tous les

Ω et la solution sera donc stable lorsque perturb´ee. Par contre, lorsque la dispersion est anomale (beta2 < 0), K a une valeur complexe lorsque |Ω| < |Ωc| et la perturbation 1

(24)

croˆıt exponentiellement selon z. Pysiquement, Ωcrepr´esente donc la fr´equence maximale

pouvant ˆetre amplifi´ee lors de la propagation.

Il est possible d’obtenir le spectre de gain (g) à partir de l’équation ?? en prenant une valeur négative de β2, on obtient :

g(Ω) = 2Im(K) = |β2Ω|(Ω2c− Ω

2₎1₂_. _(1.31)

Le facteur 2 introduit dans l’équation précédente convertit g en puissance. Cette équation n’est valide que pour des valeurs de Ω telle que |Ω| < |Ωc|. Le gain est nul

lorsque Ω = 0 et est maximal `a deux valeurs telles que :

Ωmax= ± Ωc √ 2 = ± s 2γP0 |β2| , (1.32)

et le gain a une valeur maximale de :

gmax= g(Ωmax) =

|β2Ω2c|

2 = 2γP0. (1.33)

Malgré que les pertes aient été négligées dans les équations précédentes, elles ont tout de même un effet notable sur l’instabilité de modulation. Les pertes diminuent la puissance se propageant dans le milieu entraˆınant ainsi le déplacement de la fréquence du gain maximal. En fait, il faudra remplacer la valeur de Ωcpar Ωcexp αz₂ . Les termes

de dispersion impairs n’auront quant à eux aucun effet sur l’instabilité de modulation. Lorsque la puissance de la source et la distance parcourue sont suffisamment ´ ele-vées, des pics secondaires d’instabilité de modulation peuvent apparaˆıtre. Ces bandes secondaires sont séparées par le même intervalle de fréquence que les bandes primaires et la pompe. La figure ?? montre la formation des bandes primaires et secondaires. La simulation permettant d’obtenir ce graphique correspond à la source utilisée lors des expérimentations présentées au chapitre ?? injectée dans une fibre de silice smf-28.

(25)

Figure 1.9 – Signature spectrale de l’instabilité de modulation dans une fibre smf-28. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : Trep = 100 kHz, Pmoy = 250 mW, FWHM = 1 ns, λ0 = 1550

nm (´echelle logarithmique).

initial à se briser en un train d’impulsion brèves de période [?]. :

Tm = 2π/Ωmax. (1.34)

La période du train d’impulsion Tm est donc dépendante de la puissance crête de

l’impulsion P0 par l’interm´ediaire de Ωmax (voir ´equation ??). Une augmentation de la

puissance crˆete am`ene une augmentation de Ωmax et donc une augmentation de la p´

e-riode du train d’impulsion généré par l’instabilité de modulation. Les bandes spectrales créent en fait un battement avec le signal pompe ce qui engendre la modulation sur le signal initial. Le fractionnement de l’impulsion initiale en un train d’impulsion est présenté à la figure ??.

1.4 Auto-raidissement

L’auto-raidissement est une conséquence directe du changement de l’indice de r´ e-fraction dû à l’effet Kerr. Le changement d’indice amène une variation de la vitesse de groupe ce qui crée à son tour un changement de la position du maximum de l’impulsion.

(26)

Figure 1.10 – Train d’impulsion généré par l’instabilité de modulation dans une fibre smf-28. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : Trep = 100 kHz, Pmoy = 250 mW, FWHM = 1 ns, λ0

= 1550 nm (´echelle lin´eaire).

Du côté spectral, on voit aussi un élargissement asymétrique [?, ?]. Comme le montre les figures ?? et ??, le spectre est plus large, mais contient moins d’énergie du côté des hautes fréquences alors que le contraire se produit du côté des basses fréquences.

Cette asymétrie sur le spectre provient de l’asymétrie de la forme temporelle. Comme l’impulsion devient plus abrupte du côté ou le glissement de fréquence causé par la SPM est positif (t−β1z > 0), l’élargissement spectral de la portion décalée vers le bleu est plus

important. La différence d’intensité s’explique tout simplement par le fait que l’énergie est distribuée sur une plus grande plage spectrale.

La dispersion aura encore une fois un effet majeur sur l’auto-raidissement. Dans le cas sans dispersion, l’impulsion devient de plus en plus abrupte et le spectre devient de plus en plus asymétrique. Lorsque celle-ci entre en jeu, les changements dans la forme du signal sont limités puisque l’effet de la dispersion devient de plus en plus important lorsque la pente augmente. À partir d’un certain point, elle devient dominante et contrecarre l’effet de l’auto-raidissement. Lorsqu’on compare les figures montrant l’effet de l’auto-raidissement (figures ?? à ??) à celles affectées uniquement par l’auto-modulation de phase (figures ?? à ??), on peut clairement voir l’asymétrie induite autant dans le domaine temporel que dans le domaine spectral.

(27)

Figure 1.11 – Effet temporel de l’auto-raidissement sur le profil temporel de l’impulsion sans influence de la dispersion. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête ini-tiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 0 ps

2

Figure 1.12 – Effet spectral de l’auto-raidissement sur le profil spectral de l’impulsion sans influence de la dispersion. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête ini-tiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 0 ps

2

(28)

Figure 1.13 – Effet temporel d’une dispersion normale sur l’auto-raidissement. R´ esul-tats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 10 ps

2

lin´eaire).

Figure 1.14 – Effet spectral d’une dispersion normale sur l’auto-raidissement. R´ esul-tats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 10 ps

2

(29)

Figure 1.15 – Effet temporel d’une dispersion anomale sur l’auto-raiddissement. R´ e-sultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = -10 ps

2

lin´eaire).

Figure 1.16 – Effet spectral d’une dispersion anomale sur l’auto-raidissement. R´ esul-tats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 1 ps, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = -10 ps

2

(30)

1.5 Effet Raman

1.5.1 Diffusion Raman stimul´

ee

La diffusion Raman stimulée résulte de l’interaction entre une onde électromagn´ e-tique et les modes de vibrations du milieu où elle se propage. On peut distinguer deux interactions possibles. Dans un premier temps, un photon peut se transformer en un autre photon d’énergie plus basse et un phonon dont l’énergie satisfait à la conservation de l’énergie. Il s’agira de l’onde de Stokes. Ensuite, un photon et un phonon peuvent interagir ensemble pour former un photon à plus haute énergie. Il s’agit de l’onde anti-Stokes.

Un autre effet non-linéaire utilise ce type d’interaction. Il s’agit de la diffusion de Brillouin stimulée, ou SBS (Stimulated Brillouin Scattering). Comme la diffusion de Brillouin peut être négligée dans la majorité des cas [?], elle n’est pas traitée plus avant dans le présent ouvrage.

La valeur du coefficient de gain Raman (gR(ωpompe − ωStokes)) est tr`es importante

pour correctement caractériser la SRS. Physiquement, le gain Raman est relié à la partie imaginaire de la fonction de réponse Raman [?, ?] :

gR(ω) =

ω0

cnf ibre

fRχ(3)=[˜hR(ω)], (1.35)

où ˜hR(ω) est la transformée de Fourier de la fonction de réponse Raman. Dans le cas

de la silice, le gain Raman est suffisamment bien connue pour l’estimer avec une bonne précision. Pour ce faire, on utilise la convolution d’une série de fonctions gaussienne et lorentzienne spectrale dont l’amplitude et la position sont choisies pour s’approcher le plus possible des résultats expérimentaux [?]. En utilisant cette modélisation du gain Raman, on peut donc obtenir la fonction de transfert Raman suivante dans le domaine temporel :

hR(t) = 13

X

i=1

Aiexp [−πcF W HMl,it] exp

−πcF W HMg,it 2 4 sin(2πcpit)θ(t), (1.36) où Ai : intensité crête,

(31)

FWHMl,i : largeur `a mi-hauteur des fonctions lorentziennes en cm−1,

FWHMg,i : largeur `a mi-hauteur des fonctions gaussiennes en cm−1,

pi : position spectrale des diff´erentes fonctions en cm−1,

θ(t) : fonction ´echelon.

θ(t) est utilisé pour maintenir la causalité. Il prend une valeur nulle pour des valeurs de t < 0 et une valeur de 1 pour des valeurs de t ≥ 0. Les valeurs nécessaires pour évaluer la fonction de transfert sont présentées dans la table ??.

num´ero Position de la Intensit´e FWHM de la FWHM de la du mode composante du pic gaussienne lorentzienne

i pi Ai FWHMg,i FWHMl,i - (cm−1) - (cm−1) (cm−1) 1 56,25 1,00 52,10 17,37 2 100,00 11,40 110,42 38,81 3 231,25 36,67 175,00 58,33 4 362,50 67,67 162,50 54,17 5 463,00 74,00 135,33 45,11 6 497,00 4,50 24,50 8,17 7 611,50 6,80 41,50 13,83 8 691,67 4,60 155,00 51,67 9 793,67 4,20 59,50 19,83 10 835,50 4,50 64,30 21,43 11 930,00 2,70 150,00 50,00 12 1080,00 3,10 91,00 30,33 13 1215,00 3,00 160,00 53,33

Table 1.1 – Valeur des param`etres permettant de calculer la fonction de r´eponse Raman ´

Etant donnée que les fibres de verre fluoré sont beaucoup moins répandues que les fibre de silice, il n’existe aucun travail de modélisation théorique de la fonction de réponse Raman. Il est cependant possible de retrouver la fonction de transfert Raman en prennant la transformée de sinus du gain Raman tel que montré à l’équation suivante [?] :

hR(t) =

Z ∞

0

g(Ω)sin(Ωt)dΩ. (1.37)

Malgré que le gain Raman de ce type de verre varie grandement en fonction de la composition, il s’agit d’un facteur clé pour résoudre l’équation GNLS. On utilise donc les données obtenues dans [?, ?] malgré qu’elles ne s’appliquent pas nécessairement aux

(32)

Figure 1.17 – Gain Raman d’un verre de ZBLAN (voir table ?? pour la composition) fibres utilisées. Le gain Raman est présenté à la figure ??.

`

A partir d’une certaine puissance, la diffusion Raman stimulée devient non-négligeable. On peut donc définir une puissance critique telle que la puissance de l’onde de Stokes est égale à celle de la pompe après propagation. Dans l’approximation lorentzienne du spectre de gain Raman, on peut trouver cette puissance à l’aide de l’équation sui-vante [?] :

gR,maxP0crLeff

Aeff

≈ 16, (1.38)

o`u gR,max : gain Raman maximal,

P₀cr : est la puissance crˆete critique,

Leff : est la longeur efficace (voir equation ??) évalué à la longueur d’onde de la

pompe.

Dans le cas de la silice, gR,max est `a une fr´equence de 13,2 THz [?, ?], pour les verres

fluorés, il est environ à une fréquence de 17,7 THz [?]. Cette approximation est valide que le signal soit continu ou pulsé. Comme la puissance nécessaire pour générer l’onde anti-Stokes est beaucoup plus élevée, celle-ci n’est généralement pas observée.

Pour des impulsions de durée inférieure à 100 ps, il est nécessaire de considérer l’effet des longueurs d’onde différentes des signaux pompe et Stokes. La différence de longueur

(33)

d’onde implique que les deux signaux ne sont pas soumis à la même dispersion et donc qu’ils n’ont pas la même vitesse de groupe. Après une certaine distance de propagation, ils ne sont donc plus temporellement superposés limitant ainsi l’interaction entre les deux ondes et donc, l’effet Raman. Lorsque la puissance du signal pompe se trouve sous la puissance seuil, l’effet Raman cesse donc totalement. On définit donc une distance précisant sur quelle longueur la superposition prend place :

LW = T0 v−1 g,p − v −1 b,S , (1.39)

o`u LW : distance d’interaction (« Walk-off length »),

vg,p : vitesse de groupe de la pompte,

vb,S : vitesse de groupe de l’onde Stokes.

1.5.2 Diffusion Raman intra-impulsionnelle

Il s’agit en fait d’un cas particulier de la diffusion Raman stimulée. Ce phénomène se produit lorsque la largeur spectrale de l’impulsion est comparable à celle du gain Raman. Le maximum spectral du signal initial pompe en fait sa partie décalée vers le rouge. On peut définir un paramètre permettant de déterminer l’importance de la diffusion Raman intra-impulsionnelle :

τR= TR T0 , (1.40) o`u TR = ∞ Z −∞ t0R(t0)dt0 = ∞ Z −∞ t0[(1 − fR)δ(t0) + fRhR(t0)]dt0. (1.41)

Puisqu’il est pratiquement impossible de résoudre analytiquement l’équation (??) lorsqu’on tient compte du terme représentant l’effet Raman, il devient nécessaire d’uti-liser la méthode présentée à la section ?? pour la résoudre. Dans le domaine spectral, l’effet Raman amène donc un net déplacement de la puissance vers les basses fréquences.

(34)

Figure 1.18 – Effet Raman sur le profil spectral de l’impulsion sans influence de la dispersion. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simula-tion utilisant les paramètres suivants : FWHM = 200 fs, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 0 ps

2

km,

P0 = 2,6kW (´echelle lin´eaire).

Lorsque l’impulsion est soumise à une dispersion anomale, il y a formation de solitons et l’effet Raman devient de plus en plus important. Les solitons ainsi formés subissent un fort effet d’auto-décalage en fréquence [?, ?].

Encore une fois, les effets non-linéaires sont considérablement amoindris lorsqu’on se trouve en régime de dispersion normale vu l’élargissement temporel important causé par la dispersion due à la vitesse de groupe.

On peut montrer que pour le cas du solition fondamental ( N = 1), celui-ci subit un déplacement en fréquence (Ωp(z)) décrit par l’équation (??) [?] :

Ωp(z) = − 8TRγP0 15T2 0 z ≡ −8TR|β2| 15T4 0 z. (1.42)

Cette relation n’est valable que lorsque les pertes sont négligeables et que la dis-tance de propagation est suffisamment faible pour ne pas introduire de glissement de fréquence. Par contre, elle montre clairement que l’auto-décalage en fréquence créé par l’effet Raman augmente de fa¸con continue avec la distance parcourue. Le signe négatif présent dans l’équation (??) indique aussi que l’auto-décalage se fait toujours du côté des basses fréquences. De plus, le facteur T4

0 confirme sa forte d´ependance avec la

(35)

Figure 1.19 – Effet d’une dispersion anomale sur la diffusion Raman intra-impulsionelle sur le profil temporel. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 200 fs, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 =

-10 ps_km2, P0 = 2,6kW (´echelle lin´eaire).

Figure 1.20 – Effet d’une dispersion anomale sur la diffusion Raman intra-impulsionelle sur le profil spectral. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 200 fs, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 =

(36)

Figure 1.21 – Effet d’une dispersion normale sur la diffusion Raman intra-impulsionelle sur le profil temporel. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 200 fs, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 10

ps2

km, P0 = 2,6kW (´echelle lin´eaire).

(a) vue générale (b) profils détaillés

Figure 1.22 – Effet d’une dispersion normale sur la diffusion Raman intra-impulsionelle sur le profil spectral. Résultats normalisés par rapport à la puissance crête initiale d’une simulation utilisant les paramètres suivants : FWHM = 200 fs, γ = 0.0012_{W m}1 , β2 = 10

ps2

(37)

pour des impulsions d’une durée inférieure à 1 ps.

On peut aussi utiliser une formule approximative dérivée par Gordon et al. [?] pour estimer l’amplitude de l’auto-décalage :

dω dz = − λ0 16n2 ∞ Z 0 Ω3 gR −Ω 2πT0 sinh2 πΩ 2 dΩ. (1.43)

o`u Ω repr´esente une variable spectrale.

1.6 M´

ethode num´

erique

Une des méthodes les plus utilisées pour résoudre numériquement l’équation (??) est la m´_{ethode de « Split-Step Fourier » [?]. Cette méthode stipule que l’on peut} séparer l’influence des effets dispersifs et non-linéaires pour autant que la distance de propagation considérée est petite. On applique donc la méthode pour une succession de petits pas. Pour ce faire, on pose les deux opérateurs suivants :

ˆ D =X k≥2 βn in−1 n! ∂n ∂Tn, (1.44) ˆ N = iγ 1 + 1 ω0 ∂ ∂T ×  (1 − fR)A|A|2+ fRA ∞ Z 0 hR(τ )|A(z,T − τ )|2dτ  . (1.45)

Le champ apr`es propagation sur un intervalle h est donc donn´e par :

A(z + h,T ) = exp(h ˆD) exp( ˆN )A(z,T ). (1.46)

Pour améliorer la précision de la méthode, on commence par appliquer l’opérateur dispersif sur la moitié de l’intervalle de propagation. À ce point, on applique l’opérateur non-linéaire puis on applique de nouveau l’opérateur dispersif sur un demi-intervalle.

(38)

On nomme cet algorithme « Symmetrized Split-Step Fourier » [?]. Le champ apr`es propagation devient donc :

A(z + h,T ) ≈ exp h 2Dˆ exp   z+h Z z ˆ N (z0)dz0  exp h 2Dˆ A(z,T ). (1.47)

Pour arriver plus facilement à l’équation (??) le paramètre de dispersion a été d´ e-composé en série de Taylor. Malgré que cette approximation soit appropriée pour la plupart des cas, elle peut être une cause d’erreur importante dans le cas de la gén´ e-ration de supercontinuum. Pour avoir une représentation appropriée de la dispersion présente dans la fibre, il est nécessaire d’utiliser un nombre important de coefficients. Pour remédier à ce problème, on peut réécrire l’opérateur dispersif de la fa¸con suivante :

ˆ

D = β(ω) − β1ω − β0. (1.48)

L’opérateur dispersif ainsi modifié tient compte de tous les coefficients de la série de Taylor. Le terme β1ω a pour unique utilité de réduire la vitesse de groupe du signal à

z´ero et le terme en β0 a le mˆeme effet sur la vitesse de phase. Il s’agit donc d’un

change-ment de référentiel permettant à la fenêtre de calcul de se déplacer avec l’impulsion.La représentation utilisée pour le coefficient non-linéaire est elle aussi faussée. Le coefficient est évalué à la fréquence centrale du signal. Encore une fois, l’étendue spectrale consi-dérable du supercontinuum amène une mauvaise estimation du coefficient non-linéaire pour les fréquences s’éloignant de fa¸con significative de la fréquence centrale. Il est pos-sible d’ajouter un second terme au coefficient non-linéaire pour raffiner le modèle [?]. Ce terme vient en fait d’une expansion en série de Taylor :

γ1 = dγ dω ω=ω0 = γ 1 ω0 + 1 n2 dn2 dω − 1 Aeff dAeff dω . (1.49)

En substituant l’équation précédente dans l’opérateur non-linéaire, on obtient :

ˆ N = i γ(ω0) + iγ1 ∂ ∂T ×  (1 − fR)A|A|2+ fRA ∞ Z 0 hR(τ )|A(z,T − τ )|2dτ  . (1.50)

(39)

Les modifications décrites plus haut donnent au calcul numérique une très bonne précision. Cependant, il peut être difficile de choisir un intervalle spatial permettant d’obtenir à la fois une bonne précision et une bonne vitesse d’exécution. Pour pallier à ce problème, il est possible d’utiliser un algorithme modifiant la taille de l’intervalle [?]. Un programme de calcul permettant de résoudre numériquement l’équation (??) en utilisant un intervalle adaptatif est présentée dans l’annexe ??. L’algorithme nécessaire pour calculer la taille de chaque pas est aussi présenté dans la même annexe.

(40)

Propri´

et´

es et carat´

erisation des

fibres optiques

Pour arriver à adéquatement modéliser la génération de supercontinuum dans une fibre optique, il est important de caractériser la fibre utilisée avec le plus de précision possible. Ce chapitre à donc pour but de présenter la théorie nécessaire pour calculer les paramètres critiques tels que la dispersion, l’aire efficace et les pertes. Les résultats obtenus pour chaque fibre utilisée sont aussi présentés.

2.1 Propri´

et´

es de base des fibres utilis´

ees

Pour la génération de supercontinuum en régime nanoseconde, quatre fibres optiques sont utilisées. Premièrement, une fibre silice standard servant principalement à gén´ e-rer un train d’impulsions ultrabrèves et trois fibres de verre fluoré sélectionnées pour leur transmission dans l’infrarouge. Les caractéristiques principales de ces fibres sont présentées dans la table ??

Dans le but d’alléger l’écriture, on référera à la fibre IRGUIDE-SM[1,95]6,5/125 par Z195, à la fibre IRGUIDE-SM[2,65]7/125 par Z265 et à la fibre IRGUIDE-SM[3,20]8/125-20 par Z3IRGUIDE-SM[3,20]8/125-20 pour le reste du présent ouvrage.

(41)

Chapitre 2. Propriétés et caratérisation des fibres optiques 35

Silice Z195 Z265 Z320

Manufacturier Corning Le Verre Fluoré Le Verre Fluoré Le Verre Fluoré

Mod`ele smf-28 IRGUIDE- IRGUIDE-

IRGUIDE-SM[1,95]6,5/125 SM[2,65]7/125 SM[3,20]8/125-20 dgaine(µm) 125 125 125 125 dcoeur(µm) 8,2 6,5 7 8 NA 0,14 0,19 0,23 0,30 λc(nm) 1260 1950 2650 3200 λ0(nm) 1313 - -

-Table 2.1 – Caract´eristiques du manufacturier des fibres utilis´ees

2.2 Dispersion

On sait très bien que l’indice de réfraction dans un verre dépend de la longueur d’onde. Donc, différentes longueurs d’onde se propagent à différentes vitesses et on assiste au phénomène de dispersion. Puisque la dispersion dans le milieu de propagation a une très grande influence dans la génération de supercontinuum, il est important de savoir l’évaluer avec précision.

La vitesse de groupe (vg) dans une fibre optique est ´egale `a :

vg = dω dβ = c neff+ ω dneff dω , (2.1) o`u ω : fr´equence angulaire, β : nombre de d’onde,

neff : indice de r´efraction efficace.

Comme le param`etre dneff

dω est non nul dans le cas qui nous int´eresse, le signal subit

donc un délai de groupe défini par l’équation suivante [?] :

Tg = L vg = L c ng2(1 + ∆(V b)0) − ngaine∆ 2 P (b + (V b) 0 ) , (2.2) o`u L : distance de propagation, (V b)0 = d(V b)_dV = 1 − _Vu2(1 − 2ψl(w)),

(42)

ψl(w) = K2 l(ω) Kl+1(w)Kl−1(w), ng2= ngaine− λ dngaine dλ , ∆ = n 2 coeur−n2gaine 2n2 coeur , P = λ ∆ d∆ dλ, b = β 2_−k2 0n2gaine k2 0n2coeur−k02n2gaine ,

λ : variable spectrale (longueur d’onde).

Le paramètre u représente la modulation du coeur et le paramètre w, la décroissance dans la gaine. Ces deux valeurs sont reliées entre elles par l’équation suivante :

V =p(u2_{+ w}2_{) =} 2πa

λ q

n2

coeur− n2gaine, (2.3)

o`u a repr´esente le rayon du coeur de la fibre.

Finalement, la dispersion dans une fibre optique est égale à la dérivée du délai de groupe par rapport à la longueur d’onde, le tout normalisé par la longueur de propaga-tion :

D = 1 L

dTg

dλ . (2.4)

En supposant que |P | → 0, on obtient la forme suivante [?, ?] :

D = DM + DW, (2.5) o`u DM = − λ c d2_n gaine dλ2 , (2.6) DW = ∆ h DM(V b)0− ngainec λ V (V b) 00i , (2.7) V (V b)00= 2 u V 2 ψl(1 − 2ψl) + 2 w(w 2 + u2ψl) p ψl ψl+ 1 w p ψl− 1 . (2.8)

Il est donc possible de constater que la dispersion peut être décomposée en la somme de deux parties distinctes. Une partie ne contenant que la variation de l’indice de r´ e-fraction en fonction de la longueur d’onde, la dispersion matérielle, et une partie liée

(43)

`

a la géométrie du guide d’onde (entres autres par les paramètres u, V et w), la dis-persion de guidage. Cette dépendance peut être utilisée pour contrôler la position du zéro de dispersion. Cette particularité deviendra particulièrement intéressante lors de la fabrication de « taper ».

La dérivation précédente utilise plusieurs approximations, dont l’approximation de faible guidage. Les équations obtenues ne sont donc pas valides dans tous les cas et il faut donc parfois avoir recours à des méthodes numériques pour déterminer de fa¸con précise la dispersion présente dans la fibre optique. Pour ce faire, on calcule d’abord la valeur des paramètres u ou w à l’aide de l’équation (??) :

J0 ν(u) uJν(u) + K 0 ν(w) wK0 ν(w) 1 2 J_ν0(u) uJ0 nu(u) + K 0 ν(w) wKν(w) = ν21 2 1 u2 + 1 w2 2 . (2.9)

Par la suite, on peut d´eterminer la contante de propagation β `a l’aide des relations suivantes : β = r 2π λ n 2 coeur− u2 a2, (2.10) β = r 2π λ n 2 gaine+ w2 a2, (2.11)

où a représente le rayon du coeur de la fibre. Par la suite, on peut évaluer la dispersion de second ordre sachant que celle-ci est la dérivée seconde de la constante de propagation selon la pulsation : β2 = ∂2_β ∂ω2 ω=ω0 . (2.12)

Finalement, on peut retrouver le param`etre de dispersion D `a l’aide de la relation suivante :

D = −2πc

(44)

2.2.1 Dispersion mat´

erielle

La dispersion matérielle dépendant uniquement de la variation de l’indice de r´ efrac-tion par rapport à la longueur d’onde, il est important de modéliser ce dernier ad´ equa-tement. Une fa¸con relativement précise d’arriver à ce résultat est d’utiliser l’équation de Sellmeier [?] : n2− 1 = n X j=1 Ajλ2 λ2_{− λ}2 j , (2.14)

où les coefficients Aj et λj sont déterminés expérimentalement.

Par la suite, la dispersion matérielle peut être calculée à l’aide de l’équation (??).

Dispersion mat´erielle dans un verre de germano-silicate

Dans la plupart des fibres de silice commercialement produite, on utilise du ger-manium pour doper le coeur de la fibre et ainsi en augmenter l’indice de réfraction. Il faut tenir compte de cet ajout dans l’équation (??). On obtient donc la forme modifiée suivante : n2− 1 = 3 X j=1 ASi i + x(AGei − ASii ) λ2 λ2_{− [λ}Si i + x(λGei − λSii )] 2, (2.15)

o`u x est le pourcentage de germanium pr´esent dans le verre. Les coefficients ASi i et

λSi

i repr´esentent la silice alors que les coefficients AGei et λGei repr´esente le germanium.

Ces derniers sont présentés à la table ??.

A1 A2 A3 λ1(µm) λ2(µm) λ3(µm)

SiO2 0.696166 0.407942 0.897479 0.068404 0.116241 9.896161

GeO2 0.806866 0.718158 0.854168 0.068972 0.153966 11.84193

(45)

Chapitre 2. Propriétés et caratérisation des fibres optiques 39 groupe 1 0.069 ≤ λU V < 0.080 groupe 2 0.080 ≤ λU V < 0.090 groupe 3 λU V ≥ 0.090 groupe 4 13 ≤ λIR< 25 groupe 5 25 ≤ λIR< 33 groupe 6 λIR ≥ 33

Table 2.3 – Classification des composants d’un verre fluoré Dispersion matérielle dans un verre fluoré

Les verres fluorés sont composés d’un assemblage de plusieurs matériaux différents. La composition d’un verre de ZBLAN par exemple est 55.8ZrF4+14.4BaF2+3.8AlF3+

5.8LaF3 + 20.2N aF . Il est donc plus difficile d’´evaluer avec pr´ecision son indice de

réfraction. Une méthode proposée par Zhang, Gan et Wang [?] arrive à une bonne précision. L’indice de réfraction dépend de la zone d’absorption dans l’UV et l’infrarouge selon la relation suivante :

n(λ)2− 1 = k X i=1 fiλ2 λ2_{− λ}2 i + k X j=1 fjλ2 λ2_{− λ}2 j , (2.16)

où fi, λi, fj et λj sont respectivement une constante liée à la force d’oscillateur

et la longueur d’onde du pic d’absorption dans l’ultraviolet et dans l’infrarouge. La sommation sur les i représente la contribution des pics d’absorption situés dans l’UV et la sommation sur les j, celle des pics situés dans l’infrarouge.

Pour simplifier le traitement, on sépare les différents éléments composant le verre en 6 groupes (table ??). Ces derniers sont séparés en se basant sur la région spectrale des longueurs d’onde d’absorption dans l’ultraviolet et l’infrarouge.

Dans le cas où plus d’un composant sont présents dans un même groupe, les para-mètres sont obtenus grâce à la moyenne pondérée :

λi = P Xijλij P Xij , (2.17) fi = X Xijfij. (2.18)

(46)

Figure 2.1 – Dispersions totale, de guidage et matérielle d’une fibre de silice smf-28. Résultats théorique obtenus en considérant un pourcentage de germanium de 3 %.

L’indice i indique représente le groupe auquel l’élément j appartient. X représente quant à lui la fraction molaire de l’élément j. Finalement, l’indice de réfraction du verre fluoré est donné par :

n2_λ = v u u t1 + 6 X i=1 fiλ2 λ2_{− λ}2 i . (2.19)

Les valeurs des param`etres fi, λi, fj et λj sont donn´ees dans la table ?? de l’annexe

?? et la composition de plusieurs verres est donnée à la table ?? de la même annexe.

2.2.2 Dispersion des fibres utilis´

ees

Dans le cas des fibres de silice, on peut utiliser les équations (??), (??) et (??) puisque l’approximation de faible guidage est valide. On obtient les résultats présentés `

a la figure ??.

Dans le cas des fibres de ZBLAN que nous avons utilisé, l’approximation de faible guidage, est plus ou moins valide. On utilise donc une méthode de différences finies [?] pour évaluer l’indice efficace du guide. Par la suite, on utilise les équations (??) et (??). On obtient ainsi les résultats présentés à la figure ?? pour les trois fibres de verre fluoré utilisées (voir table ??). La composition de verre utilisée pour les calculs de dispersion

(47)

Figure 2.2 – Dispersion des fibres de verre fluor´e

(5,15 LaF3 + 43,18 BaF2 + 0,069 ErF3 + 2,687 Hf F4 + 44,763 ZrF4 + 1,832 N aF

+ 2,318 AlF3) est la même pour les trois fibre et a été mesuré au laboratoire à l’aide

d’une micro-sonde.

On peut constater que la dispersion des fibres de verre fluoré est faible sur une large plage spectrale. Cette caractéristique favorise grandement la génération de super-continuum puisque l’impulsion se disperse beaucoup moins. La fibre Z265 devrait être celle amenant au meilleur élargissement spectral. Premièrement, son zéro de dispersion se trouve largement décalé vers les courtes longueurs d’onde par rapport à celui de la fibre Z195. De plus, sa dispersion dans les hautes longueurs d’onde est la plus faible de toutes les fibres considérées ici. Une faible dispersion amenant à un élargissement temporel plus lent, la génération de supercontinuum en est grandement favorisée.

2.3 Confinement

`

A mesure que la fréquence diminue, le mode spatial transverse s’agrandit de plus en plus et s’étend dans la gaine. Lorsque u = V , le mode n’est plus guidé et toute la puissance y étant contenue s’échappe de la fibre optique. Lorsque w → V , le confinement est excellent et la majorité de la puissance est contenue à l’intérieur du coeur. Une fa¸con de caractériser le confinement d’un mode est l’aire efficace. Celle-ci est donnée

(48)

par l’´equation (??). [?] : Aeff = R ∞ R −∞ |F (x,y)|2_dxdy 2 R ∞ R −∞ |F (x,y)|4_dxdy . (2.20)

Dans l’approximation de faible guidage, la fonction F repr´esentant le champ trans-verse (Et) est donn´ee par une combinaison de fonctions de Bessel :

Et= E0 Jl ur_a Jl(u) cos(lφ) pour 0 ≤ r < a, (2.21) Et= E0 Kl wr_a Jl(w) cos(lφ) pour a ≤ r ≤ ∞. (2.22)

Dans les équations (??) et (??), le terme cosinuso¨ıdal peut être remplacé par un terme sinuso¨ıdal sans perte de généralité. L’indice l représente ici l’ordre du mode.

`

A mesure que le mode s’étend hors du coeur de la fibre optique, l’intensité y diminue entraˆınant ainsi une diminution importante des effets non-linéaires s’y produisant. Il est donc très important de choisir une fibre confinant le mode le mieux possible. De plus, un mode mal confiné est beaucoup plus sensible aux pertes, notamment celles induites par courbure.

2.3.1 Aire efficace des fibres utilis´

ees

Encore une fois, l’approximation de faible guidage s’appliquant pour la fibre de silice, il n’est pas nécessaire d’utiliser une méthode numérique pour obtenir son aire efficace. On l’évalue donc à l’aide des l’équations (??) et (??). On obtient le résultat présenté à la figure ?? :

Pour les fibres de verres fluoré, il est de nouveau nécessaire d’avoir recours à la méthode présentée dans [?] pour obtenir avec précision la forme du mode. Par la suite, on utilise l’équation (??) pour évaluer l’aire efficace. On obtient les résultats présentés `

(49)

Figure 2.3 – Aire efficace du mode fondamental d’une fibre de silice (smf-28). Résultats théoriques obtenus en considérant un pourcentage de germanium de 3 %.

(50)

Figure 2.5 – Coefficient non-lin´eaire des fibres de verre fluor´e

Les différences dans le diamètre du coeur et dans l’ouverture numérique amènent un confinement significativement moins efficace pour la fibre Z195 que pour la Z265 et la Z320. Il est difficile de choisir quelle fibre est le mieux adaptée à la génération de su-percontinuum en se basant sur l’aire efficace. En effet, pour de basses longueurs d’onde, l’aire efficace de la fibre Z195 est inférieure à celle des deux autres fibres. Cependant, celle de la fibre Z320 l’est pour de hautes longueurs d’onde. Le coefficient non-linéaire étant inversement proportionnel à l’aire efficace, il est important de minimiser cette dernière pour optimiser la génération de supercontinuum.

En utilisant les valeurs d’aire efficace déterminées plus haut et l’équation ??, on peut aisément évaluer la valeur du coefficient non-linéaire pour toutes les fibres optiques. Les résultats sont présentés à la figure ??

Contrairement à l’aire efficace, le coefficient non-linéaire pointe définitivement vers une fibre mieux adaptée pour l’utilisation qui nous intéresse. La fibre Z265 présente le coefficient non-linéaire le plus élevé sur une très large plage spectrale.

2.4 Att´

enuation

Les pertes matérielles dans les fibres optiques représentent un des facteurs limi-tatifs les plus importants pour la génération de supercontinuum. Lorsque les pertes deviennent trop élevées, il devient tout simplement impossible pour le spectre de conti-nuer à s’étendre puisque chaque nouvelle fréquence générée est immédiatement absorbée

(51)

par le mat´eriau.

Vu la qualité maintenant obtenue dans les fibres de silice, il est possible d’exprimer les pertes à l’aide des phénomènes physiques fondamentaux responsables de l’att´ enua-tion. Dans l’infrarouge, les pertes sont créées par les différents modes de vibration de la structure tétraédrique de la molécule de SiO4. On peut représenter l’atténuation dans

l’infrarouge (αIR) par la relation suivante :

αIR = 7,81 × 1011exp

−48,48 λ

. (2.23)

Dans l’équation (??), la longueur d’onde doit être exprimée en µm et les pertes sont données en dB/km.

Dans le visible et le proche infrarouge, les pertes sont causées par la diffusion de Rayleigh et sont dues aux variations microscopiques de la densité du matériau. L’att´ e-nuation peut être représentée par la relation suivante :

αR=

0,75 + 66∆nGe

λ4 . (2.24)

Encore une fois, la longueur d’onde doit être exprimée en µm et les pertes sont données en dB/km dans l’équation (??). ∆nGe représente la différence d’indice induite

par l’addition de germanium dans la silice. Cette variation peut être évaluée à l’aide de l’équation (??)

L’utilisation de verres fluorés repousse la limite d’absorption dans l’infrarouge vers de plus hautes longueurs d’onde. Elles permettent donc de propager un supercontinuum beaucoup plus large que les fibres de silice. De plus, leur minimum d’absorption th´ eo-rique permettrait d’obtenir des pertes inférieures à celles de la silice. Cependant, la pureté de ce type de verre est encore le facteur limitatif des pertes.

2.4.1 Att´

enuation des fibres utilis´

ees

Pour ce qui est de la fibre de silice, on utilise l’atténuation fournie par le fabriquant (figure ??), mais comme celle-ci ne couvre pas toute la plage spectrale nécessaire, il est nécessaire d’extrapoler à l’aide des équations (??) et (??) (figure ??).

(52)

Figure 2.6 – Pertes mat´erielles d’une fibre de silice (smf-28) (manufacturier)

Figure 2.7 – Pertes matérielles d’une fibre de silice (smf-28) (déduites des équations (??) et (??))

(53)

Figure 2.8 – Pertes matérielles des fibres de verre fluoré utilisées

Dans le cas des fibres de verre fluoré, il est impossible d’appliquer une relation théorique pour estimer les pertes. En effet, le degré de pureté des verres est insuffisant et leur composition est trop variable pour développer des équations précises. On utilise donc les pertes fournies par le fabriquant puis on extrapole pour les valeurs sortant de la plage spectrale d’intérêt. Les pertes pour la fibre Z320 n’étant pas disponibles, elles ne sont pas montrées dans la figure ?? comme celle des autres fibres de verre fluoré. On peut cependant supposer que le pic d’absorption typique présent près de la longueur d’onde de coupure est déplacée vers 3,2 µm.

Les pertes matérielles des verres fluorés amènent à penser que la fibre Z195 facilite la génération de supercontinuum puisqu’elles sont inférieures à la fibre Z295 sur toute la plage spectrale d’intérêt.