ARTheque - STEF - ENS Cachan | Trains épicycloidaux

(1)

TRAINS EPICYCLOIDAUX

L'étude porte sur différents types de trains épi-cycloïdaux intervenant dans des réducteurs ou multi-plicateurs de vitesse industriels. On s'intéresse d'abord aux cas simples des trains de PECQUEUR: lois ciné-matiques, rendements, conditions de montage. Puis, on examine des cas plus compliqués utilisant des trains épicycloïdaux imbriqués: réducteur "russe" à double train, transmissions de boites automatiques.

1-TniiS Ille PECIIIEUI

1.1-

Différents schémas:

Chaque train est constitué de deux pignons ou couronnes planétaires (ou solaires) A et D (l'élément D

TRAINS

PE

par Michel BANGUET

est toujours lié complètement au bâti), et d'un bloc de deux pignons satellites B et C en liaison pivot avec le

porte-satellites P.

Les lettres A, B, C, D, désignent aussi les nombres de dents des roues concernées.

Comme chaque planétaire peut être soit un pi-gnon soit une couronne à denture intérieure, on dis-tingue 4 cas référencés (a.), (j3), (8), (y). Pour le cas (8), si B = C, on débouche sur le train "ultra-plat" très uti-lisé industriellement à cause de son encombrement axial très réduit et de son excellent rendement.

Pour chaque cas, le moteur (entrée) et le ré-cepteur (sortie) peuvent être reliés à priori au planétaire A ou au porte-satellites P.

Dans toute l'étude, les vitesses angulaires et les couples sont algébriques; le signe positif est donné par le sens de rotation du moteur (entrée).

(2)

On note les vitesses angulaires algébriques (mouvement implicite par rapport au bâti): Cù• pour l'entrée (moteur), Cù.pour la sortie (récepteur), ooJ pour la roue (J).

On note les couples algébriques:

c.

action du moteur (entrée),

c.

action du récepteur (sortie), et CJ

action du bâti sur la roue J

1.2- Lois cinématiques:

CAS (o:.) (13):

=D.B/A.C = i CAS (8) (y):

(Cù AIP)/( Cù01P) = (oo A -Cùp)/( -oop)

d'où Cù A/Cùr = 1 - i

(Cù NP)/(Cùoir)

=

(oo A-oop)/(-oop)

= -D.B/A.C = -i d'où ooA/Cùp = 1 + i d'où les courbes d'évolution de:

*

Cù A/Cùr (à préférer si P moteur) en fonction de i (voir courbes 1 et 3)

*

Cùp/Cù A (à préférer si A moteur) en fonction de i (voir courbes 2 et 4)

l·· AJCilp-···

R~duc Mult centre axes

a

x= 0.00 ~tl ).!3 0 2 y= 0.00 R~uuc Mult ~l2 ,Ll4 it----l---l··· d ... ··· -2 ). fuit Re duc grad

x

= 1.00 grad y= 1.00

~

P mot A mot

CAS

(cx)(13)

COURBE: QA QP = 1-i (i =D.B A.C)

' centre axes à

i

x: = 0.00

k;AS

(cx)(13)

~d

~'(

0

~

1.00 Réduc Mult

: grad Y = 1.00 3 : ).!1 ).!

!~

.. t· . . . . ... ... .. ... .... . . . ... l...--...L----.J 0 : 1 2 =-1 ...

r···-... .

. ... f-!-...:._+-.r::...:..-1 1

.a

JJ.4 Réduc Mult p.2 P mot A mot

COURBE: QP/QA = 1/(1-i) (i = D.B/A.C)

On notera la possibilité de fonctionnement en réducteur ou multiplicateur avec inversion ou non du sens de rotation pour les cas (o:.) (~).Pour les cas (8) (y), le sens de rotation est obligatoirement conservé (sortie dans le même sens que l'entrée).

1.3- Conditions de montage:

On considère que toutes les roues sont à den-tures droites de même module, réalisées sans correc-tion de dentures.

CAS (o:.): La condition d'entraxe impose la relation: A + B = C + D

Problème du montage de g satellites ( q limité à 5 dans l'étude) :on monte sans difficulté le 1er groupe de satellites. On veut monter le 2ème groupe de satel-lites dans la même position par rapport au bâti que le 1er groupe de satellites, après une rotation de n/q tours du porte-satellites P par rapport au bâti, n et q étant dès entiers premiers entre eux de façon à ne pas retrouver la position de départ du porte-satellites. Bien entendu tous les groupes de satellites sont identiques, avec

tou-P mot A mot CilA/Cilp centre axes à x= 0.00 y= 0.00 grad x= 1.00 grad y = 1.00

CAS (6)( 'Y)

l'v-fultip Réduc ~ 2 0 2 'Cilp/ <vA 1 •1···~·~;:t~···~~~···~··· ... r - - . - - - , 0,2 0,1 x

=

0.00 y= 0.00 grad

x

=

1.00 grad y= 0.10

~

CAS (6)(

'Y)

(3)

jours le même calage de C par rapport à B.

. Alors, le planétaire A tourne de (1-i)n/q tours (d'après la loi cinématique établie au §1.2), et donc de A(1-i)n/q dents. Pour que la mise en place du 2ème groupe de satellites (orienté par rapport au bâti comme lors du premier montage) soit possible, il faut que ce nombre de dents soit entier d'où la valeur absolue de A(1-i)n/q = n(A.C-D.B)/(q.C) =entier, ce qui impose que IA.C-D.BI soit multiple de q.

En résumé, conditions que les nombres de dents doivent vérifier:

CAS (a,): A+B=C+D et n!A.C-D.BI/(q.C) entier Exemples:

(al) A= 24, B = 36, C = 40, D = 20, d'où i

= 3/4 = 0,75

A + B

=

C + D = 60 = vérifié.

(A.C-D.B) = +240 d'où 240.n/40.q = 6.n/q dents =entier

*

q = 2 possible avec n = 1. Alors pour nlq = 1/2 tour de P, A tourne de 6.n/q.A tours soit de + 1/8 de tour.

*

q = 3 possible avec n = 1. Alors pour nlq = 1/3 tour de P, A tourne de 6.nlq.A tours soit de +1112 tour.

*

q = 4 ou 5 est impossible. (a2) A= 18, B = 45, C = 42, D = 21, d'où i = 5/4 = 1,25. A + B

=

C + D = 63 = vérifié. (A.C-D.B) = -189 d'où 189.n/42.q = 9.n/2.q dents = entier

*

q = 2, 4, ou 5 impossible.

*

q = 3 possible avec n = 2. Alors pour n/q = 2/3 tour de P, A tourne de -9n/2.q.A tours soit de -1/6 tour. (a3) A= 21, B = 47, C = 21, D = 47, d'où i = 5,009.

A + B = C + D = 68 = vérifié.

(A.C-D.B) = -1768 d'où 1768.n/2l.q = 8.13.17.n/3.7.q dents= entier

*

q = 2 possible avec n = 21. Alors pour n/q = 2112 tours de P, A tourne de -42,095 tours soit de -42 tours et 34,3 degrés. Montage possible ... mais non évi-dent !

*

q = 3, 4, ou 5 impossible. CAS W): conditions: A - B = D - C et n!A.C-D.BI/q.C entier Exemples: (fU) A = 40, B = 20, C = 40, D

=

60, d'où i = 3/4 = 0,75 A - B = D - C = 20 = vérifié.

(A.C-D.B) = 400 d'où 400.n/40.q

=

10.nlq dents =entier

*

q = 2 possible avec n = 1. Alors pour nlq = 112 tour de P, A tourne de 10/2.40 soit de+ 1/8 de tour.

*

q

=

5 possible avec n = 1. Alors pour 115 de tour de P, A tourne de+ 1/20 tour.

(f32) A= 56, B = 35, C = 21, D

=

42, d'où i = 5/4

=

1,25.

A - B

=

D - C = 21 = vérifié.

(A.C-D.B) = -294 d'où 294.n/2l.q = 14.nlq dents = entier

*

q = 2 possible avec n = 1. Alors pour nlq = 112 tour de P, A tourne de -14/2.56 soit de -1/8 de tour

*

q = 3, 4, ou 5 =impossible. (f33) A = 60, B = 30, C = 20, D

=

50, d'où i = 5/4 = 1,25. A - B = D - C = 30 = vérifié. (A.C-D.B) = -300 d'où 300.n/20.q = 15.nlq dents = entier

*

q = 3 possible avec n = 1. Alors pour nlq = 113 de tour de P, A tourne de -15/3.60 tour soit de -1/12 de tour.

*

q = 5 possible avec n = 1. Alors pour nlq = 1/5 de tour de P, A tourne de -15/5.60 tour soit de -1/20 de tour.

(f34) A= 307, B = 150, C = 17, D

=

174, d'où i = 5,00096.

A - B = D - C = 157 = vérifié.

(A.C-D.B) = -20881 d'où 20881.n/17.q dents= entier

*

q = 7 possible avec n = 17. Alors pour nlq = 17/7 de tour de P, A tourne de -9,717 tours soit de -9 tours et 258degrés. Solution peu intéressante ...

CAS (8): Train ultra-plat (B=C): D =A + 2B et n(A+D)/q = entier

ce qui revient à D-A pair et D+A multiple de q : conclusion (D+A) pair multiple de q

Exemple:

(81): A= 21, B = C = 21, D = 63, d'où i = 3 D = A + 2B = 63 = vérifié.

(A+ D) = 84, d'où 84.nlq dents= entier.

*

q = 2 possible avec n = 1. Alors pour nlq = 1/2

(4)

;;;1~:1:,:,Jii-'

---(Suite de la page 24)

tour de P, A tourne de 84/2.21 tours soit de 2 tours.

*

q = 3 possible avec n = 1. Alors pour n/q = 113 tour de P, A tourne de 84/3.21 tours soit de 4/3 de tour.

*

q = 4 possible avec n = 1. Alors pour n/q = 114 tour de P, A tourne de 84/4.21 tour soit de 1 tour.

*

q = 5 impossible ( D+A = 84 n'est pas mul-tiple de 5)

CAS (y): conditions: A - B = C + D et n(A.C+D.B)/(q.C) entier Exemple: (yl): A

=

280, B = 120, C = 20, D = 140, d'où i = 3 A-B= C + D

=

160 =vérifié. (A.C +D.B) = 22400 d'où 22400.n/20.q 1120.n/q dents= entier

*

q = 2 possible avec n = 1. Alors pour n/q

=

1/2 tour de P, A tourne de 1120/2.280 soit de 112 tour.

*

q = 3 possible avec n = 1. Alors pour n/q = 113 tour de P, A tourne de 1120/3.280 soit de 4/3 tour.

*

q = 4 possible avec n = 1. Alors pour n/q = 114 tour de P, A tourne de 1120/4.280 tour soit de 1 tour.

*

q = 5 possible avec n = 1. Alors pour n/q = 115 tour de P, A tourne de 1120/5.280 tour soit de 4/5 tour. Les courbes 1 à 4 donnent l'évolution du rapport rop/ro A" en fonction de i (voir plus haut).

1.4-

Rendements:

1.4.1: Expressions littérales:

Pour l'observateur lié au bâti, la puissance al-gébrique d'entrée (positive) est P.= c •. ro. et la

puis-T bi a eau d e cassement d es rea Isations etu 1ees:

, r

' d''

Type A B

c

D i DB/AC wpfroA wJrop

81 21 21 21 63 3 114 4 Yt 280 120 20 140 3 l/4 4 a3 21 47 21 47 5 -114 -4 ~4 307 150 17 174 5 -1/4 -4 at 24 36 40 20 3/4 4 114 ~1 40 20 40 60 3/4 4 1/4 ~ 18 45 42 21 5/4 -4 -114 ~2 56 35 21 42 5/4 -4 -1/4

sance algébrique de sortie (négative) est P. ,;, c •. ro •. La perte de puissance due exclusivement aux frottements entre dentures est M> =P.+ P. (LlP >0).

Cet observateur "voit" le train fonctionner en train épicycloïdal de rendement ~·

D'où la perte de puissance

~p = Ce.roe(l-) = Cs.ros(l-1/J.t).

En plaçant l'observateur sur le porte-satellites, on exprime la perte de puissance en fonction du rende-ment de base cr d'un engrenage à axes fixes. En remar-quant que la perte de puissance dépend uniquement du mouvement relatif entre dentures, et non de la position de l'observateur, on peut évaluer simplement le rende-ment ~ du train épicycloïdal pour les différentes confi-gurations des trains de PECQUEUR.

CAS (a)(B): si P moteur: rop = ro. et roA = ro. pour l'observateur lié au bâti

d'où M> = c.ro.(l-11~).

Pour l'observateur lié au porte-satellites P, la puissance qu'il voit passer par A est:

pA = C.(ro. -(J) p) = c.ro.(1-rop/roA). Discutons le

signe de PA: C₅û)

5 < Û et 1-(J)p/(J)A = if(i-1) avec toujours i = D.B/A.C

Si i<1: alors PA >0 donc A est vu comme "entrée" pour l'observateur lié à P.

ce· train à axes fixes pour cet observateur com-porte 2 engrènements. On suppose un même rendement pour chaque engrènement.

moteur A A A A p p p p

La perte de puissance est alors :

2

c.ro.(l-rop/roJ(1-cr) = c.ro.(l-11~)

d'où le rendement noté~~= 1/[cr2+(1-crlrop/roA] Réducteur Multiplicateur

rende- cr=0,98 cr=0,98 moteur rende- cr=0,98 cr=0,9

ment ment 8 ~4= 0,970 0,985 p ~2= 0,970 0,985 ~4= 0,970 0,985 p ~= 0,970 0,985 ~4= 0,950 0,975 p ~= 0,951 0,975 ~4= 0,950 0,975 p ~= 0,951 0,975 ~~= 0,894 0,943 A ~3= 0,876 0,939 ~~= 0,894 0,943 A _~3= 0,876 0,939 ~= 0,829 0,908 A ~4= 0,802 0,900 ~= 0,829 0,908 A _~4= 0,802 0,900

(5)

Si i> 1: alors PA < 0 donc A est vu comme "sortie" pour l'observateur lié à P.

2

C5ro5(1-rop/roA)(1-l/cr)

=

C5ro.(l-lf!l)

d'où le rendement noté 112 : 1!2 = 1/[llcr

2

+(1-1/crlroplro A]

CAS (a)(6): si A moteur:roA = ro. et rop = ro5

pour l'observateur lié au bâti d'où ilP = C.ro.(l-1!).

pA

=

C.(ro. - rop)

=

c.ro.(l-rop/roJ. Discutons le signe de PA:

Ce(J)e > 0 et l-rop/Cû1tA

=

if(i-1) avec toujours i = D.B/A.C

Si i<1: alors PA <0 donc A est vu comme "sortie" pour l'observateur lié à P.

Ce train à axes fixes pour cet observateur com-porte 2 engrènements. On suppose un même rendement pour chaque engrènement.

La perte de puissance est alors

c.ro.(l-rop/roA)(l-2

1/cr ) = c.ro.( 1-ll)

d'où le rendement noté 113 = (1/cr 2

)+(1-1/crlror/ro A

Si i>1: alors PA > 0 donc A est vu comme "entrée" pour l'observateur lié à P.

La perte de puissance est alors : C.ro.(l-wp/roA)(l-cr2) = C.ro.(l-1!)

d'où le rendement noté 1!4 = cr 2

+(1-crlrop/wA CAS (o)(y): si P moteur: ror = w. et w A = w.

pour l'observateur lié au bâti d'où ilP = C.ro.(l-1/J.l).

pA

=

C.(ro. - rop)

=

c.ro.(l-rop/wJ. Discutons le signe de PA:

C5W5 < 0 et 1-wp/roA

=

i/(i+ 1)

avec toujours i = D .BI A. C d'où PA <0 . L'obser-vateur lié à P voit toujours le planétaire A comme une "sortie".

La perte de puissance est alors

c.w.(l-wp/wA)(l-2

1/cr )

=

c.w.(l-111!)

on retrouve le rendement noté 112 :

f!z = 11[1/cr2+(1-1/crlrop/wA]

CAS (o)(y): si A moteur: ro A

=

w. et ror

=

w.

pour l'observateur lié au bâti

d'où ilP = C.ro.(l-J.l).

PA= C.(w.- rop)

=

c.w.(l-rop/roJ. Discutons le signe de PA:

Ceroe > 0 et 1-rop/(J)A = if(i+l)

avec toujours i = D .BI A. C. La puissance PA est toujours positive et l'observateur lié à P voit le plané-taire A comme une "entrée".

2

c.ro.(l-wp/roJ(1-cr)

=

c.ro.(l-1!) on retrouve le rendement noté 1!4 : f!4= cr

2

+(1-crlror/ro A

1.4.2: Courbes d'évolution de f! en fonction de rop/ro A suivant

En annexe, on donne (courbes 5 à courbes 8) les réseaux de courbes donnant l'évolution des rendements

11,, J.lz, J.l3, 1!4 en fonction du rapport wp/roA et ceci pour

différentes valeurs du rendement de base cr pour un en-grènement. (0,98 ou 0,99 sont des rendements courants pour des dentures rectifiées et bien lubrifiées).

.4.3: Cas d'un réducteur de vitesse de rap-port 11141:

On se propose de comparer différentes réalisations pos-sibles correspondant aux cas dont on a déjà précisé les nombres de dents et vérifié les conditions de montage au § 1.3. Le sens de rotation de la sortie est indifférent dans cette étude: inversion ou non par rapport à l'en-trée.

1.4.4 :Commentaire des résultats:

Aussi bien en réducteur qu'en multiplicateur de vitesse, on trouve en tête les configurations 8 ety, avec d'excellents rendements, suivies d'assez près par les cascx.3 et ~4.

On peut remarquer que les meilleurs rende-ments (et de loin!. .. ) sont toujours obtenus:

- en réducteur avec le planétaire A moteur. -en multiplicateur avec le porte-satellite moteur.

Les critères supplémentaires : encombrement axial réduit, nombre de pièces minimal, conception simple ne font que privilégier la configuration