Devoir de synthèse n°2           4ème Sc Expérimentales Mr Fligène 11-12

Page 1 sur 3 Lycée de Souassi   

DEVOIR DE SYNTHESE N° 2

SECTIONS : 4éme _{Sciences Expérimentales 2}

EPREUVE : Mathématiques DUREE : 3 heures

PROFESSEUR : M. Wissem Fligène EXERCICE N° 1: (3 points)

Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse.

On donne le tableau de variation d’une fonction définie et dérivable sur

− ∞ −1 3 + ∞ − ∞ 2 − ∞ 1. L’équation f x( )0 admet :

A. une solution B. deux solutions C. trois solutions 2. On note la dérivée de la fonction . On peut affirmer que :

A. − 1 B. C. 3.

A. B. C. On ne peut pas déterminer le signe de

4.

A. B. − C.

EXERCICE N° 2: (4 points) On considère une fonction :

− définie, continue et dérivable sur l’intervalle [ − 1 ; +∞ [ ; − strictement croissante sur l’intervalle [ ; ] ;

− strictement décroissante sur les intervalles [−1 ; ] et [ ; +∞ [.

On note la fonction dérivée de et F la primitive de sur l’intervalle [ − 1 ; +∞ [ qui s’annule en 0. La courbe C , tracée ci-dessous, représente la fonction dans le plan muni d’un repère orthogonal. Elle passe par les points A − 1 ; 6 , B ; − , D(1 ; 2) et E(2 ; 6).

Elle admet au point D une tangente passant par le point G ; − . Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale.

Page 2 sur 3 1. Déterminer 1 et . Justifier les réponses.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point D.

3. Montrer que sur l’intervalle [−1; ], l’équation admet une unique solution que l’on notera .

4. On admet que l’équation admet, sur l’intervalle [−1; +∞[, deux autres solutions que l’on notera et , avec < . Dresser le tableau de signes de la fonction.

5. Parmi les trois courbes suivantes, C1, C2, C3, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente

F, et celle qui représente .

Courbe C1 Courbe C2 Courbe C3

G B

D

Page 3 sur 3 EXERCICE N° 3: (4 points)

On considère la fonction définie par





1. Vérifier pour tout −1 ;





2. Dresser le tableau de variations de .

3. Vérifier que admet une asymptote oblique et préciser la position relative de et . 4. Montrer que l’équation admet une solution unique et que − − 5. Construire dans un repère orthonormé du plan.

6. Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe , la droite et les droites d’équations et 1

EXERCICE N° 4: (4 points)

On considère la fonction définie sur [ ,1[ par

2 0 ( ) 1 x dt f x t  



1. Montrer que est dérivable sur [ ,1[ et déterminer sa fonction dérivée . 2. Soit gla fonction définie sur 0,

2        par







2



 

 

  et déterminer sa fonction dérivée g

b- En déduire que g pour tout de 0, 2        3. Calculer l’ intégrale 1 2 2 0 1 dt t 



L’espace est muni d’un repère orthonormé , , ,

On considère les points − ; ; 1 , 1; ; −1 et − ; ; .

1. a- Calculer le produit scalaire . puis les longueurs et . b- En déduire le cosinus de l’angle .

c- En déduire que les points , et ne sont pas alignés.

2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan est − + + .

3. Soient et les plans d’équations respectives + − + et − + 6 .

Montrer que et sont sécants selon une droite dont un système d’équations paramétriques est : − −1 +

;

4. Démontrer que la droite et le plan sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

5. Soit la sphère de centre 1; − ; 1 et de rayon . a- Donner une équation cartésienne de la sphère S. b- Etudier l’intersection de la sphère S et de la droite .

c- Démontrer que le plan et la sphère sont tangent dont on déterminera leur point de contact.