Science Arts & Métiers (SAM)
is an open access repository that collects the work of Arts et Métiers Institute of
Technology researchers and makes it freely available over the web where possible.
This is an author-deposited version published in: https://sam.ensam.eu
Handle ID: .http://hdl.handle.net/10985/8471
To cite this version :
Jean-Yves LE POMMELLEC, Jean-Pierre L'HUILLIER - Analyse théorique et expérimentale de la diffusion de la lumière générée par une diode électroluminescente dans des répliques tissulaires -IRBM - Vol. 32, n°6, p.332-341 - 2011
Any correspondence concerning this service should be sent to the repository
Analyse
théorique
et
expérimentale
de
la
diffusion
de
la
lumière
générée
par
une
diode
électroluminescente
dans
des
répliques
tissulaires
Theoretical
and
experimental
analysis
of
the
diffusion
of
light
generated
by
a
light
emitting
diode
inside
tissue-like
media
J.-Y.
Le
Pommellec
∗,
J.-P.
L’Huillier
ArtsetmétiersParisTech,LAMPA-groupeECPS,2,boulevardduRonceray,49035Angers,France
Rec¸ule27janvier2011;rec¸usouslaformeréviséele4aoˆut2011;acceptéle10octobre2011
Résumé
Laconnaissancedelarépartitionspatialedelalumièreàl’intérieurd’untissubiologiqueirradiéparunfaisceaulumineux(LASERouLED) estfondamentalepouroptimiserletraitementparthérapiephotodynamique.Danscetarticle,nousdévelopponsunmodèleanalytiquerelatifà larépartitiondufluxlumineuxàl’intérieurd’unerépliquetissulaireirradiéeaumoyend’unediodeélectroluminescente(LED).Lemodèleest fondésurl’utilisationdelatransforméedeFourieràdeuxdimensionsetappliquéàuntissuhomogèned’épaisseurbiendéterminée.Lefluxtotalà l’intérieurdufaisceauaétécalculéenajoutantlescomposantescollimatéeetdiffuse.Lasolutionanalytiqueaétéégalementutiliséepourétudier l’influencedurayondufaisceauincidentetdesparamètresoptiquesdumilieusurl’évolutiondufluxenfonctiondelaprofondeur.Desrésultats demesuresontétéobtenusenutilisantunréservoirrempliparunerépliquetissulaire(lait)illuminéaumoyend’unfaisceaulumineuxissud’une LED.Lecomportementdesrésultatsexpérimentauxestcohérentaveclesprévisionsthéoriques.
©2011ElsevierMassonSAS.Tousdroitsréservés.
Abstract
Theknowledgeofthespatialdistributionoflightwithinabiologicaltissueexitedbyalightsource(LASERorLED)isfundamentaltoachieve optimalphotodynamictreatment.Inthispaper,wedevelopananalyticalmodelrelativetothediffusefluenceratewithinatissue-likemedium irradiatedbyacontinuous-wavelightemittingdiode(LED).Themodelisbasedonthetwo dimensionalFouriertransformandappliedtoa homogeneoustissueslab.Thetotalfluenceratealongtheaxisofthemediumwascomputedbyaddingthecollimatedandthediffusecomponents. Theanalyticalsolutionwasalsousedtostudythedepthevolutionofthephotonfluencerateasfunctionsofthefinitesourcebeamsizeandthe tissueopticalparameters.Measurementresultswereperformedusingatankfilledwithaliquid-simulatingturbidmedium(milk)illuminatedwith aLEDbeam.Theexperimentalbehaviourresultsagreewiththetheoreticalpredictions.
©2011ElsevierMassonSAS.Allrightsreserved.
1. Introduction
Depuis plus d’une décennie, l’émergence de nouvelles technologies optoélectroniques conjuguée à l’évolution de moyensdecalculrapideapermisd’élargirdefac¸onnotablele champd’utilisationdeslasersmédicaux.Lesdomainesliésaux actionsthérapeutiquesetdiagnostiquesontfaitl’objetd’actives
∗Auteurcorrespondant.
Adressee-mail:jean-yves.le-pommellec@angers.ensam.fr
(J.-Y.LePommellec).
recherches intéressant le contexte de l’optique biomédicale
[1–4], mais une connaissance plus affinée des phénomènes complexes d’interaction lumière-tissus biologiques devrait présider à une meilleure optimisation des effets recherchés parlepraticien, touten dessinantles contoursd’applications nouvelles. En général, les tissus traités ou observés à l’aide d’unesourcedelumière laserseprésententcommedes struc-turesmulticouches aux interfacesplus oumoinsaccidentées, d’épaisseursvariablesetdepropriétésoptiquesnettement diffé-renciées.Aussi,letauxdepénétrationdelalumièreauseindes tissusest-illargementmoduléparlejeudesparamètresoptiques commel’absorption,la diffusionet l’indicederéfraction aux
différentesinterfacesrencontrées.Lalumièreestabsorbéepar différentschromophores,commel’eau,leslipides,lamélanine etl’hémoglobine[5–7].Ellesuitaussidescheminscomplexes provoqués par de multiples processus de diffusion lors de ses interactions avec des microstructures de tailles diverses (0,01mm-membranes,10mm-cellules)[7–10],enprésencede discontinuitésquesubitl’indicederéfraction[11–13].
Lafenêtrespectralecompriseentre600nmet 950nm[14]
offreunintérêtspécifiquepourdesactionsnoninvasivestelles quelediagnosticetl’imageriedestissus,maisaussipour cer-tainstraitementsmettantenœuvrelathérapiephotodynamique
[15,16], la coagulation interstitielle [17], ainsi que la photo-thérapie[18]. Dans la plage des longueurs d’onde précitées, l’absorptiondesprincipauxconstituantsdestissusestminimale, alorsqueladiffusionmultiple estprépondérante.Cette situa-tionestalorspropiceausondageenprofondeur(1–10cm)des milieuxbiologiquesilluminés)[3,19].
La connaissance des paramètresoptiques est requise, afin deprédireladistributiondelalumière,dansunmilieudonné, àpartirdemodèlesstochastiques (MonteCarlo,MonteCarlo hybride)[20,21]oudéterministes (TransfertsRadiatifs,ETR)
[22,23].LaméthodedeMonteCarlosertderéférenceenvue detesterd’autresapproches moinsconsommatrices entemps decalcul.Parailleurs,ellepeutêtreimplémentéeavecdes géo-métries3-Dcomplexesenglobantdesrégionspeudiffusantes comme celles restreintes au fluide cérébrospinal du cerveau humain[24].
Enrevanche,l’appréhensiondesparamètresoptiquesrepose souvent sur l’approximation du régime de diffusion [25] et explore avanttout les résultats obtenus enmettant enœuvre lesméthodesdespectroscopierésoluesdansl’espace[26],en temps[27]ouenfréquence[28].
Letravailprésentédanscetarticles’inscritdanslacontinuité d’un effort de recherche relatif à l’appréhension des para-mètresoptiquesmacroscopiquesenmilieuxfortementdiffusants
[29–32]. Son objectif est de valider une solution analytique donnant accès au flux de photons diffusés à l’intérieur de tissus turbides et de quantifier la quantité de lumière captée parune fibreoptiquelocaliséedansle volume tissulaire illu-miné.
Lemodèleprésenté danscetarticleest fondésurla trans-forméedeFourieràdeuxdimensions.Ilpermetdecalculerle fluxlumineuxentoutpointd’unmilieuturbided’épaisseurbien déterminéeetirradiéparunfaisceauquelconque(cylindrique, Gaussien,rectangulaire).Cemodèlegénéraliseparconséquent unesolutionanalytiquepubliéepard’autresauteurs[33]et éta-bliepour un tissud’épaisseur infinie irradié par unfaisceau Gaussien.
L’étudemet enexergue l’influence decertains paramètres commelespropriétésoptiquesdumilieu,lediamètredu fais-ceauincidentetl’influencedel’ouverturenumériqued’unefibre optiquesurlessolutionsrecherchées.Undispositif expérimen-talconstituéparunfantômetissulairecylindrique(1000mLde laitdemi-écréméUHT)dont unedes bases est illuminéepar unfaisceauissud’unediodeélectroluminescente(THORLABS -630nm) sert desupportà la collecte dedonnées quiseront comparéesaveclesprévisionsthéoriques.
2. Modélisation
2.1. Équationdetransportdesphotons
L’équationdetransportdesphotonsdansuntissubiologique s’écrit[34]. Es· E∇ϕ(x,y,z,Es) = −(µa+µs)ϕ(x,y,z,Es) +µs Z 4π P(Es→Es′)ϕ(x,y,z,Es′) +S(x,y,z,Es) (1)
Dans cette expression, µa(mm−1) est le coefficient
d’absorption etµs(mm−1)est le coefficientdediffusion.Ces
coefficientscorrespondentrespectivementàlaprobabilitépour qu’unphotonsoitabsorbélorsqu’ilparcourt1mmetàla pro-babilitépourqu’unphotonsoitdiffusélorsqu’ilparcourtcette mêmedistance.
Le flux angulaire de photons
ϕ(x,y,z,Es) photons.s−1.mm−2.sr−1
et la source de photons S(x,y,z,Es) photons.s−1.mm−3.sr−1
sont définis de la manière suivante: ϕ(x,y,z,Es)dSdΩ est le nombre de photonsdedirectionscomprisesàl’intérieurdel’anglesolide
dΩ entourant Es traversant par unité de temps l’élément de surface dS perpendiculaire à ce vecteur et S(x,y,z,Es)dVdΩ estlenombredephotonsdedirectioncompriseàl’intérieurde l’anglesolidedΩentourantEsgénéréparlevolumedVcentré surlepointM(x,y,z).
LetermeP(Es→Es′)quiapparaîtsousl’intégraleestla
pro-babilitépourqu’unphotondedirectionEssoitdiffusé dansla direction Es′. Cette probabilité est donnée par la fonction de
Henyey-Greenstein[35]: PHG(Es→Es′)= 1 4π 1−g2 1−2g(Es· Ys′) (2) Lorsque la diffusion est fortement anisotrope (cas des tissusbiologiques)nouspouvonsutiliserl’approximation delta-Eddington[33,36]: PδE(Es→Es′)= 1 4π2fδ(1−Es·Es ′)+(1−f) 1+3g∗(Es·Es′ (3) Avecf=g2etg∗= 1+gg
Lecoefficientfestlafractiondephotonsdiffusésversl’avant. Lorsquef→1,cetteapproximationtendversunedistribution de Dirac. Lorsque f=0, nous retrouvons l’approximation de Eddington[25].
2.2. Équationdediffusiondesphotons
Considéronsuntissubiologiqued’épaisseurdirradiéparun faisceaulumineux monochromatique(Fig. 1). L’axeOZ etle plan(XOY)coïncidentrespectivementavecl’axedufaisceauet aveclasurfacedutissu.Lefluxangulaireϕ(x,y,z,Es)enunpoint
Z
µa , µs, g d
SOURCE LUMINEUSE
Tissu Biologique
Fig.1.Tissubiologiqued’épaisseurdirradiéparunfaisceaulaserderayonr0.
dutissuestconstituéd’unecomposanteatténuéededirection Ek etd’unecomposantediffuse[25].
ϕ(x,y,z,Es)=Φc(x,y,z)δ(Es− Ek)+ϕd(x,y,z,Es) (4)
Lacomposantediffuséepeutêtreapprochéeparun dévelop-pementlimitéaupremierordre(approximationdeladiffusion)
[25]. ϕd(x,y,z,Es)= 1 4πΦd(x,y,z)+3(EJd(x,y,z)·Es) (5)
Danscetterelation: EJd(x,y,z)= R 4πϕd(x,y,z,Es)EsdΩ et Φd(x,y,z)= R 4πϕd (x,y,z,Es)dΩ.
• Φd(x,y,z)estle fluxdephotonsdiffusés:c’estle nombre
moyendephotonstraversantparunitédetempsunélément desurfaceunitairecentrésurlepoint(x,y,z);
• EJd(x,y,z)estlevecteurcourantdephotonsdiffusés:la
pro-jectiondecevecteursurlanormaleàunélémentdesurface unitairecentrésurlepoint(x,y,z)représentelenombrede photonstraversantparunitédetempscetélémentdesurface.
Enintroduisantsuccessivementlesapproximations[3],[4],
[5]dansl’équationdetransportdesphotons[1],onobtient suc-cessivementlefluxatténuésuivantlaloideBeer-Lambert[6],le vecteurcourantdephotonsdiffusés(loideFick)[7]etl’équation dediffusiondesphotons[8]
Φc(x,y,z)=Φc(x,y,0)exp(−µ∗tz) (6) EJd(x,y,z)=−D E∇Φ(x,y,z) + g∗µ∗s µa+(1−g∗)µ∗s Φc(x,y,0)exp(−µ∗tz)Ek (7) ∇2Φ d(x,y,z)−µeffΦd(x,y,z) =−3µ∗sµt∗+g∗µa Φc(x,y,0)exp(−µ∗tz) (8)
Danscesexpressions µs∗=(1−f)µs,µt∗=µa+µs∗, D=
1/3µa+(1−g)µs µeff =√3µa(µa+(1−g)µs)
(coeffi-cientd’atténuationeffectif).LesdeuxdernierscoefficientsDet µeffsontégauxàceuxutilisésdanslecadredel’approximation
classiquedeEddington[25].Deplus,lorsquef→0nousavons µ∗s →µsetµ∗t →µa+µs.
L’équation[8]estutilisablequellequesoitlagéométriedu faisceauutilisépourilluminerlasurfacedutissu.Danslecas particulierd’unerépartitionàsymétriecylindrique(faisceau cir-culaireouGaussien),cetteéquationseréduitàcelleutiliséepar d’autresauteurs[33]àconditiond’exprimer∇2encoordonnées cylindriques.
2.3. Conditionsauxlimites
Considéronsuntissubiologiqued’épaisseur finie(Fig.1), limitépar sa face supérieure(z=0) et parsa face inférieure (z=d).Aucunphotondiffuséàl’intérieurdutissuneprovient dumilieu extérieur carcedernier (air)est nondiffusant.Par conséquent,lenombredephotonsdiffuséstraversantparunité detempsunélémentdesurfaceetsedirigeantversl’intérieur dutissuestégalaunombredephotonsprovenantduvolumedu tissuetréfléchisparcetélément.Cesconsidérationsphysiquesse traduisentparleséquations[9]et[10]respectivementappliquées auxinterfacesmentionnées[32,37].
Z Es·Yk≥0 ϕ(x,y,0,Es)(Es· Ek)dΩ =− Z Es·Ek≤0 RF(Es· Ek)ϕ(x,y,0,Es) Es· EkdΩ (9) Z Es·Yk≤0 ϕ(x,y,d,Es)(Es· Ek)dΩ =− Z Es·Ek≥0 RF(Es· Ek)ϕ(x,y,d,Es) Es· EkdΩ (10) Danscesdeuxexpressions,RF(θ)estlecoefficientdeFresnel [32].Cecoefficientestdirectementliéàl’indicederéfraction dutissu.
Enutilisantsuccessivementl’approximationdeladiffusion (Eq.5)etlaloideFick(Eq.7),nousobtenonslesconditions auxlimitessuivantes[32].
Φd(x,y,0)−2AD ∂Φd(x,y,z) ∂z z=0 =− 2Ag∗µ∗s µa+(1−g∗)µ∗s Φc(x,y,0) (11) Φd(x,y,d)+2AD ∂Φd(x,y,z) ∂z z=d = 2Ag∗µ∗s µa+(1−g∗)µ∗s Φc(x,y,0)exp(−µ∗td) (12)
AvecA= 1+3 π/2 Z 0 sinθcosθ2R F(θ)dθ 1−2 π/2 Z 0 sinθcosθRF(θ)dθ
Danscesexpressions,laconstanteAdépendducoefficientde FresnelRF(θ)etparconséquentdel’indicederéfractiondutissu
considéré.Pourunindiceégalà1,4correspondantàlamoyenne des valeursmesurées (1,37–1,45)pour les tissus biologiques
[11],ilvientA=2,949[32,37].
2.4. Solutiondel’équationdediffusiondesphotons
La transformée de Fourier à deux dimensions permet d’obtenir la solution de l’équation de diffusion des photons (fluxdephotonsdiffuséenunpoint)pourunerépartition quel-conquedufluxlumineuxΦc(x,y,0)àlasurfacedutissu.Cette
transforméeestdéfiniedelamanièresuivante:
F[Φ] kx,ky,z
= Z Z
Φ(x,y,z) exp−2iπ kxx+kyy dxdy (13)
AppliquonslatransforméedeFourieradeuxdimensionsaux deuxmembresdel’équationdediffusion(8):
∂2F(Φd)(kx,ky,z) ∂z2 − h 4π2(k2x+k2y)+µ2eff i F(Φd)(kx,ky,z) =−3µ∗ sµ∗s +gµa F (Φc)(kx,ky,0)exp(−µ∗tz) (14)
Lasolutiongénéraledecetteéquationestla sommed’une solutionparticulièredel’équationavecsecondmembreetdela solutiongénéraledel’équationsanssecondmembre:
F(Φd)(kx,ky,z)=α(kx,ky)exp(−µtz) +β(kx,ky)exp −q4π2(k x2+ky2)+µeff2z +γ(kx,ky)exp q 4π2(k x2+ky2)+µeff2z (15)
Lescoefficientsα(kx,ky),β(kx,ky)etγ(kx,ky),déterminésen
utilisant[11]et[12],sontdonnésenannexe(équations(A-1), (A-5)et(A-6)).LefluxdiffuséΦd(x,y,z)estobtenupourune
répartitionquelconquedufluxΦc(x,y,0)àlasurfacedutissuen
prenantlatransforméedeFourierinversedumembrededroite del’expression[15].
Dans le casparticulier d’une répartitionà symétrie cylin-drique (faisceau lumineux cylindrique ou Gaussien), le flux diffusédevient: Φd(r,z)= 1 2π ∞ Z 0 h α(k)exp(−µ∗tz)+β(k)exp(− q k2+µ2 effz) +γ(k)exp( q k2+µ2 effz) i kJ0(kr)dk (16) avecr=p x2+y2etk=2πqk2 x+ky2
J0 est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre 0. Lorsque l’épaisseur du tissu est suffisamment grande le coefficient γ(k) tend vers 0. Dans le cas particulier d’un tissu d’épaisseur infinie irradiée par un faisceau Gaussien, l’expression[16]estidentiqueàlasolutionpubliéepard’autres auteurs[33]. Pour unfaisceau incidentGaussien et derayon infini(r0→∞), cetteexpression tendencoreversla solution
analytiquedonnéeparlaréférence[32].
2.5. Puissancelumineusecaptéeparunefibreoptique
Unefibreoptiquedontl’axeestparallèleàl’axeOZ(Fig.1) détecte les photons diffusésdont la directionest comprise à l’intérieurdesoncônedecollectionΩ0,ainsiquelesphotons
quisedirigentsuivantl’axedelafibre.Lapuissancelumineuse captéeparunitédesurfaceducœurdelafibre(W.mm−2)est doncégaleà[32]: Pcapt(x,y,z)= hν Z Ω0 h 1−RF(Es· Ek) i ϕd(x,y,z,Es)(Es· Ek)dΩ +hνΦc(x,y,z,0)exp(−µ∗t)z (17)
Danscetteéquation,hestlaconstantedePlanck,νestla fré-quencedurayonnementlumineux,Ω0estlecônedecollection
delafibreetR(Es· Ek)estlecoefficientderéflexiondeFresnel. Danslecasd’untissubiologiquel’indicedumilieuestvoisin del’indice ducœurde lafibre, parconséquent le coefficient deréflexion de Fresnelpeut en premièreapproximation être considérécommenul.PosonsEs· Ek=µetnotonsθ0l’anglede
collectiondelafibre.L’utilisationdel’approximationdela dif-fusion(Eq.5)associéeàlaloideFick(Eq.7)permetd’exprimer lapuissancecaptée(Eq.17)delamanièresuivante:
Pcapt(r,z)= hν 2 1 Z cosθ0 Φd(r,z)−3D ∂Φd(r,z) ∂z µ + 3g∗µ∗s µa+(1−g∗)µ∗s Φc(r,0)exp(−µ∗tz)µ µdµ +hνΦc(r,0)exp(−µ∗tz) (18)
L’angleθ0estreliéàl’ouverturenumériquedelafibreetà
l’indicedumilieuparlarelationO.N=nsin(θ0).Ainsi,pourune
ouverturenumériqueégaleà0,37etunindiceégalà1,4(tissu biologique),nousavonsθ0=15,30.Lorsqueθ0→0(ouverture
numériquetrèsfaible),lacontributiondutermeintégralestnulle. Seulslesphotonstrèspeudiffuséssontcaptésparlafibre:dans cecaslapuissancemesuréesuitlaloideBeer-Lambert.
3. Résultats
Lesdifférentessimulationsreportéesdanscettepartie font référenceà des tissus homogèneset supposent encorequela
2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 Profondeur (mm) F lu x d e p h o to n s n o rm al is é 3 2 1
Fig.2.Évolutiondufluxdephotonsnormalisélelongdel’axedufaisceau
(µa=0,01mm−1,µ′s=1mm−1etr0=5mm).1-Fluxcollimaté normalisé Φc(0,z)/Φc(0,0),2-Flux diffusénormaliséΦd(0,z)/Φc(0,0),3-Flux total
normaliséΦ(0,z)/Φ(0,0).
répartitionradialedel’intensitélumineusedelasourcequiles illumineobéitàuneloigaussienne,soit
Φc(r,z=0)=Φc(0,0)exp ! −2r 2 r02 # (19)
Lesdifférents calculsfondés surleséquations[6],[16] et
[18]visentàobtenirlarépartitiondufluxlumineuxàl’intérieur destissus etàappréhenderlapuissancelumineusecaptéepar unefibreoptiquedontl’extrémitédistaleestdéplacéelelongde l’axedufaisceau excitateur.Plusieursstratégiesontétémises enœuvreafind’objectiverl’influencedesparamètresoptiques destissus(µa,µ
′
s)etdurayonr0delasourcedelumièresurles
variablesprécitées.Toutessessimulationsontétéeffectuéesà l’aidedulogicielMATHCAD.
DeuxdispositifsexpérimentauxillustrésparlesFig.7et10
ontpermisparlasuitedevaliderlesprédictionsthéoriques,de testerl’influencedel’ouverturenumériquedesfibresoptiques plongéesauseinduvolumediffusantetd’accéderaucoefficient d’atténuationeffectifµeffdesfantômestissulairesétudiés.
3.1. Prédictionsthéoriques
3.1.1. Répartitionaxialedufluxdephotons
LaFig.2 montrel’évolution dufluxtotalΦ(0,z), duflux atténuéaxialementΦc(0,z),ainsiquedufluxdiffuséΦd(0,z),en
fonctiondelaprofondeurzatteintelelongdel’axedufaisceau. Parcommodité,chacundecesfluxaéténormaliséparrapport à la valeur particulière duflux incidentΦc(0, 0) aupoint O
(0,0).Lessimulationsfonticiréférenceàunmilieudiffusant, présentantlesvaleurstypiquesµa=0,01mm−1etµ
′
s =1mm−1,
alorsquelerayondufaisceaudemeureégalà5mm.Ilestloisible deconstaterquelavaleurdufluxdiffuséestsupérieureàcelledu fluxappliquéàlasurfacedestissus.Parailleurs,lefluxdiffusé passeparunmaximumauvoisinagedelasurface(z=0,3mm)et
2 1.5 1 0.5 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Profondeur (mm) F lu x d e p h o to n s n o rm al is é 1 2 3
Fig.3.Influenceducoefficientd’absorptionsurl’évolutiondufluxtotal
norma-liséΦ(0,z)/Φc(0,0)(µ′s=1mm−1,r0=5mm).1-µa=0,01mm−1,2-µa=0, 03mm−1,3-µa=0,06mm−1. 2 1.5 1 0.5 0 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 Profondeur (mm) F lu x d e p h o to n s n o rm al is é 3 2 1
Fig.4.EffetducoefficientdediffusionsurΦ(0,z)/Φc(0,0)(µa=0,01mm−1,
r0=5mm).1-µ′s=0,5mm−1,2-µ
′
s=1mm−1,3-µ
′
s=2mm−1.
décroîtensuitepourseconfondreaveclefluxtotalauxenvirons de1mm.Àpartirdecetteprofondeur,lefluxatténuédevient négligeable.
LesFig.3et4mettentrespectivementenévidencel’influence ducoefficientd’absorptionetdediffusionréduitsurl’évolution axialedu flux normalisé Φ(0, z)/Φc(0, 0). Le coefficient µ
′ s
20 15 10 5 0 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Profondeur (mm) F lu x d e p h o to n s n o rm al is é 4 3 2 1
Fig. 5.Effet du rayon du faisceau sur ln(Φ(0, z)/Φ(0, 0)) (µa=
0,01mm−1,µ′s=1mm−1). 1- r0=5mm, 2- r0=10mm, 3- r0=40mm,
4-r0→∞.
augmentationdelavaleurdeµa (0,01mm−1,0,03mm−1,0,
06mm−1)provoqueunediminutiondufluxentoutpointexploré del’axedufaisceau.Enrevanche,lefluxlumineuxs’accroîtau voisinage dela surface, tout endiminuant très rapidement à partirdelavaleurmaximaleobservéelorsqueµ′s augmente(0, 5mm−1,1mm−1,2mm−1),µarestantégalà0,01mm−1.
La Fig. 5 révèle l’influence de la source surl’atténuation dufluxtotalnormalisé.Troisvaleursdurayonr0ontété rete-nues(5mm,10mmet 40mm),tandisquelecasrelatifà une disposition1D(r0→∞)[32]complètecetteétude.Les
para-mètres optiques assignés correspondent sont µa=0.01mm−1
et µ′s =1mm−1.Chacunedecescourbes montre quele flux totalpasse parunmaximumauvoisinagedelasurface, suivi d’unedécroissancecomplexe(Courbe1-r0=5mm),(Courbe 2-r0=10mm)àl’exceptiondelacourbe3-r0=40mmpourlaquelle latendancelinéaireserapprochedumodèle1-D(Courbe4).
3.1.2. Puissancelumineusecaptéelelongdel’axedu faisceau
La Fig. 6 décrit l’évolution dulogarithme népérien de la puissance(normalisée)captéeparunefibreoptique(ON=0,37, θ0=15, 3
◦
) déplacée axialement au cœur des tissus étudiés (µa=0,01mm−1etµ′s=1mm−1).Lesdifférentessimulations
ontétéeffectuéesenutilisantl’expressionintégrale[18].Les courbestracéesmontrentlapossibilitéd’accéderauparamètre auparamètreµ∗t (coefficientd’atténuationtotal).Eneffet,pour desprofondeurs explorées proches dela surface, les photons détectéssontpeudiffusésetletermeintégraldusecondmembre de l’équation [16] est nul. La pente à l’origine commune à cescourbes est donc égale à µ∗t. À partir d’une profondeur supérieure à quelques millimètres, les courbes se différen-cient suivant la valeur du rayon de la source (1- r0=5mm,
20 15 10 5 0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Profondeur (mm) P u is sa n ce ca p té e n o rm am is ée 4 3 2 1
Fig.6.ÉvolutiondulogarithmedelapuissancelumineusenormaliséeP(0,
z)/P(0, 0) le long de l’axe du faisceau (µa=0,01mm−1,µ′s=1mm−1).
1-r0=5mm,2-r0=10mm,3-r0=40mm,4-r0→∞.
2-r0=10mm,3-r0=40mm,4-r0→∞(modèle1-D).Pourun rayondelasourcesuffisant,lapentedelacourbeobtenuepermet d’accéderaucoefficientd’atténuationeffectifµeff.Parailleurs,
pourchaquerayonconsidéré,lapentedelacourberelativeàla puissancecaptéeparlafibreoptique(Fig.6)estanalogueàcelle représentativedeladécroissancedufluxtotallelongdel’axe dufaisceau(Fig.5).
3.2. Résultatsexpérimentaux
Lebancexpérimentaldestinéàvaliderlesprédictions théo-riques précédentes est schématisé par la Fig. 7. Une cuve
Fibre optique Détecteur
z Lait
Hublot LED (630 nm)
Fig.7.Dispositifexpérimentalpermettantdemesurerl’évolutiondela
50 40 30 20 10 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Distance (mm) P u is sa n ce n o rm al is ée
3
2
1
Fig.8.RépartitionradialedelapuissancenormaliséeP(r)/P(0)mesuréeàla
surfaceduhublot.1-r0=10mm,2-r0=20mm,3-r0=30mm:(+++)Courbes
expérimentaleset(–)Gaussiennesajustées.
cylindriquedontlabaseinférieureestdécoupéeparunhublot circulairecontientdulaitdemiécrémé (UHT)quisimuleles tissus biologiques.Lorsdesdifférentesexpériences,lehublot estéclairéparuneDEL(THORLABS-630±10nm).
Untelarrangementpermet demesurer la puissance lumi-neuse captée le long de l’axe par une fibre optique dont l’extrémitédistaleestéloignéeprogressivement dela basede lacuveaumoyend’undispositifmicrométrique.
LaFig.8 montretroisdistributionsobtenues expérimenta-lementenfaisantvarierladistanceentrelaDELet leHublot (Fig.1). Cescourbessont assimilablesà des Gaussiennesde rayonsrespectifs10mm,20mmet30mm.
La Fig. 9 décrit l’évolution du logarithme népérien de la puissance(normalisée)mesuréeaumoyend’unefibreoptique à extrémitéplate (ON=0,37) déplacée parallèlement à l’axe OZ. Lestrois répartitionsde l’intensitélumineuses représen-téessurlaFig.8sontsuccessivementenvisagées.Cescourbes, typiquesdel’usaged’unefibreàextrémitéplatemettentbien enévidencelesdeuxdomainesdistincts (atténuationet diffu-sion)prévusparl’étudethéorique(Fig.6)etconfirmentencore les tendances rapportéesdansunarticle plusancien [29].La pentedulogarithmenépériendelapuissancemesuréediminue demanièresignificativelorsquelerayondelaGaussienne repré-sentantlarépartitiondel’intensitélumineusedelasourceprend desvaleurssuccessivementégalesà10mm,20mmet30mm. Celaestégalementconformeauxprévisionsthéoriques(Fig.6). Lespentes(mesuréesaupointz=25mm)relativesàcestrois rayonssontrespectivementégalesà0,162mm−1,0,147mm−1 et0,139mm−1.
Cesvaleursontétécomparéesàlavaleurdeµeffobtenuepar
laméthodedupointsourceenmilieuinfini[38].Undispositif expérimentaldévoluàlamesuredeµeffaétéutilisé(Fig.10).
À ceteffet,unefibreémettriceà extrémitésphérique (source
25 20 15 10 5 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Profondeur (mm) P u is sa n ce c ap té e n o rm al is ée
3
1
2
Fig.9.ÉvolutiondulogarithmedelapuissancelumineusenormaliséeP(0,
z)/P(0,0)mesuréelelongdel’axedufaisceau.1-r0=10mm,2-r0=20mm,
3-r0=30mm.
isotrope)coupléeàlaDELetunefibreréceptriceconnectéeàune photodiodesontimmergéesdanslarépliquetissulaire(1000ml delaitdemiécréméUHT),àmi-hauteurdelacuvedemanièreà s’affranchirdesconditionsauxlimites.Lafibreémettricereste fixealorsquelafibredétectriceestpositionnéeàladistancerau moyend’undispositifmicrométrique.Dansl’hypothèsedupoint source,la pentedela courbereprésentativedef(r)=ln(rP(r)) tendversµeffpourdesvaleurssuffisantesder[38].
LaFig.11décritl’évolutiondeln(rP(r))pourdesvaleursde
rcomprisesentre10et20mm.Lavaleurdeµeffobtenueàpartir
decettedernièrecourbeaumoyendelaméthodedes moindres-carrésestégaleà0,104mm−1[39].Ainsi,lespentesdescourbes delaFig.9(1−r0=10mm,2−r0=20mm,3−r0=30mm) res-tentinférieuresàcettevaleur.(r0→∞).Cesrésultatssuggèrent
Fibres optiques LED
r
Lait
DETECTEUR
Fig.10.Dispositifexpérimentalpermettantdemesurel’évolutionduflux
lumi-neuxenfonctiondeladistancerentrelafibreémettrice(associéeàlaLED)et
20 18 16 14 12 10 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 Distance (mm) F lu x l u m in eu x n o rm al is é
Fig.11.Évolutiondeln(rΦ(r)/10Φ(10))lorsqueladistancerestcompriseentre
10mmet20mm.(++++)courbeexpérimentaleet(−)droiteajustée.
qu’unrayondelasourcenettementsupérieur30mmestrequis pourretrouverlesconditionsd’uneconfiguration1-D(r0→∞).
4. Discussion
Uneanalysethéoriqueetexpérimentalerelativeàladiffusion desphotonsdansdesrépliquestissulairesestprésentéedanscet article.Lemodèleproposéestfondésurl’utilisationdela trans-forméedeFourieràdeuxdimensions.Ilgénéraliseunesolution analytiqueadaptéeàunmilieuturbided’épaisseurinfinie irra-diéaumoyend’unfaisceauGaussien[33].Latechniquedela transforméedeFourieràdeuxdimensionsesttrèsutiliséedans ledomainedutraitementdel’image,maisellen’apasdonnélieu àdestravauxconséquentsquantàlarésolutiondel’équationde diffusiondesphotonsappliquéeaudomainebiomédical.
Enparticulier,l’applicationdela transforméedeFourierà deuxdimensionsàl’équationdediffusiondesphotonset aux conditionsauxlimitespermetdecalculerlefluxlumineuxinduit entoutpointd’untissud’épaisseurfinieirradiéparunfaisceau lumineuxquelconque.Unfaisceauàsymétriecylindrique (cir-culaireouGaussien)peutdoncêtreenvisagémaiségalementun faisceaurectangulaire(typiquedesmatricesdeLED).
Parailleurs, le modèleprésenté estapplicableà unmilieu turbide hétérogène constitué par deux couches de propriétés optiques différentes[40], à partir durespect dela continuité desfluxetcourantsdephotonsàleurinterface.
Cette approche est plus rapide dans son exploitation que la méthode de Monte Carlo [20] mais repose cependant sur l’approximationdeladiffusion[25].Laduréeducalculduflux enunpointdutissuaumoyendelaméthodeprésentéeestde l’ordredequelquessecondes.
Les simulations effectuéesmontrent que le flux lumineux passeparunmaximumauvoisinagedelasurface(Fig.2).Cela esten bonaccord avecles résultats obtenus au moyen dela méthodedesélémentsfinis[32].Parailleurs,auniveaudela surface,cefluxest supérieuràceluiappliquéautissu,cequi montrelacontributiondesphotonsrétrodiffusésdanslevolume
dutissuconsidéré.Enfin,lessimulationsmettentenévidence l’influencedesparamètresoptiquesdutissu(Fig.3et4)etdu rayondufaisceau lumineux(Fig.5)surl’atténuation du fais-ceauàl’intérieurdutissu.Laprofondeurdepénétrationdiminue notammentlorsquel’undesdeuxcoefficientsmacroscopiques caractérisantlemilieu(absorptionoudiffusion)augmente.En revanche, la profondeur de pénétration augmente lorsque le rayondufaisceauincidentaugmenteetcelle-citendvers1/µeff
lorsquelerayondelasourceatteint unevaleursuffisante.La valeurdurayonpermettantd’obteniruneprofondeurde pénétra-tionégaleà1/µeffestégaleà50mm(rayoncritique).Lescourbes
théoriquesreprésentant l’évolutiondela puissancelumineuse mesurée le long de l’axe du faisceau au moyen d’une fibre optiqueàextrémitéplate(Fig.6)sontanaloguesàdescourbes obtenuesexpérimentalement[29].
Deuxdispositifsexpérimentaux(Fig.7et10)ontétéutilisés afindevaliderlesprédictionsthéoriquesobtenuesàpartirdela solutionanalytique.L’hypothèsed’unedistributionGaussienne del’intensitéradialedelasource(Fig.8),typiqued’uneLED à émissionparla tranche(edge– emitter)[41], a étévérifiée auniveauduhublotavanttoutremplissagedelacuve(Fig.7). L’influencedurayondufaisceausurlarépartitionduflux lumi-neux à l’intérieur d’une répliquetissulaire (lait demi écrémé UHT)aenparticulierétémisenévidence(Fig.9).Lamesure (effectuéeaupointz=25mm)despentesdestroiscourbesde cettedernièrefigureconfirmeexpérimentalementlaprédiction théoriquemiseenévidencesurlaFig.6:laprofondeurde péné-trationfaisceauaugmenteaveclerayondecelui-ciettendvers 1/µeff.Deplus,chacunedecescourbesestconstituéesdedeux
domainesdepentesdistinctes.Celaestenbonaccordavecles résultatsthéoriquesrelatifsà lamesure dela puissance lumi-neuse le long de l’axe du faisceau avec une fibre optiqueà extrémitéplate.
Lemodèlepermetd’appréhenderlesrayonscritiquesdela source(r0=25mm,faisceau circulaireuniforme etr0=50mm,
faisceau Gaussien) pour obtenir une profondeur de pénétra-tionégaleà 1/µeff etainsi déterminerlavaleurducoefficient
d’atténuationeffectifµeff.Les expérimentationsmenéesavec
des sources de rayonsinférieurs pourraient expliquer la dis-persionobservéeentrelesrésultats relatifs àla mesuredece coefficient[29].
L’obtention d’une distribution lumineuse uniforme à l’intérieur d’un cercle nécessitera l’utilisation d’une matrice deLEDassociéeà unfilm diffusantet àundiaphragme.Les matricesdeLEDdevraientpermettredevalider expérimenta-lementlesprédictionsthéoriquesdumodèleprésentédanscet articlepourd’autresdistributions(carréeourectangulaire).
5. Conclusionetperspectives
La cohérence des résultats expérimentaux et des résultats théoriquesmontrequ’ilestpossibled’utiliserlemodèle analy-tiqueprésentépourdéterminerladistributiondufluxlumineux àl’intérieurd’untissubiologiqued’épaisseurfinieetirradiépar unLASERouuneLED.
Laprédictiondeladistributiondufluxlumineuxàl’intérieur d’untissuirradiéestliéeàlaconnaissancedesesparamètres
optiques(coefficientsd’absorptionetdediffusionréduit).Deux méthodes d’extraction non invasive de ces coefficients font actuellementl’objetd’investigationsthéoriqueset expérimen-tales au laboratoire. L’objectif de ces investigations est de minimiserlesincertitudessurlesvaleursmesuréesdeces para-mètres optiques de manière à améliorer la prédiction de la distributiondufluxlumineuxàl’intérieurdutissu.
Déclarationd’intérêts
Lesauteursdéclarentnepasavoirdeconflitsd’intérêtsen relationaveccetarticle.
Annexe
Le coefficient α(k) est déterminé en introduisant α(kx,
ky)exp [−µtz] (solutionparticulièredel’équationavecsecond
membre)dansl’équation(12):
α(kx,ky)= 3µsµ∗t +gµa 4π2(k2 x+ky2)+µ2eff−µ∗t F[Φc] (kx,ky,0) (A-1)
Lescoefficientsβ(kx,ky)et γ(kx,ky)s’exprimenten
fonc-tion deα(kx,ky) enutilisant les transforméesde Fourierdes
conditionsauxlimites[9]et[10]:
F[Φd] (kx,ky,0)−2AD ∂F[Φd] (kx,ky,z) ∂z z=0 =− 2Ag∗µ∗s µa+(1−g∗)µ∗s F[Φc] (kx,ky,0) (A-2) F[Φd] (kx,ky,d)+2AD ∂F[Φd] (kx,ky,z) ∂z z=d = 2Ag∗µ∗s µa+(1−g∗)µ∗s F[Φc] (kx,ky,0)exp(−µ∗td) (A-3)
Enintroduisantdanscesdeuxéquationslasolutiongénérale del’équationavecsecondmembre[13]onobtientlesystèmede deuxéquationsàdeuxinconnuessuivant:
( a11(kx,ky)γ(kx,ky)+a12(kx,ky)β(kx,kk)=c1(kx,ky) a21(kx,ky)γ(kx,ky)+a22(kx,ky)β(kx,ky)=c2(kx,ky) (A-4) Avec: a11(kx,ky)=1−2AD q 4π2(k2 x+ky2)+µ2eff a12(kx,ky)=1+2AD q 4π2(k2 x+k2y)+µ2eff a21(kx,ky)= h 1+2AD q 4π2(k2 x+k2y)+µ2eff i ×exp q 4π2(k2 x+ky2)+µ2effd a22(kx,ky)= h 1−2AD q 4π2(k2 x+ky2)+µ2eff i ×exp q −4π2(k2 x+k2y)+µ2effd c1(kx,ky)=−α(kx,ky) 1+2ADµ∗t −6ADg∗µ∗sF[Φc] (kx,ky,0) c2(kx,ky)=−α(kx,ky) 1−2ADµ∗t exp(−µ∗td) +6ADg∗µ∗sF[Φc] (kx,ky,0)exp(−µ∗td)
La résolution dusystème ci-dessus permet de trouverles coefficientsβ(kx,ky)etγ(kx,ky) β(kx,ky)= c2(kx,ky)a11(kx,ky)−c1(kx,ky)a21(kx,ky) a11(kx,ky)a22(kx,ky)−a12(kx,ky)a21(kx,ky) (A-5) γ(kx,ky)= c1(kx,ky)a22(kx,ky)−c2(kx,ky)a12(kx,ky) a11(kx,ky)a22(kx,ky)−a12(kx,ky)a21(kx,ky) (A-6) Références
[1]WelchAJ,vanGemertMJC.Theopticalandthermalresponsesof
laser-irradiatedtissue.NewYork:PlenumPress;1995.
[2]L’HuillierJP.Theoreticalanalysisoftheroleplayedbytissue-optical
para-metersinthelaserablationprocess.ProcSPIE1997;3195:151–65.
[3]YothAG,ChanceB.Spectroscopyandimagingwithdiffusinglight.Physics
Today1995;48:34–40.
[4]GibsonAP,HebdenJC,ArridgeSR.Recentadvancesindiffuseoptical
imaging.PhysMedBiol2005;50:R1–43.
[5]CheongWF,PrahlSA,WelchAJ.Areviewoftheopticalpropertiesof
biologicaltissues.IEEEJQuantElec1990;26(12):2166–85.
[6]EnejdderA.Lightscatteringandabsorptionintissue-modelsand
measu-rements.PhDDepartmentofPhysics.LundInstituteofTechnologyLund
University;1997.
[7]JacquesSL,PrahlSA.http://omlc.ogi.eduOregonmedicalcenter1998.
[8]MourantJR,FreyerJP,HielsherAH,etal.Mechanismoflightscattering
frombiologicalcellsrelevanttononinvasiveoptical-tissuediagnostics.
ApplOpt1998;37(16):3586–93.
[9]BrunG.Phénomènesdediffusiondelalumière(1erpartie).Photoniques
2005;18:47–51.
[10]MourantJR,FuselierT,BoyerJ,TamaraMJ.Predictionsand
measure-mentsofscatteringandabsorptionoverbroadwavelengthrangesintissue
phantoms.AppliedOptics1997;36(4):946–57.
[11]BolinFP,PreussLE,TaylorRC,FerenceRJ.Refractiveindexofsome
mammalian tissues using a fiber optic cladding method. Appl Opt
1989;28:2297–303.
[12]SchmittJM,KumarG.Turbulentnatureofrefractive-indexvariationsin
biologicaltissue.OptLett1996;21:1310–2.
[13] BeuthanJ,MinetO,HelmannJ,HerrigM,MullerG.Thespatialvariation
oftherefractiveindexinbiologicalcells.PhysMedBiol1996;41:369–82.
[14] BoulnoisJL.Photophysicalprocessesinrecent medicallaser
[15]BrancaleonL,MoseleyH.Laserandnon-laserlightsourcesfor
photody-namictherapy.LasersMedSci2002;A7:173–86.
[16]WilsonBC, PattersonMS.Thephysics,biophysicsandtechnologyof
photodynamictherapy.PhysMedBiol2008;53:R61–109.
[17]SchwarzmaierHJ,EickmeyerF,FiedlerVU,UlrichF.Basicprinciplesof
laserinducedinterstitialthermotherapyinbraintumors.MedLaserAppl
2002;17:147–58.
[18]Goldberg DJ,Bruce A. Russell. Combination blue(415nm)and red
(633nm)LEDphototherapyinthetreatmentofmildtosevereacnevulgaris.
JCosmetLaserTher2006;8(2):71–5.
[19] NtziachristosV,RipollJ,WeisslederR.Wouldnear-infraredFluorescence
signalspropagatethroughlargehumanorgansforclinicalstudies?OptLett
2002;27:333–5.
[20]WangL,JacquesSL, ZhengL.MonteCarlomodellingoflight
trans-portinmulti-layeredtissues.Comput MethodsProgBiomed1997;47:
131–46.
[21]KervellaM,TarvainenT,HumeauA,L’HuillierJP.Comparisonbetween
twohybridmodelsforphotonmigrationinbiologicaltissues.ITBM-RBM
2007;28:80–5.
[22]SadogiP.Discreteordinatesmethodforpropagationoflightinhighly
scatteringvasculartissues.OptCom2006;266:359–63.
[23]BouletP,CollinA,DelacroixD,ConsalviJL.Accuracyofthefinitevolume
methodandthediscreteordinatesmethodregardingradiativeheattransfer
inaccurateforwardanisotropicscatteringmedia.JQuantSpectRadTran
2007;104:460–73.
[24] MansouriC,L’HuillierJP,KashouNH,Humeau A. Depthsensitivity
analysisoffunctionalnear-infraredspectroscopymeasurementusing
three-dimensionalMonteCarlomodellingbasedmagneticresonanceimaging.
LasersinMedSci2010;25:431–8.
[25]IshimaruA.Wavepropagationandscatteringinrandommedia.NewYork:
Academic;1978.
[26]FarrellTJ,PattersonMS,WilsonBC.Adiffusiontheorymodelofspatially
resolved,steady-statediffusereflectanceforthenoninvasivedetermination
oftissueopticalpropertiesinvivo.MedPhys1992;19:879–88.
[27]Patterson MS, Chance B, Wilson BC. Time resolved reflectance for
the non invasivemeasurement of tissue optical properties. Appl Opt
1989;28:2331–6.
[28]FantiniS,FranceschiniMA,FishkinJB,BarbieriB,GrattonE.
Quan-titative determination of the absorption spectra of chromophores in
stronglyscatteringmedia:alight-emitting-diodebasedtechnique.Appl
Opt1994;33(22):5204–13.
[29]ChoukeifeJE,L’HuillierJP.Measurementofscatteringeffectwithin
tissue-likemediaattwowavelengthsof632.8nmand680nm.LasersMedSci
1999;14:286–96.
[30]LePommellecJY,L’HuillierJP.Determinationoftheopticalpropertiesof
breasttissuesusingthefrequencyresolvedtransillumination:basictheory
andpreliminaryresults.ProcSPIE2000;4161:202–15.
[31] LePommellecJY,L’HuillierJP.Influenceoftheboundaryconditionson
theaccuracyofdiffusiontheoryinfrequency-resolvedspectroscopy.Proc
SPIE2003;5138:208–20.
[32]DeulinX,L’HuillierJP.Finiteelementapproachtophotonpropagation
modellinginsemi-infinitehomogeneousandmultilayeredtissuestructures.
EPJApplPhys2006;33:133–46.
[33]Carp SA,Prahl SA,Venugopalan V.Radiative transport in the delta
P1approximation:accuracyoffluencerateandopticalpenetrationdepth
predictionsinturbidsemi-infinitemedia.JBiomedOpt2004;9:632–47.
[34]ChandrasekharS.Radiativetransfer.NewYork:OxfordUP;1960.
[35]Henyey LG, Greenstein JL.Diffuse radiation in galaxy. AstrophysJ
1941;93:70–83.
[36]JosephJH,WiscombeWJ,WeinmanJA.Delta-Eddingtonapproximation
forradiativeflux-transfer.JAtmosSci1976;33:2452–9.
[37] HaskellRC,SvaasandLO,etal.Boundaryconditionsforthediffusion
equationinradiativetransfer.JOptSocAmA1994;11(10):2727–41.
[38]vanStaverenHJ,MoesCJM,PrahlSA,vanGemertMJC.Lightscattering
inIntralipid-10%inthewavelengthrangeof400–1100nm.AppliedOptics
1991;30(31):4507–14.
[39]JoshiN,DonnerG,JensenHW.Noninvasivemeasurementofscattering
anisotropyinturbidmaterialsbynonnormalincidentillumination.Opt
Letters2006;21(7):936–8.
[40]SchmittJM,ZhouGX,WalkerEC.Multilayermodelofphotondiffusion
inskin.JOptSocAmA1990;7(11):2141–53.
[41]BouchetH,SizunO,BoisrobertC,deFornelF,FavennecPN.Optique
sansfil,propagationetcommunication,chapitre3,pp.57–59.Collection
