MATHS À MODELER, DES JEUX POUR APPRENDRE
À CHERCHER EN MATHÉMATIQUES
Karine GODOT,
Association Sciences et malice - Erté Maths à modeler (UJF, CNRS)
MOTS-CLÉS : MATHÉMATIQUES – DIDACTIQUE – RECHERCHE – HEURISTIQUE –
JEU-MEDIATION
RÉSUMÉ : Né de la collaboration entre chercheurs en mathématiques et didacticiens, le projet
Maths à modeler vise à développer des situations particulières présentées sous forme de jeu, les situations recherche, amenant l’élève ou le grand public à rentrer dans une démarche de recherche en mathématiques. À partir de l’exemple de la situation La roue aux couleurs, nous présenterons les caractéristiques de ces situations, leurs conditions de gestion, ainsi que le rôle du support ludique dans leur dévolution et les apprentissages qu’elles mettent en jeu.
ABSTRACT: Maths à modeler is a project developped by discrete mathematics researchers and
didacticians. The aim is to propose particular situations, the research situations, that permit to the public, pupils or not, to discover what means researching in mathematics. From the example of the situation called The wheel of colors, we present what are the characteristics of these situations, the role of the game, the learnings associated and how they can be used in the classroom or somewhere else (organization conditions).
1. LE PROJET MATHS À MODELER 1.1 Une équipe pluridisciplinaire
Le projet Maths à modeler, né de la collaboration entre des chercheurs en mathématiques discrètes, des didacticiens, rejoints par des chercheurs en sciences de l'information et de la communication, en sciences de l'éducation ou encore en psycho-clinique, étudie depuis plusieurs années comment amener l’élève, du primaire à l’université, ou le grand public1 à devenir apprenti chercheur en mathématiques, à entrer dans une démarche de recherche en mathématiques, c’est-à-dire essayer, observer, élaborer des stratégies de recherche, conjecturer, fournir des contre-exemples, prouver, mais aussi avoir du plaisir, persévérer, imaginer, …
1.2 Les situations recherche
Les recherches menées dans le cadre du projet Maths à modeler s’articulent autour de situations que nous appelons situations recherche2.
Ces situations didactiques particulières peuvent être considérées comme la transposition pour la classe, ou ailleurs, de l’activité du chercheur en mathématiques. Nous les caractérisons ainsi (Grenier, Payan, 2002, Godot, 2005) :
Le problème abordé est le plus souvent issu de problèmes de recherche actuels. Il peut donc comporter une, plusieurs ou aucune solution et être encore ouvert dans la recherche mathématique actuelle3.
Le point de départ est une question facilement compréhensible pour celui à qui elle est posée. Elle n’est pas formalisée en termes mathématiques. C’est la situation qui amène l’élève à l’intérieur des mathématiques.
Les méthodes de résolution ne sont pas désignées. Plusieurs pistes peuvent être suivies. Les connaissances scolaires nécessaires sont les plus élémentaires et réduites possibles
Le domaine conceptuel dans lequel se trouve le problème, même s’il n’est pas familier, est d’un accès facile pour que l’on puisse prendre facilement possession de la situation, s’engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution.
Une question résolue peut amener à se poser de nouvelles questions. Il n’y a que des critères de fin locaux.
La recherche d’une situation recherche, contrairement aux pratiques de classe et aux manuels, comporte trois aspects fondamentaux de l’heuristique mathématique (Grenier, Payan, 2002):
1 par exemple lors d’événements tels que la Fête de la Science,
2 vous trouverez plusieurs situations recherche sur le site : http://www-leibniz.imag.fr/LAVALISE
3 la plupart des situations recherche sont issues du domaine des mathématiques discrètes, un champ des mathématiques comportant de nombreux problèmes compréhensibles et encore ouverts dans la recherche.
• « L’enjeu de vérité ». La plupart du temps, en classe, l’élève sait que ce qu’il a à prouver est vrai (« démontrer que »). « Il n’y a plus d’« enjeu de vérité. (…) L’enjeu est alors pour lui d’apprendre, non de produire une connaissance. » Dans les situations recherche, il peut être amené par exemple à rencontrer l’impossibilité sans que rien dans la situation ne le lui précise. Dès lors, il devra trancher : est-ce difficile ou impossible ? Comment être sûr ?
• « L’aspect social de l’activité». Dans un cours de mathématiques, l’élève est habituellement seul à chercher. Dans une situation recherche, « il peut y avoir un vrai enjeu social de production mathématique », la classe de transformant en communauté de jeunes chercheurs.
• « L’aspect recherche». En classe, la recherche se réduit souvent à celle de la connaissance mathématique à utiliser, « du bon outil ». Dans le cas d’une situation recherche, l’élève est acteur de la recherche, comme le chercheur, il ne sait pas à quoi vont aboutir ses recherches et « utilise des résultats locaux (trouvés en cours de la recherche) ou même des propriétés encore à l’état de conjectures (qui devront être prouvées ou infirmées ensuite), parce qu’elles permettent d’avancer ».
La recherche se fait généralement en groupes de 3 ou 4, afin de favoriser le débat, l’argumentation et éviter les découragements. Les élèves disposent d’une feuille de recherche pour noter ce qu’ils jugent important, garder des traces, parallèlement cela favorise les phases de formulation et incite la mise en place d’un codage, le besoin de chercher peu à peu comment modéliser... Après plusieurs séances de recherche, des mises en commun sont organisées pour que les groupes communiquent leurs résultats, débattent et ainsi créer une unité dans la « petite communauté mathématique » tout au long des séances. Les recherches sont enfin finalisées par une communication
publique (présentation par affiche à l’attention d’autres élèves, séminaire Maths à modeler junior (Pastori, 2011)) afin d’amener les élèves à formaliser leurs résultats, les argumenter,
prouver…
1.3 Jeu et situation recherche
Dans le cadre de mes recherches, je m’intéresse plus particulièrement aux situations recherche qui sont présentées sous forme ludique dans le sens où:
- On peut jouer à un, deux ou plusieurs joueurs.
- Les actions possibles sont organisées par des règles du jeu (les consignes). - Le déroulement d'une partie s'appuie sur l'utilisation d'un support matériel.
- Le jeu permet de traiter tous ou certains aspects de la situation recherche dans le sens où il peut présenter le problème dans des cas particuliers (choix de valeurs).
Contrairement à la majorité des jeux mathématiques et autres casse tête disponibles dans le commerce, le modèle mathématique sous-jacent à une situation recherche est accessible, au moins
en partie, au joueur, ce qui lui permet après un temps de recherche, de mettre en œuvre des arguments mathématiques et de se détacher d’une recherche hasardeuse.
2. EXEMPLE DU JEU DE LA ROUE AUX COULEURS 2.1 Règle du jeu
Ce jeu est constitué de deux disques de tailles différentes, disposés de façon concentrique (Figure 1). Sur le plus grand disque, on pose un certain nombre de pions, tous de couleurs différentes.
Figure 1
Le joueur doit placer sur le petit disque le même nombre de pions, de une, deux, trois ou plus couleurs choisies parmi celles qui sont disposées à l’extérieur. On fait ensuite tourner le petit disque, cran par cran. Le joueur gagne si, dans chaque position du petit disque, un et un seul de ses pions est de la même couleur que celui qui lui correspond sur le grand disque. Quelles sont toutes les façons que le joueur a de choisir et disposer ses pions pour gagner ?
Par exemple,
Maintenant, à vous de jouer !
2.2 Éléments de résolution
Nous noterons (n,k) les différents sous problèmes où n représente le nombre de couleurs placées sur le grand disque et k celui choisi par le joueur. Il apparaît au regard de la résolution que le couple (n,k) constitue une variable de la tâche «recherche», que nous appelons « variable de recherche » dont le choix est laissé à la charge du joueur.
On peut considérer que la résolution de ce problème, pour tout (n,k), se déroule en deux étapes : - Recherche d'une disposition des couleurs sur le disque central
Après quelques essais, plusieurs remarques générales peuvent s’imposer :
- Remarque « couleur»: la nature des couleurs n’a pas d’importance pour la résolution du problème, seule leur position et le fait qu'elles soient distinctes importent.
- Remarque « sens»: le sens de rotation de la roue n’a pas d’importance.
Enfin, coder les couleurs à l'aide de nombres de 0 à n-1 ou de 1 à n peut aider à la recherche. Dans le cadre de cette communication, nous allons nous centrer sur le sous-problème (n,n). Par expérimentation, on trouve facilement des solutions lorsque n = 3, 5, 7 ou encore 9. Mais qu'en est-il des cas (2,2), (4,4) ou tout autre couple (2p,2p)? Cela semble plus difficile… Pour avancer dans le problème, il faut oublier les couleurs et considérer la position relative des pions les uns par rapport aux autres, ce qui permet l’énoncé de méthodes de construction générales. On peut introduire une variable supplémentaire, le décalage entre la position sur le disque extérieur et la position sur le disque intérieur. On peut ainsi obtenir des arguments de preuve dans les cas où il n’y a pas de solution.
3. JEU, SITUATION RECHERCHE ET APPRENTISSAGES
Nos expérimentations autour de plusieurs situations recherche ont montré que l’aspect ludique associé à un support matériel permet, quels que soient l’âge et le niveau de connaissance, de comprendre les règles du jeu et de mettre en place des stratégies de recherche, et s’avère donc être
une aide à la dévolution du problème. Il est aussi une aide à la recherche pour les élèves,
notamment ceux de l’école primaire ou le grand public car il donne l’opportunité de faire facilement des essais et d’exhiber des contre-exemples (Godot, 2005). Ainsi, il permet d’aborder la recherche en mathématiques dans le cadre d’ateliers « sciences » proposés pendant les temps péri et extrascolaires, comme nous le faisons dans le cadre du projet Maths et malice mis en place en partenariat avec l’association grenobloise Sciences et malice4 (Godot, 2012).
Cependant, pour qu’il y ait apprentissages, jouer une seule fois ne suffit pas. Il faut une pratique régulière. Dès lors, les situations recherche ludiques, à l’école ou en dehors, peuvent permettre des
apprentissages constitutifs de toute activité de recherche mathématique, tels que l’intérêt de
commencer par étudier des petites valeurs (alors que les participants ont tendance à faire le
contraire), d’organiser ses essais, de généraliser, d'autres liés à la mémoire de la recherche tels que l’importance de la clarté de la prise de notes et du fait qu’il est aussi important de marquer les erreurs « pour ne pas les refaire ». Les joueurs découvrent également ce qu’est un contre-exemple (et qu’un seul suffit), le statut d’une conjecture, d’une preuve, que certaines questions peuvent rester sans réponse… Des éléments relatifs à la notion même de problème mathématique sont aussi en jeu. D’une part, le fait qu’un problème de mathématiques n’a pas forcément une solution et une seule comme cela est souvent le cas dans les manuels, mais peut en avoir plusieurs ou aucune. D’autre part, qu’il n’y a pas qu’un seul schéma de résolution : quel que soit le niveau de connaissance, plusieurs stratégies de recherche apparaissent même chez les élèves les plus en difficulté.
Enfin, une telle pratique des mathématiques peut aussi conduire à enrichir le rapport personnel du participant vis-à-vis des mathématiques car elle implique une appréhension différente de l’activité mathématique, en les montrant sous un angle expérimental, où le public est actif et acteur. Ces jeux pour apprentis chercheurs peuvent donc aussi contribuer à réconcilier certains avec cette discipline scientifique, souvent mal perçue car mal connue, en lui donnant plus de sens.
BIBLIOGRAPHIE
GODOT K. [2012], Maths et Malice, un projet pour faire découvrir les mathématiques sur le temps du
loisir, Enseignement des mathématiques et contrat social. Enjeux et défis pour le XXIe° siècle,
colloque Espace Mathématiques Francophone, Genève, Février 2012.
GODOT K. [2005], Situations recherche et jeux mathématiques pour la formation et la vulgarisation, Thèse de l’Université Joseph Fourier, Grenoble, novembre 2005. En ligne sur http://tel.ccsd.cnrs.fr/tel-00102171.
GRENIER D., PAYAN C. [1998], Spécificités de la preuve et de la modélisation en mathématiques discrètes, RDM n°18, vol 1, pp 59-100
GRENIER D., PAYAN C. [2002], Situations de recherche en classe : essais de caractérisation et proposition de modélisation, cahiers du séminaire national de recherche en didactique des mathématiques, Paris, 19 Octobre 2002.
PASTORI M. [2011], Faire pratiquer une démarche d'investigation en classe en mathématiques, un exemple : Les ateliers Maths à Modeler et séminaires juniors, in Les enseignants de sciences face aux
