Résumé Primitives 4ème Mathématiques

(1)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 1

Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est uniquement parce qu’ils ne réalisent pas à quel point la vie est complexe « John Neumann »

1) Définition et propriétés

Soit 𝑓 et 𝐹 deux fonctions définies sur un intervalle 𝐼. On dit que 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur 𝐼 si et seulement :

¤ 𝐹 est dérivable sur 𝐼

¤ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ; 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

* Théorème (admis) :

Toute fonction continue sur un intervalle 𝐼 admet au moins une primitive sur l’intervalle 𝐼. * Théorème :

Soit 𝐹 une primitive d’une fonction 𝑓 sur un intervalle 𝐼 et 𝐺 une fonction définie sur l’intervalle 𝐼. 𝐺 est une primitive de 𝑓 si et seulement il existe un réel 𝑘 tel que : ∀𝑥 ∈ 𝐼 ; 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘. * Corollaire :

Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼 ; 𝑥₀ ∈ 𝐼 et 𝑦₀ ∈ ℝ alors il existe une unique primitive 𝐹 de 𝑓 sur 𝐼 telle que 𝐹(𝑥₀) = 𝑦₀.

* Primitives usuelles :

Dans le tableau ci-dessous 𝐹 est une primitive 𝑓 sur l’ensemble 𝐸 et 𝑐 est constante réelle.

𝑓 𝐸 𝐹 𝑥 ↦ 𝑎 ; (𝑎 ∈ ℝ) ℝ 𝑥 ↦ 𝑎𝑥 + 𝑐 𝑥 ↦ 𝑥𝑛_{; (𝑛 ∈ ℕ}∗₎ _ℝ 𝑥 ↦ 1 𝑛+1𝑥 𝑛+1_{+ 𝑐} 𝑥 ↦ 1 𝑥𝑛 ; 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝑛 ≠ 1 ℝ ∗ 𝑥 ↦ −1 (𝑛−1)𝑥𝑛−1+ 𝑐 𝑥 ↦ 1 √𝑥 ℝ+ ∗ _{𝑥 ↦ 2√𝑥 + 𝑐} 𝑥 ↦ √𝑥 ℝ₊ _{𝑥 ↦}2 3𝑥√𝑥 + 𝑐 𝑥 ↦ cos 𝑥 ℝ 𝑥 ↦ sin 𝑥 + 𝑐 𝑥 ↦ cos(𝑎𝑥 + 𝑏) ; 𝑎 ∈ ℝ∗, 𝑏 ∈ ℝ ℝ _{𝑥 ↦}1 𝑎sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐 𝑥 ↦ sin 𝑥 ℝ 𝑥 ↦ − cos 𝑥 + 𝑐 𝑥 ↦ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) ; 𝑎 ∈ ℝ∗_{, 𝑏 ∈ ℝ} _ℝ 𝑥 ↦ −1 𝑎sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐 𝑥 ↦ 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 _{ℝ\ {}𝜋 2+ 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ} 𝑥 ↦ tan 𝑥

(2)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 2

* Calcul des primitives :

Soit 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur un intervalle 𝐼. Dans le tableau ci-dessous 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur son domaine de définition.

𝑓 𝐹 𝑢′ _{+ 𝑣′} _{𝑢 + 𝑣} 𝑢′ _{× 𝑣 + 𝑢 × 𝑣′} _{𝑢 × 𝑣} 𝛼𝑢′_{; 𝛼 ∈ ℝ} _𝛼𝑢 𝑢′𝑢𝑛 1 𝑛+1𝑢 𝑛+1 𝑢′ 𝑢𝑛 ; 𝑛 ∈ ℕ ∗_{et 𝑛 ≠ 1} −1 (𝑛−1)𝑢𝑛−1 𝑢′ √𝑢 2√𝑢 𝑢′√𝑢 2 3𝑢√𝑢 𝑢′𝑣−𝑢𝑣′ 𝑣2 𝑢 𝑣 𝑢′(𝑣′𝜊 𝑢) 𝑣 𝜊 𝑢 𝑢′𝑛_√𝑢1−𝑛_{𝑛 ∈ ℕ}∗_\{1} _{𝑛 √𝑢}𝑛 * Exercices d’application : Exercice 1

Soit la fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 2𝑥 + cos 𝑥

1) Montrer que 𝑓 admet au moins une primitive sur ℝ.

2) Vérifier que la fonction 𝐹 ∶ 𝑥 ↦ 𝑥2+ sin 𝑥 est une primitive de ℝ. 3) Déterminer la primitive 𝐺 de 𝑓 sur ℝ.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants déterminer une primitive de 𝑓 sur un intervalle bien choisie. 1) 𝑓(𝑥) = cos(2𝑥) 8) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 14) 𝑓(𝑥) = 𝑥 √(𝑥2₋₁₎2 3 2) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 9) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 cos 𝑥+𝑥2sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 15) 𝑓(𝑥) = 𝑥4−2𝑥2+3 𝑥2 3) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛2_{𝑥 10) 𝑓(𝑥) =} cos 𝑥 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 16) 𝑓(𝑥) = 1 𝑡𝑎𝑛2𝑥+ 1 4) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3_{𝑥 sin 𝑥 11) 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛}3_{𝑥 17) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3 −} 𝑥 √𝑥2₊₁ 5) 𝑓(𝑥) = (−2𝑥 + 3)√2𝑥2_{− 6𝑥 12) 𝑓(𝑥) = −} 1 𝑥2+ 2 𝑥3 18) 𝑓(𝑥) = −𝑥+1 √𝑥2_−2𝑥+3+ 𝑥2 (𝑥3₊₂₎2 6) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4_{− 2𝑥}3_{+ 3𝑥 − 2 13) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)}3_{+ (4𝑥 + 3)}2 7) 𝑓(𝑥) = (−𝑥 + 2)(𝑥2_{− 4𝑥 + 1)}3 Cher « Math » je ne souhaite plus résoudre tes problèmes,