Correction examen du baccalauréat section Sc Techniques session principale 2012

Correction examen du baccalauréat section Sc Techniques session principale 2012

Une correction possible proposée par Kooli Mohamed Hechmi

Exercice 1

1) √3 = √3 cos + sin = √3√ + √3 = + √ = √ donc c)

2) 1 − √3 = √3 + = 2 √ + = 2 cos + donc a)

3) 1 + !

" = #1 + cos + sin # = #1 − + √ # = # + √ # = $ + √ = 1

donc a)

4) On remarque bien que % + est le conjugué de % − on pose & = % − et on pose & = ' + ( avec ' et ( deux réels

)% − *)% + * = 1 ⇔ && = 1 ⇔ ' + ( = 1 c’est l’équation cartésienne d’un cercle donc c)

Exercice 2

0 2 #−1 −10 −1# = 1 ≠ 0 donc ,-.../ et ,3.../ ne sont pas

colinéaires donc ,, -, et 3 ne sont pas alignés donc ,, -, et 3 détermine un plan 5. b) On a 2 − 1 − 1 = 0 donc , ∈ 5

1 − 1 − 0 = 0 donc - ∈ 5 1 − 0 − 1 = 0 donc 3 ∈ 5

Alors une équation cartésienne du plan 5 et 7 − 8 − % = 0

2) a) On a 2 − 0 − 0 = 2 ≠ 0 donc 9 ∉ 5 par suite ,, -, 3 et 9 ne sont pas coplanaires.

b);_<=>? = @ ,-.../˄,3.../ .,9.../@ or ,-.../˄,3.../ 0 −1 1 1 2 et ,9.../ 0 0 −1 −1 2 donc ;_<=>? = |−1 − 1| = =

3) a) La sphère D est de centre E et passe par 9 donc E9 est le rayon de D

E9 = FG2 −3_{2H + G0 −}1_{2H + G0 −}1_{2H =} F3_{4 =} √3₂

E, = FG2 −3_{2H + G1 −}1_{2H + G1 −}1_{2H =} F3_{4 =} √3_{2 = E9 , ∈ D}

E- = FG1 −3_{2H + G1 −}1_{2H + G0 −}1_{2H =} F3_{4 =} √3_{2 = E9 - ∈ D}

b), et - sont deux points distincts et appartiennent tous les deux à 5 et à D donc le

plan 5 et la sphère D sont sécants selon un cercle C passant par , et -.

E3 = FG1 −3_{2H + G0 −}1_{2H + G1 −}1_{2H =} F3_{4 =} √3_{2 = E9 3 ∈ D}

alors C est circonscrit au triangle ,-3.

4) a) Soit ..../ 0_J −1 1

−1 2 un vecteur normal à 5, ∆ est perpendiculaire à 5 donc ..../ 0J 1 −1

−1 2 est

un vecteur directeur de ∆ et E ∈ ∆ donc ∆∶

M N O N P7 = + Q 8 = − Q % = − Q R Q ∈ ℝ

b)Ω)7 , 8 %* est le centre du cercle C donc Ω est le projeté orthogonal de E sur 5 et

comme ∆⊥ 5 alors WΩX = ∆ ∩ 5 donc les coordonnées de Ω vérifient le système suivant :

M NN O NN P 7 = 3_{2 + Q} 8 = 1_{2 − Q} % = 1_{2 − Q} 7 − 8 − % = 0 R ⇔ M N N O N N P7 =3_{2 + Q} 8 = 1_{2 − Q} % = 1_{2 − Q} 3 2 + Q −12 + Q −12 + Q = 0 R ⇔ M N N O N N P7 = 3_{2 + Q} 8 =1_{2 − Q} % = 1_{2 − Q} Q = −1₆ R donc Ω [ , ,

c)9′ est le symétrique de 9 par rapport à Ω donc Ω = 9 ∗ 9′ donc M N O N P[= ^_` = a_` b = c_` b R ce qui donne 9d _,[ , [ donc ;d = # ,-.../˄,3.../ .,9′.../# or ,-.../˄,3.../ 0−1 1 1 2 et ,9′ .../ e f g− [ h i j donc ;d = #[+ + # = = ;

Exercice 3

1) a)k est continue et strictement décroissante sur l0 , +∞l alors k réalise une bijection

de l1 , +∞l sur k)l1 , +∞l * = n−∞ , 1n or 0 ∈ n−∞ , 1n donc k)7* = 0 admet une

unique solution Q ∈ l1 , +∞l donc k)Q* = 0 alors 2 − Q + ln Q = 0 donc ln Q = Q − 2

b)

7 1 Q +∞ k)7* + 0 −

2) a) Pour = 0 1 ≤ q_b = 1 ≤ Q

Soit ∈ ℕ supposons que 1 ≤ q_s ≤ Q montrons que 1 ≤ q_s ≤ Q

1 ≤ qs ≤ Q ⇒ ln 1 ≤ ln qs ≤ ln Q ⇒ 2 ≤ 2 + ln qs ≤ 2 + Q − 2

⇒ 1≤ 2 ≤ 2 + ln qs ≤ Q ⇒ 1 ≤ qs ≤ Q Conclusion ∀ ∈ ℕ 1 ≤ q_s ≤ Q

b)q_s − q_s = 2 + ln q_s − q_s = 2 − q_s + ln q_s = k)q_s*

or 1 ≤ q_s ≤ Q donc k)q_s* ≥ 0 donc q_s − q_s > 0 alors )q_s* est croissante.

c) La suite )q_s* est croissante et majorée par Q alors elle converge vers un réel

x ∈ l1 , Qn

soit la fonction y définie sur l1 , Qn par y)7* = 2 + ln 7 y est continue sur l1 , Qn

qs = y)qs* lim_{s→ |}qs = x x ∈ l1 , Qn y est continue en x

y)x* = x ⇔ 2 + ln x = x ⇔ 2 − x + ln x = 0 ⇔ k)x* = x donc x = Q alors lim s→ |qs = Q

Exercice 4

b)k est continue et strictement déctoissante sur l0 , +∞l alors k réalise une bijection

de l0 , +∞l sur k)l0 , +∞l * = n0 , 1n = ~ 2) ∆∶ 8 = 7 )3d* 8 = • € )3* € •

3) a) On a k)0* = 1 et k)0* = )• × 0 + ƒ* „ ×b = 1 donc ƒ = 1

k est dérivable sur l0 , +∞l kd_{)7* = •} „ ^ _{+ )•7 + 1*)−2} „ ^_*

k′)0* = 0 et kd)b* _{= • − 2 donc • − 2 = 0 donc • = 2} Alors pour tout 7 ∈ l0 , +∞l k)7* = )27 + 1* „ ^

b) E = … )27 + 1* „ ^_{†7 ‡q)7* = 27 + 1} ;d_{)7* =} „ ^ _‡ qd_{)7* = 2} ;)7* = −1₂ „ ^RR ˆ b E = ‰−1_{2 )27 + 1*} „ ^_Š b ˆ − … −ˆ „ ^ _†7 b + … „ ^ _†7 ˆ b = −1_{2 l)27 + 1*} „ ^_n b ˆ ₋1 2 l „ ^nbˆ = −1_{2 )2• + 1*} „ ˆ +1_{2 −}1₂ „ ˆ+1₂ = −• „ ˆ ₋ „ ˆ _{+ 1 = 1 − )• + 1*} „ ˆ

c) Pour raison de symétrie ‹ est la mesure de l’aire de la partie du plan limitée par la courbe )3* la droite d’équation 8 = • et les droites d’équations 7 = 0 et 7 = • donc

‹ = … |k)7* − •| †7ˆ b = … )k)7* − •* ˆ b †7 = … )k)7* †7* − … • †7 ˆ b ˆ b = 1 − )• + 1* „ ˆ − • Œ•