Computing Sampling Points on a Singular Real Hypersurface using Lagrange's System
23
0
0
Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Computing Sampling Points on a Singular Real Hypersurface using Lagrange’s System Mohab Safey El Din. N° 5464 Janvier 2005. N 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5464--FR+ENG. Thème SYM. apport de recherche.
(3)
(4)
(5) "!"#$ %'& (#)* +
(6) ,-./#0 + 123* #45 & 6 #7 :8 9<;>=@?BA
(7) =DC5EGFH3I7JKML N)ODPRQTSUWVYX[Z\U^]`_bacPdQeSf_7_c]WQg@hGikjmlWnoSd_ prqshut5SRas_7U`vxw U`v y7zu{o{|h}qca7~`SqcSfOoSRqOoS<* -G}ZGz}^WjSRq7}}G 3Zd{DzuGSd_ ∗.
(8) dR-o}} w+Sa f g@S7zY{|h}i]WDh}QTjz}i^jk Q[X , . . . , X ] hu|~oSR}qsSRSg|h}noD~oSd~eg^] D zuD~uh}q t ∈ Q asOoSO^]^{@Sdqs_cnoqc z}S~oS¡DoSf~g^] hGD_cj~`Sdq¤z{|h}i]^oh}QTjmzui φ ∈ Q[X , . . . , X ] H ⊂C z}D~acOoSQzu{o{ojo φ : C → C ¢ U^nD{o{@hW_bfS−acOotS=jm~`Sf0zu¢$i £ I }SRDSRqz-acSf~gW] hL.grad(f j_ SflWnoj¦¥§~`jQTSRD_cjkhGDzui¨}O@z}_r~`jQTSRD_cjh} 1 z}D~acOoSxj~`Sfzui I + hf i j_ª©RSdqch}¥«~`jQTSRD_cjh}Dz}i ¢ )¬ T−acgrad(φ)i Oojm_ªdz}_cS}}S {Dqch-^jm~`S7S® RjkSdGa$zui}hGqcjkacODQejm$ash^h}im_rasheRh}QT{on`asS¤asOoSxijQejkas_h}6acOoS3RqcjkacjmRz}i@{|h}jWas_/hu φ qsSd_bacqsjm¯acSf~ ash H $OoSd t → 0 ¢ °S{Dqch-GSasODz-ah}qez±}SdoSRqsjODh}jmS h}$z²{@hGjkWa³ qcSf_b{ ¢ z±ikjoSµ´acODSzug|h-}SqsSd_cnoikazu{D{oik]$OoSd j_YasOoS _clWnDz}qcSehu/acOoSTSdnDij~oSdzu2~`jm_5azuDRSeachacOoS ODhG_cSR¶{|h}jWa ³qsSd_c{ asOoS{oqshut5Sf¯acjh}(h}(acOoS φ ODhG_cSRikjoSf´ ¢ N)OoSd6oS3{oqch-^jm~`S3zui}hGqcjkacOoQ_/ach Rh}QT{on`asSz-a7iSdzG_5a$h}DS3{@¢ hGjkWa7jSfz}OhGooSdacSf~ Rh}QT{|h}oSdGarh} $OojmOTgDz}_cSd~eh}TasOoS$jQe{Dqch-GSd~ThGQe{Dn`aszuacjh}Thu|acOoS¤ikjQTj¦a_rhu<asOoS¤qsjkacjmRzui {|h}jWas_3h})z{|h}Hi]^o∩h}QTRjmzui>Qzu{D{ojkD±qcSf_5asqcjm¯asSd~¶ach H ¢ N)OoSh}q_bab¥§Rz}_cSTh}QT{oiS·`jka5]²hu)h}nDqzui}h}¥ qsjkacOoQ_Yj_{|h}i]^oh}QTjmzui*j jk(acSdqcQ_Yhu)zuqsj¦asOoQTSasjh}{|SRqz-asjkhGD_Yjk °ST{oqch-GSjka3jkQT{oqsh-}Sf_ {DqcSdWjh}n@_$_5asqszuacSRGjkSf_gDz}_cSd~Dh}asOoS3nD_cS3hu*jk`¡@oj¦asSd_cjkQz}i+zuqsj¦asOoQTSasj ¢ prQqz}¢ acjmRzuiSR·`{@SdqcjQTSRWas_7Rh}`¥ ¡@qcQ¸asOoSd_cS3zuqsS¤asOoSY¡Dqs_ba$zui}h}qsjkacOoQ_~`Sdz}ikjoe$j¦asOasOojm_/{DqchGgoikSdQ¹QTj¦·`joe{oqszG¯asjdzui<S® jSR@] zu@~ zG_b]^QT{`ashuacjmRz}iki]h}{oacjQTz}i+hGQT{oikSR·`j¦a5] ¢ º±»W¼<½s¾¿ -À
(9) } y$Sdz}i>_bhGikn`asjkhGD_dp
(10) hGik]^ohGQTjz}i
(11) _c]`_5asSRQ_R+U`jkoGnoimzuqsj¦asjkSf_R £ hGQe{DikSR·^jka5]²zu@~²S® RjkSdGa z}ikGh}qsj¦asOoQ_ 1. n. n. t. 1. n. t. 0. n. t. n. ∗. Á¯Ã-ÄÅWÆ ÇfÄsÈkɧÊ-Ë
(12) ÌÎÍÎÏ-ÐfÆ ÈkÑ5Ò-Ó ÔfÍ ÕÉbÑ ÍÎÖM×MتÙ@ÍÎÉ5Ñ ÑMÉrÉ§× Á3ÄÑMÍÎɪÚ<ÛµÑ ÍÎɯÒuÙ@Ñ ÂÜ É5×+ÝÞ ß+Ýáà*âsã^ÝÙ|Ð7Çdà ãoÇdà. Unité de recherche INRIA Rocquencourt. n.
(13) ./245 ¹ .( # ./ ##0 " # & #)
(14) *,-.# + )*# # & 6 7 # # 13
(15) #
(16)
(17) U^hGj¦a f no{|h}i]W}QTS~ozu@_ Q[X , . . . , X ] ~oS~`SRGqg|h}qs3{Dzuq D SRadD{|h}nDq t ∈ Q i O^]^{@Sdqs_cnoqc z}S3~ R¡DojS{Dzuq hGD_bjm~ dqchGD_no{@hGik]^ GQeS H ⊂C ,...,X ] SRa
(18) i zu{o{oijmRz-asjkhG{|h}i]WDh}QTjz}ikS φ : C →f −Ct¢ =U^no0{o¢ª{|hG£ _ch}@_ lWnoSi jm~ dz}i I Sdo}SdD~`q ªφ{D∈z}q Q[X hL.grad(f )− Sf_5a3SdlWnojk¥§~`jkQTSdD_bjh}DSRi¨6~`S ~`jQeSdD_cjkhG SalWnoSTi j~dzui Sf_c_©dSRqshu¥§~`jQeSdD_cjkhGoSRi grad(φ)i U`h}nD_eSf_Rh}D~`jkacjh}@_RrhG h}nDqcojka~`Sd_ezui}hGqcjkacOoQT1Sf_S® dz}Sf_dzuimInoim+zuWhfaeikiSf_ijkQTjkacSf_g|h}qs dSd_e~`Sd_ ¢ {|h}jWas_$RqcjkacjmlWnoSd_$~`S φ qcSf_5asqcSdjkWas S H lGn@zuD~ t → 0 ¢ ¶{oqchGno}SSRD_cnojkacSTlGnDS{|h}noqYno(ODh}jk· R dqcjmlWnoS~ no({@hGjkWa³qsSd_c{ !~ noDSe~`qsh}jkacSµ´$iSq d_cnoikasz-a {Dq f d~oSRWa
(19) _ z}{o{oijlWnoS/lGn@zuD~ φ Sf_5a*iS/Rz}qcq ª~`S/izx~`jm_5azuDRSªSRn@ij~`jSRDoS¢ z}n{|h}jGa*Ooh}jm_cj|³ h}nimz7{oqshu¥ t5Sf¯asjkhG_cnoq7imz ~`qsh}jkacSODh}jm_bjSf´ ¢ h}noqsojkaxzuih}q_)~`Sd_xzui}hGqcjkacOoQTSf_$RzuimnDiz}Ga¤z}nQehGjk@_$no±{|h}jGa {@zuq7hGQT{@hW_cz}GasSYRh}oDS·`S~`S qcSd{@hW_cz}Ga$_cnoq$ikSdzuimnoi+S® RzGS3~`S3ijkQTjkacSd_¤~`S3{@hGjkWa_7qsj¦¥ asjlWnoSf_ #¢ " zuD_ªikSf_r{ojqsSd_ªdz}_d}imzHhGQT∩{oRikSR·`j¦a ¤~`S¤DhG_ªz}ikGh}qsj¦asOoQTSd_*Sf_5a{@hGik]^ohGQejmzuiS$SR D SRTasSRqsQeS ~oSoh}QgoqsS~ h}${ Rqz-acjh}@_7zuqsj¦asOo%Q asjlWnoSf_¤~oz}D_ ±{DqchGno}S3{Dz}qxz}jkiikSdnoq_¤lWnoSiSRnoqYh}QT{oiS·`jka Sf_5a
(20) QTSRjikiSRnoqsS)lGnDS/SdikiS/~oSd_*zui}hGqcjkacOoQTSf_6qsSR{|hG_szuQWa ¢ _cnoq i nD_cz}}S~ nDoS/z}qcjkacOoQ%RacjmlGnDS/j`¡Dojkaf_bjQzuiS ¢ & nDSRimlGnDSd_S·`${ RqsjkQTSdGaz-asjkhGD_hG`¡DqsQTSRWai S® dz}jka ~oS Sd_zui}hGqcjkacOoQTSf_YlWnoj_bhGWaikSf_3{oqsSRQTjkSdqs_ asqsz}j¦azuWaRSd_{oqsh}goiPRQTSf_/SRa$Qejk·ozuW'a imzhGj_)Rh}QT{oiS·`j¦a ¤asO RhGqcjmlWnoSxzG_b]^QT{`ashuacjmlWnoSRQTSdGa)h}{oacjQTz}ikS SRa7{@SdqbhGqcQz}DSf_/{DqszuacjmlGnDSd_ ¢ (¿ f ½ * )
(21) U^hGikn`asjkhGD_q dSRiikSf_R3U^]`_bacPRQTSf_{|h}i]^oh}QTjmzun`·U^jkD}noimzuqsj¦a d_dxRh}QT{oiS·`j¦a }zui}h}¥ qsjkacOoQTSd_)SR® Rz}RSd_ 1. t. n. n. 1. n. t. 0. n. n. n.
(22)
(23)
(24) ! "#$%&')(* %+#& , #.-+0/&%1 , 24356#7 22% 8 )(9 , :%;. <. +* .ª w+Sa g|STz{@hGik]^ohGQTjz}i+j , . . . , X ] hur~`Sd}qsSRSg|h}nDD~`Sd~²gW] D z}D~@h}q t ∈ Q H ⊂ C g|SacODfS3OW]^{|SRq_bnDqb zGS~`S¡DDSdQ[X ~g^] N)ODS²h}qsShuYacOojm_{Dz}{@Sdqj_ach {oqsfh-−^j~`tS±=z}0 ¢ z}ikGh}qsj¦asOoQhGQT{on`acjo zua ikSfz}_ba h}oS{|h}jGajk SdzGO Rh}oDSd¯asSd~h}QT{|h}oSdWa*h} G$j¦asOoh}noa>_cQTh^huacODoSd_s_*z}_s_bnoQT{`asjkhGD_
(25) h} u$ODhG_cSªasOoSRhGqcSRacjmRzui Rh}QT{oiS·`jka5] j_$zG_b]^QT{`ashuacjmRHz}iki] ∩RhG{`acjQzui6zu@~$OohW_bS{oqz}acjmRz}ig@SdODzµ^jkhGnoq)qcHS;?DSdas_acODj_$SR® jSRDR] ¢ (¿ A @.Bo`A @ ¿ C C À À » fu @.D
(26) 6 @ !¿ CB¿ E 6 F » D
(27) ¿ ) » HG £ h}QT{on`asjkD²z-a3ikSfz}_bah}oST{|h}jWajk2SdzGO Rh}oDSd¯asSd~h}QT{|h}oSdWa
(28) h}@z¤qsSdz}iWz}ikGSRgoqzujmª_cSa>~`SR¡DoSd~g^]zx_cjkD}iS/SflGn@z-acjh}j_*zxgDz}_cjmª_cnogoqsh}n`asjkoS ashY_cSRGSRqzuiWzui}h}qsjkacOoQ_ huD;S I|Sf¯acj}SqsSdzui^zui}Sdgoqzujm>}Sdh}QTSasqc]³ _cSRKS J6 L`^do-}`u `-o0 M6No$ODSRqsS/_bacnD~`]W¥ jo_bSdQejk¥§zui}SRgDqsz}j3_cSa_¤jm_YqcSf~`nDSf~ach_5asnD~`]asOoSqsSdz}i
(29) Rh}noWacSdqc{@zuqca¤huª_cjkD}noimzuqxOW]^{|SRq_bnDqb zGSd_´ ¢ O¤huasS²zuim_bh2asODz-a_cnDO z _bnDgoqchGn`acjoS±jm_ nD_cSd~ jP J N¤ach jQT{oqsh-}S{Dzuqcacjmzui ]^ijk@~`qcjmRz}i¤v7i}Sdgoqzujm S" dRh}QT{|hG_cj¦asjkhGhGq$jkQ J < Nash _5asnD~`]_cSRQTjk¥«z}ikGSRgoqzujmx_cSa_$~`S¡@oSd~g^]zT_bjoG£ ikSjoSdlWnDz}ikjka5] ¢ U`jkDRS jkaODzG_{oqsh`~`nDSf~ z}_c]^Qe{oachuasjdzuiik](h}{`asjkQz}i/hGQT{oikSR·`j¦a5]qcSf_bnDi¦a_R
(30) /S h^RnD_h}2acODSqsjkacjmRzui {|h}jWa+QTSasOoh`~ ¢ N)ODj_+QeSRacOoh`~jm_6gDzG_bSf~h}Rh}QT{on`asjko7acOoSqsj¦asjdzuiuih`nD_+huoz${|h}i]WDh}QTjz}iuQzu{o{Djko qsSd_bacqsjm¯acSf~ach H qsSdzGOojkDj¦a_¤SR·WasqcSdQz h}±Sfz}O¶Rh}oDSd¯asSd~²Rh}QT{|h}oSdGaxhu H ∩ R z-azT¡DojkacS ^noQg@Sdqrhu<{|h}jGa_ ¢ N)O^nD_duasOoS${oqsh}goiSRQ huh}QT{onoacjo_szuQT{oijko{|h}jWas_rj H ∩ R jm_>qsSd~`nDRSd~ach _ch}i}S)zY{@hGik]^ohGQTjz}io_b]`_bacSRQ ~`S¡DDjkoYasOoS7qsj¦asjdzui`{|h}jWas_*hu@acOoS7Rh}D_cjm~`SRqsSd~{@hGik]^ohGQTjz}iWQz}{o{ojo ¢ ¬O@z}_$acOoasSYhRRzGh}_bQTSx{o$n`OoasSRSqsSz Hqz-asjkjhG_)D_czuQTi hW{Dh}zuacqO6zu^QTzSRac©RqsSRjkqs©fhuz-¥§ac~`jh}jQT+@SRDzu_cim_cjkhGhDRzuz}iDiki{@SdhG~±ik]^y7ozuhGacQejh}jmDzui<z}Si _c]^R¤_boacSdjµQ¸z}qcjjm_z-{oasSqsh`y$~`SdnD{oqcSfSf~ _bSdzuW@as~z-ash}jkhGo S ³M_bSdS J 2 MW@0 L9Ná´DhGq7}Sdh}QTSasqcjmYqcSf_bhGikn`asjkhG³M_bSdS Jkf`6µ ^+do69 M^|- Ná´/ashSRDRh^~oSacOoS_ch}in`asjkhG_cSa7h} asOojm_$©RSdqch}¥«~`jQTSRD_cjh}Dz}i@{|h}i]^oh}QTjmzui6_c]^_bacSdQ ¢ U`SR}Sdqsz}i6-zuqsjz}Was_$h}>acOojm_¤QTSRacOoh`~±ODzµGSg|SRSR¶{oqch-^jm~`Sd~nD_cjoSdj¦asOoSRqx{oqch}t5Sdacjh}noDacjh}D_x$OoSd jm_rRh}QT{Dz}a*z}D~e_bQTh^huasO³M_bSdKS JÎ9 N´
(31) h}q*$jkacOohGn`aªz}_s_cnoQT{`acjh}D_
(32) h}|hGQT{Dz}acoSf_c_)³ _cSRTS J < ` < A N H ∩R z}DU~ J ^ 9 Nª$OojmO(qsSd~onDSacOoS _bacn@~`]±ach²zhGQT{Dz}aqsSdz}i>zui}SRgDqsz}je_bSRa´xh}q3lWnDzG~`qszuacjmeQTz}{o{ojoG_ ³M_bSdVS JÎuD^}-o < Ná´ ° OoSd jm_*_bQTh^huasO6-asOoS)/hGqs_bab¥§RzG_bSªRh}QT{oiS·`jka5]huDQThW_5a>hu@acOoSf_bS)zui}hGqcjkacODQT_ z}qcSe{|h}i]WDh}QTjz}i*jk¢ D ¢ prHqcSfjm_bSz}Dzui]`_bjm_x_cOoh- asODz-aasOoSg@Sf_5aRh}QT{oiS·`j¦a5]±jm_h}goaszujoSf~¶jU J < 9 N ¢ X²h}qsSRh-}Sdqd|j¶asOoS_bQTh^huasOdz}_cS}S® RjkSdGa3jQT{oikSdQTSRWaszuacjh}D_YqsS+?DSf¯acjoacOojm_3ojmSThGQT{oikSR·`j¦a5]¶z}i¦¥ qsSdzG~`]S·`jm_5a³M_bSdS J <W< Ná´ ¢ ¬z}ikGh}asOoqsj¦jas_Oo{DQzu_${|SRnDq3_cjkDSezuh^²RnDj`_3¡DhGD¶j¦asSdas_cOojkS Q_bzujki*acn@~`z-SRach}jh}qs2QTzu$acOojh}Sd²qcS z}HqcSz}jmik_qsSdozGhu~`a]_c{DQTqch-h^^hujmac~`O Sd¢ ~v¤jX _c]WJ QT o|{`oas<huas}j9 dN
(33) zuigDik]²n`ahG~o{`h acjQohuzua i iSdzG~Yach7SR® jSRWa+jQe{DikSdQeSdWasz-asjkhGD_ ¢ N)OoSªRizG_c_cjmRzuiu_bacqz-asSRG]xhGD_cj_bas_+jk_bacnD~o]Wjo$asOoSrO^]^{@Sdqs_cnoqc z}RS ~oS¡DoSf~g^] ³ $OoSRqsS jm_¤z}j`¡DDj¦asSd_cjkQzuiá´)$OojmO±jm_¤_cQeh^h}acO6|h}QT{onoacSRqcjkacjmRz}i6{@hGjkWa_ h})zQz}{o{ojof±−qcεSf_5=asqcjm0¯asSd~(achasOoεjm_O^]^{@Sdqs_cnoqc z}STg^]¶QTSfzuD_3h})zqz-asjkhGDzui>{@zuqzuQTSasqcj©dzuacjh}¶$jkacO Rh^S® jSRWas_xj±acOoS¡DSdi~±h}ªqz-acjh}@zui6qz}acjh}D_ Q(ε) z}D~²hGQT{on`acSacODSg|h}noD~oSd~²ijQejkas_Yh}>acOoSf_bS RqcjkacjmRz}i {|h}jWas_¤qchGQ acOojm_Y{DzuqzuQTSRacqsjk©fz-acjh} ³M_bSdYS JÎu`5 M9N
(34) hGqY~oSR}SdikhG{oQTSRWas_xgDzG_bSf~±h}±asOoSeohuasjkhG h} SRii¦¥§_cSR{Dz}qszuacjoSdikSdQeSdWas_7z}DZ~ J < 9 N6h}q7~`Sd}SdikhG{oQTSRWas_)gDzG_bSf~hGpªnoj_cSRno·_cSRqsjkSf_/SR·`{DzuD_cjh}D_´ ¢ [r·^{|SRqsjQeSdWas_³M_bSdS J < 9N´$ODzµGS_bODh-$acODzua7acOoSjkWasSRqsQeSf~`jmz-acS~oz-azhur_cnDO²zu²z}{o{oqshGz}Ojm_¤O^noGS Rh}QT{Dz}qcSf~achTasOoS3h}noac{on`a N)Oojm_${Dz}qbasjz}iki] S·`{oimzujD_asOoS z}a7j¦a7jm_7~`jk® noika$achhGg`asz}jkzuS® RjkSdGa jQT{oiSRQTSRWaszuacjh} z}dh}q~`jo¢ (achacOoS²z}g@h-GS{oqsh`Sf_c_Th}xqsSd_ch}in`acjh} ¢ X±hGqcSdh-}SRqf*acODS²~`SRGqcSdSh} ε =. >. 1. 0. n. t. n. 0. 0. 0. 0. 0. n. 0. n. 0. ß ß"Ô\ ]&^Ð&^. n. 0. n. n.
(35) . -+%+( . qsSdlWnojqsSd~ ach ~`Sfzui7$jkacO acODSd_cS²h}QT{onoasz-asjkhGD_jm_ D jk asOoS±h}q_5ac¥«dz}_cSd_$OojO_c{|h}ji_easOoS²gojkab¥ Rh}QT{oiS·`jka5]hGQe{@zuqsSd~ash_bQTh^huasOdz}_cSd_ ¢ v¤z}i¦asSRqsDz-asjkGS_bacqz-asSR}]jm_Y{oqchG{@hW_bSf~²j J+N ¢¬ ahGD_cj_bas_xjk(acODSeqsSdRnoq_bj}Se_5asnD~`]±hujkQgoqsjdz-acSf~ _cjo}noimzuq+ikh`jWh}asOoSªhGoSrODz}D~-zu@~acOoShGQe{Dn`aszuacjh}3huoRqcjkacjmRz}i}{|h}jGa_+h}oz${@hGik]^ohGQTjz}i}Qzu{o{Djko qsSd_bacqsjm¯acSf~ach±asOoSqsSRGnoimzuqih`nD_hu¤zu z}ikGSRgoqzujmT-zuqsjkSRa5]}*h}2asOoSh}acOoSdqODz}D~ ¢ N)ODj_ezu{o{DqchWz}O O@z}_xikSfz}~±ash{oqz}acjmRz}i jQT{oqch-GSRQTSRWa_³ _cSRS J < ` <0< Ná´ ¢ O7SRGSRqcacOoSdikSf_c_d<j¦a_h}QT{oiS·`jka5]j_Yoh}aYSRii¦¥ Rh}Wacqsh}iiSd~ ¢ N)ODS/GhGzuiWhuDacOojm_*{Dzu{|SRq*jm_ achY{oqch-^jm~`S/z}z}ikGh}qsj¦asOoQ $OohG_cS/Rh}QT{oiS·`jka5]3j_*z}_c]^QT{`ach}acjmRzuii]YhG{`acjQzui z}D~ $OohG_cS{oqz}¯asjdzui${|SRqch}qsQzuDRSd_Tqs+S ?DSf¯aacODj_ Rh}QT{oiS·`jka5] zµ}hGj~ojko2hGQT{on`aszuacjh}D_ h-}SRqz} j`¡DDj¦asSd_cjkQzuizuqsj¦asOoQTSasj ¢ X±hGqcS{DqcSfjm_bSdik]G+SzujQ ash¶~`Sd_cj} zu z}ikGh}qsj¦asOoQ $OohW_bS h}q_bab¥§Rz}_cS gDj¦ac¥«Rh}QT{oiS·`j¦a5]j_asOoS_cz}QTSY$ODSR H j_$_cQTh^huacOhGqDhua ¢ ( @ C ¿ C R @ 6 @ ¿ C 0 G noqezu{o{oqshGzGO h}@_bjm_5a_j Rh}QT{on`asjko~`jqcSf¯aci]acOoSg@hGnoD~`Sf~ ijkQTjkas_ ³ $OoSR acSdD~o_7ach ´$hu*acOoSqsj¦asjdzui6{|h}jWas_7h}rz{@hGik]^ohGQTjz}i6Qzu{o{ojoqsSd_bacqsjacSf~achTacODSO^]^{@Sdqb¥ _cnoqc z}RSε~`SR¡DoSd~(g^] 0 f − ε = 0 $j¦asOoh}noa3Rh}QT{on`asjkDz}¶jWacSRqsQTSd~`jmz-asSqz-asjkhGDzui
(36) {Dz}qsz}QeSRacqsjk©fz-asjkhG $jkacO±RhWSR® jSRWas_)j Q(ε) ¢ j}Sd¶z {|h}i]^oh}QTjmzui zu@~¶hGD_cj~`SdqcjoasOoSeQTz}{o{ojo φ : C → C _cSRD~`jo φ ∈ Q[X , . . . , X ] c a h | R } h D c _ m j ` ~ R S $ q G h q c a o O S R qcjkacjmRz}i6ih^RnD_ K(φ, H ) h} φ qsSd_bacqsjacSf~ ashacOoS #7%: # x"6/;∈ C t∈Q hu H φ(x) ¢ ¬ K(φ, H ) jm_$©dSRqshu¥§~`jkQTSdD_bjh}@zui*³h}q$SdQT{`a5]o´)zuD~j¦
(37) acODS3j~`Sfzui I GSRoSdqszuacSd~g^ ]. n. 0. 1. n. n. n. t. t. 0. L.. ∂φ ∂f ∂φ ∂f − , . . . , L. − ∂X1 ∂X1 ∂Xn ∂Xn. ³ $OoSRqsS j_z²oSd µz}qcjmzugDikSµ´j_SdlWnojm~`jQeSdD_cjkhGDzuizuD~ O@z}_~ojkQTSR@_bjh}
(38) hGnoq¡@qs_baqsSd_cnoika³ _cSRS )N ODSRh}qsSRQ L g@Sdikh-¤´+_5az-acSf_6asODz-a
(39) acODS/g|h}no@~`Sd~ikjQTj¦a_ h} K(φ, H ) $ODSR t acSR1@~o_6ash 0 zuqsS/hGWaszujoSf~ jacOoSz}ikGSRgoqzujm7-z}qcjSa5]zG_c_ch`jmz-asSd~asheacOoS3jm~`Sdz}i
(40). t. $ ODjOTjm_>©RSdqch}¥«~`jQTSRD_cjh}Dz}i ¢ °S7{oqsh-^j~oS)z}ikGh}qsj¦asOoQTj/ashWhGi_
(41) ash{|SRqch}qsQ acOojm_ªRh}QT{on`az-asjkhG6}gDzG_bSf~ hG q GgooSRqªgDz}_cSd_>z}D~T}Sdh}QTSasqcjmqcSf_bhGikn`asjkhG ¢ N)ODS7izuabasSRqªz}ikGh}qsj¦asOoQTj$_ch}in`acjh}~`h^Sf_>ohua/jk^}hGikGS asOoS3S·^asqszu¥¨-zuqsjmzugoiS L ¢ O¤huasSacODzuadDjacODSRz}_cS3$OoSdqcS jm_$oh}a¤_bQTh^huasOacOoS_cSa7h}>g@hGnoD~`Sf~ijQejkas_¤hu K(φ, H ) $OoSd H at cSdD~o_)ash 0 _bacqsjaci]hGWaszujD_ K(φ, N)ODSR6//SnD_cSacOojm_TqcSf_bnDi¦aTach Rh}QT{on`HasS) ¢ zuaikSfz}_baehGoS{@hGjkWajk SdzGO Rh}oDSd¯asSd~ h}QT{|h}oSdWaTh} asOoSqcSfzuizui}Sdgoqzujm7jWGSd_bacjGzuacjoa5h-z}qcjmzuWas_/hu acOoS3RqcjkacjmRz}i|{|h}jWa$QeSRacOoh`~{oqsh}{|hG_cSd~jQ J }` < N ³ nD_cjko±lWnDzG~`qszuacjmeQTz}{o{ojoG_´YzuD~ J < A N¤³ nD_cjko±{Dqch}t5Sd¯asjkhG¶nDD¯asjkhGD_s´Y$jkacODh}n`az}W](z}_s_bnoQT{`asjkhG hGasOoS_cQeh^h}acOooSf_c_)h} H ¢ X²h}qsS{DqcSfjm_bSdik]GS±{oqsh-}S2³ _cSRS¶N)ODSRh}qsSRQg@Sdikh-¤´easODz-a nD{ ach z 2%+ %+#, /Q/ /&% huz2{|h}jGa `asOoSzui}Sdgoqsz}jx-zuqsjkSRa5] z}_s_bh`RjzuacSd~ achTasOoS3j~oSdzui. A = (a , . . . , a ) ∈ Q hf i + (I ∩ Q[X1 , . . . , Xn ]). 0. t. 0. 0. 1. n. n. ∂f ∂f − (X1 − a1 ), . . . , L. − (Xn − an )i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] hf i + hL. ∂X1 ∂Xn. ÝÞ
(42) ß6Ýáà.
(43) .
(44)
(45) ! "#$%&')(* %+#& , #.-+0/&%1 , 24356#7 22% 8 )(9 , :%;. jm_©dSRqshu¥§~`jkQTSdD_bjh}@zuiuzu@~xjWacSdqs_cSdas_Sfz}O3hGooSdacSf~YRh}QT{|h}oSdGa6h}^acOoSrqsSdz}i}zui}Sdgoqzujm _cSa H ∩R ¢ v$~D~`j¦asjkhGDzuii]}}j}SR zu z}qcgojkacqzuqs] {|h}jGa (p , . . . , p ) ∈ Q z}D~ nD{ ach z2}SdoSRqsjijkDSdzuq O@zuoGShu7-zuqsjz}goiSd_ ³ jk asOoS_cSdlWnoSdiM
(46) hGq ~`SdohuasSd_acOoS{@hGik]^ohGQejmzui f (A.X) (Q) f $ODSRqsS X jm_acOoS3GSd¯ash}q)hu*jD~`SasSRqsQTjkDzuacSf_sA´`∈h}q GL ^asOoS3jm~`Sdz}i_. i = 1, . . . , n − 2 0. 1. n−1. n. hf A , X1 − p1 , . . . , Xi − pi i + hL.. asOoS3jm~`Sdz}i hf, X. 1. n. n−1. A. ∂f A ∂f A ∂f A − 1, ..., i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] ∂Xi+1 ∂Xi+2 ∂Xn. zu@~asOoS3jm~`Sdz}i
(47). − p1 , . . . , Xn−1 − pn−1 i ∂f A ∂f A ∂f A hf A i + hL. − 1, ..., i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] ∂X1 ∂X2 ∂Xn. }z qcS¶©RSRqshu¥§~`jQTSRD_cjkhGDzuiYzuD~ acOoSnoojh}h}acODSRjqzG_c_ch`jmz-acSf~ zui}Sdgoqsz}j²µz}qcjSasjkSf_jWacSdqs_cSdaSdzGO Rh}oDSd¯asSd~hGQe{|h}DSRWa$hu H ∩ R ³ _cSRSN)ODSRh}qsSRQ < g|SRih-¤´ ¢ N)ODSR6`S3{oqsh-Wjm~`ShGQe{DikSR·^jka5] Sf_5asjkQz-asSd_hGq)acOoS3zui}hGqcjkacODQT_qsSRi]^jkoThGN)OoSdh}qsSRQ ezu@~N)ODSRhu¥ qsSRQ < zu@~asOoS7SdikjQTjkDzuacjh}TasSdOoojmlWnoSd_rhu Jk M6N@jD_c{ojqcSf~g^] Jkf`Dµ ^Dd N|z}D~e$OojmOj_>GSRoSdqsz}ikj©RSf~ j J GA N ¢ N)OoSd](~`h±DhuaqsSdlWnojqcSeasOoS S·^asqsz-zuqsjz}goiS L zu{o{|Sdz}qcjojkasOoSzug|h-}S_baszuacSRQTSdGa_zu@~ z}qcS${|h}i]^oh}QTjmzui@jk GacODSxhGQT{oikSR·`j¦a5] h}6SR-zuinDz-asjkhGThu zuD~ z}jkWasqcjD_cj$GSRhGQeSRacqsj$~oSR}qsSRS $ODjOjm_>g|h}noD~oSd~g^n] D ³$OoSdqcS D jm_>LasOoS¤~`Sd}qsSRS$hu f ´ ¢ °f S¤Rh}QT{DzuqsS){oqcSfjm_bSdik]acOoSYhGQe{DikSR·^jka5]δ h}/g|huasOz}ikGh}qsj¦asOoQ_xz}D~(_cOoh- asOoSTh}oSeqsSRi]Wjoh}N)OoSRhGqcSdQ < jm_Yg@SRabasSRqacO@zu(acOoShGoSqsSRi]^jkD hG(N)OoSdh}qsSRQ ¢ vaYimz}_badSTh}QT{Dz}qcSacODSgojkab¥§hGQT{oikSR·`j¦a5]±h}ªacODSTz}ikGh}qsj¦asOoQ $OojmO(hGD_cj_bas_Yj z}{o{oi]^jkoasOoSqcSf_bnDi¦a_3huT J < A N/z}D~(z}2jk`¡@oj¦asSd_cjkQz}iªzuqsj¦asOoQTSasjT$jkacOacODS h}oSTqsSRi]^jkohG2N)ODSRhu¥ qsSRQ < zuD~T_cOoh- asOoS7imz-acacSRq/_5asqszuacSRG]jm_>g@SRabasSRq ¢ v¤jkQT{oiSRQTSdGaz-asjkhGeh}@asOojm_ªzui}hGqcjkacODQj_ªzuiqcSfz}~`] zµ-z}jkimzugoiSjU J <0< N [>·`{|SRqsjkQTSdGa_ODzµ}S_bOoh-$(j¦aODzG_Yz{oqz}¯asjdzui
(48) g@SdODzµ^jkhGnoqz-aizG_5a3hGQe{@zuqzugoiS asheacOoS_bacqz-asSR}]{D¢ qchG{@hW_bSf~j Jk,N
(49) zuD~_bhGQTSacjQTSd_)jka7j_7g@SRabacSdq ¢ @ C @G`6 @ !¿ C !¿ E 6 F » D* D » G N)OoS±oSR·^a_bSf¯acjh} jm_ ~`SRGhuasSd~ ach2asOoS±{oqshWh}xh}N)OoSdh}qsSRQ _baszuacSf~¶zug|h-}S ¢ U`Sd¯asjkhG < j_~`Sd}h}acSd~±achacOoST~`Sd_cj}¶h}ªzui}hGqcjkacOoQ_YhGQe{Dn`acjo_cz}Qe{Dikjo{|h}jWas_ hG z±qsSdzui/zui}SRgDqsz}jT_cSa~`SR¡DoSf~ g^]z²_cjo}iSSdlWnDzuacjh} zu@~acOoS{oqch^h} _3hu7N)OoSdh}qsSRQ_±z}D~ < ¢ U`Sd¯asjkhG j_e~`SRGhuasSd~2ash¶asOoSRh}QT{oiS·`jka5]2z}Dzui]`_bjm_h}¤h}nDqzui}hGqcjkacODQT_ezu@~2acOoShGQT{Dzuqsj_ch} h} asOoSd_cSqcSf_bnDi¦a_)$j¦asO{DqcSdWjh}n@_)/hGq `_ ¢ R d , ./
(50) ¯ . w+Sa f g|Sz²{@hGik]^ohGQejmzui/jk Q[X , . . . , X ] hu¤~`Sd}qsSRSg|h}noD~oSd~ g^] D ¢ h}q t ∈ R r~`SdohuasS g^] acODS3OW]^{|SRq_bnDqb zGS~`S¡DDSd~g^] H w+Sa ⊂φ C: x ∈ C → φ(x) ∈ C g|Sz{@hGikf]^o−hGtQT=jz}ir0 ¢Qzu{o{ojo ¢ hGq t ∈ R K(φ, H ) ~`SRoh}acSf_acOoS RqcjkacjmRz}i<ikh`n@_)hu φ qcSf_5asqcjm¯asSd~ ach H ¢ N)OoSYh}iikh-$joeqcSf_bnoika7ODzuqz}acSdqcj©RSf_rasOoSg@hGnoD~`Sf~ijkQTjkas_$h} $OoSd t asSRD~o_ash 0 ¢ K(φ, H ) 0. n. n. 1. t. n. n. n. t. t. t. ß ß"Ô\ ]&^Ð&^.
(51) . -+%+( &% %Y 0%&SW%; %;#7 % ;(
(52) #, + % A0 9 ;% 4% ; %+ & 9 %+ & A%+#7 %+ , %+ % & 0% 1
(53) Q %; :%; : #*%Q/& % % W% +#* / #, %;
(54) ( & +A/; % Y % 0 %&. »^¿ » . F 3 %+ L &% % % ( 4 -+4 (. . L.. . . . t. . K(φ, H0 ). 1. . K(φ, Ht ). . . ∂f ∂φ ∂f ∂φ − , . . . , L. − ∂X1 ∂X1 ∂Xn ∂Xn . I. . I ⊂ Q[L, X1 , . . . , Xn ]. 0. . . A%;#7 %; , #76 - w6SRa g|SYacOoSRnoqcGSY~oS¡DoSf~g^] ash zuD~. I0 = hf i + (I ∩ Q[X1 , . . . , Xn ]) ⊂ Q[X1 , . . . , Xn ]. . I0. g|SacODSY{Dqch}t5Sd¯asjkhG_cSRD~ojko y7SRQzuq acO@z-a -zuojm_bODSd_±z-a(Sdz}O g|h}noD~oSd~B¢ ijkQTjka hu $OoSd w+Sa y g|S _cnDO z¶ikjQTj¦a ¢(¬ g|SRih}DG_ach rSz}qcS~`h}oS_bjDRS ¤ h 3 >_bno{D{@hW_bS asOoSR N¢ )O^nD_d g@SdikhGoG_eash2acOoS(_bSRa huoh}`¥«{o¢ qsh}{|SRqsoSd_s_ehu Π qsSd_bacqsjm¯acSf~ach $ODjO jm_Rh}Wasz}jkDSd~2j2acOo"S !<zuqsj_ ^j¦¥§ihG_cnoqsSThu ³M_bSdS Î}^>w+SRQTQz¶²z}D~ < N´ ¢ N)ODj_xjkQT{oijSd_ g@SdikhGoG_¤achacOoS#!<z}qcjm_ ^jk¥«RikhW_bnDqcShu $OojmO¶jm_¤acOoSTzui}Sdgoqsz}jµz}qcjSa5]z}_s_ch^RjzuacSf~ ash hGWaszujD_YasOoSg@hGnoD~`Sf~¶ijQejkas_hu $ODSR t ¢ N)O^nD_d asSRD~D_)ach ¢ hGD_cj~`Sdq z{@hGjkWa j v¤_zug|h-}S}//S±~`jm_bacjo}nojm_cO j acOoS²_cSdlWnoSdi$acODS²Rz}_cSd_e$OoSdqcS Π qs£ Sd_bacqsjm¯acSf~ash jm_){oqsh}{|SRq$z-a ¢ hGqDhua ¢>¬ jm_7ze{@hGjkWa$hu zua)$ODjO qcSf_5asqcjm¯asSd~ach jm_ {DqchG{@Sdqd}acOoSd g@SdikhGoG_rach $ODjO jm_ª_cno{o{|hG_cSd~achg|S¤©dSRqshu¥§~`jQeSdD_cjkhGDzui ¢ U^nD{o{@hW_bSxCoh- g@SdikhGoG_$achasOoS_cSa¤h}
(55) ohG`¥«{oqchG{@SdqcDSd_s_)hu qcSf_5asqcjm¯asSd~ach ¢ qchGQ Îo ¨DacOoS_bSRa7hu>{@hGjkWa_7j z-aY$OojmOacOoS{oqch}t5Sd¯asjkhG qsSd_bacqsjacSd~ash jm_7oh}ax{oqsh}{|SRqxj_xzT¡DojkacSe_bSRaxh}r{@hGjkWas_ ¢ N)OoSd I jm_)©RSdqch}¥«~ojkQTSR@_bjh}Dz}izuD~hGGazujD_acODS3g@hGnoD~`Sf~ijkQTjkas_$h} $OoSd asSRD~o_$ach ¢ » `% $&&' % /&9 ;%# %;#7% H 1 &A ( %4 ;%; -4 4 - K(φ, H ) %; t %; 9 4 :. C ⊂ Cn+1 I Π : Cn+1 → Cn (x1 , . . . , xn , `) (x1 , . . . , xn ) C = Π(C) f y K(φ, Ht ) t → 0 O y K(φ, H0 ) K(φ, H0 ) ⊂ C y ∈ / K(φ, H0 ) grady (f ) = 0 y ZJ C C y C I ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] V(I0 ) ⊂ Cn K(φ, Ht ) 0 y V(I0 ) C y y C ∩ H0 Π y K(φ, H0 ) J ,N y Π C C Π C K(φ, Ht ) t 0. ). 0. , - * ) ,A *+ % . ¿%0 W¿ %:)) #7`%& %)¼ - 3 %+ * & %KW % ; ( %:W%;# & 21 %0%: 04#7%& %T%0 - W% 0#7%& %) - #/5 , & %T0% &;9( %K * #76 - y$SdQTz}q acO@z-a¤asOoS{|h}i]^oh}QTjmzui*_b]`_bacSdQ ~oS¡Dojo dzu±g|Sgojk¥«Ooh}QTh}GSRoj©RSf~ N)OoSd6|acOoS z}oohGnoDSf~Tg@hGnoD~h}asOoSx~`Sd}qsSRS7h} j_zujQTQeSf~`jmz-acShGD_cSdlWnoSR@S7h}J < MW`N)OoSRhGqcSd¢ Q ;N U^jDS )% 0/;
(56) (. %1 ,
(57) #,0 /; (Y/& %+ K(φ, H ) 0 % #*%, , T#*%+ % ;%
(58) -& %; K(φ, &HA0) . 0 & . . I. 1)n−1. D. . H0. . . . (n − 1)(D − 1)n−1. . z}D~. f. . . φ. I0. I. I. deg(I ∩ Q[X1 , . . . , Xn ]) ≤ deg(I). . t. H0. I0 = hf i + (I ∩ Q[X1 , . . . , Xn ]). . . . . . n.D.(D −. `S3zuqsS~oh}oS ¢ ¢. . ÝÞ
(59) ß6Ýáà.
(60)
(61)
(62) ! "#$%&')(* %+#& , #.-+0/&%1 , 24356#7 22% 8 )(9 , :%; M. ) ¿ @ 6FX@ YD ¿ » À » A@ C @ C » *o » 0G £ imz}_s_bjmRz}iqcSf_bnoikas_$z}g@hGn`a q }gooSdq$gDz}_cSd_ ³M_bSd1S Jdo £ O@zu{`asSRq$ N´r_cOoh- asODz-a$hGQe{Dn`acjoTz q }gooSdq/g@z}_cj_/hu I $jkacOqcSf_b{|SdaªashezQTh}ohGQejmzui SRGqcSdSxy$Sd}Sdqs_cSxw+S·`jRh}Gqsz}{oOojm$goih^ W¥«h}q~`SRqsjo3$j¦asO z}D~ SdikjQTjk@z-acjoe{@hGik]W¥ D" h}QTjz}i_ªODzµ^jkD~`Sd}qsSRS7GqcSfz-acSdq>acO@zu 0 jk L {oqsh-Wjm~`Sf_ª[L]z >q }[XgDoSR,q. .gD.z},_cXjm_ G] h} I ∩ Q[X , . . . , X ] ¢ aTjm_Dh-¹SRohGno}O ach hGQe{Dn`acSz q }gDoSRqegDz}_cjm_hGqasOoSj~`Sfzui)}SdoSRqz-asSd~ g^]2asOoS{@hGik]^ohGQejmzui ¬ z}QTjki] G ∪ {f } ¢ ) ¿ @ 6 FX@ ) D
(63) ¿ » À + »
(64) A @ C »^¿ » d @ » ¿ )+A @ ¿ C G N)OoS7zui}hGqcjkacODQhu<}Sdh}QTSasqcjmqcSf_5¥ hGiknoacjh}e{oqch-^jm~`Sd~j JÎ}9 N@~`h^Sd_>Dhuaªzuiih- achRh}QT{on`asS$SRijkQTjDz-asjkhGejm~`Sfzuim_ ¢ O7SRGSRqcacOoSdikSf_c_dujkaªzuiikh-7_ ih`Rz}ikj©dzuacjh}$jkacODh}n`a¤zG~o~`jozuS·^acqzeµz}qcjmzugDikS ¢ y7SRQzuq TacODzua$acOoS3jm~`Sfzui 1. n. 1. I = hL.. n. ∂φ ∂f ∂φ ∂f − , . . . , L. − i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] ∂X1 ∂X1 ∂Xn ∂Xn. R h}Wasz}jk@_TacOoS(j~oSdzui J }SRDSRqz-acSf~ gW] asOoS(_cSa ∆ h}3z}iki (2, 2) Qejo√hGqs_h}3acOoStbz}Rh}gojmzu Qz-asqcjk· zG_c_ch`jmz-asSd~±ash w+Sa g|S z{oqsjkQTSjm~`Sdz}irz}_s_bh`RjzuacSd~¶ach $OojmO2j_ohuazG_c_ch`jmz-acSf~ ash √I z}D~ y g|Jac(f, Sz 2%+φ) %+¢ #, / {@hGPjkWaj2acODSzui}Sdgoqsz}je-zuqsjSa5](zG_c_ch`jmz-asJSd~¶ach P ¢ y$SRQz}q¶acODzuaj¦ asOoSRqsS SR·^jm_bas_ i ∈ {1, . . . , n} _cnDO2acODzua (y) 6= 0 *asOoSR y g|SRih}oW_3ash²acODSnDqcGSz}_s_bh`RjzuacSd~ ash I ∩ Q[X , . . . , X ] $ODjO j_TDhua{@hW_c_cjgoikS ¢ N)O^nD_drash2Rh}QT{on`asS±z(GSRhGQeSRacqsjqcSf_bhGiknoacjh} h} jkaxjm__bno®RjkSdWa¤ach_sz-acnDqszuacS g^] N)ODj_YRz}²g@ST~`hGoSg^] IGjk∩ ^joQ[X z}_,j.o.{o. n`, Xa3ash] asOoS zui}hGqcjkacODQ huV JÎ}9 N>acOoSTJhGikih-$jkD{|h}+i]^·o·h}·QT+jmzuir_c]^¢_bacSdQ huSdlWnDzuacjh}D_zu@~ joSflGn@z-acjh}@_. ∂f ∂Xi. 1. 1. n. ∂f 2 ∂X1. n. ∆,. ∂f ∂Xn. ∂f 2 ∂f 2 +···+ 6= 0. ∂X1 ∂Xn. ¤v zuikacSRqsDzuacj}S_5asqszuacSRG] hGD_cj_bas_ej Rh}QT{on`asjkD2h}q i = 1, . . . , n GSRh}QTSRacqsjqcSf_bhGiknoacjh}D_h}q. N)ODj_$zµGh}jm~o_/acOoS3Gqch-)asOhu>~`Sd}qsSRSYjkD~onDSf~g^]asOoSzug|h-}SYh}DSYgDn`a¤jGasqch`~`n@Sd_)z ∆, Rh}Qgojk@z-achG6=qcjmzu0i@¢ z}achGq 3* °Sxh^RnD_oh- h}acOoShGQT{on`aszuacjh} h} z-a)iSdz}_ba/hGoSY{@hGjkWa)jkSdz}Oh}DoSdacSd~h}QT{|h}oSdWah}6acOoS qsSdz}i z}ikGSRgoqzujm_cSa H ∩ R ¢¬ ²{Dz}qbasjRnoiz}qd|ShGD_cj~`Sdq7asOoSe_cjkacnDzuacjh}²$OoSdqcS H ODzG_x_cjo}noimzuq {|h}jWas_ ¢ noq/_bacqz-asSR}]ThGD_cj_bas_ªjknD_bjoeN)OoSRhGqcSdQ YzuD~TasOoSqsj¦asjdzuiD{|h}jWaQTSRacOoh`~nD_cjoSdj¦asOoSRq ~oj_basz}DSYnoDacjh}D_³ _cSRS3zuim_bh JÎu`+u < N´h}q${oqshut5Sf¯asjkhG noDacjh}D_³ _cSRSzuim_ch J < ` < ^@9Ná´ ¢ A @ C A F » SÀ @ dd C » E C }6 @ !¿ C G jkGSRz {|h}jGa A jk Q iSa φ g@SeacODSQzu{D{ojkD_cSRD~ojko acheasOoS_clWnDz}qcSYhu
(65) acODS3SRnDRikjm~`Sdz}~oj_basz}DShu y ash A. y∈C ∂f ∂Xi. 0. n. 0. n. A. n. φA :. ß ß"Ô\ ]&^Ð&^. Cn → C (x1 , . . . , xn ) → (x1 − a1 )2 + · · · + (xn − an )2.
(66) -+%+( L. . ) . »^¿ » . F ;% #7% % W , #, /; +% 2%;#7 / #, %;
(67) ( 9 & ;6/; % % 0%& . & + ;%+. A. -. Cn. & / -+#. A ∈ Qn \ A. ∂f ∂f hf i + hL. − (X1 − a1 ), . . . , L. − (Xn − an )i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] ∂X1 ∂Xn. . , . . . . %. . %+#7% T4 % 9#, ; % 6%;#7 %+ & 5 %+#& ;%&/+
(68) K%&0/ /& ! %&/; :% /& %; % #7%&SL 2%;#7 / ;%; n. H0 ∩ R. N)ODSx{oqsh^hu+jm_gDz}_cSd~h}g@h}acOiSRQTQz-azg|SRih- ¢ N)OoSY¡Dq_5a)h}oSxj_){Dqch-GSd~Tj JÎu9N6z}D~ SdD_bnDqcSf_ªasODz-a Rh}QT{on`asjkD²acODSg|h}noD~oSd~ ijkQTjkas_ehu$asOoSRqcjkacjmRz}iª{|h}jWas_hu$acODSSRn@ij~`Sfzu ~oj_basz}DSnoD¯asjkhG ach z²{@hGjkWa A qsSd_bacqsjacSd~ash H $OoSd t acSdD~o_ach 0 z}ikih-7_3ash²h}goaszuj zuaiSdz}_bahGoS{|h}jWaj SdzGO Rh}oDSd¯asSd~hGQe{|h}DSRWa$hu H ∩ R ¢ /»
(69) 35%; A &%Y4 ! K - Q φ &% % ,+ #7%Y - % %; /; 0%& , /&%Y : t. n. 0. 0/ Z/& ! %&%+/; :% :/&%; ) : %; . . A K(φA , Ht ). . t. 0. . n. H0. . /& ! : A %&9 , % / & W% 4 -. N)ODSxhGikih-$joiSRQTQzT_bODh-7_acODzua)nD{ashzGSRoSdqcjmYOoh}jmShu A acOoS3zG_c_cnoQT{`acjh}@_)hu
(70) N)ODSRh}qsSRQ z}qcS_sz-acjm_b¡DSd~zuD~asOoSRSz}qcS3~`hGoS ¢ /» %;#7% % )W , YS#, /+ ;% Z , + +%; A ⊂ Q & / S-+# A = (a , . . . , a ) ∈ n. Q \A. % 0%&. #76 -. . IA.
(71). L.. . 1. ∂f ∂f − (X1 − a1 ), . . . , L. − (Xn − an ) ∂X1 ∂Xn. % ; %+ & 9 %+ , . n. 2%+ %+#7 :% + (. 1. . . K(φA , H0 ). . . 6%;#7 %+ & . qchGQ U`z}qs~ _acODSRh}qsSRQ^asOoS_bSRa7hu*qsj¦asjdzui-zuinoSd_)h} asOoS3Qzu{o{Djko. ψ:. n. Cn × C → Cn ∂f ∂f (x = (x1 , . . . , xn ), `) → `. ∂X (x) − x1 , . . . , `. ∂X (x) − xn 1 n. jm_rz{oqsh}{|SRq !zuqsj_^j¦¥§ihG_cSd~_bnog@_bSRa A h} C ¢ ¬ a/j_*asOoSRSdoh}nD}OeachOoh^hW_bS A = (a , . . . , a ) ∈ Q hGn`as_cjm~`S A z}D~qcSdQTz}q acODzuaasOojm_$jkQT{oijkSf_7z-a7z}W]{@hGjkWa (x, `) ∈ C × C n. 1. n. n. n. rank(Jac(x,`) (L.. ∂f ∂f − (X1 − a1 ), . . . , L. − (Xn − an ))) = n ∂X1 ∂Xn. ashT{oqch-GS¤asODz-a I jm_$SdlWnojk¥«~ojkQTSR@_bjh}Dz}izuD~ODzG_$~`jkQTSdD_bjh} 1 ¢ pªqch-^joeacODzua K(φ , H ) jm_$©RSdqch}¥«~`jQTSRD_cjh}Dz}iDhGq A OohG_cSRh}n`a_bjm~`Sz !<z}qcjm_Wjk¥§ihG_cSd~ _cnogD_cSa7h} jm_$~`h}oSg^] asOoS_szuQTSzµ] Rh}D_cj~oSRqsjkoacODS3qcSf_5asqcjm¯asjkhGhu ψ acheasOoS3qcSd}noimzuq)ih`nD_)h} H ¢ C qsh}Q N)OoSdh}qsSRQ[^hGoSedzu~`Sd~`n@STzu(z}ikGh}qsj¦asOoQ h}QT{onoacjozuaYiSdzG_5ah}DS{|h}jWaYj¶Sfz}O(Rh}`¥ DSd¯asSd~±Rh}QT{@hGoSRWa¤h} H ∩ R nD_bjoSdj¦asOoSRq q GgooSRq¤gDz}_cSd_$hGq7}Sdh}QTSasqcjmqsSd_ch}in`acjh}D_ ¢ N)ODj_¤j_ A. A. 0. n. 0. 0. n. ÝÞ
(72) ß6Ýáà.
(73) .
(74)
(75) ! "#$%&')(* %+#& , #.-+0/&%1 , 24356#7 22% 8 )(9 , :%;. g@z}_cSd~h}±hGQT{on`acjoasOoSijkQTjkas_¤hu*acOoSqsj¦asjdzui6{|h}jWas_$h} φ qcSf_5asqcjm¯asSd~ach H $OoSd t asSRD~D_$ach 0¢ hGQT{DzuqsSd~eashacODSxzui}hGqcjkacODQ {oqsh}{|hG_cSd~easYh JÎu9 N«^h}noqhGGasqcjgon`asjkhG zuiikh-7_rachezµ}h}jm~hGQT{on`aszuacjh}D_ h-£ GSRq$zuj`¡DojkacSf_bjQzui+z}qcjkacOoQTSRacjm ¢*¬ ±_bSf¯acjh}D`S3{oqsSdRj_cSRi] hGQe{@zuqsSxg|huasO_bacqz-asSRGjkSf_ ¢ ¬zG~ozuacOD{oacS$joo3S·^aca>OD{DS¤zuqzuh}Gq qsz}hu{o O6J µ< A N|S)ac~ohSdh}~`nonDqªRS${onozueqs{@huhWac_bODS SRq>zu@i_5}ashGSdqcz}jk~TacOoh}QB6lGasn@h3z}~`h}qQTz-as{ojno$acQS7z}_s{ozuQT{oj{ooiGjko_d}Y{|S¤h}jnDG_caS7_*SRjk·`RHikn@_b∩R j}Sdik] {Dqch}t5Sd¯asjkhG no@¯acjh}@_Ro$ODjO±zuqsSYikjoSdz}q ¢ ¢
(76) ¬ A @ C D
(77) ¿ f» uA @ ¿ CHE C uA @ ¿ C W G jkGSR±zeQTzuacqsj¦· jk (C) oS3~`SRDhuacS3g^] f asOoS3{@hGik]W¥ Dh}QTjz}i f (A.X) zu@~gW] H ⊂ C asOoSO^]^{|SRq_bnoqc z}RAS~`S¡@GL oSd~±g^] f − t = 0 ³h}q t ∈ Q´ ¢ °S Rh}D_cjm~`SRq$Rz}oh}Djdzui{oqshut5Sf¯acjh}@_. A. t. 0. A. n. n. A t. Πi :. A. Cn → Ci (x1 , . . . , xn ) → (x1 , . . . , xi ). j}Sd zu zuqsgoj¦asqsz}qc]{|h}jGa (p , . . . , p ´g@SasOoS3j~oSdzui. i = 1, . . . , n − 2. 1. . A In−1. hL.. »^¿ ». n−1 ). j. Qn−1. zu@~ z²Qz-asqcjk·. A ∈ GLn (Q). >ikSRa. ∂f A ∂f A ∂f A − 1, ,..., , X1 − p1 , . . . , Xi − pi i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] ∂Xi+1 ∂Xi+2 ∂Xn. g|SacOoS3jm~`Sfzui hX. n. z}D~. g@SasOoS3j~oSdzui. − p 1 , . . . , Xn − p n i I0A ∂f A ∂f A ∂f A hL. − 1, ,..., i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] ∂X1 ∂X2 ∂Xn. 1. ) . IiA. ³h}q. . . F 3 %+ (p1, . . . , pn−1) &% # ; #7#,(V - Qn−1 %;#7% % W &
(78) K S#, /; 9 ;% , + ;%+ , / -+# ) % -Y % W% ;#7 / #, %; %, A ∈ GLn (Q) \ A & +A/; A % YGL % n (C) W%& A + # A%+#* %; , ! :%;#& ;%*/;
(79) A %&W/ Z/* %*/; % /& %;hf i-T+ I% i #7%& Wi % =;#70, /1. . ;.%;, n −A1 n. . . H0 ∩ R. N)ODSY{Dqch^hu
(80) hu
(81) acOojm_$qsSd_cnoika)jm_)gDzG_bSf~hGasOoSh}iih-$jkoeiSRQTQz-asz ¢ /» 35%; C &% /& ! %&/+ % X/& %; - H Q ,AW +%. . %; %;# +- # Q# + #7#,(Y#7
(82) %; ;% &/ ! : & 0% 1 p 1- ∈ Q. . # . *. /; 9 ;% %; 1 (C) 0 % (* %+# % Π0 %+#& ;%&/; ) % % ;( X1 − p1 = 0 %; %+ 9 T: . C K(Π1 , Ht ). . t. . 0. )N ODSY{Dqch^hu h}iikh-7_asOoS3h}DSYh}*w+SRQTQzT³M_bSdS3zuim_bh JÎu9N´ ¢ #76 - U^jDS jm_/RikhW_bSf~Wj¦+jkas_/g|h}noD~Dzuqs]jm_ªSdQT{`a5]eh}q)zu^]qz-asjkhGDzui jkWacSdqs_cSdas_ asOoS3O^]^{@Sdqc{oimzuDΠSY~`(C) SR¡DoSf~g^] X − p = 0 ¢ U^no{D{@hW_bS3oh- acOoSqsh}WasjkSdqh} Π p(C)∈ jQ_)DChua7SRQT{`a5] ¢ ODhWhW_bS rhGD_cj~`Sdq acODSO^]^{@Sdqc{oimzuDS~`S¡@oSd~2g^] zu@~ as£ OoS _cSa3hup)∈{@hGRjkWa∈/_jkΠ C(C)QejojQTjk©djkoHasOoS ~`jm_5azuDRSeqchGQ C ash H ¢ w6SXa r −>p0=g|S 0 _cnDO¶asMODz-a3⊂asOoCS _cSa h}3{@hGjkWas_ ~`h^Sd_ ohuaQTSdSa ∩ R ) \ C ¢ " SRDhuacjo ∈ R | dist(x, M ≤z} r}j`¡DDj¦asSd_cjkQzui¨ªqsSRQ(H g^] T = {x ∈T R= {x| dist(x, } z D ~ ^ g ] z}q 2asODz-aTacODS_cSah}x{|h}jGa_ M} ε 1. 1. 1. 1. ß ß"Ô\ ]&^Ð&^. n. 1. 1. n. 0. 1. 0. n.
(83) f. -+%+( . jm_/jk`¡@oj¦asSd_cjkQz}iki]ihG_cS zuD~z}qcSxohua)z-aªQTjojkQz}i<~oj_basz}DS$ash N)O^nD_ asOoSYQejojQzui6~`jm_5azuDRS¤qsh}Q (H ∪ H ) ∩HT∩acTh H jm_ohua)h}goaszujoSf~ h} T ¢ N)O^nD_jka$j_Hh}go¢ aszujoSf~ zua7zeRqcjkacjmRz}i{@hGjkWa7h}+acODS3{oqch}t5Sdacjh} Π qsSd_bacqsjacSd~ach H ∪ H ¢ Rx_bjoTacODSacqzuD_bSRq){oqsjk@j{oikS z}D~qcSdQTz}q ^joacOoSz}g@h-GSxqsSdzG_bhGoojojm_)-zuij~hGq7zu^] r _cQzuiiSRohGno}OSR@~o_)acODS3{oqch^h} ¢ N)ODSh}iih-$jkoikSdQeQz}SRDSRqzuijk©dSd_)asOoSz}g@h-GSh}oS ¢ j}Sd²zu¶z}qcgojkacqzuqs]{|h}jWa (p , . . . , p ) ∈ oh}q ~`SRDhuacS3g^] H ⊂ C acOoS3jWacSRq_cSd¯asjkhGh} asOoSO^]^{@Sdqc{Diz}oSd_$~`SR¡DoSf~ Q . . . , n − 1} g^] X − p i =∈ {1, · · · = X − p = 0¢ /» 35%; C &% /& %&/; :% )/& %; S - H ∩R !AW +%5-+# i ∈ {1, . . . , n−1} % (Hε ∪ H−ε ) ∩ T 0. 0. −ε. ε. 0. 0. 0. 1. −ε. ε. 1. n−1. 1. 1. i. n−1. n. i. i. . . . # %;#7# %V% )W , #76 - U`no{o{|hG_cS/hGqrzuii N)OoSd ODzG_>z¤ohG`¥«SRQT{`a5]jWacSRq_cSd¯asjkhG $jkacO $OojmO jm_z¡DojkacS_bSRah}6{@hGjkWa_/Rh}Wasz}jko¢ joacOoSYg@hGnoD~`Sf~ ijkQTjkas_hu. #7;%&/;
(84) K/+"9 ;% 4 -+#T !(1/& %&/+ % 10/& %; Π i (C) /; 9 ;% /& 4 %; :%; %+ S%+ ;% # & / C /& *K(Π W% 1 , H 4t ) - t. C0. (H0 ∩ Hi ) ∩ Rn Πi+1 (C 0 ) . i ∈ {1, . . . , n− Ht ∩ Hn−1. 0 K(Πi+1 , Ht ∩ Hi ). C ∩ Hi. 2}. n. H ∩H ¢ ¤h-3-_bno{D{@hW_bS/acOoSdqcS/S·`jm_5a_ i ∈ {1, . . . , n−1} _bnDOacODzua Π (C) 6= R zuD~h}@_bjm~`SRq+acOoSQTjkDjkQnoQ h}qx$OojmO y$SdQTz}qacO@z-a i £ h}D_cjm~`SRq¤z|ach}ODDSoSd{oqsachuSdt5~¶Sf¯ash}jkhGQT²{|h}h} oSdWa ChG h} C ∩ H ¢ ΠU^jD(C) RS C6= ⊂R C¢ zu@~ Π (C) 6=CR∩ $HOojkiS 6=Π ∅ ¢Y(C) =R C asOoS X ¥§z-·`j_)jm_)oh}a R ¢ zuD~ iSa g|SacOoS¶dzuohGojmRzui qsh}Q oh- hG6 jm__cSRSR zG_z _bSdQejk¥§zui}SRgDqsz}j_bSRahu {D qch}t5Sd¯asjkhG π C: C → C _bSdD~`jo (x , . . . , x ) Rash x ¢ X±hGqcπSdh-}SRqfªg^] z}_s_bnDQe{oacjh}6 j_RikhW_bSf~ ¢¬ aj_oh- _cn`® jSRWaash²zu{o{Dik]2w6SdQeQz < z}D~ J < MW*w6SRQTQz2d Nrach C zu@~ π (C ) c _ SRSdzG_$zO^]^{|SRq_bnoqc z}RSxh} C ¢ H ∩H /» 35%; V ⊂ C &% P 2%;#7 / 9#, %+ ( - %; , d Sing(V) *%
(85) , 20 # i ∈ {1, . . . , n−1} Πi (C) = Ri. H0 ∩ Hn−1. O. C. t. i. i. i. i. 0. i−1. 0. i. n−1. i. i. 0. i−1. i−1. i+1. 0. i+1. i+1. n−i. n−i. i+1. n. i+1. i+1. 0. 0. 0. n−i. i. . . . . %#7;%*/; #7%+ & #, /; :% % S#, /; 9 , #7% i =*% 1, #7.*. .%+,# dQ35%; &% Q/& ! Π%&i/+ % Z/& %; # i = K(Πi+1 , V) \%; Sing(V) C V ∩ Rn &% ! %- !
(86) %;# %+ %+ %;# &%+" 2 1, . . . , n−1%+ ;% x &%; Π (C) x Πi (K(Πi+1 , V)\ %;#7i% ;(Y/& 9%; "6/; Z. ,A0 9 ;%4-+#. Sing(V)). x. ,. n. Πi (Sing(V)). . K(Πd+1 , V) = V. °S¤zG~ozu{`a>asOoS7{oqsh^hu<hu J < ^WprqchG{@hW_bjkacjh} 4N@$OojO{Dqch-^jm~`Sd_>z3_cjkQTjiz}qrqsSd_cnoi¦arjTacODS¤_bQTh^huasORz}_cS ¢ #76 - w+SaenD_~`SdohuasSTacOojm_{oqchG{@Sdqba5](g^] °S {oqsh-}STjkag^]~oSdqsSdzG_bjojD~`nDacjh} h} i = Q ¢ k j q 5 _ f a < / S o { c q h G S + w S a | g e S k j ¶ acOoSqchGWacjSRq¤h} ]zG_c_cnoQT{`asjkhG6|acOoS d, . . . , 1 ¢ qsSd_bacqsjm¯acjh}±h} Π ach V ∩ RQ jm¢ _x{oqchG{@xSdqd∈|_bRh x jm_¤j±asOoSjQzuGS Π (C)Π ¢(C)N)O^¢ nD _dDqsh}Q"asOoSjQT{oikjmjka nDD¯asjkhG±acOoSdh}qsSRQ|SRjkacOoSdq7acODSRqsSS·`jm_5a_¤z RqcjkacjmRz}i+{|h}jWa y ∈ C h} Π qcSf_5asqcjm¯asSd~ash V _cnDO±asODz-a hGq)acOoSdqcSS·`jm_5a_$zT_bjo}nDiz}q{|h}jWa _cnDOasODz-a N)Oojm_){oqsh-}Sd_ Q ¢ π (y) = x °S3oh- z}_s_bnoQTS Q Dz}D~{Dqch-GS Q ¢ w+Sa$yasOWn@_ x ∈ R Πg@S3(y)jas=OoSx¢ qsh}WacjSRq$h} Π (C) w+Sa ϕ g@S$asOoS${oqshut5Sf¯acjh} ϕ : R → R acO@z-aªQzu{@_ (x , . . . , x ) ach (x , . . . , x ) h}q ⊂r >R 0¢ }/S ~oSRoh}acS7g^] B ⊂ R asOoSxRikhW_bSf~TgDzuii@RSRWacSdqcSf~z-a x hu6qz}~ojknD_ r ^z}D~Tg^] C ⊂ R asOoS¤{oqsSRjQzuGS o$OojmOj_$zT]^ijk@~`SRq ¢ ϕ (B ) i. d. d. d. n. d. d. d. d. d. i+1. i+1. r. −1. i. d. i. i. i. 1. i. i+1. 1. r. i. i i+1. r. ÝÞ
(87) ß6Ýáà.
(88) G.
(89)
(90) ! "#$%&')(* %+#& , #.-+0/&%1 , 24356#7 22% 8 )(9 , :%;. ] ~`SR¡Dojkacjh}6oh}q r > 0 Π (B ) QTSRSa_ C o_bh C QTSRSa_ Π (C) ¢ acOoSh}acOoSdqO@zuD~o_cjDS jm_3j¶asOoSqsh}WacjSRqh} +asOoSRqsSTS·`jm_5a_3z{@hGjkWa3jk acO@z-ajm_ohua
(91) _chacOoSdqcSTSR·^jm_bas_ x z{|h}jGa3j C acODzua3j_oΠh}aY(C)j Π (C) ¢ °(S~`Sf~`nDSeasODz-Bah}q r > 0 C ΠQT(C) SRSRas_xacODSqsh}WasjkSdqYh} Π (C) ¢ _cnDOTacO@z-a Π (y ) ∈ ]ejk@v¤~`{onD{o¯asi]WjkhGjo O^]^{@
(92) h}/acOoS Sf~o_bjmSd_R~`}nDacOoRSSdqcacS¤O@Sz-·`a j_bas_ y ∈ (K(Π U`jkD, V) ∪ Sing(V)) ∩hGC R S c a D O j 3 _ D O } h m i o ~ 3 _ q u z ii r > 0 x jm_j2acOoS ϕ Π (y ) ∈ B ¢ C ¢ RikhW_bnDqcSh} Π (K(Π ] G z c _ c _ o n T Q ` { c a j } h + + s a o O. S s q d S b _ c a qsjacjh}2hu ash±acOoS Π (Sing(V) ¢ !zujmqs_)j_j^j¦¥§ihG_cnoqsSxh} K(Π, V) ,∩V)C)\ ∪Sing(V) j_¤{oqsh}{|SRqfD_bhjkas_¤jkQz}}Sg^] Π j_xihG_cSd~ ¢ N)O^ΠnD_7Sdj¦asOoSRq h}q)jka7g@SdikhGoG_ash Π (Sing(V)) ¢ x Π (K(Π , V) \ Sing(V) ∩ C) ⊂ Π (C) °SYj~`SdWacjk]zijoSdz}qODz}o}Sxhu+-z}qcjmzugoiSd_ªachejkas_)z}_s_bh`RjzuacSd~ QTzuacqsj¦· A ∈ GL (Q) z}D~^}j}Sdzu z}ikGSRgoqzujm)-zuqsjkSRa5] V ⊂ C Sx~`SdohuasS¤g^] V asOoSxz}ikGSRgoqzujm)-zuqsjkSRa5]hGg`asz}jkDSd~ zuáacSRq/acODSxz}acjh} h} acOoS_cSdlWnoSdiM Sing(V) ~`SRoh}acSf_acOoS_cjkD}noimzuq)ih^RnD_)hu V ¢ A ¢>¬ /» 35%; V ⊂ C *% 2% +#7 / 9#, %+ ( & %;#7% % )W , S#, /; 9 ;% Z , , ;%; A . −1 i. r. r. i+1. i. r. r. i. i+1. r. i+1. r. i. r. i. i+1. i+1. r. i+1. i. i. i+1. i. r. r. i. i+1. i. i. n. n. . A. 0 9%;. n. , / Z -4 (. . !( /& ! %&/; :% /& %; . GL A ∈ GL n (C) 1/;n (Q) +% \ A i ∈ {1, . . . , n − 1} Πi (C A ). CA. -. VA. -+#. #76 - N)ODS{oqsh^hu)j_~`h}oSgW](jk@~`nD¯asjkhG h}asOoS~`jQTSRD_cjh} h} ODzG_~`jQeSdD_cjkhG asOoShGDinD_cjkhG(jm_h}g^^jkhGnD_ ¢ O¤h-3+_bnD{o{@hW_bSeasOoSqcSf_bnDi¦aachg|STacqsdnoSeh}Vq¢z}W¬ ]²Vz}ikGSRgoqzujmµz}qcjSa5]±h}0 ~ojkQTSR@_bjh} d − 1 z}D~ikSRa V ⊂ C g|Szuzui}Sdgoqsz}j¤-zuqsjkSRa5] hu>~`jQeSdD_cjkhG d ¢ qsh}Q J < ^
(93) N)OoSRhGqcSdQ + N«}j}Sdz}W]±SflWnoj¦¥§~`jQTSRD_cjkhGDzui>z}ikGSRgoqzujm-zuqsjSa5] C hu)~`jQeSdD_cjkhG d oasOoSRqsSSR·^jm_bas_7z !<z}qcjm_ Wjk¥§ihG_cSd~z}ikGSRgoqzujm_bnDgD_bSRa A _bnDOasODz-a7hGq¤zu^] AV ∈⊂GL zu@~ (Q) \ A s a o O ¤ S D { c q } h 5 t d S ¯ s a k j G h D _ c q f S 5 _ s a c q m j ¯ s a d S e ~ c a h c a o O S 0 < ! u z s q j _ ^jDihG_cnoqsS7hu i ∈ {1, . . . , d} jm_${oqsh}{|SRq ¢ qchGQ w6SdQTQTz o`h}qΠi = 1, . . . , d − 1 `jk x g@SdikhGoG_ashTacOoSK(Π qsh}WasjkSdq$,huV Π)(C\ Sing(V `asOoSR ) ) Sdj¦asOoSRq g@SdikhGoG_>ach K(Π , V ) \ Sing(V ) hGq x g|SRih}oW_ Sing(V ) $OojOTODzG_r~`jQTSRD_cjkhGTikSf_c_ asODzu dx¢ N)O^nD_d`h}DSRzuzu{D{oik] acOoSjD~`n@¯acjh}O^]^{@h}acOoSf_bjm_)h}acODS_bjoGnoiz}q)ikh`n@_)hu V zuD~hGDinD~`SasODz-a asOoSRqsS3S·`jm_5a_$z !<zuqsjm_ ^jk¥«RikhW_bSf~ _bnDgD_bSRa7hu GL (C) _bnDOacO@z-a7hGq7zu^] A ∈ GL zuD~h}q (Q)zuqs\SAihG_cSd~ c a o O S k j Q u z G d S $ _ } h * c a o O S R } h o D d S ¯ s a d S ± ~ R } h T Q @ { G h o R S W a $ _ u h ^ g ] ¢¬ a i = 1, . . . , n − 1 jm_)oh- _bn`® RjkSdGa$ashOoh^hG_cS A _cnDOacODzua A ∈/ A ∪ A achTSRD~asOoSing(V) S3{oqshWh} ¢ Π n. n. 0. i. 0. n A. i+1. A. i. A. i+1. A. A. A. 0. n. A0. 0. n. i. 0. / , » + ;%+ - 35%; , / Y -+&% # # + #7#,(1 ! V - %K 0%& %+ -+#*%Y# % )0 ,
(94) 4 S#, /; 9 ;% % %; , % W%& 9% %; , -+# #76 - N)OoS zG¯a$acO@z-a j_)©dSRqshu¥§~`jQeSdD_cjkhGDzui<jm_)h}g^^jkhGnD_ ¢ j}Sd |h}q ~oSRoh}acSd_7acOoS{@hGik]^ohGQTjz}i $OoSdqcS3asOoS-z}qcjmzugoiSd_. . . . A. . . (p1 , . . . , pn−1 ) Qn−1 GLn (C) A ∈ GLn (Q) \ A IiA A A 1 hf , X1 −p1 , . . . , Xi −pi i+Ii A In−1 i = 1, . . . , n − 2 fi p1 , . . . , pi. zuqsSxjD_basz}Djmz-asSd~ach. (p1 , . . . , pn−1 ) X1 , . . . , X j ψ:. Cn × C. ¢/£ h}D_cj~oSRqacOoS3Qz}{o{ojo →. (x = (x1 , . . . , xn ), `) →. ß ß"Ô\ ]&^Ð&^. . i = 0, . . . , n − 1 0 i = 0, . . . , n. f. Cn ∂f ∂f (x), . . . , `. (x) `. ∂X ∂Xn 1.
(95) µ. -+%+( . z}D~acOoS3Qzu{D{ojkDG_3³áhGq. i = 1, . . . , n − 2. ´. Cn−i × C. ψi :. →. (x = (xi+1 , . . . , xn ), `) →. Cn−i . ∂fi ∂fi `. ∂X (x), . . . , `. ∂X (x) i+1 n. . qsh}Q¹U`z}qs~ _ªacOoSdh}qsSRQ}hGq asOoSRqsSYS·`j_ba !<zuqsj_^j¦¥§ihG_cSd~T_cnogD_cSa_ jk sa ODz-a$hGq7zu^]}Sf¯ash}q (a , .i.=. , 0,a .). ∈. , nQ− 2 \ A acODS3j~`SfzuiGSRoSdqszuacSd~g^] A. Cn−i. i. i+1. n. . z}D~acOoS3jm~`Sdz}i_ . n−i. i. ∂f ∂f L. − a1 , . . . , L. − an ∂X1 ∂Xn. L.. _bn@O. . ∂fi ∂fi − ai+1 , . . . , L. − an ∂Xi+1 ∂Xn. . z}qcSSflWnoj~ojkQTSR@_bjh}Dz}i/z}D~2ODzµ}S ~ojkQTSR@_bjh} h}D_cjm~`SRqsjkDacOoS_cz}QeSQTz}{o{ojoG_qcSf_5asqcjm¯asSd~ach asOoS3qsSR}nDiz}q/ih`nD_$h} H z}ikih-7_/ach{oqsh-}SYg^]1ac¢(OoS£ _szuQTS)zµ]TacODzua$acOoS3jm~`Sdz}i
(96). 0. ∂f ∂f − a1 , . . . , L. − an i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] hf i + hL. ∂X1 ∂Xn. z}D~acOoS3jm~`Sdz}i_. ∂fi ∂fi hfi i + hL. − ai+1 , . . . , L. − an i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] ∂Xi+1 ∂Xn. O@zµ}S~`jkQTSdD_bjh} 0 ³áhGq i = 0, . . . , n − 2´ ¢ ¬ a>jm _*oh- _cn`® jSRWa*ach{|SRqch}qsQz¤ ijoSdz}q*O@zuoGS/ash}hT@-aczuOoqsSjz}dgozuioSdhG_ oAjmRzu_bSdiDg@~`z}j_cojY_asach OoS)SR}DSf~¯asash}OoqS_ {o(aqsh^hu, .>.zu.D, ~a ac)h . . . (0, . . . , 0, a , . . . , a ) . . . (0, . . . , 0, a ) qsSRQz}q ThGq i = 1, . . . , n − 2 asODz-a$jk*acOoS3jm~`Sdz}i_ 1. i+1. n. n. n. . ∂fi ∂fi hL. − ai+1 , . . . , L. − an i ∩ Q[X1 , . . . , Xn ] ∂Xi+1 ∂Xn ∂fi ∂fi − a , . . . , L. − a i ∩ Q[X , . . . , X ] hfi i + hL. ∂X i+1 n 1 n ∂Xn i+1. . ³ qcSf_b{ ¢ ´*zuqsS)SdlWnojm~`jkQTSdD_bjh}@zuiozu@~ O@zµ}S)~`jkQTSdD_bjh} 1 ³ qsSd_c{ ¢ 0´asOoSReacODS)_szuQTS$hGDinD_cjkhGOohGi~D_+hGq*acOoS)jm~`Sdz}i_ I ³qsSd_c{ ¢ hf , X − ´ p ,...,X − p i + I ¢ ¿6¿ E3¿ E F »^¿ » G qsh}Q w6SdQTQTzzu{o{oijSd~¶ach H z}D~±ashSdz}O¶OW]^{|SRq_bnDqb zGS H ∩ H hGq i = 1, . . . , n − 1 ³ $OoSRqsS H j_/acODSYO^]^{|SRqs{oiz}oS~`S¡DDSd~gW] X = p , . . . , X = p p , . . . , p g|SRjo²z}qcgojkacqzuqs]²qz-asjkhGDzuim_s´acODSRqsSS·`j_bas_z !<zuqsj_ ^j¦¥§ihG_cSd~(_bnDgD_bSRa A ⊂ GL (C) _cnDOacODzua3h}q acOoSh}@inD_bjh}@_/h}*w+SRQTQz-azTzuD~ Mez}D~ asOoSR²N)ODSRh}qsSRQ[3Ooh}im~ ¢ N)O^nD_do/S A ∈ GL (Q) \ A z}qcS~`hGoS ¢ 1. i. i. A i. A i. A. 0. i. 1. 0. 1. 1. i. i. i. 1. n. n. n. . ÝÞ
(97) ß6Ýáà.
(98)
(99)
(100) ! "#$%&')(* %+#& , #.-+0/&%1 , 24356#7 22% 8 )(9 , :%;. » `%$. 0 . <.
(101) *
(102). #7 % 2#, 4 /#*%+# #7 A 0% ) %&/+ %&#*%+ 5 % 0% /&%+ 2#, , 2 %; %+# # ; %;# &9 ;%, #12%&%+ #, / #7%+ + Q/* :% K"%* , ) % ! %&0/ /& ! %&/+ % Y/& %; -) % #7%&S 2%;#7 / ;%; H0 ∩ Rn % ( 1 %+ W%+ % ;( -+# %+#7% n−1 1 f % 0(p %; 1%+,#,.4. . , p :n−1 %+ ) ∈ Q #7% , : f i % : i = 1, . . . , n − %; #7%;# % ;% X1/*, . . .&,%Y X ,i % Z , /&% T %+p 1, 0. . . , p Y i 0 9% K % W#, 2%&%+ #, / #7%+ + H % ( 1 5 ,(9 , :%;1 ) - % +
(103) %+ % ; . . . . -+#. . fiA =. . i = 1, . . . , n − 2. . . ∂f A ∂fiA = · · · = i = 0, ∂Xi+2 ∂Xn. fA =. . . ∂f A ∂X2 = A fn−1. ··· =. ∂f A ∂Xn. ∂fiA 6= 0 ∂Xi+1. ,
(104) . ∂f A ∂X1. = 0,. 6= 0. . . : + %Y %#7%&. . #*6 -) % #, :% ( 4 "9 , % K :%;#,
(105) % , #7 %:( /& &% #7 /&% %+ & /& 2 ε #* #7%;
(106) #, A
(107) -+# % ( 4 ,(9 & %; . -+#. . . fiA − ε =. i = 1, . . . , n − 2. . ∂fiA ∂f A = · · · = i = 0, ∂Xi+2 ∂Xn. ' fA − ε =. ∂f A ∂f A = ··· = = 0, ∂X2 ∂Xn. . . ∂fiA 6= 0 ∂Xi+1. ∂f A 6= 0 ∂X1. . . . /& :%T % & W% 4 -T %) + ;%+
(108) -K %, ;%) &(9 , %+1 %+ %+ 9 K : % #7%&S ; - A %-+ 2Z ;%&/+ % % ε * 9% ,
(109) #*0 % 0( f = 0 n−1 &%;
(110) %;#. ,. # & #$
(111) R #$ ° S${oqsh-^j~`S)OoSdqcS$Rh}QT{oiS·`j¦a5]Sd_bacjQTzuacSf_
(112) h}q>asOoS7zug|h-}S)zui}hGqcjkacOoQ_>Rh}QT{on`asjko3zuarikSfz}_ba*hGoS${|h}jGa jSdzGOhGooSf¯acSf~h}QT{|h}oSdWa)h}
(113) zTqsSdz}i<z}ikGSRgoqzujmY_bSRa¤~`S¡DDSd~gW]zT_bjo}iSSdlWnDzuacjh} ¢ N)ODST~oSd_sqsjk{`asjkhG¶h}ªacODSTz}ikGh}qsj¦asOoQ_YqcSdik]^johGN)OoSdh}qsSRQ[zu@~¶N)OoSdh}qsSRQ < }j}Sd(zug|h-}Se~`h^Sd_ Dhua~`SR{|SR@~(hGz}^]±{oqch`RSd~`noqsSehuz}ikGSRgoqzujmSRijkQTjDz-asjkhG ¢ h}iikh-$joacOoS z}ikGh}qsj¦asOoQTjqsSRQzuq `_ h}ªU^Sdacjh}(o@hGoSRz}²nD_cS q }gooSdq¤gDzG_bSf_7$OojmO²zuiih-:ashhGQT{on`acSey7z-asjkhGDzuSi R7oj-zuqsjzuacSy7SR{`¥ qsSd_cSRWaz-acjh}hGikih-$jkD J 0 L9N
(114) hGq¤GSRh}QTSRacqsjqsSd_ch}in`acjh}@_ ¢)¬ ²g|huasO²gDz}_cSd_doasOoShGn`ac{Dn`axODzG_)acODSh}qsQ h}+asOoSh}iikh-$joTqz-acjh}@zui<{DzuqzuQTSRacqsjk©fz-acjh} q(T ) = 0,. . ¢¢. ∂q ∂T. .X1 = q1 (T ). ∂q ∂T. .Xn = qn (T ). qsh}Q $ OojmO²hGoSdzu¶Rh}noWaYz}D~±jm_bhGizuacS3asOoSeqcSfzui _ch}in`asjkhGD_¤n@_bjo -zuqsjmzuWas_¤hu Rx_b{|SRD_^] _Yzui}h}¥ qsjkacOoQ M³ _bSdS J < ,N/zu@~¶qsSSdqcSdDSf_¤asOoSRqsSRj@´xh}qU^acnoqsQe¥
(115) xzugojmOWa3_cSdlWnoSdDSf_T³ _cSRS J M9NªzuD~(qsSSRqsSR@Sd_ ß ß"Ô\ ]&^Ð&^.
(116) d. -+%+( . asOoSRqsSRj@´ªjkacjQTSx$OojmO jm_{@hGik]^ohGQejmzui|jacOoS~`Sd}qsSRS¤h}6acODSx{|h}i]^oh}QTjmzui q jkacOoSzug|h-}S7qz-asjkhGDzui {@zuqzuQTSasqcj©dzuacjh} ¢ N)O^nD_drasOoS²hGQT{oikSR·`j¦a5] h}xhGnoq zui}hGqcjkacOoQ_T~`Sd{@SdD~o_hG asOoSh}oShuYacODS²zui}SRgDqsz}jSRijkQTjDz-asjkhG {Dqch`Sf~`noqsS*/S>nD_cS ¢ °(Srh^RnD_6hG}SRhGQTSacqsjm qsSd_ch}in`asjkhGD_|h}q6$ODjOzasOoSRhGqcSRacjmRzuiuRh}QT{oiS·`jka5]¤qsSd_cnoi¦a S¤qsSddzuiiDg|SRih- j_/{oqsh-^j~`Sf~TjkZ Jk M6N<z}D~GSRoSdqsz}ikj©RSf~Tjk J GA N ¢ j}Sdz_c]^_bacSdQ¸hu+{|h}i]^oh}QTjmzuim_rj jGSRoSdqcjmh^h}q~`jDz-asSd_. Q[X1 , . . . , Xn ]. g1 = · · · = gn = 0,. h 6= 0. g1 = · · · = gi = 0,. h 6= 0. jkaªhGQT{on`acSf_>zYqszuacjh}Dz}iW{@zuqzuQTSasqcj©dzuacjh}h}DacODS7h}QT{oiS·e_bhGikn`asjkhGe_cSa>h}DacODj_r_c]`_5asSRQ ¢
(117) ¬ a*jm_>gDzG_bSf~ hG(z}¶jDqsSRQTSRWazui*{oqsh^RSd_s_¤h}ªij¦¡DDz}D~¶jWacSdqs_cSdacjh}¶Rh}QT{on`asjkoz-a3Sfz}O¶_bacSd{zikjkáacSf~(Rnoqs}S} SdDh`~`Sf~¶g^]¶z{Dz}qsz}QTSacqsj©RSd~¶}Sdh}QTSasqcjmqsSd_ch}in`asjkhG6<h}qasOoS !<zuqsjm_ ^jk¥«RikhW_bnoqsSh}ªacODS{@hGik]^ohGQejmzui _c]`_5asSRQ_$z-a$$OojmO n − i − 1 GSRoSdqcjmh^h}q~`jDz-asSd~zuqsSYjD_basz}GasjzuacSf~. ¬ asOoS3_bSflGnDSRi¨`acOoSlWnDz}Wacjka5] U(a) _5azuD~D_h}q a log (a) log(log(a)) ¢ F »^¿ » . 35%; (g , . . . , g , h) &% s + 1 ( 4 K Q[X , . . . , X ] - 0%:0#7%&%. * W % V &% % /& % )W
(118) (Z -%,
(119) A0 9 ;% W% %+ #*% 0 #T +% ; %+ /&%) Z %1* %+ , , ;%; -T %+ #7%)%K ;% 0) ,
(120)
(121) ;#7%; & -; ,
(122) /) W#, /& 2 V QW%& /&%;
(123) #, /V% )W#7%+
(124) ;(+ - % S #, /+"9 , #7% 2. ;(. L. D. . . 1. . 1. . s. (g1 , . . . , gs , h) {x ∈ Cn | g 6= 0}. . . . . g1 = · · · = gs = 0,. ) . n. . (g1 , . . . , gn ). ,). . . . . h 6= 0. O n(nL + n4 ) U(D.δ)2. . . . . #, %; /Q& %;#7
(125) Z %;#7% % W 4 W% 0#7%&% - % S#, /; 9 , #7% - % /& % ;
(126) ;%; -) Q %1 %+#,% δ % ( 1 5 ,(9 , %+1 g1 = · · · = gi = 0, h 6= 0 W4 % ;( n D. . j}Sd z±{Dz}qsz}QeSRacqsjTGSRhGQeSRacqsj qcSf_bhGikn`asjkhG2SRDRh^~ojko(z±ikjkáacSf~ RnoqcGS} acOoSh}iikh-$jo²qsSd_cnoikY a J9 MW +w SRQTQzfN6{oqsh-^j~oSd_ªacOoS3hGQT{oikSR·`j¦a5] h}
(127) Rh}QT{on`asjkoTze}Sdh}QTSasqcjm¤qsSd_ch}in`asjkhGhu acOoSjWacSRq_cSd¯asjkhG h}+asOoj_¤noqs}S3zu@~zeO^]^{@Sdqs_cnoqc z}SG^$OoSRacODj_$jWacSdqs_cSdacjh}j_)©dSRqshu¥§~`jkQTSdD_bjh}@zui ¢ /» 3 %+ C *% Z2%&%+ #, / #7%, ;
(128) - 1 % + %; , V 0%& I f *% . . ). . . . ( 4 -T 0%:#*%*% , / A%+#* %; , D I + hf i %+#7%Y% W , W#, &/ 2 2%&%+ #, /#7%+ ; - p I + hf i ) . #, %; /4& %;#7
(129) ) . Q. . O n(L + n2 )U(δ)U(D.δ). . . ). +% /& % W
(130) (. . ¬z}2ikGh}asOoqsj¦SasOo_cQSdlW_TnoSdgDiMz}
(131) _cSd~ Sh}_bODh-N)ODOoSRh-h} qsSRQash²_ nD2_cSz}DacOo~ Sf_b< Sacqch Sf_b{onoqsikash-_3^jac~`h²S±{ozuqsah-^ikSfj~oz}S _bah}h}oQTS±{oi{|Sh}·`jjkWa5](ajkSf _5asjkSfQz}zuO acjh}DhG_3ooh}Sd$acacOoSf~ S Rh}QT{|h}oSdGa$h}*zeqsSdzuiz}ikGSRgoqzujmx_cSa¤~oS¡DoSf~g^]ze_cjo}iSSdlWnDz-asjkhG ¢ ÝÞ
(132) ß6Ýáà.
(133) µ .
(134)
(135) ! "#$%&')(* %+#& , #.-+0/&%1 , 24356#7 22% 8 )(9 , :%;. ° S3¡Dq_bax_5asnD~`]acOoSezui}hGqcjkacOoQ qcSdik]^joh}±N)OoSdh}qsSRQ ¢$¬ axRh}D_cj_bas_7jk¶ODhWhW_bjoz 2%+ %+#, / {|h}jGa zuD~6}hGqz}iki i ∈ {1, . . . , n} hGQT{on`acS¤¡Dq_5a)z3ikjkáacSf~RnoqcGS7huasOoS!zuqsj_^j¦¥§ihG_cnoqsS A = (a , . . . , a ) h}+asOoS_bhGiknoacjh}_bSRa7hu. 1. n. . ∂f ∂f (Xj − aj ) − (Xi − ai ) = 0 ∂Xi ∂Xj. . ∂f 6= 0 ∂Xi. ,. sq h}Q J < N¨ acOoSf_bS{@hGik]^ohGQejmzui/_b]`_bacSRQ__sz-asj_b](acOoS qsSdlWnojqsSRQTSRWas_DSRSd~oSd~ach(zu{o{oi](N)ODSRh}qsSRQ' ¢ axqcSdQTz}jk@_$achjkWacSdqs_cSda7acODj_xikjkáacSf~²nDqcGS3$j¦asO±acOoSO^]W{|SRq_cnoqb zGS~`SR¡DoSf~gW] X±h}qsSRh-GSRqf G¬ jkGSR²z_5asqsz}jkGOWab¥«ikjoS{oqsh}Gqsz}Q h}rikSdouasO L 6Rh}QT{on`asjkDz_bacqzuj}OWac¥¨ijkDSSRDRh`f~`jkD= 0ac¢ ODSGqszG~`jkSdWa h} jm_7ijkoSfzuq7j J LN hGQgojojoTacOojm_7~`jm_snD_s_bjh}$jkacO²N)OoSdh}qsSRQ zuD~w6SdQTQTz LDoasOoj_¤ikSfz}~o_ ashefacOoShGikih-$jkDTLRh}QT{o¢$iS£ ·`jka5] Sd_bacjQz-acS. -0%:0#7%&% & 0% +( ;%Y/& F »^¿ » 3 %+ &% ( 4 f Q[X , . . . , X ] D. ) . ,. j∈{1,...,n}\{j}. . . . . %. 1 & %Kn % (* %+#& , #.-+0/&% W% % + ( % 0 (4 -K%
Documents relatifs
À cet effet, un nombre considérable de recherches démontre cliniquement que les enfants de parents souffrant de problème de santé mentale sont plus à risque d’un retard dans leur
usual route to school and provide us with some details about their travel routine (e.g., schedule, mode of transportation, people accompanying them, etc.); 3) recent interventions
La question de l’extension des limites de Paris jusqu’à cette ligne avait été discutée mais ne fut tranchée que par un décret impérial du 9 janvier 1859 qui décidait de
C'est aussi le résidant pas chez leurs parents fréquentent deux fois parativement à la province, les étudiants de Nanterre ne lement ce moindre attachement à la ville
In this paper, we study the performance of an enhanced channel estimation technique combining estimation using an autocorrelation based method and the Expectation-
Selon Laeven et Valencia (2012) , le coût budgétaire de la crise bancaire s’est respectivement élevé à 44 et 41 points de PIB en Islande et en Irlande, ce qui place ces deux
Dans ce travail, nous comparerons les entreprises coopératives, détenues par leurs membres, dont le produit risqué est la ressource critique apportée et dont l’objectif est
