Lycée 2 Mars 34 Ksar Hellal DEVOIR DE SYNTHESE N° 1 4ème T5-6 Prof : Mr Med Khalifa Durée 3h AS 11 - 12
Exercice 1
(3 pts)Pour chaque énoncé on propose trois réponses dont une seule est exacte. Indiquer sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse exacte, sans justification.
) Soit f la fonction dé inie par ∶ ) = 1 − cos ≠ 0
0) = 0 alors ∶
a) est dérivable en 0 et 0) = 0
!) est dérivable en 0 et ′ 0) = 1
2
c) est n’est pas dérivable en 0
%) La courbe de la fonction dé inie par ) = 13 ) − 2 *+ 3 − 1 admet pour point
d’inflexion le point : -) . /1 ,131 !) . /2 , −131 2) . 3 , −1) 3) Si est dérivable sur ℝ 56 ′ ) = 1 1 + * alors 7 689) est dérivable sur :−;2 ,;2< et on a : -) 7 689)′ ) = 1 1 + 689* !) 7 689)′ ) = 1 + 689* 2) 7 689)′ ) = 1
4) L’équation : =*− 2011 = + 1 = 0 admet dans ℂ deux solutions :
a) inverses b) opposées c) ni inverses ni opposées
Exercice 2
(5,5 pts)1) a) Trouver les racines carrées, dans ℂ, du nombre complexe : −8 − 6 b) Résoudre dans ℂ, l’équation : =*+ − 3)= + 4 = 0
2) Soient . et C les images respectives des nombres complexes 1 + et 2 1 − ), dans le plan muni d’un repère orthonormé direct D , EFG , HG).
a) Placer les points . et C.
!) Ecrire ==K
L sous forme algébrique.
c) En déduire la nature du triangle .DC. 3) Soit O ∈ Q0 , ;R, on pose =S = 1 + − 25TS.
-) Placer les points V, W et X images respectives de =Y, =Z 56 =Z*
b) Ecrire =S − (1 + ) sous forme exponentielle.
c) Déterminer, alors, et construire l’ensemble ([) des points \(=S) lorsque O décrit l’intervalle Q0 , ;R.
Exercice 3
(3,5 pts)On consdère la fonction dé inie sur R4 , +∞Q par ( ) = 5 + 2 √
1) Soit la fonction ` définie par `( ) = ( ) − pour > 4. a) Montrer que ` réalise une bijection de R4 , +∞Q sur R−∞ , 2Q
b) En déduire que l’équation ( ) = admet une solution unique c dans R4 , +∞Q et que
5 < c < 6 (On remarque que l’équation ( ) = est équivalente à `( ) = 0 ) %) -) Montrer que pour tout ∈ R4 , +∞Q on a ∶ f ′( )f ≤1 8 !) En déduire que pour tout ∈ R4 , +∞Q on a ∶ h5 + 2 √ − ch ≤ 1 8 |x −α|
Exercice 4
(8 pts) On considère la fonction g dé inie sur ℝ par `( ) = k−4 + l* *+ 5 < 2 − 4 + 3 ≥ 2 ) Calculer limo→q∞`( ) et limo→r∞`( )2) Montrer que ` est continue en 2.
3) Etudier la dérivabilité de ` à droit et à gauche en 2. Interpréter graphiquement le résultat. 4) Soit la restriction de ` à l’intervalle Q2 , +∞Q.
a) Montrer que est une bijection de Q2 , +∞Q sur un intervalle W qu’on déterminera. b) Etudier la dérivabilité de rs à droite en −1.
c) Déterminer rs(0), montrer que rs est dérivable en 0 et calculer ( rs ) (0).
5) a) Construire les courbes représentatives de et rs dans un même repère orthonormé du plan
b) Dresser le tableau de variation de rs.
6) a) Soit t ∈ Q−1 , +∞Q. Résoudre, dans Q2 , +∞Q , l’équation ( ) = t. b) En déduire l’expression de rs(t).
c) Calculer ( rs)′(t), pour t ∈ Q−1 , +∞Q. Retrouver ( rs ) (0).
K.Med (Déc-2011)
