Critique et amélioration de l'évaluation graduelle par tuples pour le traitement des circuits

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Critique et amélioration de l’évaluation graduelle par

tuples pour le traitement des circuits

Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex

To cite this version:

Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex. Critique et amélioration de l’évaluation graduelle

par tuples pour le traitement des circuits. [Rapport de recherche] IRIT-2003-13, IRIT - Institut de

recherche en informatique de Toulouse. 2003. �hal-02881294�

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de l'évaluation graduelle par tuples pour le traitement des ir uits

C. Cayrol

M.C. Lagasquie-S hiex

Septembre 2003

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L'argumentationestbaséesurl'é hangeetl'évaluationd'argumentsinteragissant. Dans [CLS01, CLS02a℄, en partant du adre de travail proposé par [Dun95℄, nous avions proposé une évaluation graduelle globale utilisant des tuples. Dans e do ument, nous allons ritiquer ette évaluation dans le as des arguments appartenant à un ou des ir uits. Cela nous permettra alors de proposer une améliorationde ette évaluation par tuples.

(5)

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1 Introdu tion 1 2 Le adre de [Dun95℄ etsa représentationgraphique 3 3 Évaluationgraduelle globaledes intera tionsde [CLS01℄ 5

3.1 L'étiquetaged'unargumentparuntuple. . . 5

3.2 Comparaisond'argumentsàl'aidedetuples . . . 6

3.2.1 Lesidéesutilisées. . . 6

3.2.2 L'algorithmede omparaison . . . 7

3.3 Quelquespropriétés . . . 8

4 Critique de l'évaluationgraduellepartuples 11 4.1 In onvénient1: problèmed'homogénéité. . . 11

4.2 In onvénient2: problèmedutraitementdes ir uits . . . 11

4.2.1 Exemple1: ir uitisolé . . . 11

4.2.2 Exemple2: ir uitattaquéparunargumentextérieuràtout ir uit . . . 12

4.2.3 Exemple3: deux ir uitss'attaquantmutuellement . . . 13

4.2.4 Exemple4: un ir uitisoléattaquantunautre ir uit . . . 15

4.2.5 Con lusionsurletraitementdes ir uits . . . 16

5 Améliorationde l'évaluationgraduellepar tuples 17 5.1 Valeurstuplées:dénitionset propriétés. . . 17

5.2 Unenouvelleévaluationpartuples . . . 19

5.3 Traitementdes ir uitsdanslanouvelleévaluationpartuples . . . 20

5.3.1 Exemple1: ir uitisolé . . . 20

5.3.2 Exemple2: ir uitattaquéparunargumentextérieuràtout ir uit . . . 22

5.3.3 Exemple3: deux ir uitss'attaquantmutuellement . . . 23

5.3.4 Exemple4: un ir uitisoléattaquantunautre ir uit . . . 25

5.3.5 Exemple5: un ir uitisolédelongueurimpair . . . 26

5.3.6 Con lusionsurletraitementdes ir uitsparlanouvelleévaluationpartuples . . . . 27

6 Algorithmede al ulde valeurs tuplées 29 6.1 Lesidéeset notationsutilisées. . . 29

6.2 Lesalgorithmes . . . 30

7 Con lusion 35 A Implémentationdes algorithmesen Camllight 37 A.1 Le odeCamllight . . . 37

A.2 Lestests . . . 48

(7)

(8)

Introdu tion

[Dun95℄amontréquele adredel'argumentation onstitueunoutilpuissantpermettantaussibienl'étude denombreux systèmesformelsderaisonnementde sens ommunqueladénition d'unesémantiquepour lesprogrammeslogiques. L'argumentationest baséesur l'é hangeet l'évaluationd'argumentssupportant des opinions, des assertions. On trouvedes appli ations notamment dans le domainejuridique, dans les systèmesd'aideàlaprisededé ision olle tiveoud'aideàlanégo iation.La ara téristiquefondamentale d'unsystèmed'argumentationestlaprésen ed'intera tionsetnotammentderelationsde ontrariétéentre les argumentsavan és.Si l'argument prend parexemple laforme d'unepreuve logique, onpeutavan er des arguments pour une proposition et des arguments ontre ette proposition,i.e. pour la proposition ontraire.

Lepro essusd'argumentation omportedon uneétaped'évaluationdelafor erelativedesargumentsen présen e,l'obje tifnalétantdeséle tionnerlesargumentslesplusa eptablesenfon tiondel'évaluation hoisie.Ondistingue:

uneévaluationditeintrinsèquequiévalueunargumentindépendammentdesintera tionsave lesautres arguments. On peut ainsi exprimer àquel point l'argument augmente la onan e en l'assertion qu'il supporte.Cetteévaluationpeutprendrediérentes formes(voir[KAEF95,Par97,PS97,AC98℄). une évaluation desintera tions selonlaquelle unargumentest évaluéenfon tiondeses ontrariants,

des ontrariants de ses ontrariants (ses défenseurs), ... 1

. Plusieurs appro hes ont été proposées (voir [Dun95, AC98, JV99, BH01, CLS01, CLS02a℄

2

) qui se distinguent par la ri hesse de l'ensemble desvaleursdisponiblespourévaluerunargument.

Évaluation intrinsèqueet priseen omptedesintera tionsonttrèssouventété utiliséesséparément,selon lesappli ations envisagées.Ontrouve ependantquelquestravauxqui proposentune ombinaisonde es deux ritères(voirparexemple[AC98℄etdansunemoindremesure[CLS01℄).

Dernièrement,dans[CLS01,CLS02a℄,nousavonsproposéquelquesformalismespermettantuneévaluation desintera tionsgraduellepourlesarguments.

Tout d'abord une évaluation graduelle générique re ouvrant la plupart des appro hes existantes (par exemple ellede[BH01℄et ellede[JV99℄).Cetteappro heestessentiellementlo alepuisqu'elle onsiste àtrouverlavaleurd'unargumentuniquementenfon tiondelavaleurdeses ontrariants.

Puis, une appro he totalement nouvelle dans laquelle on développe un étiquetage sous la forme d'un tuple permettant de mémoriser la stru ture du graphe représentant les intera tions (le graphe des ontrariétés), en asso iant à haque bran he salongueur (nombre d'ar s de la feuille jusqu'au n÷ud ourant)danslegraphedes ontrariétés,sa hantque:

on traiteles ir uitsàpart(en réduisantle ir uitàdeux bran hes1d'attaque et 1de défense et en prenant en ompte de manièreséparéela ontrariété du ir uitpardes élémentsextérieurs au ir uit),

unebran hedelongueurimpaireestunebran hed'attaquepourlen÷ud ourant,alorsqu'unebran he delongueurpaireestunebran hededéfensepour emêmen÷ud.

Dans [CLS01, CLS02a℄, nous avons montré que et étiquetage peut induire un pré-ordre partiel sur l'ensemble desarguments.Cetteappro heest diteglobale puisqu'elletrouvelavaleurd'unargument enfon tiondelatotalité dugraphedesintera tionssus eptibled'inuersur ettevaleur.

1

Nousneprendronsen ompte i ique lesintera tions duesàlanotion de ontrariétéentre arguments!Il peut exister d'autrestypesd'intera tion(parexempledesargumentsquiserenfor eraientaulieudese ontrarier).

2

(9)

ir uits.En eet,dans le adredel'évaluation graduellepartuples, il estprévu unmé anismespé ique d'évaluation des arguments appartenant à un ir uit (voir [CLS01℄), e qui n'est pas le as pour une évaluationgraduellelo alequipeutse ontenterdetrouverlavaleurdetelsargumentsenfaisantun al ul depointxe.

Cettediéren emetenlumièreunproblèmed'homogénéitédu al uldesvaleurstuplées.Ainsi,quandun ir uitn'estpas ontrarié,sontraitementsouslaformed'unméta-argument orrespondantàdeuxbran hes (une d'attaquedelongueur1et une dedéfense delongueur2) peut êtretout àfaita eptable (bien que rédu teur!).Malheureusement,dèsquele ir uitest ontrariépardesélémentsextérieursàlui-même(qui peuventêtreeux-mêmesdansd'autres ir uits),lapriseen ompteséparéede ette ontrariétén'estplus tout àfaitsatisfaisante.

Nous allonsdon reprendrei i etteévaluation graduelle partuples pour analyserplusnement et riti-querle traitement desargumentsappartenantàun ir uit.Nous her honsainsiàaméliorerl'évaluation graduellepartuples enaugmentantl'homogénéitédutraitementdesargumentsqu'ilssoientounon dans un ir uit.

Pour ela,danslase tion2page i- ontre,nousrappelleronsle adre detravailproposépar[Dun95℄ que nousutilisons,enparti ulierdupointdevuegraphique.

Ontrouveradanslase tion3page5ladénitionpré isedel'évaluationgraduelleglobalepartuplesissue de[CLS01,CLS02a℄.

La se tion 4 page 11 présentera une ritique du traitement des ir uits par ette évaluation à base d'exemples.

En onséquen e,lase tion5page17 proposeraune améliorationde l'évaluationpartuples pour orriger lesproblèmesainsimisàjouretl'aspe tpratiquede etteévaluationseratraitédanslase tion6page29.

(10)

Le adre de [Dun95℄ et sa représentation

graphique

Nousnousplaçons dansle adreabstraitdénipar[Dun95℄.Soitlesystème d'argumentation <A;R> ,A étantunensembled'argumentset RunerelationbinairesurAappeléerelationde ontrariété :soitA

i et A j 2A,A i RA j signieraqueA j

est ontrariéparA i ,ouqueA i ontrarieA j (aussinoté(A i ;A j )2R). Unsystèmed'argumentationseraditbien-fondésietseulements'iln'existepasdeséquen einnieA

0 ,A 1 , ...,A n

,...telleque8i;A i 2Aet A i+1 RA i .

Nousnepré iseronspasdavantageleformatdesarguments,nilarelationde ontrariété. Notations : SoitA2A,l'ensemblefA

i 2AjA

i

RAg estnoté R (A)et l'ensemblefA i 2AjARA i gest noté R +

(A).<A;R>dénit ungrapheorientéG (ditgraphedes ontrariétés). Exemple: Lesystème<A=fA 1 ;A 2 ;A 3 ;A 4 g;R=f(A 2 ;A 3 );(A 4 ;A 3 );(A 1 ;A 2 )g> dénit legrapheG suivantayantA

3

pourra ine:

A3

A4

A1

A2

Dénition 1(Représentationgraphique du systèmed'argumentation) SoitGlegraphedes ontra-riétésasso ié àunsystème d'argumentation<A;R>,ondénit:

Feuilledu graphedes ontrariétés UnargumentA2AtelqueR (A)=?seraune feuillede G. Chemindans le graphedes ontrariétés Un hemindeAversBestunesuited'argumentsC=A 1 ::: A n telleque : A=A 1 , A 1 RA 2 , ..., A n 1 RA n , A n =B.

La longueurde e heminest alorsn 1(lenombre d'ar s onstituant e hemin)etseranotéel C

. L'ensembledes heminsde Avers B seranotéC(A;B).

Dépendan e, indépendan e, ra ine-dépendan e d'un hemin Soit 2 hemins C A 2 C(A 1 ;A n ) et C B 2C(B 1 ;B m ).

Cesdeux hemins seront dits dépendants ssi 9A i 2 C A , 9B j 2C B tel queA i =B j . Indépendants sinon.

Cesdeux heminsserontdits ra ine-dépendantsenA n ssiA n =B m et8A i 6=A n 2C A ,69 B j 2C B telqueA i =B j .

Cir uits dans legraphe des ontrariétés Un ir uit 1 estun hemin C=A 1 ::: A n A 1 tel que 8i;j2[1;n℄;i6=j;69A i ;A j 2C telsqueA i =A j .

Un ir uit est isoléquandau undesargumentsle omposantn'a d'attaquanten dehors du ir uit. Deux ir uits C A = A 1 ::: A n A 1 et C B = B 1 ::: B m B 1

sont inter onne tés ssi 9i2[1;n℄;9j2[1;m℄ telsqueA i =B j . 1

Cettedénitiond'un ir uit orrespondàladénitiond'un ir uitélémentaireenthéoriedesgraphes(ne ontientpas2 ar sayantlamêmeorigine,oulemêmebut).

(11)

légèrementmodiéesparnossoins 2

.Onadon :

Dénition 2(Attaquants/Défenseurs dire ts/indire ts d'un argument) SoitA2A: Les attaquantsdire ts de Asont lesélémentsde R (A).

Les défenseursdire tsde A sontlesattaquants dire ts desélémentsde R (A). Les attaquantsindire tsde A sontleséléments A

i dénis par: 9C2C(A i ;A)telquel C =2k+1, ave k1. Les défenseursindire tsdeA sontles élémentsA

i dénispar: 9C2C(A i ;A)telquel C =2k,ave k2.

Ondiraplusgénéralementque,sil'argumentAestunattaquant(dire touindire t)del'argumentB,alors AattaqueB (ouB est attaquépar A). Demême,sil'argumentA estundéfenseur(dire touindire t)de l'argumentB,alorsAdéfendB (ouB est défendupar A).

Dénition 3(Bran hes d'attaqueet de défensed'un argument) Soit A 2 A, une bran he d'at-taque (resp. de défense) pour A est un hemin dans G d'une feuille vers A de longueur impaire (resp. paire). Ondiraalors queAest ra ined'unebran hed'attaque(resp.dedéfense).

Toutes esnotionssontillustréessurl'exemplesuivant:

A1

A2

A3

A4

B2

C1

C2

D2

C3

D1

E1

B1

A

Sur e grapheG, onadon (entreautres): un hemindeC 2 versAdelongueur2(C 2 B 1 A), 2 ir uitsA 1 A 3 A 2 A 1 et A 1 A 3 A 4 A 1 , ha un delongueur3 quine sontpasisolés (remarquonsqueA

1 A 3 A 2 A 1 A 3 A 4 A 1 n'estpasun ir uitd'aprèsnotredénition),

lesdeux ir uits itéspré édemmentsontinter onne tés(enA 1 etA 3 ), les hemins D 1 C 1 B 1 et C 3 B 2

A sont indépendants, alors que D 1 C 1 B 1 AetC 3 B 2

Asontra ine-dépendantsetqueD 1 C 1 B 1 A etC 2 B 1 Asontdépendants, D 1 ,C 2 ,E 1

sontlesfeuilles deG, D 1 C 1 B 1

Aestunebran hed'attaquepourA,alorsqueC 2

B 1

A estunebran hededéfensepourA,

B 1

etB 2

sontlesdeuxattaquantsdire tsdeA, C 1 ,C 2 etC 3

sontlestroisdéfenseursdire ts deA, D

1 etD

2

sontlesdeuxattaquantsindire tsdeA, E

1

estleseuldéfenseurindire tdeA.

2

Lesnotionsdéniesdans [Dun95℄sont ellesd'attaque etdedéfenseindire te, sa hantquepour[Dun95℄unattaquant (resp.défenseur)dire testaussiunattaquant(resp.défenseur)indire t, equin'estpasle asi i.

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Évaluation graduelle globale des

intera tions de [CLS01℄

Dans [CLS01, CLS02a℄, nous avons proposé deux méthodes d'évaluation distin tes dont l'obje tif est de tenir omptedelaqualitédesattaquantset desdéfenseursd'unargument.Nousallonsi inous onsa rer uniquementàlaméthodediteglobale:l'évaluationgraduellepartuples.

Cette appro he onsiste à étiqueter un argument ave un tuple (on parlera alors de la valeurtuplée de l'argument),puisà omparerlesargumentsàl'aidede esvaleurtuplées.

3.1 L'étiquetage d'un argument par un tuple

L'idéeest d'avoiruneétiquettequireètelastru turedelapartie dugraphedes ontrariétésdont l'argu-mentétiqueté estlara ine. L'étiquette pourunargumentAest don untuplerépertoriantleslongueurs detouteslesbran hesd'attaqueet detouteslesbran hesdedéfensemenantàA.Le asd'un graphedes ontrariétés omportantdes ir uitsfaitl'objetderèglesspé iquesdanslesquelleson onsidèrele ir uit omme un méta-argument possédant deux bran hes, une d'attaque de longueur 1 et une de défense de longueur2( haqueargumentdu ir uitestàlafoisattaquéetdéfenduparle ir uit)surlequelserajoute ensuitel'impa tdesattaquantsextérieursau ir uitet eluidesautres ir uitsinter onne tés.Toutes es idéesontdébou hédans[CLS01℄surlesrèglessuivantes:

Règle 1(Valeurd'un argumentn'appartenantpas à un ir uit) Soitl'argumentAn'appartenant pasàun ir uit,savaleur sera:

siA n'estpasattaqué

v(A) = ()(aussinotée:v(A)=(0)) si A a pour attaquants dire ts les arguments

B 1

;:::;B n

dont les valeurs respe tives sont les tuples (b 1 1 ;:::;b 1 m 1 );:::;(b n 1 ;:::;b n m n ) v(A) = (b 1 1 +1;:::;b 1 m 1 +1; :::; b n 1 +1;:::;b n m n +1)

Règle 2(Valeurd'un argumentappartenant à un ir uit) Soit un argument A appartenant aux ir uits C 1 ... C m . Soit C 0 1 ... C 0 n

autres ir uits inter onne tés à l'un des C i ou entre eux 1 . Soit X 1 ...X p

argumentsn'appartenant pasaux ir uitsmaisattaquants dire tsde l'undes ir uits 2

.On note: l

i

:longueurminimale d'un hemin d'unélémentde C 0 i vers A, l X i (longueur 3 d'un hemin de X i vers A), haque argumentX i apourvaleur :v(X i )=(x i 1 ;:::;x i k i ). 1

An'appartientdon àau undesC 0 i . 2

C'est-à-direattaquantsdire tsd'élémentsdes ir uits:8X i ,9C2fC1;:::;Cm;C 0 1 ;:::;C 0 n gtelque9Y 2CetX i RY. 3

S'ilyaplusieurs heminsmenantdeX i

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on aalors : v(A) = ( z }| { 1;2;:::;1;2; 1+l 1 ;2+l 1 ; :::; 1+l n ;2+l n ; x 1 1 +l X 1;:::;x 1 k 1 +l X 1; :::; x i 1 +l X i;:::;x i k i +l Xi

; autantdefoisqu'ilyade heminsdeX i versA :::; x p 1 +l X p; :::;x p k p +l Xp )

Des exemples d'étiquetage omplet : Prenonsle graphe des ontrariétés suivantet appliquons les règlespré édentes:

D

G

H

A

F

I

J

C

B

E

K

L

Q

P

M

N

O

()

(1,2,2)

(1,2,1)

(1,2,3)

(1,2,2,3,2)

(1,2,3,4,3)

(2,3,4)

(2,3,3)

(1,2,3,4,4)

(1,2,4,5,5)

(1,2)

(2,3)

(1,3,4)

(1,2,3,4,5,2,4,5)

Pour D, E, F, L, Q et P, on utilise la règle 1 page pré é-dente. Les valeurs de tous les autres argu-mentssontfourniespar la règle 2 page pré é-dente.

Dénition 4(Évaluationgraduellepar tuples) Soitvuneappli ationdeAdansl'ensembledessuites d'entiersnaturels,v seraune évaluationpartuples sietseulementsiv respe telesrègles1pagepré édente et2page pré édente.

3.2 Comparaison d'arguments à l'aide de tuples 3.2.1 Les idées utilisées

Étantdonnéque,dansuntuple,lesvaleurspaires( orrespondantauxbran hesdedéfense)etlesvaleurs impaires( orrespondantauxbran hesd'attaque)nejouentpaslesmêmesrles,nousnepouvonspasnous ontenter d'une simple omparaison lexi ographique.Nous avonsdon hoisi de omparer les tuples en deuxphasesbiendistin tesenadoptantuneattitudeprudente :

Unepremièrepasse permetdedétermineret omparerlenombredebran hesd'attaqueetlenombrede bran hesdedéfense de ha un.Celanousdonnedeux ritères(unpourladéfenseetunpourl'attaque). Si esdeux ritèressontena ord, 'est-à-direquel'undestuplesaplusdebran hesdedéfenseetmoins debran hesd'attaquequel'autre,alorsonpeut on lure.Demême,silesdeux ritèressontendésa ord (l'undestuplesaplusdebran hesdedéfenseetplusdebran hesd'attaquequel'autre),lestuplessont onsidérés ommein omparables.

Sinon,les deuxtuples ayantlemême nombred'attaqueset lemême nombrededéfenses, une se onde passe omparelaqualitérespe tivedesattaquesetdesdéfenses.La omparaisonported'unepartsurles partiespairesdestuples,d'autrepartsurlespartiesimpairesdestuples.I i-aussi,en asdedésa ord, la on lusionestl'in omparabilitédestuples!Cette omparaisonutiliseunprin ipelexi ographique(voir ladénition5pagesuivante).

Voi iquelquesexemplespourxerlesidées:

(1;2) est meilleur que(1;1;2) aron amoinsde bran hesd'attaque dansle premiertuple quedans le se ondpourunnombredebran hesdedéfenseidentique(première passe).

(14)

d'attaqueetmoins debran hesdedéfensequedanslese ond(première passe).

(2;3) estmeilleur que(1;2) ar ona,danslepremiertuple, demeilleuresbran hesd'attaqueque dans lese ond(ellessontpluslongues)pourdesbran hesdedéfenseidentiques(se ondepasse,enn'oubliant pasquela omparaisonlexi ographiquesefaitenséparantpartiespairesetparties impaires!).

(2;3)est meilleurque(3;4) arona,danslepremiertuple,demeilleuresbran hesdedéfensequedans lese ond(ellessontplus ourtes)pourdesbran hesd'attaqueidentiques(se ondepasse).

(1;2) estin omparable ave (3;4) arona,danslepremier tuple,àlafois deplusmauvaises bran hes d'attaqueetdemeilleuresbran hesdedéfensequedanslese ond(se ondepasse).

Toutes esidéesontdébou hésurl'algorithme1donnédanslase tion3.2.2.

3.2.2 L'algorithme de omparaison

Notations SoitX unargumentet v(X)savaleur,posons: n

a

(X) = nombre de bran hes d'attaque menant à X ( 'est-à-direnombre d'éléments impairs dans le tuplev(X)),enposantquen

a

(X)=0siX estune feuille; n

d

(X)=nombredebran hesdedéfensemenantàX ( 'est-à-direnombred'élémentspairsdansletuple v(X)),enposantquen

d

(X)=1siX estune feuille; v 0 (X)=f (v(X)),lafon tionf

(t) onsistantàordonnerletupletparvaleurs roissantes, v 0 p (X) = f p (v 0 (X)), la fon tion f p

(t) onsistant à ne garder du tuple t que les valeurs paires ( elles représentantdeslongueursdebran hesdedéfense),

v 0 i (X) =f i (v 0 (X)), lafon tion f i

(t) onsistantà ne garder dutuple t que les valeursimpaires ( elles représentantdeslongueursdebran hesd'attaque).

Justi ationdes hoix Lesdonnéesn a

(X),n d

(X)serventàee tuerla omparaisonquantitative(pour savoirsiX estmeilleurqueY,ilfaut queX aitmoins d'attaquesETplusdedéfensesqueY).

Quantàv 0 (X),v 0 p (X),v 0 i

(X),ilspermettrontla omparaisonlexi ographiquedestuplesdansle asoùX et Y auraientlemême nombred'attaques et dedéfenses. RemarquonsquepourX dontla valeurest (), onav 0 (X)=v 0 p (X)=v 0 i (X)=().

Remarque : Il est impossible pourun argument A d'avoir n a

(A) = n d

(A) = 0 (en eet, n a

(A) = 0 implique qu'au unebran hed'attaquen'arriveàA et n

d

(A)=0implique qu'au unebran hededéfense n'arriveàA, don ,puisqu'au unebran hequelle quesoit sanature n'arrivesur A,A est unefeuille; or,siAestune feuille,ondoitavoirn

d

(A)=1!Contradi tion.).

Dénition La omparaison 4

de2argumentsAetB vasefaired'aprèsl'algorithme1pagesuivante.Cet algorithme utilisela notiond'ordrelexi ographiquenoté

lex

sur des séquen esnies d'entiers que nous rappelonsi i 5 Dénition5 Soit(x 1 ;:::;x n ) et(y 1 ;:::;y m

) 2séquen esnies d'entiers. Ondiraque(x 1 ;:::;x n )< lex (y 1 ;:::;y m )ssi: 9i1telque 8j<i,x j =y j et soit n=i 1(don x i

n'existepas), soitx i

<y i

. De même,ondiraque(x

1 ;:::;x n )= lex (y 1 ;:::;y m ) ssin=met8i, 1in,x i =y i . Don (x 1 ;:::;x n ) lex (y 1 ;:::;y m )ssi (x 1 ;:::;x n )= lex (y 1 ;:::;y m )ou(x 1 ;:::;x n )< lex (y 1 ;:::;y m ).

Attention, le résultat de la omparaison lexi ographiquene détermine pas dire tement le résultat de la omparaisonentretuples (voirl'algorithme1pagesuivante).

4

Dans [CLS01℄,nous avionsproposédeux méthodesde omparaison.I i,nous n'en reprendrons qu'uneseule, ellequi induitunpré-ordrepartielsurl'ensembledesarguments.

5

Remarquons quela notionde tuplesd'entiers que nousmanipulonsi i serappro hetrès fortementde elle de multi-ensembles(voir[Lan03℄).Enparti ulier,l'ordrelexi ographiquequenousutilisonssurlestupless'apparenteàl'ordrelexmin évoquédans[Lan03 ℄.

(15)

%Des riptiondes paramètres: %

%v(A),v(B):2tuples %

début

siv(A)=v(B)alorsAB ETBA %Cas1% sinon sina(A)=na(B) etn d (A)=n d (B)alors

% omparaisonslexi ographiquesentrev 0 p (A)etv 0 p (B)etentrev 0 i (A)etv 0 i (B)% siv 0 p (A) lex v 0 p (B)ETv 0 i (A) lex v 0 i (B)alorsAB % as2% sinon siv 0 p (A)lexv 0 p (B)ETv 0 i (A)lexv 0 i (B)alorsAB % as 3% sinon A6B etA6B %Ondé idedenepastran her! as4% sinon

sina(A)na(B)ETnd(A)nd(B)alorsAB % as5% sinon

sina(A)na(B)ETnd(A)nd(B)alorsAB % as 6% sinon A6B etA6B %Ondé idedenepastran her!Cas7% n

3.3 Quelques propriétés

Soitv uneévaluationpartuples, onalespropriétéssuivantesissuesde[CLS01℄oude[CLS02b℄:

Propriété 1(Pré-ordre partiel et Valeur minimale) La fon tion d'évaluation par tuples asso iée à l'algorithme 1 induit un pré-ordre partiel sur l'ensemble des arguments dont les éléments maximaux serontlesfeuillesayantpourvaleur ().

L'argument?ayantpourvaleur letuple (1;:::;1) | {z }

1

estla valeur minimale 6

pour larelation.

Propriété 2(Indépendan e des bran hes) Soitun argumentA ayant pour attaquants dire ts A 1 de valeur v(A 1 ) = (a 1 1 ;:::;a 1 m 1 ), ..., A n de valeur v(A n ) = (a n 1 ;:::;a n m n ). Soit l'argument A 0 ayant pour attaquants dire ts A 1 1 de valeur v(A 1 1 ) = (a 1 1 ), ..., A 1 m 1 de valeur v(A 1 m 1 ) = (a 1 m 1 ), ..., A n 1 de valeur v(A n 1 )=(a n 1 ), ..., A n m n de valeur v(A n m n )=(a n m n

). Alorsv(A)=v(A 0

).

Cettepropriétémontrebienl'aspe tindépendant delapriseen omptede haquebran hemêmequand lesdites-bran hesnesontpasindépendantesgraphiquement!Surl'exemplesuivant,AetA

0

ontexa tement lamêmevaleur(2;2) bienqu'ilssoientra inedesous-graphesdiérents:

A

B

C1

C2

C1

C2

B2

B1

A’

Lesdeux dénitions quisuiventdéterminentpré isémentlesnotionsd'amélioration/détériorationdes dé-fenses/attaques omposant les prin ipes que respe te l'évaluation par tuples (voir propriété 3 page i- ontre).

Dénition 6(Amélioration/détériorationdes défenses/attaquespartie 1) SoitAunargument ayant pour valeur v(A)6=() telle que v

0 p (A)= (x p 1 ;:::;x p n

)(le tuple des défenses, don x p j est unentier pair,8j2[1::n℄)etv 0 i (A)=(x i 1 ;:::;x i m

)(letuple desattaques,don x i j

estunentierimpair,8j2[1::m℄). Ondénit :

Uneaméliorationde ladéfense onsisteà soitrajouterune bran he de défenseàA :

v 0 p (A)devientf (x p 1 ;:::;x p n ;x p n+1 ) ave x p n+1 entierpair; 6

Remarquonsque etargument orrespondau asd'unargument ontrariéparuneinnitéd'argumentseux-mêmesjamais attaqués.

(16)

9j 2 [1::n℄ tel que v 0 p (A) devient (x p 1 ;:::;x p j 1 ;x 0p j ;x p j+1 ;:::;x p n ) ave x 0p j < x p j et x 0p j pair;

soitsupprimerla seulebran he de défense menantàA: siinitialementv(A)=(x p j )ave x p j

pair etquev(A)devient (); Uneaméliorationde l'attaque onsisteà

soitrajouterune bran he d'attaqueà A: v 0 i (A)devient f (x i 1 ;:::;x i m ;x i m+1 )ave x i m+1 entierimpair; soitdiminuerune bran he d'attaque deA :

9j 2 [1::m℄ tel que v 0 i (A) devient (x i 1 ;:::;x i j 1 ;x 0i j ;x i j+1 ;:::;x i m ) ave x 0i j < x i j et x 0i j impair;

Unedétériorationde la défense onsiste à soitsupprimerune bran he de défense àA:

9j2[1::n℄ telquev 0 p (A)devient (x p 1 ;:::;x p j 1 ;x p j+1 ;:::;x p n ); soitrallongerune bran he de défense deA :

9j 2 [1::n℄ tel que v 0 p (A) devient (x p 1 ;:::;x p j 1 ;x 0p j ;x p j+1 ;:::;x p n ) ave x 0p j > x p j et x 0p j pair;

Unedétériorationde l'attaque onsisteà soitsupprimerune bran he d'attaque àA:

9j2[1::m℄ telquev 0 i (A)devient (x i 1 ;:::;x i j 1 ;x i j+1 ;:::;x i m ); soitrallongerune bran he d'attaquede A :

9j 2 [1::m℄ tel que v 0 i (A) devient (x i 1 ;:::;x i j 1 ;x 0i j ;x i j+1 ;:::;x i m ) ave x 0i j > x i j et x 0i j impair.

Dénition7 (Amélioration/détériorationdesdéfenses/attaques partie 2) SoitAunargument ayantpour valeurv(A)=()(don v

0 p (A)=v 0 i (A)=()). Ondénit:

Uneaméliorationde l'attaque onsisteàrajouterune bran he d'attaqueàA : v 0 i (A)devient(x i j )ave x i j entier impair;

Unedétériorationde la défense onsiste àrajouterune bran he de défense àA: v 0 p (A)devient(x p j )ave x p j entier pair.

Propriété 3(Prin ipesrespe tés voir [CLS01℄) Soitv uneévaluationpartuples(don déniepar lesrègles1page 5et2page 5)asso iéeàl'algorithme1page pré édente,v respe telesprin ipessuivants: P1

0

L'évaluation est maximale pour unargumentsans attaquant et non maximale pour unargument at-taqué(qu'il soitdéfendu oupas).

P2 0

L'évaluation d'unargumentprenden ompte touteslesbran hes dont etargumentestra ine. P3

0

L'amélioration de la défense oula détérioration de l'attaque onduisent àaugmenter la valeur d'un argument.

P4 0

L'amélioration de l'attaque ou la détérioration de la défense onduisent à diminuer la valeur d'un argument.

(17)

(18)

Critique de l'évaluation graduelle par

tuples

L'évaluationgraduellepartuplesdéniedans[CLS01℄présentedeuxin onvénientsmajeursqui,mêmes'ils n'empê hentpasl'utilisationde ettefon tiond'évaluation, sontesthétiquementgênantset induisentune évaluationdesargumentsappartenantàdes ir uitspeusatisfaisante.

4.1 In onvénient 1 : problème d'homogénéité

Celaest dûàdeuxpointsparti uliers:

Tout d'abord, la prise en ompte des arguments non attaqués dont on sent bien qu'ils doivent avoir la meilleurevaleur et dontil est logique depenser que ette valeur

1

est letuple vide (pas debran he d'attaque,ni debran hededéfense).

Or, e tuple vide sert aussià initier le pro essus de al ul des valeurs (voir larègle 1page 5), e qui impliqueunedoublenotationpourlemême objet(letuplevidesenote ()ou(0)).

Et enn,dans le pro essus de omparaison entre tuples, e tuple vide devant être onsidéré omme le meilleur,on doitalorsfor er de manièrearti ielleson nombre debran hesdedéfense à1(voirles notationsintroduisantl'algorithmede omparaison1page8)alorsqu'ilreprésenteunargumentn'ayant au unebran hededéfense!

Ensuite, on onstate qu'il faut au moins deux règles distin tes pourdénir l'évaluation graduelle par tuples:unepourlesargumentsn'appartenantpasàun ir uitetuneautrepour euxappartenantàun ir uit.

Cela vient du fait que la dénition de l'évaluation par tuples donnée dans [CLS01℄ n'est pas assez uni atri e.

4.2 In onvénient 2 : problème du traitement des ir uits

Bienque les ir uitsfassentl'objetd'un traitementàpart(voirrègle 2page 5), lesvaleursproposéesne sontpasentièrementsatisfaisantes.Nousallonsl'illustrersurquelquesexemples:

4.2.1 Exemple 1 : ir uit isolé

Ils'agiti id'un ir uitnon ontrariépardesargumentsextérieursau ir uitetpouvantdon être onsidéré ommeunesortedefeuilledugraphedes ontrariétés:

1

(19)

A

B

C

D

L'évaluation graduellepartuplesde[CLS01℄proposed'attribueràAet B lamême valeur:letuple(1;2) (voirlarègle2page5).Cela orrespondàtraduirele ir uitsouslaforme:

A

B

A

C

D

C'est ohérentave lefaitque,dans le ir uit,il yabien unebran he d'attaqueainsiqu'unebran hede défensepourA(resp.B).Mais, 'estaussitrès rédu teur,par equ'iln'y apasqu'unebran hed'attaque, ni qu'unebran hededéfense.En fait,ilyauneinnitédebran hesde haque atégorie:

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

C

D

Ainsi,lavaleurdeAet B devraitpluttêtreletuple(1;2;3;4;:::)detailleinnie.

4.2.2 Exemple 2 : ir uit attaqué par un argument extérieur à tout ir uit Ils'agitd'un ir uitquin'estpasisolépuisqueattaquéparaumoinsunargumentextérieuràtout ir uit (i i,l'attaquantest l'argumentD quiestnon ontrarié):

A

B

D

(20)

(1;2;2))(voirlarègle2page5).Cela orrespondàtraduirele ir uitsouslaforme:

B

A

B

A

D

A

D

A

B

C

E

Enfait, etteinterprétationdu ir uitattribueundoublestatutau ir uit:àlafoisfeuilledugraphedes ontrariétés( ommedansl'exemple1)etméta-argumentattaquéparD.Celaest tropambigu, ompliqué et nalementdi ilementjustiable.Ilparaîtplussimplede onsidérerquele ir uitétantattaqué perd son statut defeuille. D'autrepart, i i omme dans l'exemplepré édent,il y aune innité de bran hes généréesparle ir uitet passeulement2.Celanousmèneà onsidérerpluttle ir uitsouslaforme:

B

A

D

A

B

A

D

A

C

D

A

D

B

E

B

A

D

A

B

A

B

A

D

B

A

Ainsi,lavaleurdeA(resp.B)devraitpluttêtreletuple (1;3;5;:::)(resp.(2;4;6;:::))detailleinnie.

4.2.3 Exemple 3 : deux ir uits s'attaquant mutuellement

I i, ontraite le as de deux ir uits s'attaquant mutuellementmais sans au un attaquant extérieur aux ir uits:

A

B

C

E

F

D

L'évaluation graduelle par tuples de [CLS01℄ propose d'attribuer à A (resp. B et C) le tuple (1;2;1;2) (resp.(1;2;2;3))(voirlarègle2page5).Cela orrespondàtraduire les ir uitssouslaforme:

(21)

A

B

A

C

A

C

A

C

B

A

B

A

C

_B

D

E

F

On retrouve i il'idée queles ir uitssont isoléset don ont lestatut de feuille.Cela est ohérent ave le fait que, par e que les deux ir uits s'attaquent mutuellement, ils forment une entité (une sorte de méta-méta-argument),quin'estee tivement ontrariéeparau unautreargument.

Par ontre, onretrouveleproblèmede l'innitédunombredebran hesqui n'estpaspris en ompte par l'évaluationde[CLS01℄.

D'autrepart,apparaîti iunautreproblème:labran heA C A B delongueur3menantàB (resp. A B A CpourC)semble

soit insusante: il existe delamême manièrelabran heA B A B (resp.A C A C pour C);pourquoinepaslaprendreen ompte?,

soitsuperfétatoire:n'est-elle pasinduite parlabran heC A B (resp.B A CpourC)? Cetaspe testbien-sûrliéàl'innitédunombredebran hes.Eneet,sionveuttravaillerave destuples nis, quelle borne va-t-on s'imposer pour la onstru tion de es tuples? Cette question est essentielle ar si on ompare (1;1;2;2) ave (1;2;2;3;3) 'est le tuple (1;1;2;2) qui est le meilleur, alors que si la omparaisons'ee tueentre(1;1;2;2)et (1;2;2;3),alors 'est(1;2;2;3)lemeilleur!

Si onveutêtreexhaustif,onverradon les ir uitssouslaforme:

B

A

C

A

B

C

B

A

C

B

A

C

B

A

B

C

B

A

C

E

(22)

A

B

A

C

A

B

A

C

A

B

A

C

A

C

B

A

B

A

D

(idem pour C et F)

Ainsi,lavaleurdeA(resp.BetC)devraitpluttêtreletuple(1;1;2;2;3;3;3;3;:::)(resp.(1;2;2;3;3;4;4;4;4;:::)) detailleinnie.

4.2.4 Exemple 4 : un ir uit isolé attaquant un autre ir uit Ona:

A

B

C

D

L'évaluationgraduellepartuplesde[CLS01℄proposed'attribuerlesvaleurssuivantes(voirlarègle2page5): v(A)=(1;2),

v(B)=(1;2), v(C)=(1;2;2;3), v(D)=(1;2;3;4).

Cela orrespondàtraduireles ir uitssouslaforme:

C

D

C

D

A

B

A

B

C

D

C

A

Onretrouvei il'idée quele ir uitA B estisolé etdon alestatutdefeuille ( ommedansl'exemple 1). Par ontre, en'estpasle aspourle ir uitC D quiest attaquéparle ir uitA B.Don C D nedevraitpasavoirlestatutdefeuille etdevraitêtretraité ommedansl'exemple2.

Remarquons que la diéren e ave l'exemple 3 vient du fait qu'i i l'attaque entre les ir uits n'est pas mutuelle( 'estA BquiattaqueC D,alorsqueC Dn'attaquepasA B!).Onverradon les ir uits souslaforme:

(23)

D

C

A

B

A

B

A

B

C

A

B

C

A

C

D

C

D

Ainsi,lesvaleursdevraientpluttêtre: v(A)=(1;2;3;4;:::)detaille innie, v(B)=(1;2;3;4;:::)detailleinnie, v(C)=(2;3;4;4;5;5;:::)detailleinnie, v(D)=(3;4;5;5;6;6;:::)detailleinnie.

4.2.5 Con lusion sur le traitement des ir uits Ilressortdesdiérentsexemplesquelorsdutraitementdes ir uits:

Ilfautprendreen omptel'innitédunombredebran hespropreàun ir uit.Mais, ommeilserasans doutedi iledegarderdestuplesinnis, ilfaudraalorsa orderune attentionparti ulièreauxbornes quel'ons'imposerapourtravaillerave destuplesnis(enparti ulierdupointdevuedela omparaison entretuplespournepasenfausserlesrésultats).

Les ir uits peuvent être vus en tant que feuille du graphe des ontrariétés s'ils sont isolés,ou s'ils formentave d'autres ir uits,unensemblede ir uitss'attaquantmutuellementetque etensembleest isolé

2 .

Dans les autres as, les ir uits ne peuvent pas être onsidérés omme des feuilles et la valeur des argumentsles omposantdépendraalorsdelavaleurdes ontrariantsdu ir uit.

2

Cette notion d'un ensemble de ir uits isolé est une extension dela notion de ir uit isolé rappelée dans la déni-tion1page 3:soitS

C

=fC1;:::;Cngave C i

ir uit de<A;R>,8i=1:::n, notonsS l'ensembledetous lesarguments appartenantàaumoinsundes ir uitsdeS

C ,S

C

seraisolésietseulementsi8C i 2S C ,8A j 2C i

,B2AnStelqueBRA j

. Attention,dans ettedénition,onn'exigepasqueles ir uits omposantl'ensembleS

C

(24)

Amélioration de l'évaluation graduelle

par tuples

On vaproposeri i unenouvelledénition pour l'évaluationpartuples qui orrigelesproblèmes d'homo-généitéetdetraitementdes ir uitsdéte tésense tion4page11.

5.1 Valeurs tuplées : dénitions et propriétés

Désormaislesvaleurstupléesneserontplusdesimplestuplesmaisdes ouplesdetuples:onséparevaleurs pairesetvaleursimpaires.

Dénition 8 Unevaleurtupléeestun ouplede tuples vt=[vt p ;vt i ℄ ave : vt p est:

soit un tuple ordonné par valeur roissante d'entiers pairs > 0 ( haque entier pair représentant la longueur d'une desbran hes de défensemenantàl'argument),

soit le tuple (0;:::;0) | {z }

1

(0 ne pouvant pas être la longueur d'une bran he de défense mais signiant l'absen ede bran he menantàl'argument);

e tupleest appelé omposantepairede vt; vt

i

tupleordonnéparvaleur roissante d'entiersimpairs ( haqueentierimpair représentantlalongueur d'une desbran hes d'attaquemenantàl'argument); e tupleest appelé omposanteimpairede vt. Attention, vt

p et vt

i

peuvent être vides mais de manière ex lusive (l'une des omposantes doit être non vide). Notation 1 Letuple (0;:::;0) | {z } 1 seranoté0 1 .Letuple(1;:::;1) | {z } 1 seranoté1 1 .

Notation 2 NotonsT l'ensembledestuplesd'entierspositifsounulsetV lapartiede T T représentant l'ensemble desvaleurstuplées (don 8vt2V,vt estune valeur tupléerespe tantla dénition 8).

On peut dénir un ordre lexi ographique noté lex1

sur T (rappelons que les suites 2 T ne sont pas supposées roissantes:(x

1 ;:::;x

n

;:::)2T n'impliquepasquex 1 :::x n :::): Dénition 9 Soit(x 1 ;:::;x n ;:::) et(y 1 ;:::;y m ;:::)élémentsde T. Ondiraque(x 1 ;:::;x n ;:::)< lex1 (y 1 ;:::;y m ;:::)ssi: 9i1telque 8j<i,x j =y j et soit letuple (x 1 ;:::;x n

;:::) estni ave unnombred'éléments égal ài 1(don x i

n'existepas), soit x

i <y

i .

De même, on diraque (x 1 ;:::;x n ;:::)= lex1 (y 1 ;:::;y m

;:::) ssi lestuples ontiennentle même nombre d'éléments notépet8i, 1ip,x

i =y i . Don (x 1 ;:::;x n ;:::) lex1 (y 1 ;:::;y m ;:::)ssi (x 1 ;:::;x n ;:::)= lex1 (y 1 ;:::;y m ;:::) ou(x 1 ;:::;x n ;:::)< lex1 (y 1 ;:::;y m ;:::).

(25)

%Des riptiondes paramètres: % %vt 1 ,vt 2 :2valeurtuplées % %Notations: % % jvt j p

j:lenombred'élémentsdansla omposantepairedelavaleurtupléevt j

% % sa hantquesivt

j p

estinnialorsjvt j p jseraégalà1 % % jvt j i

j:lenombred'élémentsdansla omposanteimpairedelavaleurtupléevt j

% % sa hantquesivt

j i

estinnialorsjvt j i jseraégalà1 % début sivt 1 =vt 2 alorsvt 1 vt 2 ETvt 2 vt 1 %Cas1% sinon sijvt 1 i j=jvt 2 i jetjvt 1 p j=jvt 2 p jalors

% omparaisonslexi ographiquesentrevt 1 p etvt 2 p etentrevt 1 i etvt 2 i % sivt 1 p lex1 vt 2 p ETvt 1 i lex1 vt 2 i alorsvt 1 vt 2 % as2% sinon sivt 1 p lex1 vt 2 p ETvt 1 i lex1 vt 2 i alorsvt 1 vt 2 % as 3% sinon vt 1 6vt 2 etvt 1 6vt 2

%Ondé idedenepastran her! as4% sinon sijvt 1 i jjvt 2 i jETjvt 1 p jjvt 2 p jalorsvt 1 vt 2 % as5% sinon sijvt 1 i jjvt 2 i jETjvt 1 p jjvt 2 p jalorsvt 1 vt 2 % as6% sinon vt 1 6vt 2 etvt 1 6vt 2

%Ondé idedenepastran her!Cas7%

n

Cetordreestunegénéralisationdel'ordrelexi ographique lassique(voirladénition5page7et[Xuo92℄) au asdes tuplesinnis. Il est totalmais pasbien fondé (ilexiste des suitesinniesstri tement dé rois-santes:(0)< lex1 (0;0) < lex1 ...< lex1 (0;:::;0;:::)< lex1 ...< lex1 (0;1)). Notonsque(T; lex1

)estuntreillismaispasuntreillis omplet: laborneinférieureden'importequelle partie de T est ()(évidentd'après ladénition de

lex1

); par ontre, bien quel'on puisse exhiberune borne supérieure pour n'importe quelle partie nie de T (on peut utiliser le tuple ne ontenant qu'un seulentier>àtouteslespremièresvaleursdestuples delapartie), ilest impossibled'exhiberune borne supérieurepourn'importequellepartie inniedeT.

Propriété 4 L'algorithme 2dénitunpré-ordrepartielsurl'ensemble V. Propriété 5 La valeur tuplée [0

1

;()℄ est l'unique valeur max du pré-ordre partiel . La valeur tuplée [();1

1

℄est l'uniquevaleur min dupré-ordrepartiel .

Lapreuvedesdeuxpropriétéspré édentesest évidente puisque:

L'algorithme1produitunpré-ordrepartielsurlestuplesutilisésdans[CLS01℄pourlequellavaleurmax est letuplevide()etlavaleurminletuple(1;:::;1)

| {z } 1

(voirpropriété1page8).

L'algorithme2estune simpleréé rituredel'algorithme 1pours'adapter auxnouvellesvaleurstuplées données par ladénition 8 (qui ne fait que séparer valeurs paireset impaires par rapport aux tuples utilisésdans[CLS01℄)etpourprendreen ompteunordrelexi ographiquesurdestuplesinnis. Lavaleur[0

1

;()℄ orrespondautuple videutilisédans[CLS01℄dontonavait dufor er arti iellement dans [CLS01℄ lenombredebran hesdedéfense àl'inni.Ave lanouvellereprésentation hoisie, ette modi ationn'apluslieud'être,puisque0

1

ontientee tivementuneinnitédevaleurspaires. D'autre part, 0 est aussi la meilleure longueur de bran he de défense possible (puisque 'est la plus ourte)etdon 0

1

esttoujours lex1

aux omposantespairesden'importequelleautrevaleurtuplée. Lavaleur[();1 1 ℄ orrespondautuple(1;:::;1) | {z } 1 .

Remarque : la valeur[();()℄ nereprésente rien pour lepré-ordre partiel entre les valeurstupléeset elle n'appartient même pas àV (voir ladénition 8). De même, les valeurs[(0;x

1 ;:::;x n );(y 1 ;:::;y m )℄ (8n, 8x i >0 pair) ou [0 1 ;(y 1 ;:::;y m )℄ (8m, 8y i

(26)

unelongueura eptablepourunebran hededéfenseetpuisque0 signiequ'au unebran henemèneà l'argument)

1 .

Nous dénissonsaussideux opérationsparti ulières quipermettrontdedénirlanouvelleévaluation par tuples. Attention, esopérationssontdéniessurdestuples et passur desvaleurstuplées(don surT et passurV).

Dénition 10 Ily adeuxopérations surlestuples:

on aténationentredeuxtuples déniepar l'appli ation ? :T T !T telleque t?() = t 0 1 ?t = t pour t6=() (x 1 ;:::;x n )?(x 0 1 ;:::;x 0 n ) = f (x 1 ;:::;x n ;x 0 1 ;:::;x 0 n ) (x 1 ;:::;x n ;:::)?(x 0 1 ;:::;x 0 n ;:::) = f (x 1 ;:::;x n ;:::;x 0 1 ;:::;x 0 n ;:::) ave f

la fon tionqui ordonneuntuple parvaleur roissante.

addition entreuntupleetunentierdénie par l'appli ation :T N!T telleque 0 1 k = (k) ()k = () (x 1 ;:::;x n )k = (x 1 +k;:::;x n +k) (x 1 ;:::;x n ;:::)k = (x 1 +k;:::;x n +k;:::)si(x 1 ;:::;x n ;:::)6=0 1

5.2 Une nouvelle évaluation par tuples

À l'aidedesoutilsdénisdanslase tion 5.1page17, nousproposonsmaintenantune nouvelledénition pourl'évaluation partuples.

Dénition11 Soit <A;R> un système d'argumentation. Une évaluation par tuples est une appli ation v :A!V telleque, soit A2A:

SiAest unefeuillealors

v(A)=[0 1

;()℄. SiAa pour ontrariantsdire tsB

1 ,..., B n alors v(A)=[v p (A);v i (A)℄ave : v p (A)=(v i (B 1 )1)?:::?(v i (B n )1) v i (A)=(v p (B 1 )1)?:::?(v p (B n )1)

Cettedénitionestbeau oupplushomogèneque ellesissuesde[CLS01℄et rappeléesense tion3page5. Notons toutefoisqu'ilexiste des asoùlestatut desargumentsn'estpasunique: ils'agitdes arguments appartenant à un ir uit non attaqué (le ir uit n'étant pas attaqué, il peut être onsidéré omme une méta-feuilleetpourtant haqueargument omposantle ir uitpossédedes ontrariantsdire tsinternesau ir uit!). Pourque ettedénitionsoit appli ableàtouslesargumentsy ompris euxappartenantàun ir uit,ilvadon falloirmodierlegraphedemanièreà equetouslesargumentsaientunstatutunique. Cettemodi ation onsisteraen uneréé riture des ir uitssouslaformed'un graphesans ir uit mais qui serainni etquel'on onstruiraré ursivement(voirse tion5.3pagesuivante).

Cette nouvelle dénition simplie aussi la dénition des notions d'amélioration/détérioration des dé-fenses/attaques utilisées dans la propriété 3 page 9 (propriété qui reste bien-sûr in hangée). En eet, lesdeuxdénitions6page8et 7page9fusionnentenune seuledénition :

Dénition12 (Amélioration/détériorationdes défenses/attaques) SoitAunargumentayantpour valeur tupléev(A)=[v

p (A);v i (A)℄ave v p (A)=(x p 1 ;:::;x p n )etv i (A)=(x i 1 ;:::;x i m )(v p (A)etv i (A)p ou-vant êtrevidesmais pasen mêmetemps). Ondénit :

Uneaméliorationde ladéfense onsisteà 1

(27)

soitrajouterune bran he de défenseàA siinitialementv p (A)6=0 : v p (A)devientf (x p 1 ;:::;x p n ;x p n+1 ) ave x p n+1 entierpair; soitdiminuerune bran he de défensede A :

9j 2[1::n℄ telque v p (A)devient f (x p 1 ;:::;x p j 1 ;x 0p j ;x p j+1 ;:::;x p n ) ave x 0p j <x p j etx 0p j pair;

soitsupprimerla seulebran he de défense menantàA: siinitialementv p (A)=(x p j )ave x p j pair >0etquev p (A)devient0 1 ;

Uneaméliorationde l'attaque onsisteà soitrajouterune bran he d'attaqueàA :

v i (A)devient f (x i 1 ;:::;x i m ;x i m+1 )ave x i m+1 entierimpair; soitdiminuer une bran he d'attaque deA :

9j 2[1::m℄ tel quev i (A) devient f (x i 1 ;:::;x i j 1 ;x 0i j ;x i j+1 ;:::;x i m ) ave x 0i j <x i j etx 0i j impair;

Unedétériorationde la défense onsiste à soitsupprimerune bran he de défense àA:

9j2[1::n℄ telquev p (A)devient (x p 1 ;:::;x p j 1 ;x p j+1 ;:::;x p n ); soitrallongerune bran he de défense deA :

9j 2[1::n℄ telque v p (A)devient f (x p 1 ;:::;x p j 1 ;x 0p j ;x p j+1 ;:::;x p n ) ave x 0p j >x p j etx 0p j pair;

soitrajouterune bran he de défensemenantàA siinitialementv p (A)=0 1 : v p (A)devient(x p j )ave x p j pair >0;

Unedétériorationde l'attaque onsisteà soitsupprimerune bran he d'attaque àA:

9j2[1::m℄ telquev i (A)devient (x i 1 ;:::;x i j 1 ;x i j+1 ;:::;x i m ); soitrallongerune bran he d'attaquede A :

9j 2[1::m℄ tel quev i (A) devient f (x i 1 ;:::;x i j 1 ;x 0i j ;x i j+1 ;:::;x i m ) ave x 0i j >x i j etx 0i j impair.

5.3 Traitement des ir uits dans la nouvelle évaluation par tuples

Nous allons reprendre les exemples sur les ir uits donnés en se tion 4 page 11 et voir omment on les traiteave lanouvelleévaluation.

5.3.1 Exemple 1 : ir uit isolé

Ils'agiti id'un ir uitnon ontrariépardesargumentsextérieursau ir uitetpouvantdon être onsidéré ommeunesortedefeuilledugraphedes ontrariétés:

A

B

C

D

(28)

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

C

D

e quiéquivautàdirequelavaleurdeAet B se onstruiten partantd'unebase (unebran hed'attaque delongueur1etune bran hededéfensedelongueur2quireprésententlefaitquele ir uitest onsidéré ommeune feuille) eten réitérantlepro essus àl'inni à haquepassagedansle ir uit(dansles héma i-après, les éléments enpointilléssignalent laré ursivité : le ontenu del'ellipse, originede la è heen pointillés,est réutilisé,rebran héaupointdestinationdelaè heenpointillés):

D

B

A

C

B

A

B

A

Posons v(A) = [t p ;t i

℄ et essayons de al uler v(A). Si on applique la dénition 11 page 19 au s héma pré édent,onobtientunsystème de2équationsà2in onnues:

t p = (2)?(t p 2) t i = (1)?(t i 2) Ce quisigniequet

p ett

i

sontpointsxesdesfon tions p :!(2)?(2) i : !(1)?(2) Notons que p et i

sont des fon tions monotones de (T; lex1 ) dans (T; lex1 ) (si t 1 lex1 t 2 alors p (t 1 ) lex1 p (t 2 )et i (t 1 ) lex1 i (t 2 )). Puisque(T; lex1

)n'estpasuntreillis omplet(voirremarquedanslase tion5.1page17),nousnepouvons pas utiliserle théorèmedu pointxe (voir[DP90℄) mais ela nous donne l'idéed'une méthodede al ul despointsxesde

p et

i

:paritérationàpartirdelaborneinférieuredeT pourl'ordrelexi ographique

lex1

(don àpartirde()). Par ontre,ilfaudraalorsvérierquelesvaleursainsiobtenuessontbien des pointsxes.

Sionapplique etteméthode,onobtientalorslespointsxes(2;4;6;:::)et(1;3;5;:::)(aprèsvéri ation (2;4;6;:::) est bien point xe de

p

et (1;3;5;:::) est bien point xe de i ). Don , v(A) = v(B) = [(2;4;6;:::);(1;3;5;:::)℄. D'autre part, on a : v p (C) = v i (A)1 et v i (C) = v p

(A)1 (idem pour D par rapport à B). Don , l'évaluationdeC etD nousdonnev(C)=v(D)=[(2;4;6;:::);(3;5;7;:::)℄.

(29)

Ils'agitd'un ir uitquin'estpasisolépuisqueattaquéparaumoinsunargumentextérieuràtout ir uit (i i,l'attaquantest l'argumentD quiestnon ontrarié):

A

B

D

C

E

qui setraduitpar:

B

A

D

A

B

A

D

A

C

D

A

D

B

E

B

A

D

A

B

A

B

A

D

B

A

equiéquivautàdirequelesvaleursdeAetdeB se onstruisentenpartantd'unebase(quireprésentele faitquele ir uitestattaquéenAparD,don pourAunebran hed'attaquedelongueur1etpourBune bran hededéfensedelongueur2)etenréitérantlepro essusàl'innià haquepassagedansle ir uit:

B

E

A

C

B

D

A

Posonsv(A)=[t p ;t i

(30)

p p t i = (1)?(t i 2) Unesolutionde esystèmeest v(A)=[();(1;3;5;:::)℄.

EtpourB,onpeutsoitraisonner ommepourA,soitutiliserlefaitqueB n'aqueA omme ontrariant. Onobtientdon v(B)=[(2;4;6;:::);()℄.

QuantàCet E,ilsontpourvaleurs:v(C)=[(2;4;6;:::);()℄,v(E)=[();(3;5;7:::)℄.

5.3.3 Exemple 3 : deux ir uits s'attaquant mutuellement

I i, ontraite le as de deux ir uits s'attaquant mutuellementmais sans au un attaquant extérieur aux ir uits:

A

B

C

E

F

D

quel'ontraduitsouslaforme:

B

A

C

A

B

C

B

A

C

B

A

C

B

A

B

C

B

A

C

E

A

B

A

C

A

B

A

C

A

B

A

C

A

C

B

A

B

A

D

(idem pour C et F)

e quiéquivautàdireque:

lavaleurdeA se onstruitàpartird'unebase représentantlefaitque les ir uitssontdesfeuilles (2 bran hesd'attaque de longueur1et 2bran hesde défense delongueur 2), en réitérantle pro essus à

(31)

les valeursde B et C se onstruisent àpartir d'une base représentant lefait que les ir uits sont des feuilles (1 bran he d'attaque de longueur 1 et 2 bran hes de défense de longueur 2), en réitérant le pro essus à l'inni à haque passage dans le ir uit, e mé anisme étant à la fois ré ursif et ré ursif roisépuisqueB dépenddeC etvi e-versa.

Onobtientainsi:

A

B

C

B

C

B

C

A

E

B

D

A

B

C

A

C

B

F

Posonsv(A)=[t p ;t i ℄,v(B)=[t 0 p ;t 0 i ℄et v(C)=[t 00 p ;t 00 i

℄.Onalesystèmed'équationssuivant:

t p = (2;2)?(t p 2)?(t p 2)) t i = (1;1)?(t i 2)?(t i 2) t 0 p = (2;2)?(t 0 p 2)?(t 00 p 2) t 0 i = (1)?(t 0 i 2)?(t 00 i 2) t 00 p = (2;2)?(t 00 p 2)?(t 0 p 2) t 00 i = (1)?(t 00 i 2)?(t 0 i 2) En onstatant que B et C ont la même valeur (t

0 i = t 00 i et t 0 p = t 00 p

), on peut simplier les équations pré édentes, equinousdonne:

t p = (2;2)?(t p 2)?(t p 2)) t i = (1;1)?(t i 2)?(t i 2) t 0 p = (2;2)?(t 0 p 2)?(t 0 p 2) t 0 i = (1)?(t 0 i 2)?(t 0 i 2)

(32)

v(A)=[(2;2;4;4;4;4;:::);(1;1;3;3;3;3:::)℄, v(B)=v(C)=[(2;2;4;4;4;4:::);(1;3;3;:::)℄,

5.3.4 Exemple 4 : un ir uit isolé attaquant un autre ir uit Ona:

A

B

C

D

Onverradon les ir uitssouslaforme:

D

C

A

B

A

B

A

B

C

A

B

C

A

C

D

C

D

Ce quiéquivautàtraiterd'abordle ir uitA B ommedanslase tion5.3.1page 20.Puisonpasse au traitementdu ir uitC D :

C

A

D

C

A

C

Posonsv(A)=[t p ;t i ℄et v(C)=[t 0 p ;t 0 i

℄.Onobtientlesystèmed'équationssuivant:

t 0 p = (t i 1)?(t 0 p 2) = (2;4;6;:::)?(t 0 p 2) t 0 i = (t p 1)?(t 0 i 2) = (3;5;7;:::)?(t 0 i 2)

Unesolutionde esystèmeest v(C)=[(2;4;4;6;6;6;8;8;8;8;10:::);(3;5;5;7;7;7;9;9;9;9:::)℄.

EtpourD,onpeutsoitraisonner ommepourC,soitutiliserlefaitqueD n'aqueC omme ontrariant. Onobtientdon v(D)=[(4;6;6;8;8;8;10;10;10;10;:::);(3;5;5;7;7;7;9;9;9;9;:::)℄.

(33)

Ona:

A

B

C

Depuisl'argumentA(idem pourB),onverradon le ir uitsouslaforme:

B

C

A

B

_B

A

C

A

C

B

C

Ce quiéquivautà:

B

C

A

C

Posonsv(A)=[t p ;t i

℄.Onobtientlesystèmed'équationssuivant:

t p = (2)?(t i 3) t i = (1;3)?(t p 3) Ce qui orrespondà: t p = (2)?(4;6)?(t p 6) t i = (1;3)?(5)?(t i 6)

(34)

tuples

Lesrésultatsobtenussont onformesànosespéran es(voirlase tion4page11).

Toutefois,ilssont oûteuxàobtenirpuisqu'il s'agità haquefoisd'un al uldepointxe.Et,enplus,les valeursobtenues ontiennenttoutesdestuplesinnisquiserontdon moins fa ilesàmanipuler.

Danslase tion6page29,nousallonsproposerunalgorithmede al ulde esvaleurstupléesquitravaille sous formede propagationde valeursdans legraphe et utilise unnombred'étapesde propagation dans un ir uit. Ce nombre est lenombred'appelssu essifsde lafon tiondontlepoint xe orrespondàla valeur re her héeet seradon utilisé lors de lapropagation des valeurs dans un ir uit an de rendre nies lesvaleurstuplées.

Notonstoutefoisque emé anismedelimitationarti ieldestuplesrisqued'avoirunimpa tnonnégligeable surla omparaisonentrevaleurstuplées.Cetimpa tseraàétudierpluspré isémentdansunautrerapport.

(35)

(36)

Algorithme de al ul de valeurs tuplées

6.1 Les idées et notations utilisées

L'algorithme de al ul de valeurs tuplées dans un graphe quel onque (ave ou sans ir uit, les ir uits pouvantêtreounepasêtreisolés)vafon tionnerdansunmodedepropagationdevaleur:lesarguments étantvaluésquand leursattaquantsdire tsl'ontété.

Pour ela,nousallonsdon devoiren ore onsidérerles ir uits ommedesméta-argumentsquel'onévalue quand tous les attaquants dire ts du ir uit ( 'est-à-dire les attaquants dire ts d'un des éléments du ir uitquin'appartiennentpasau ir uit!)serontévalués.

À tout moment, haque argument sera repéré par deux paramètres : sa valeur et son marquage (un booléen indiquant si la valeur de l'argument est dénitive true ou pas false ). Au départ du pro essus,touslesargumentsdugrapheontpourvaleurinitiale[0

1

;()℄, eux orrespondantàdesfeuilles dugraphe sont marqués àtrue

1

, lesautres sontmarqués à false.Ainsi, onétablit une partition du grapheG en:

G v

:lapartiedugraphedéjàvaluée(initialement, ette partiene ontientquelesfeuillesdugraphe), G

:v

:lapartiedugrapherestantàvaluer(initialement, ettepartie orrespondàG privédesesfeuilles). Pourfa iliterletravaildel'algorithme,nous onsidéreronsquel'algorithmeaàsadispositionnonseulement le graphedes ontrariétés G partitionné,mais aussiune stru ture dedonnéesnotée L expli itant laliste des ir uitsdugrapheainsiqueleurs ara téristiquesprin ipales:

listedesarguments onstituant e ir uit,

liste des arguments appartenantau ir uit et ayant des attaquants en dehors du ir uit ( e sont des entrées dans le ir uit; euxpar lesquelson propagera lesvaleurs dans le as d'un ir uit non isolé); ettelisteseravidedansle asd'un ir uitisolé.

Attention, pourêtrelepluse a epossible,les ir uitsinter onne tés(don s'attaquantmutuellement) seront onsidérésparl'algorithme ommeuntout etdon traités ommeunesortedeméta- ir uit.Par exemple,pourtraiterave notrealgorithmel'exemple3delase tion5.3.3page23,lastru turededonnée L ontiendrauniquementun ir uit omposédeslistessuivantes:

A, B,C,

rien(puisqu'ils'agitd'un ir uit isolé).

Ainsi,pourévitertouteambiguïté,nousallonsdon dénirlanotiondem ir uit :

Dénition 13 SoitG ungraphe des ontrariétés.SoitCC l'ensemble de tousles ir uitsde G. SoitCC 0 CC etCC 0 =fC 1 ;:::;C n

gunensemble de ir uitstousinter onne tésdeuxàdeuxettelsque : 8C k 2CCnCC 0 ,C k

n'estpasinter onne téave C i ,8i=1:::n. L'union desC i appartenantàCC 0 onstitueunm ir uit.

Ainsi, on partitionne CC en utilisant la notion d'inter onnexionentre ir uits, haque omposante de la partition étantunm ir uitdiérent.Voyonssurunexemple eque eladonne:

1

(37)

A

B

D

J

K

C

E

F

G

I

I i, ona5 ir uits: fJg, fI;J;Kg, fB;C ;Dg, fC ;Eg, fF;Gg. et 3m ir uits: fI;J;Kg, fB;C ;D;Eg, fF;Gg. 6.2 Les algorithmes

L'algorithme3estl'algorithmeprin ipalutilisé pourle al uldesvaleurstuplées. Algorithme3:Algorithmedepropagationdansungraphe quel onque

%But: %

% Algorithmedevaluationtupléed'ungraphedes ontrariétés %

% G :graphedes ontrariétés(initialiséetpartitionnéenGvetG:v ommedé rit % % danslase tion6.1pagepré édente) % % L:stru turededonnéesdé rivantlesm ir uits % % n:nombred'étapesdepropagationàréaliserdanslesm ir uits %

%Variableslo ales: %

% A:l'argumenten oursd'évaluation % % C :lem ir uiten oursd'évaluation( ontenantA) % % LAD:laliste desattaquantsdire tsdeC %

% B

i

:les attaquantsdire tssoit deA,soitdeC % début

tant queilresteun argumentdans G:v faire A=Choisir-Argument(G

:v )

siA n'appartientpasàunm ir uitC dé rit dansLalors si8B

i

2R (A),B i

estvaluéalors

Gv=Ajouter-Sommet(Gv,Valuer-Sommet(A,R (A),1)) G :v =Supprimer-Sommet(G :v ,A) sinon

siC est isoléalors

Gv=Ajouter-M ir uit(Gv,Valuer-M ir uit-Isole(G,C,n)) G :v =Supprimer-M ir uit(G :v ,C) sinon LAD=Trouver-Attaquants-Dire ts-M ir uit(C,G) si8Bi2LAD, Bi estvalué alors

G v =Ajouter-M ir uit(G v ,Valuer-M ir uit-Non-Isole(G,C,LAD,n)) G:v =Supprimer-M ir uit(G:v,C) retournerG n

Lafon tionAjouter-Sommet (respe tivementSupprimer-Sommet) quiaenparamètreunepartie G x

(38)

G x

.Desfon tionséquivalentesserontaussiutiliséessurdeslistesd'argumentsetparabusdenotationelles aurontlemêmenom(voirl'algorithme6pagesuivante).

Lesautresfon tionssontdé ritesdanslesalgorithmes4,5,6pagesuivante,7page33,8page34,9page34.

Remarquespourtouslesalgorithmes: LamiseàjourdeG x

impliqueautomatiquement elledeG. Demême, lamiseàjourdev(A)impliqueautomatiquement elledeA,8Aargument.

D'autrepart,onutiliseraaussilesfon tionssurlesgraphessuivantes:

Prédé esseurs(G,A):renvoielalistedesprédé esseursdeAdanslegrapheG, Su esseurs(G,A):renvoielalistedessu esseursdeAdanslegrapheG, Longueur-M ir uit(C):renvoielalongueurdum ir uitC,

Trouver-Distan e(G,A,B):renvoieladistan elaplus ourte(ennombred'ar s)dusommetAvers lesommetB danslegrapheG.

Algorithme4:Ajout-M ir uit

%But: %

% Algorithmed'ajoutd'unm ir uitdansunepartiedegraphe %

% G

x

:partiedugraphedes ontrariétés % % C :m ir uitdugrapheàajouteràGx %

% A:l'argument ourant %

début

tant queilresteun argumentA dansC quin'a pasétéajoutéà G x faire Gx =Ajouter-Sommet(Gx,A) retournerGx n Algorithme5:Supprimer-M ir uit %But: %

% Algorithmedesuppressiond'unm ir uitd'unepartiedegraphe %

% Gx :partiedugraphedes ontrariétés % % C :m ir uitdugrapheàsupprimerdeG

x

%

% A:l'argument ourant %

début

tant queilresteun argumentA dansC quin'a pasétésupprimédeGx faire G x =Supprimer-Sommet(G x ,A) retournerG x n

(39)

%But: % % Algorithmedevaluationd'unargumentn'appartenantpasàunm ir uit %

% A:argumentàvaluer %

% LB:listed'argumentsdontlavaleurinuen e elledeA % % d:distan eentreAetlesargumentsdeLB %

% v(A):valeurdel'argumentAnotée[t p (A);t i (A)℄(initialementt p (A)=0 1 ett i (A)=()) % % B :argument2LB etdontlavaleurestnotée[tp(B);ti(B)℄ % début

sidpairetd6=0alors

tant queilresteun argumentB dansLBfaire v(A)=[t p (A)(t i (B)d);t i (A)(t p (B)d)℄ LB=Supprimer-Sommet(LB,B) sinon sidimpair alors

tant queilresteunargumentB dansLBfaire v(A)=[tp(A)(tp(B)d);ti(A)(ti(B)d)℄ LB=Supprimer-Sommet(LB,B)

retournerA n

%Remarque:le paramètred permetd'utiliser ette fon tionàlafois dansl'algorithme3page 30(pourla miseàjourd'unargumentenfon tiondesesattaquantsdire ts)etpourl'algorithme8page34(pourlamise à jour des élémentsdu m ir uit àpartir d'une des entrées du m ir uit dans e as, on doit onnaître la distan eentrel'entréedum ir uitet ha undesautresélémentsdum ir uit). %

(40)

%But: % % Algorithmedevaluationd'unm ir uitisolé %

% G :graphedes ontrariétés %

% C :m ir uitisoléàvaluer %

% n:nombred'étapesdepropagationàee tuerdansC %

% A:argument ourantdansC dontlavaleurv(A)estnotée[tp(A);ti(A)℄ % % (initialementt p (A)=0 1 ett i (A)=()) %

% B :su esseurdeAdansC dontlavaleurv(B)estnotée[tp(B);ti(B)℄ % % (initialementt p (B)=0 1 ett i (B)=()) %

% i:numérodel'étapedepropagation ourante % % x:nombredefoisoùiapparaîtdansv(A) %

% LB:listedesB %

début i=0

tant quei6=nfaire

pour haque sommetAdeC faire x=Compter(A,i)

LB=Su esseurs(G,A)\C siiestimpair alors

pour haque B2LBfaire v(B)=[t p (B)(i+1:::i+1) | {z } xfois ;t i (B)℄ sinon

pour haque B2LBfaire

v(B)=[tp(B);ti(B)(i+1:::i+1) | {z } xfois ℄ i=i+1 retournerC n

%Remarque:lafon tionCompter(A,i)renvoielenombred'o urren esdeidanst p

(A)[t i

(41)

%But: % % Algorithmedevaluationd'unm ir uitnonisolé %

% C :m ir uitnonisoléàvaluer %

% LAD:listedesattaquantsdire tsdeC % % n:nombred'étapesdepropagationàee tuerdansC %

% A:entrée ourantedansCdontlavaleurv(A)estnotée[tp(A);ti(A)℄ % % (initialementt p (A)=0 1 ett i (A)=()) %

% B :su esseurdeAdansC dontlavaleurv(B)estnotée[tp(B);ti(B)℄ % % (initialementtp(B)=0

1

etti(B)=()) %

% i:numérodel'étapedepropagation ourante %

% d:distan eentreAetB %

% l:longueurdum ir uitC %

début

l=Longueur-M ir uit(C) pour haque Aentréedans Cfaire

A=Valuer-Sommet(A,LAD\Prédé esseurs(G,A)) pour haque B2Cfaire

d=Trouver-Distan e(G,A,B) i=0

tant quei6=nfaire

v(B)=Valuer-Sommet(B,fAg,d+(li)) i=i+1

retournerC n

Algorithme9:Trouver-Attaquants-Dire ts-M ir uit

%But: %

% Algorithmede al ul desattaquantsdire tsd'unm ir uitnonisolé %

% C :m ir uitnonisoléàvaluer %

% LAD:listedesattaquantsdire tsdeC % % A:entrée ourantedansCdontlavaleurv(A)estnotée[tp(A);ti(A)℄ % % (initialementt p (A)=0 1 ett i (A)=()) %

% B :su esseurdeAdansC dontlavaleurv(B)estnotée[tp(B);ti(B)℄ % % (initialementt p (B)=0 1 ett i (B)=()) %

% i:numérodel'étapedepropagation ourante %

% d:distan eentreAetB %

début LAD=?

pour haque Aentréedans Cfaire

LAD=LAD [(Prédé esseurs(G,A)nC) retournerLAD

(42)

Con lusion

Dans le adre des systèmes d'argumentation proposé par [Dun95℄, nous avions proposé dans [CLS01, CLS02a℄uneévaluationgraduelleglobale.Cetteévaluationprenaiten omptelatotalitédugraphemenant àunargumentlorsdu al ul de lavaleurde etargument.Elle utilisaitpour ela l'aspe t graphiquedu système d'argumentation en re ensantsous la forme d'un tuple d'entiers ni les longueurs des bran hes d'attaqueetdedéfensemenantàl'argument.

Toutefois, etteévaluation présentaitaumoinsdeuxin onvénients:

unmanqued'homogénéitédanslesnotations,les ir uitsfaisantl'objetdedénitionsàpart,

et un problème de signi ation on ernant les valeurs des arguments appartenant à des ir uits (les ir uitspouvantêtre vusàlafois ommedesfeuilles dugraphe et omme desméta-arguments non-feuilles!).

Dans e rapport, nous proposons don une amélioration de ette évaluation onduisant à une meilleure homogénéitédesnotationsetàdesvaleursplussigni ativespourlesargumentsappartenantàdes ir uits. Pour ela,nousavonsintroduitlanotiondetuplesinnisetd'ordrelexi ographiquesur estuplesinnis. Ce rapport donne aussi les algorithmes permettant le al ul de ette nouvelle évaluation ainsi qu'une implémentationde esalgorithmesenCamllight(voirl'annexeApage37).

(43)

(44)

Implémentation des algorithmes en

Camllight

Nousdonnonsi iuneimplémentationenCamllightdesalgorithmesdénisense tion6page29,ainsiqu'un testde etteimplémentationsurquelquesgraphesdont euxexposésense tion4page11.

A.1 Le ode Camllight

Il s'agit d'un hier de fon tions é rites en Camllight et pouvant être interprêtées pour l'interprêteur Camllight.

(*************** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** **** FICHIERpouralgo depropagationvaleurstuplees ****

**** Contientlafon tionprin ipale: ****

propagergeneral((g:('a,'b,' )tgraphe), (n:int),

(lt :('a,'b)tliste ir uit)) **** ave les typesservanta de rireles ir uits: ****

('a,'b)ttriplet :tripletde listes

('a,'b)tliste ir uit: listede tripletsdelistes;;

**** ATTENTION:i iles ir uitsnesont paselementaires. **** Au ontraire,onnegardera queles ir uitsmaximaux! **** Parexemple: <>A<>B qui onstitue2 ir uits **** elementairesA-BetA-C seratraite omme ununique **** ir uitA-B-C!!! *************** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** **) (*************** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** * ****** PACKAGESutilises *************** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** **) in lude"base1.ml";; in lude"base2.ml";;

in lude"types pour sommet re her he.ml";; in lude"sommet re her he.ml";;

in lude"graphe omplet.ml";;

in lude"sommet pour def graphe.ml";; in lude"def graphe.ml";;

(*************** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** * ****** TYPESINTERNESutilises

(45)

etdesinfosave lesditesinfossouslaformed'un ouplede : -un ouplede tuples

-etunagpermettantde savoir silavaleurtupleeest omplete (quandtousles agsde touslessommetsdu graphesont afalse alorslavaluationest nie*)

(*=================================================================*) (*lavaleurtuplee=le ouple destuples pairet impair*)

type'dtvaltuplee=='dlist *'dlist;;

(*lavaleurd'unsommet:unevaleurtupleeetun ag*) type'dtvaleur =='dtvaltuplee* bool;;(*sileagest true

alorsvaleur temporaire *) (*************** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** *

****** TYPESEXTERNESutilises

****** servanta de rireles ir uitsdu graphe *************** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** **)

(*pour haque ir uitonaura untriplet: -le ir uit (listede sommets)

-lalistedessommetsdu ir uitattaquespardes

attaquantsexterieursau ir uit(pointsd'entreedsle ir uit) -lalistedesprede esseursdu ir uitexterieurau ir uit*) type('a,'b)ttriplet==(('a,'b)tsommet)list*

(('a,'b)tsommet)list* (('a,'b)tsommet)list;;

(*lalistedes ir uitsest don unelistedetriplets*) type('a,'b)tliste ir uit==(('a,'b)ttriplet) list;;

(*************** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** * ****** FONCTIONSINTERNESutilisees

*************** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** **) (************** CASSANS CIRCUIT*************) (*******Ideede l'algo:

*** onpartd'un graphe danslequelseules lesfeuilles *** ontunaga false(valeurdesfeuilles:(([0℄,[℄),false), *** valeurdesautressommets:(([0℄,[℄),true))

*** puisontraitesommetparsommetenne mettantajourlesommet *** quesitoussesprede esseurssontdejaa jour(aga false) *** Lepro essus s'arretelorsque touslessommetssont ajour(tous *** lesag sontafalse)

*** A haqueetapelavaleurd'unsommet AayantB1...Bnattaquants *** dire ts est: *** tuplepair(A)= on at(oplus(tupleimpair(B1),1), ..., oplus(tupleimpair(Bn),1)) *** tupleimpair(A)= on at(oplus(tuplepair(B1),1), ..., oplus(tuplepair(Bn),1)) *************** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** ** *** ** *) (*fon tion NOM:tuplepair

BUT:re upererle tuplepair d'unsommetvalue TYPEDE RETOUR:untuple

PARAMETRES:unsommet

===========================================================*) lettuplepair((s:('a,'b)tsommet))=fst(fst(infos sommets(s)));;

(*fon tion NOM:tupleimpair

BUT:re upererle tupleimpaird'un sommetvalue TYPEDE RETOUR:untuple

PARAMETRES:unsommet

===========================================================*) lettupleimpair((s:('a,'b)tsommet))=snd(fst(infossommets(s)));;

(*fon tion NOM:enleverzero