Géométrie des espaces riemanniens

Géométrie des espaces riemanniens

par

Mouhammed Anwar AL GHABRA

mémoire présenté au Département de mathématiques

en vue de l'obtention du grade de maître ès sciences (M.Sc.)

FACULTÉ DES SCIENCES

UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

Le 12 mai 2017

le jury a accepté le mémoire de Monsieur Mouhammed Anwar AL Ghabra dans sa version nale.

Membres du jury

Professeur Virginie Charette Directrice de recherche Département de mathématiques

Professeur Thomas Brütle Membre interne

Département de mathématiques

Professeur Vasilisa Shramchenko Présidente rapporteuse Département de mathématiques

SOMMAIRE

Dans ce travail, nous présentons une méthode de résolution de l'équation de la courbe géodésique en utilisant le symbole de Christoel. En eet, l'équation de la courbe géodé-sique contient une dérivée covariante.

REMERCIEMENTS

Grâce à Dieu j'ai pu mener à terme cette recherche. Je dédie cette maitrise à mes parents, frère et s÷urs, qui m'ont soutenu et encouragé tout au long de mon cursus universitaire qui je dois dire a renfermé plusieurs embuches. Je remercie ma directrice de recherche, la professeure Virginie Charette, pour ses conseils judicieux, pour ses bonnes remarques, pour son soutien et surtout pour sa patience. Je remercie également la professeure Vasilisa Shramchenko et le professeur Thomas Brüstle pour leurs bonnes remarques.

Table des matières

SOMMAIRE iii

REMERCIEMENTS iv

Table des matieres v

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1  Les espaces riemanniens 2

1.1 Dénitions et propriétés . . . 2

1.2 La transformation du tenseur métrique . . . 7

1.2.1 Longueur d'un vecteur dans l'espace riemannien . . . 10

1.2.2 L'angle entre deux vecteurs . . . 10

CHAPITRE 2 Symboles de Christoel 13 2.1 Symboles de Christoel de premier type . . . 13

2.2.1 Les symboles de Christoel dans les coordonnées polaires (r, θ) . . 14

2.2.2 Les symboles de Christoel dans les coordonnées sphériques (r, θ, φ) 15 2.3 Contraction du symbole de Christoel . . . 16

2.4 La dérivée covariante . . . 17

2.4.1 La divergence . . . 18

2.5 Dérivée absolue intrinsèque (dérivée le longd'une courbe) . . . 18

2.6 Géodésique . . . 19

CHAPITRE 3  Tenseur de Riemann 20 3.1 La courbure . . . 20

3.2 Transport parallèle . . . 25

3.3 Équations de géodesiques . . . 26

CHAPITRE 4  Le plan hyperbolique 30 4.1 Le demi plan de Poincaré . . . 30

4.2 L'isométrie dans H2 _{. . . . 30}

4.3 Géodésiques dans le plan hyperbolique . . . 31

CHAPITRE 5  Le plan hyperbolique comme espace métrique 37 5.1 Reconstruction de la géométrie à partir de la métrique . . . 37

CONCLUSION 41

INTRODUCTION

Dans ce mémoire, on parlera de dérivée covariante, d'espace riemannien, qui est un espace métrique, cette dernière nous donne des informations sur l'espace que nous trouvons. Dans ce mémoire, on ne peut pas ignorer l'importance des symboles de Christoel ainsi que les équations des lignes géodésiques. Quand on dérive un vecteur on aura besoin de ses symboles. Dans le système des géodésiques, les courbures sont nulles, comme dans les coordonnées cartésiennes. Dans le troisième chapitre on montre comment faire un transport parallèle, où la dérivée covariante du vecteur est nulle.

Dans le plan hyperbolique, les géodésiques sont des demi cercles et des demi droites perpendiculaires àl'axe des X. On le démontre dans le chapitre 4. Dans le chapitre 5, on dénit une métrique hyperbolique et l'espace hyperbolique est représenté dans ce modèle par une boule ouverte euclidienne (et donc par un disque en dimension 2), mais les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires au bord de la boule.

CHAPITRE 1

Les espaces riemanniens

1.1 Dénitions et propriétés

Une surface est le lieu géométrique des points de R3 _{vériant une contrainte, cette}

contrainte est une équation contenant les coordonnées cartésiennes de R3_.

La géométrie riemannienne part naturellement avec le développement de la géométrie diérentielle des surfaces dans l'espace. Étant donné une surface S ⊆ R3_{, le produit}

sca-laire de deux vecteurs tangents à S en un point x ∈ S mesure leurs longueurs. De même, pour calculer la longueur d'une courbe dans S, il sut d'intégrer la longueur de son vecteur tangent. Plus généralement, le produit scalaire ., . nous permet non seulement de calculer la longueur de ces deux derniers objects géométriques, mais aussi la surface d'un domaine, les angles entre deux courbes, et presque toute idée métrique utilisée en géométrie.

Mais comme dans tous les domaines des mathématiques, cela ne sut pas, donc nous sommes amenés à dénir des nouvelles notions à savoir la géodésique. Cette dernière est la généralisation d'une ligne droite pour une surface, plus précisément : soient x et y

deux points sur une géodésique, la longueur de la partie de la géodésique entre x et y est inférieur ou égale à la longueur de toute autre courbe joignant x avec y.

Dans ce chapitre, on va rappeler quelques notions classiques de la géométrie diérentielle et riemannienne qui vont nous servir pour les prochains chapitres [Kuh15].

Dénition 1 Une variété topologique de dimension n ∈ N est la donnée d'un espace topologique M séparé et d'un recouvrement M = i∈IUi par des ouverts tels que pour

tout i ∈ I, Ui est un ouvert homéomorphe à un ouvert de Rn. On appelle {Ui}i∈I un

atlas.

Remarque : On voit facilement qu'une variété topologique est tout simplement un espace topologique localement semblable à un espace euclidien de dimension n.

Exemples :

(a) Rn _{est une variété topologique de dimension n .}

(b)Le cercle S1 est une variété topologique compacte connexe de dimension 1.

Dénition 2 Un atlas de classe C∞_{, et de dimension n ∈ N sur un espace topologique}

M est la donnée d'un atlas {(Ui, ϕi)}i∈I tel que :

∀i, j ∈ I, ϕ−1

j ◦ϕi : ϕ−1i (ϕi(Ui)∩ϕj(Uj)) → ϕ−1j (ϕi(Ui)∩ϕj(Uj)) est un C∞-diéomorphisme.

Remarque : Sur l'ensemble des atlas sur M on peut dénir une relation d'équivalence : * Deux atlas sur M sont équivalents si leur réunion est encore un atlas sur M.

* L'atlas maximal est l'atlas obtenu en considérant la réunion de tous les atlas équivalents.

Dénition 3 Une variété diérentielle de classe C∞_{et de dimension n ∈ N est la donnée}

d'un espace topologique M et d'un atlas maximal sur M de classe C∞ _{et de dimension}

Exemple : Une variété topologique est en particulier une variété diérentielle de classe

C0.

Dans ce qui suit, une variété diérentielle signie une variété diérentielle de dimension

n et de classe C∞.

Dénition 4 Soient M1 et M2 deux variétés diérentielles de dimension n et m

res-pectivement. On dit qu'une application ψ : M1 → M2 est diérentiable en p ∈ M1 si

pour toute carte (U, α) en ψ(p) ∈ M2 il existe une carte (V, β) en p ∈ M1 telle que

ψ(β(V ))⊆ α(U) et l'application α−1◦ ψ ◦ β : U ⊂ Rn_{→ R}m _{est diérentiable en β}−1_(p).

Puisque nous nous sommes intéressés aux sous-variétés du plan et de l'espace, on se restreint dans ce qui suit aux sous-variétés de Rn_.

Dénition 5 Soit M une variété diérentielle et p ∈ M. On note DpM l'ensemble des

applications diérentiables α :] − , [→ M telle que α(0) = p.

Dénition 6 Soit M une variété diérentielle. Une fonction diérentiable α :] − , [→

M est dite une courbe diérentiable dans M.

Supposons que α(0) = p ∈ M, et soit D l'ensemble des fonctions sur M qui sont dié-rentiables en p.

Dénition 7 Le vecteur tangent àla courbe α en t = 0 est la fonctionnelle α(0) :

D→ R donnée par : α(0)(f) = d(f◦α)_dt |t=0, f ∈ D.

Un vecteur tangent en p est le vecteur tangent en t = 0 d'une courbe α :] − , [→ M avec

α(0) = p.

L'espace de tous les vecteurs tangents à M en p est noté TpM.

Soit M une variété de dimension n et U, (x1(t), ..., xn_(t)) _{une carte locale avec p ∈ U.}

Alors on a α_{(0)(f) = d} dt(f ◦ α)|t=0 = n i=1x  i(0)(∂x∂fi) =  n i=1x  i(0)(∂x∂i)  f.

Alors le vecteur α(0) peut être donné par :

α(0) = n  i=1 x_i(0) ∂ ∂xi  . On remarque que ∂

∂xi est un vecteur tangent en p pour la courbe αi(t) donnée par

(x1_{, ..., x}i_{, ...x}n_{) = (0, ..., t, ..., 0).}

Aussi l'ensemble TpM est un espace vectoriel de dimension n, et le choix d'une

paramé-tisation X : U ⊂ Rn_{→ M détermine une base {} ∂ ∂xi, ...,

∂

∂xn} dans TpM.

Dénition 8 Soit M ⊆ Rm _{une variété diérentielle de dimension n. Une métrique}

riemannienne sur M est un champ tensoriel ds2 _{: T}

pM × TpM → R tel que dans un

voisinage de point p ∈ M avec une carte locale U, (x1, ..., xn₎_:

ds2_p =

n



i,j=1

gijdxi⊗ dxj

où gij sont des fonctions continues sur M et dxi, dxj ∈ (TpM )∗, l'espace dual de TpM,

sont tels que dxi₍ ∂

∂xj) = δij.

Les coecients de la matrice (gij)i,j sont appelés les coecients de la métrique.

La forme ds2 _{est une forme quadratique symétrique non dégénérée dénie positive sur U.}

Le tenseur métrique ds2

p est appliqué à deux vecteurs u, v ∈ TpM, où

u =n_i=1ui ∂ ∂xi et v = n i=1vi ∂∂xi comme suit ds2_p(u, v) = n  i,j=1 gijdxi( n  k=1 uk ∂ ∂xk) ⊗ dx j₍ n  l=1 vl ∂ ∂xl) = n  i,j=1 gijuivj. Notons ds2 p(·, ·) = ·, ·p.

Dénition 9 Une variété diérentielle munie d'une métrique riemannienne est dite une variété riemannienne.

Exemples : a) Sur M = R, on pose

u∂ ∂x, v ∂ ∂xp = h(p)dx ⊗ dx(u ∂ ∂x, v ∂ ∂x) = h(p)udx( ∂ ∂x)vdx( ∂ ∂x) = uv

où h : R → R∗ _{> 0 est une fonction C}∞ _{et dx ◦ dx est la forme quadratique sur R  T} pR

dénie par dx⊗dx(u, u) = u2_{pour tout u ∈ R. Alors ·, ·}

p est une métrique riemannienne

C∞ sur R.

b) Si M est une sous-variété de Rn_{, alors le produit scalaire canonique ·, · de R}n _induit

une métrique sur M en posant, pour p ∈ M, u, vp = u, v.

c) On note ·, · la métrique induite sur Sn _{par la métrique de R}n+1_{, alors}

gij(p) =  ∂ ∂xi , ∂ ∂xj = 4δij 1 + (φ−1 N (p)|2)2 , avec

φN : Rn−→ Sn {N} (Nest le pôle nord),

(x₁, .., x_n) −→  _2x 1 1 + |x|2, .., 2xn 1 + |x|2, |x|2 _{− 1} 1 + |x|2  .

Considérons la métrique riemannienne sur Rn _{dénie par la forme quadratique suivante :}

ds2 =

n



i,j=1

gijdxi⊗ dxj. (1.1)

On dit qu'une variété riemannienne est un espace euclidien s'il existe une base de TpM

telle que la matrice du produit scalaire ·, ·p dans cette base est In . Donc Rn est un

espace euclidien car sa métrique usuelle par rapport à la base {e1, e2,· · · , en} est :

ds2 =

n



i=1

d'où la matrice de la métrique : (gij) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 . . . 0 1 0 . . . ... 0 . . . 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠= In. .

1.2 La transformation du tenseur métrique

Dans le reste du document la sommation sur les indices répétés est sous-entendue.

Soit ds2 _{le tenseur métrique dans les coordonnées x}1_{, x}2_{, . . . , x}n_{. Soient y}1_{, y}2_{, . . . , y}n _de

nouvelles coordonnées. Montrons que le tenseur métrique dans ces nouvelles coordonnées est : g_ij = ∂x α ∂yi ∂xβ ∂jjgαβ. (1.2)

Soit u, v deux vecteurs dans l'espace tangent dont les composantes par rapport àla base ( ∂ ∂y1, ..., ∂ ∂yn) sont u = u i ∂ ∂yi, v = v j ∂

∂yj.Par dénition, on a,

ds2 = gαβdxα⊗ dxβ.

En appliquant le tenseur ds2 _{aux vecteurs u et v, on obtient,}

ds2(u, v) = gαβdxα(ui

∂

∂yi) ⊗ dx β_(vj ∂

∂yj),

ce qui peut être réécrit comme suit,

ds2(u, v) = gαβdxα(ui ∂xk ∂yi ∂ ∂xk) ⊗ dx β_(vj∂xk ∂yj ∂ ∂xk).

En utilisant dxα₍ ∂ ∂xk) = δαk ds2(u, v) = gαβui ∂xα ∂yiv j∂xβ ∂yj = gαβ ∂xα ∂yi ∂xβ ∂yju i_vj_.

On peut reécrire la dernière égalité comme suit,

ds2(u, v) = gαβ ∂xα ∂yi ∂xβ ∂yjdy i_(u)dyj_(v),

ce qui nous donne

ds2 = gαβ ∂xα ∂yi ∂xβ ∂yj dy i_{⊗ dy}j = g_ijdyi⊗ dyj,

et par conséquent on obtient

g_ij = ∂x

α

∂yi

∂xβ

∂yjgαβ.

Donnons quelques exemples : Exemples :

Soient (x1_{, x}2_{) = (x, y) les coordonnées cartésiennes sur R}2_{. Soient (y}1_{, y}2_{) = (r, θ) les}

coordonnées polaires. Alors les composantes du tenseur métrique par rapport aux coor-données polaires sont :

g_ij = ∂x 1 ∂yi ∂x1 ∂yj + 0 + 0 + ∂x2 ∂yi ∂x2 ∂yj. Plus précisément, g₁₁ = g_rr = ∂x ∂r ∂x ∂r + ∂y ∂r ∂y ∂r = cos2_{θ + sin}2_{θ = 1,} g₁₂ = g₂₁ = 0, g₂₂ = g_θθ = ∂x ∂θ ∂x ∂θ + ∂y ∂θ ∂y ∂θ = (−rsinθ)2_{+ (rcosθ)}2 _{= r}2_,

(g_ij) =  1 0 0 r2  . (1.3) . La métrique est (ds)2 _{= (dr)}2_{+ r}2_(dθ)2_. Exemples :

Soient (x1_{, x}2_{, x}3_{) = (x, y, z) les coordonnées cartésiennes R}3_.

Soient (y1_{, y}2_{, y}3_{) = (r, θ, z) les coordonnées cylindriques. Alors les composantes g}

ij par

rapport aux coordonnées cylindriques sont :

g₁₁ = g_rr = ∂x ∂r ∂x ∂r + ∂y ∂r ∂y ∂r = cos2_{θ + sin}2_{θ = 1,} g₁₂ = g₂₁ = g₁₃= g₃₁= g₂₃= g₃₂= 0, g₂₂ = r2, g₃₃ = 1, (g_ij) = ⎛ ⎝1 0 00 r2 ₀ 0 0 1 ⎞ ⎠ . La métrique devient alors :

(ds)2 _{= (dr)}2_{+ r}2_(dθ)2_{+ (dz)}2_.

Exemples :

Les composantes du tenseur métrique par rapport aux coordonnées sphériques s'ob-tiennent comme suit.

Soient (x1_{, x}2_{, x}3_{) = (x, y, z) les coordonnées cartésiennes sur R}3_.

Soient (y1_{, y}2_{, y}3_{) = (r, θ, φ) les coordonnées sphériques. Alors les composantes du tenseur}

métrique par rapport aux coordonnées sphériques sont :

g₃₃= g_φφ = (−r sin θ.sinφ)2+ (r sin θ cos φ)2 = r2sin2θ, et donc (g_ij) = ⎛ ⎝1 00 r2 0₀ 0 0 r2_sin2_θ ⎞ ⎠ , et la métrique est (ds)2 _{= (dr)}2_{+ r}2_(dθ)2_{+ r}2_sin2_θ(dφ)2_.

Dénition 10 On appelle l'inverse de la matrice (gij) le tenseur métrique conjugé. On

le note par (gij_).

1.2.1 Longueur d'un vecteur dans l'espace riemannien

Soit A = (A1_{, A}2_{, ...A}n_{) un vecteur. Alors on note sa longueur par A et on la calcule}

comme suit,

A2 = ds2_{(A, A) = g}

ijAiAj. (1.4)

On dénit le vecteur unité comme le vecteur de longueur 1 .

1.2.2 L'angle entre deux vecteurs

On dénit l'angle α entre deux vecteurs A, B par la formule suivante :

cos α = gijAiBj

AiBj. (1.5)

Soient A et B deux vecteurs dans R3 _{au point M dont les coordonnées cartésiennes sont}

(x, y, z) et les coordonnées cylindriques sont (r, θ, z), tels que les composantes cartésiennes du vecteur A sont : A = 1 ∂ ∂x + 0 ∂ ∂y + 2 ∂ ∂z,

et les composantes cylindriques du vecteur B sont :

B = r ∂ ∂r + 0 ∂ ∂θ + 1 ∂ ∂z.

Trouvons l'angle entre A et B.

D'abord, calculons la longueur de A dans la métrique euclidienne. On obtient :

A2 _{= (A}1₎2_{+ (A}2₎2_{+ (A}3₎2 _{= 1 + 0 + 4 = 5 avec,} (gij ) = ⎛ ⎝ 1 0 00 1 0 0 0 1 ⎞ ⎠ . Ensuite, calculons la longueur de B dans la même métrique.

La métrique en coordonnées cylindriques est donnée par la matrice

(gij ) = ⎛ ⎝ 1 0 00 r2 ₀ 0 0 1 ⎞ ⎠ . Par conséquent on obtient :

B2 _{= (B}1₎2_{+ r}2_(B2₎2_{+ (B}3₎2 _{= r}2_{+ 0 + 1 = r}2_{+ 1, et donc B =}√_{1 + r}2_.

Pour calculer le produit scalaire, on calcule les coordonnées cartésiennes de B. Notons la représentation cartésienne de B = (B1, B2, B3) et sa représentation en coordonnées

On a la relation entre les deux représentations, ⎛ ⎜ ⎝ B1 B2 B3 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂z ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂z ∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂z ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎝B 1 B2 B3 ⎞ ⎠ . Alors, B1 = r cos θ + 0 = r cos θ = x B2 = r sin θ + 0 = r sin θ = y B3 = 1 alors B = x∂ ∂x+ y ∂ ∂y + 1 ∂ ∂z, donc gijAiBj = (A1B1+ A2B2+ A3B3) = x + 0 + 2 = x + 2. D'où, cos α = √ x + 2 5x2+ y2+ 1.

CHAPITRE 2

Symboles de Christoel

Dans ce chapitre, on désire développer un outil pour l'étude des propriétés intrinsèques des surfaces, et plus généralement des variétés riemanniennes. Plus précisément, on veut détecter rapidement le fait que deux surfaces ne sont pas isométriques i.e. s'il n'existe pas un diéomorphisme entre eux qui préserve la distance. L'un des outils est la connexion de Levi-Civita. Elle s'exprime à l'aide des symboles de Christoel [Hoy06].

2.1 Symboles de Christoel de premier type

Étant donné une métrique correspondant à la matrice (gij) sur une varieté riemannienne,

les symboles de Christoel de premier type sont les quantités suivantes :

[i j, k] = 1 2 _∂g ik ∂xj +∂gjk ∂xi − ∂gij ∂xk  . (2.1)

On remarque qu'ils sont symétriques pour les deux indices i, j, mais qu'ils ne sont pas symétriques pour i, k ou j, k.

Si on a un espace de dimension n, alors le nombre des symboles de Christoel est n3_.

2.2 Symboles de Christoel de deuxième type

Les symboles de Christoel de deuxième type sont les quantités suivantes :  i jk  = gis_{j k, s}_{, (2.2)} s = 1, 2, ..., n.

Les symboles de Christoel de deuxième type sont symétriques par rapport à j et k. Remarque : Les symboles de Christoel de la métrique euclidienne sont nuls parce que les coecients de la métrique sont constants.

2.2.1 Les symboles de Christoel dans les coordonnées polaires

(r, θ)

Calculons les symboles de Christoel de premier type.

Dans la section 1.2, nous avons calculé la matrice de la métrique en coordonnées polaires

(gij) =

1 0 0 r2



. (2.3)

En utilisant les symboles de Christoel de premier type, nous trouvons

[1 1, 1] = 0, [1 1, 2] = 0, [1 2, 1] = 0,

[1 2, 2] = 1 2 ∂r2 ∂r = r = [2 1, 2], [2 1, 1] = 0, [2 2, 1] = −1₂  ∂r2 ∂r  = −r, [2 2, 2] = 0.

Calculons maintenant les symboles de Christoel de deuxième type. Si [i j, k] = 0, alors



i jk



= 0. Donc les symboles de Christoel non nuls sont

 1 2 2  ,  2 2 1  ,  2 1 2  . Nous avons  2 2 1  = g21_{2 1, 1}_{+ g}22_{2 1, 2} = 1 r2r = 1 r =  2 1 2  . De plus  1 22  = g11_{2 2, 1}_{+ g}12_{2 2, 2}_{= −r.}

2.2.2 Les symboles de Christoel dans les coordonnées

sphé-riques (r, θ, φ)

Comme nous avons calculé dans la section 1.2) la métrique dans ce cas est donnée par

(gij) = 1 0 0 0 r2 ₀ 0 0 r2_sin2_θ  . (2.4)

Les seuls symboles non nuls sont :

[1 2, 1], [2 1, 2], [2 2, 1], [1 3, 3], [3 1, 3], [3 3, 1], [2 3, 3], [3 2, 3], [3 3, 2]. Calculons ces symboles :

[1 2, 2] = 1 2(2r) = r = [2 1, 2], [2 2, 1] = 1 2(−2r) = −r, [1 3, 3] = 1 2(2r sin θ) = r sin2θ = [3 1, 3], [3 3, 1] = 1 2(−2r sin2θ) = −r sin2θ, [2 3, 3] = 1

2(2r2sin2θ cos θ) = r2sin θ cos θ = [3 2, 3], [3 3, 2] = −r2_{sin θ cos θ.}

Remarquons que l'identité suivante

[ij, k] + [kj, i] = ∂gik

∂xj

. (2.5)

peut être obtenue en utilisant la dénition des symboles de Chistoel comme suit : 1 2 _∂g ik ∂xj + ∂gjk ∂xi − ∂gij ∂xk  + 1 2 _∂g ki ∂xj + ∂gji ∂xk − ∂gkj ∂xi  = ∂gik ∂xj .

2.3 Contraction du symbole de Christoel

Dans la dénition de symbole de Christoel de deuxième type posons i = j. Rappelons qu'on note gij _{les coecients de la matrice inverse de g}

ij. Nous obtenons  i i k  = 1 2gij _∂g ij ∂xk +∂gkj ∂xi −∂gik ∂xj  = 1 2gij ∂gij ∂xk +1 2gij ∂gkj ∂xi −1₂gij∂gik ∂xj = 1 2gij ∂gij ∂xk . (2.6)

Notons g = det(gij) et notons Gij le déterminant de la matrice des cofacteurs. Alors g = gijGij.Et donc _∂g∂g_ij = Gij. Étant donné gij = 1 gG ij_, nous obtenons gij = 1 g ∂g ∂gij ,

et donc nous avons pour les symboles de Chistoel  i i k  = 1 2 1 g ∂g ∂gij ∂gij ∂xk = 1 2 1 g ∂g ∂xk, d'où _ i i k  = ∂ ∂xk log √g. (2.7)

2.4 La dérivée covariante

Un champ de vecteurs est la donnée d'un vecteur en tout point d'une variété, on peut dénir sa dérivée covariante comme suit. Soit A = (A1_{, ..., A}n_{) un champ de vecteurs en}

coordonnées xj_{. Alors sa dérivée covariante est un champ vectoriel (A}1

;j, ..., An;j) où : Ai_;j = ∂A i ∂xj +  i jk  Ak. (2.8)

Étant donnée un champ de covecteurs A = (A1, ..., An) par rapport à xj (un covecteur est

une forme linéaire sur l'espace tangent) sa dérivée covariante est un champ de covecteurs (A_1;j, ..., An;j) dont les composantes sont :

Ai;j = ∂A_∂xji −  k ji  Ak. (2.9)

2.4.1 La divergence

On dénit la divergence pour un champ vectoriel A = (A1_{, ..., A}n_{) comme suit :}

divA = Ai_;i= ∂A_∂xii +  i ij  Aj, divA = ∂A_∂xii + (_∂x∂_j log √g)Aj.

(2.10)

2.5 Dérivée absolue intrinsèque (dérivée le long d'une

courbe)

Soit A un vecteur dans le plan tangent TpM, nous allons dénir DtA la dérivée absolue

de A le long d'une courbe.

Soit une courbe γ(t) sur M dénie par xi _{= x}i_{(t) tels que (x}1_{, ..., x}n_{) sont les coordonnées}

locales. Alors on a DtA = (DtA1, ...DtAn) où :

DtAi = ∂Ai ∂t +  i jk  Ak∂x j ∂t . (2.11)

On note aussi cette dérivée : ∇_γ_(t)A = D_tA où γ(t) =

 ∂x1 ∂t , ∂x2 ∂t , ..., ∂xn ∂t  .

Exemple dans R2_{. Trouvons les composantes de la première et de la deuxième dérivée}

absolue dans les coordonnées cartésiennes (x, y). Écrivons γ(t) = x(t)e1+ y(t)e2. Alors γ(t) =

 dx dt, dy dt  .

On a r = xe1+ y e2, Ax = x, Ay = y. Étant donné que tous les symboles de Christoel

sont nuls pour la métrique euclidienne, nous avons

DtAx = Dtx = dx_dt = x  , DtAy = Dty = dy_dt = y  .

Pour la deuxième dérivée on a Vx = x, Vy = y et : D_tVx _{= D} tx  _{= dx} dt = x  , DtVy = Dty  ₌ dy dt = y  . (2.12)

2.6

Géodésique

On dit que la courbe γ(t) est une géodésique pour une métrique si et seulement si 

˙γ(s) ˙γ(s) = 0 où γ˙(s) est le vecteur tangent. Le paramètre s mesure la longueur d'arc

de γ. Donc ds = γ_{(t)dt. Nous avons : ˙γ(s) = γ}_(t)dt

ds = γ(t)1 γ(t).

Remarque : Dans l'espace euclidien : _˙γ(s) ˙γ(s) = d˙γ(s) ds .

CHAPITRE 3

Tenseur de Riemann

Pour bien comprendre la géométrie riemannienne, il est indispensable d'utiliser la théorie du calcul tensoriel.

L'un des outils de base de cette théorie est le tenseur de Riemann. L'importance de ce dernier découle du fait qu'il est possible de trouver une description concrète de la courbure de l'espace à partir des symboles de Christoel.

3.1 La courbure

Le tenseur de courbure est déni à l'aide d'une connexion de Levi-Civita pour tous les champs vectoriels X, Y et Z, c'est-à-dire X, Y, Z ∈ C∞_{(T M) [Car92].}

Soit (M, g) une variété riemannienne.

L'operateur de la courbure riemannienne est déni par :

R(X, Y )Z =∇Y∇XZ− ∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z où [X, Y ] = (Xj ∂Yi ∂xj − Y j ∂Xi ∂xj) ∂

∂xi est le crochet de Lie,

et ∇XZ =  Xi_Zj  k ij  + Xi ∂Zk ∂xi  ∂

∂xk est la dérivée covariante de Z dans la direction X.

Démontrons que si M = Rn _{alors R(X, Y )Z = 0 pour tous X, Y, Z ∈ C}∞_{(T M).}

Soit Z un champ vectoriel donné par Z = (Z1, Z2, ...Zn) ∈ Rn.

D'abord on montre que

∇Y(∇XZk) − ∇X(∇YZk) = ∇[Y,X]Zk. (∗) Par dénition ∇Y(∇XZk) − ∇X(∇YZk) = ∇Y(Xi ∂Zk ∂xi ) − ∇X(Y i∂Zk ∂xi ) = Yj ∂ ∂xj(X i∂Zk ∂xi ) − X j ∂ ∂xj(Y i∂Zk ∂xi ) = Yj₍∂Xi ∂xj ∂Zk ∂xj + X i ∂2Zk ∂xj_∂xi) − X j₍∂Yi ∂xj ∂Zk ∂xj + Y i ∂2Zk ∂xj_∂xi) = ∂Zk ∂xi (Y j∂Xi ∂xj − X j∂Yi ∂xj) = ∇[Y,X]Zk.

Étant donné que les symboles de Christoel sont nuls pour la métrique euclidienne, nous avons

∇XZ = (∇XZ1,∇XZ2, ....∇XZn),

∇Y∇XZ = (∇Y∇XZ1,∇Y∇XZ2, ....∇y∇XZn)

.

∇Y∇XZ − ∇X∇YZ = (∇Y∇XZ1 − ∇X∇YZ1,∇Y∇XZ2 − ∇X∇YZ2, ...,∇y∇XZn −

∇X∇YZn) = (∇[Y,X]Z1,∇[Y,X]Z2, ...,∇[Y,X]Zn) = ∇[Y,X]Z.

Cela donne

R(X, Y )Z =∇Y∇XZ− ∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z =∇[Y,X]Z +∇[X,Y ]Z = 0.

Proposition 1 La courbure R(X, Y ) a les propriétés suivantes : [Car92]

pour f, g ∈ D(M) (l'ensemble des fonctions diérentiable sur M), X, Y, Z, W ∈ C∞_{(T M) :}

(i) R est bilinéaire dans C∞_{(T M) × C}∞_{(T M)}

R(f X₁ + gX₂, Y ) = f R(X₁, Y ) + gR(X₂, Y ) R(X, gY₁+ gY₂) = fR(X, Y₁) + gR(X, Y₂) X₁, X₂, Y₁, Y₂ ∈ C∞(T M) (ii) R(X, Y )(Z + W ) = R(X, Y )(Z) + R(X, Y )(W ) (iii) R(X, Y )(fZ) = fR(X, Y )(Z) Démonstration.

Notons que ∇XZ vérie les propriétés suivantes :

1-∇f X1+gX2Z = f∇X1Z + g∇X2Z,

2-∇X(Z + W ) = ∇XZ +∇XW,

3- ∇Xf Z = f∇XZ + (∇Xf )Z.

On montre ces propriétés. 1- On a ∇f X1+gX2Z =  (fX₁+ gX₂)i_Zj  k ij  + (fX₁+ gX₂)i∂Zk ∂xi  _∂ ∂xk = f(X₁)i_Zj  k ij  + (X₁)i∂Zk ∂xi  _∂ ∂xk + g  (X₂)i_Zj  k ij  + (X₂)i∂Zk ∂xi  _∂ ∂xk = f∇X1Z + g∇X2Z.

2-On a ∇X(Z + W ) =  Xi(Z + W )j  k ij  + Xi∂(Z + W )k ∂xi  _∂ ∂xk =XiZj  k ij  + Xi∂Zk ∂xi  _∂ ∂xk +  XiWj  k ij  + Xi∂Wk ∂xi  _∂ ∂xk = ∇XZ +∇XW. 3- On a ∇Xf Z =  Xi(fZ)j  k ij  + Xi∂(f Z)k ∂xi  _∂ ∂xk = fXiZj  k ij  + Xi∂Zk ∂xi  _∂ ∂xk + ( ∂f ∂xiX i_)Zk ∂ ∂xk = f∇XZ + (∇Xf )Z.

Nous allons utiliser ces propriétés dans la démonstration de la proposition. Pour la pre-mière partie, on a, R(f X₁ + gX₂, Y )Z =∇Y∇f X1+gX2Z − ∇f X1+gX2∇YZ +∇[fX1+gX2,Y]Z = ∇Y∇f X1Z − ∇f X1∇YZ +∇[fX1,Y]Z +∇Y∇gX2Z − ∇gX2∇YZ +∇[gX2,Y]Z = f∇Y∇X1Z + (∇Yf )∇X1Z− f∇X1∇YZ + f∇[X1,Y]Z− ∇(∇Yf)X1Z + g∇Y∇X2Z + (∇Yg)∇X2Z− g∇X2∇YZ + g∇[X2,Y]Z − ∇(∇Yg)X2Z = f∇Y∇X1Z − f∇X1∇YZ + f∇[X1,Y]Z + g∇Y∇X2Z − g∇X2∇YZ + g∇[X2,Y]Z = fR(X₁, Y ) + gR(X₂, y).

Et de la même méthode on montre que

Pour la deuxième partie

R(X, Y )(Z + W ) =∇Y∇X(Z + W ) − ∇X∇Y(Z + W ) + ∇[X,Y ](Z + W )

= ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z +∇Y∇XW − ∇X∇YW +∇[X,Y ]W

= R(X, Y )(Z) + R(X, Y )(W ).

Pour la troisième partie, remarquons que

∇Y∇X(fZ) = ∇Y(f∇XZ +∇Xf Z)

= f∇Y∇XZ +∇Yf (∇XZ) + (∇Xf )(∇YZ) + (∇Y(∇Xf ))Z,

alors

∇Y∇X(fZ) − ∇X∇Y(fZ) = f(∇y∇X − ∇X∇Y)Z + ((∇Y(∇Xf )− (∇X(∇Yf ))Z,

d'où

R(X, Y )f Z = f∇Y∇XZ− f∇X∇YZ + (∇[Y,X]f )Z + f∇[X,Y ]Z + (∇[X,Y ]f )Z

= fR(X, Y )Z.

Ce qui termine la démonstration.

Proposition 2 R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0. [Car92]

Démonstration.

R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y =∇Y∇XZ− ∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z +∇Z∇YX− ∇Y∇ZX

+ ∇[Y,Z]X +∇X∇ZY − ∇Z∇XY +∇[Z,X]Y

= ∇Y[X, Z] + ∇Z[Y, X] + ∇X[Z, Y ]

− ∇[X,Z]Y − ∇[Y,X]Z− ∇[Z,Y ]X

= [Y, [X, Z]] + [Z, [Y, X]] + [X, [Z, X]] = 0

Ce qui termine la démonstration.

3.2 Transport parallèle

Avant de dénir une notion générale de courbure pour un espace arbitraire, nous devons savoir comparer des vecteurs à des positions diérentes sur une varieté. Le transport parallèle permet de comparer un vecteur dans un plan tangent à un vecteur dans un autre. Cette comparaison est faite en déplaçant le vecteur le long d'une courbe sans le changer.

On dit que le champ vectoriel V circule parallèlement le long de la courbe γ si sa dérivée le long de la courbe γ est nulle, c'est-à-dire ∇γ(t)V = 0. En d'autres mots, V est la

solution de l'équation :

DtV = 0 (3.1)

où γ(t) = (u1_{, ..., u}n_{) et u}α ₌ dxα

dt et (x1, ..., x

3.3 Équations de géodesiques

Soit γ(λ) une courbe dans une variété riemannienne munie d'une métrique dτ2 _{= g}

αβdxαdxβ.

Alors le vecteur vitesse le long de la courbe est donnée par uα₌ dxα

dτ et le vecteur tangent

est tα ₌ dxα dλ .

Alors la longueur d'arc de γ entre γ(0) et γ(τ) est donnée par

τ =  τ 0  gαβdxαdxβ =  τ 0  gαβ dxα dλ dxβ dλ dλ.

Nous pouvons trouver une équation pour les géodésiques en trouvant l'équation pour les extrema de τ. 0 = δτ = δ  τ 0  gαβ dxα dλ dxβ dλ dλ =  τ 0 1 2gαβdx α dλ dxβ dλ δ(gαβ dxα dλ dxβ dλ )dλ =  τ 0 1 2gαβdx α dλ dxβ dλ (δgαβ dxα dλ dxβ dλ + gαβ dδxα dλ dxβ dλ + gαβ dxα dλ dδxβ dλ )dλ =  τ 0 1 2gαβdx α dλ dxβ dλ (gαβ,μ dxα dλ dxβ dλ )δx μ_dλ −  τ 0 d dλ( 1 2−gαβdx α dλ dxβ dλ gαβ dxβ dλ )δx α_dλ −  τ 0 d dλ( 1 2gαβdx α dλ dxβ dλ gαβ dxα dλ )δx β_dλ.

Nous choisissons le paramètre λ comme de temps propre (longueur). Alors gαβ dxα dλ dxβ dλ = gαβ dxα dτ dxβ dτ = c 2 _{= 1.}

On multiplie l'équation par −1, donc on a, 0 = 1 2  τ 0 ((−gαβ,μ dxα dτ dxβ dτ )δx μ₊ d dτ(gαβ dxβ dτ )δx α₊ d dτ(gαβ dxα dτ )δx β_)dλ = 1 2  τ 0 ((−gαβ,μ uαuβ)δxμ+ d dτ(gαβu β_)δxα₊ d dτ(gαβu α_)δxβ_)dλ = 1 2  τ 0 ((−gαβ,μ uαuβ)δxμ+ (gαβ,νuνuβ+ gαβ duβ dτ )δx α_{+ (g} αβ,νuνuα+ gαβ duα dτ )δx β_)dλ = 1 2  τ 0 ((−gαβ,μ uαuβ) + (gμβ,νuνuβ + gμβ duβ dτ ) + (gαμ,νu ν_uα_{+ g} αμ duα dτ ))δx μ_dλ = 1 2  τ 0 (gμβ,νuνuβ+ gαμ,νuνuα− gαβ,μuαuβ + gμβ duβ dτ + gαμ duα dτ )δx μ_dλ.

Alors l'équations de la géodesique est 0 = 1 2(gμβ,νuνuβ+ gαμ,νuνuα− gαβ,μuαuβ+ gμβ duβ dτ + gαμ duα dτ ) = 1 2(gμβ,α+ gαμ,β − gαβ,μ)uαuβ+ gμβ duβ dτ , 0 = gνμ_g μβ duβ dτ + 1 2gνμ(gμβ,α+ gαμ,β − gαβ,μ)uαuβ, duν dτ +  ν αβ  uαuβ = 0. (3.2)

Exemple : Géodesiques sur 2-sphere

On a la métrique donnée par : ds2 _{= dθ}2_{+ sin}2_dϕ2_{. Alors,}

gij =  1 0 0 sin2_θ  , et gij =  1 0 0 1 sin2_θ  .

On calcule les symboles de Christoel, on obtient,  θ ϕϕ  = 1 2gθθ(gθϕ,ϕ+ gθϕ,ϕ− gϕϕ,θ) = 1 2 ∂(− sin2θ) ∂θ = − sin θ cos θ,  ϕ θϕ  =  ϕ ϕθ  = 1 2gϕϕ(gϕϕ,θ+ gϕθ,ϕ− gθϕ,ϕ) = 1 2 1 sin2_θ ∂(sin2θ) ∂θ = cos θ sin θ,  θ θθ  =  ϕ ϕϕ  =  ϕ θθ  =  θ ϕθ  = 0. Alors les équations de la géodesiques sont :

duθ dτ +  θ αβ  uαuβ = 0, duϕ dτ +  ϕ αβ  uαuβ = 0.

Pour la première équation on a,

duθ dτ +  θ ϕϕ  uϕuϕ = 0, duθ dτ − (u ϕ₎2_{sin θ cos θ = 0.}

Pour la deuxième équation, duϕ dτ +  ϕ ϕθ  uϕuθ+  ϕ θϕ  uθuϕ = 0, duϕ dτ + 2u ϕ_uθcos θ sin θ = 0. Si on prend les valeurs initiales,

θ₀ = π 2, ϕ₀ = 0, uϕ₀ = 1, uθ₀ = 0, (duθ dτ )0 = (u ϕ 0)2sin θ0cos θ0 = 0, duϕ dτ = −2u ϕ_uθcos θ sin θ = 0. Alors uθ_{, u}ϕ _{sont constants}

ui = (0, 1), dθ dτ = 0, dϕ dτ = 1, θ = θ₀ = π 2, ϕ = ϕ₀+ τ = τ.

CHAPITRE 4

Le plan hyperbolique

4.1 Le demi plan de Poincaré

On prend le demi plan complexe :

H2 = {z = x + iy| y > 0} et on le munit de la métrique suivante :

ds2 = dx

2_{+ dy}2

y2 , v, vH =  v, v_E

y2 . (4.1)

La distance entre deux points mesurée avec cette métrique est donnée par :

dis(x1, y1 , x2, y2)= arcosh(1 + (x2−x1)

2_+(y2−y1)2

2y1y2 ).

4.2 L'isométrie dans H

1. z −→ λz, λ ∈ R. λz_(t) H =  λz(t) λImz(t) =  z(t) Imz(t) = z _(t) H. 2. z −→ z + c, c ∈ R . z_{(t) + c} H =  z(t) Imz(t) = z _(t) H. 3. z −→ −1 z , R(z) = −1_z = R(reiθ_{) =} −1 r e−iθ = 1rei(π−θ), R_(z(t)) H =  R(z(t)) ImR(z(t)) = | 1 z2(t)z(t)| 1 rsin(π − θ) = |z(t)| r sin(θ) = z _(t) H. 4. z −→ az+b

cz+d, a, b, c, d ∈ C. Pour démontrer que c'est une isométrie de H2 nous

représentons comme une composition des isométries

z −→ c2z + da −→ −1 c2z + dc −→ − ad− bc c2z + dc −→ a c − ad− bc c2z + dc = az + b cz + d.

4.3 Géodésiques dans le plan hyperbolique

Proposition 3 Une géodésique pour cette métrique est soit un arc de cercle perpendicu-laire à l'axe réel (un demi cercle dont l'origine est sur l'axe réel) ou soit une ligne droite verticale [BS12].

Démonstration.

Nous allons montrer que les deux types de courbes de la proposition vérient l'équation 

(a) Considérons les droites verticales. Ce sont des courbes représentées par

γ(t) = a + iet_{, t∈ R}

ou bien γ(t) = (a, y(t)) avec y(t) = et_{, par conséquent γ}_{(t) = (0, y). Pour calculer}

∇˙γ(s)˙γ(s) nous allons d'abord déterminer ˙γ(s) où s est le paramètre de longueur de la

courbe.

Pour cela, calculons γ_(t) H. Par dénition, ds2 = (dx, dy)(gij)  dx dy  = dx2+ dy2 y2 . Alors, (gij) =  ₁ y2 0 0 1 y2  . Alors on a γ_2 H = (0, y)  ₁ y2 0 0 1 y2   0 y  = (0,1 y) ₀ y  = 1. Alors ˙γ(s) = γ(t) γ_(t) H = γ_{(t) = iy.} Donc on a ˙γ(s) = (0, y) de plus v₁ = 0 v₂ = y

La matrice inverse est (gij_{) =}  y2 0 0 y2  . Calculons ∇˙γ(s)˙γ(s) ∇˙γ(s)˙γ(s) = ∇(0,y)(0, y) = ∇(0,y)(0, y)

= ∇(0e1+ye2)(0e1+ ye2)

Par la dénition de la dérivée ∇ nous avons

∇iej =  k ij  ek, c'est-à-dire ∇1e1 =  1 1 1  e₁+  2 1 1  e₂ = (g11_{[1 1, 1] + g}12_{[1 1, 2])e} 1+ (g21[1 1, 1] + g22[1 1, 2])e2, ∇1e2 =  1 1 2  e₁+  2 1 2  e₂ = (g11_{[1 2, 1] + g}12_{[1 2, 2])e} 1+ (g21[1 2, 1] + g22[1 2, 2])e2, ∇2e1 =  1 2 1  e₁+  2 2 1  e₂ = (g11_{[2 1, 1] + g}12_{[2 1, 2])e} 1+ (g21[2 1, 1] + g22[2 1, 2])e2, ∇2e2 =  1 2 2  e₁+  2 2 2  e₂ = (g11_{[2 2, 1] + g}12_{[2 2, 2])e} 1+ (g21[2 2, 1] + g22[2 2, 2])e2.

∇e1e1 = 1₂y2 _∂g11 ∂x + ∂g11 ∂x − ∂g11 ∂x  e₁+1₂y2  ∂g12 ∂x + ∂g12 ∂x − ∂g11 ∂y  e₂ = 1_ye₂, ∇e1e2 = 1₂y2  ∂g11 ∂y + ∂g21 ∂x − ∂g11 ∂x  e₁+1₂y2∂g12 ∂y + ∂g22 ∂x − ∂g12 ∂y  e₂ = −1_ye₁, ∇e2e1 = 1₂y2 _∂g21 ∂X + ∂g11 ∂Y − ∂g21 ∂x  e₁+1₂y2  ∂g22 ∂X + ∂g12 ∂Y − ∂g21 ∂y  e₂ = −1_ye₁, ∇e2e2 = 1₂y2  ∂g21 ∂y + ∂g21 ∂x − ∂g21 ∂x  e₁+1₂y2  ∂g22 ∂y + ∂g22 ∂y − ∂g22 ∂y  e₂ = −1_ye₂. Donc ∇e1e1 = (0,1y), ∇e1e2 = (−1y, 0), ∇e2e1 = (−1y, 0), ∇e2e2 = (0, −1y). On a, ∇˙γ(s)˙γ(s) = ∇(v1e1+v2e2)(v1e1+ v2e2) = v₁∇e1(v1e1+ v2e2) + v2∇e2(v1e1+ v2e2) = v₁v₁∇e1e1+ v1∇e1v1e1+ v1v2∇e1e2+ v1∇e1v2e2 + v₂v₁∇e2e1+ v2∇e2v1e1+ v2v2∇e2e2+ v2∇e2v2e2 = v₁(∂v1 ∂x, ∂v₂ ∂x) + v2( ∂v₁ ∂y, ∂v₂ ∂y ) + v1(− v₂ y , v₁ y ) + v2(− v₁ y ,− v₂ y ) =  ∂v1 ∂x ∂v1 ∂y ∂v2 ∂x ∂v2 ∂y  +  _−v2 y −vy1 v1 y − v2 y   v₁ v₂  =  0 0 0 1  +  −1 0 0 −1  ₀ y  =  −1 0 0 0  ₀ y  = ₀ 0 

Donc γ(t) est une géodesique.

(b) Considérons les arcs d'un cercle. Ce sont des courbes représentées par

γ(t) = R cos t + iR sin t, avec t ∈ ]0, π[

γ_(t)2 H = (−y, x)  ₁ y2 0 0 1 y2   −y x  = y2+ x2 y2 = R2 y2 Alors γ_(t) H = R y et donc : ˙γ(s) = γ(t) γ_(t) H = (−y + ix) R y = −y2 R + ixy R , v₁ = −y 2 R , v2 = xy R . On a ∇˙γ(s)˙γ(s) =  ∂v1 ∂x ∂v1 ∂y ∂v2 ∂x ∂v2 ∂y  +  _−v2 y −vy1 v1 y − v2 y   v₁ v₂  =  0 −2y R y R x R  +  _−x R y R −y R − x R  _−y2 R xy R  =  _−x R −yR 0 0  _−y2 R xy R  =  0 0  .

Donc γ(t) est une géodesique. On montre l'unicité.

Soit la courbe α(t) une solution de l'équation ∇˙α(s)˙α(s) = 0 tels que

Étant donné y0 > 0, il existe un demi cercle γ(t) dont l'origine est sur l'axe réel et satisfait

γ(0) = α(0), γ(0) = α(0). En particulier si γ(0) est parallèle à l'axe y, alors γ(t) est une

ligne droite verticale.

Grace au théorème fondamental des équations diérentielles ordinaires : il ya une seule solution α(t) à l'équation ∇˙α(s)˙α(s) = 0 avec les conditions initiales α(0) = (x0, y0 >

0), α_{(0) = (v}

1, v2). Mais γ(t) est une solution de cette équation qui satisfait ces

condi-tions, donc γ(t) = α(t).

CHAPITRE 5

Le plan hyperbolique comme espace

métrique

Nous venons de voir que l'espace hyperbolique muni de sa distance hyperbolique est un espace métrique. Nous allons reconstituer sa géométrie à partir de la distance. Nous allons reconstituer les géodésiques [Gud07].

5.1 Reconstruction de la géométrie à partir de la

mé-trique

5.1.1 Les géodésiques se construisent à partir de la distance

Exemple : Le demi plan de Poincaré

H2 = {Z = x + iy| y > 0}

Rappelons que la métrique est :

ds2 = dx

2_{+ dy}2

y2

On prend les géodésiques suivants : (a) γ(t) = R sin(t) + iR cos(t), t ∈ (−Π

2,Π2) Si on a A = R sin(t₁) + iR cos(t₁), B = R sin(t₂) + iR cos(t₂), X = R sin(t∗) + iR cos(t∗) où t1 < t∗ < t2 A, B, X ∈ γ(t). On a d(A, X) =  t∗ t1 1

cos(t)dt = arc cosh( 1

cosh(t∗₎) − arc cosh(

1 cos(t₁)), d(X, B) =  t2 t∗ 1

cos(t)dt = arc cosh( 1

cosh(t₂)) − arc cosh( 1 cos(t∗₎).

Donc on a

d(A, X) + d(X, B) = arc cosh( 1

cos(t₂)) − arc cosh( 1

(b) γ(t) = a + iet _{,t ∈ R} Si on a A = a + iet1_, B = a + iet2_, X = a + iet∗, où t1 < t∗ < t2 A, B, X ∈ γ(t). On a d(A, X) =  e(t∗) e(t1) dy y = t ∗_{− t} 1, d(X, B) =  e(t2) e(t∗) dy y = t2− t ∗_. Donc on a d(A, X) + d(X, B) = t₂− t₁ = d(A, B).

Exemple : Dans la surface {(x1, x2, x3) ∈ R3 où −x21+ x22+ x23 = −1},

On prend la géodésique γ(t) = (cosh(t), sinh(t), 0) Si on a A = (cosh(t₁), sinh(t₁), 0), B = (cosh(t₂), sinh(t₂), 0), X = (cosh(t), sinh(t), 0),

où t1 < t < t2.

A, B, X ∈ γ(t).

d(A, X) = arc cosh(−(A ◦ X))

= arc cosh(−(− cosh(t1) cosh(t) + sinh(t1) sinh(t)))

= t − t1,

d(X, B) = arc cosh(−(X ◦ B))

= arc cosh(−(− cosh(t) cosh(t2) + sinh(t) sinh(t2)))

= t₂− t.

Donc on a

CONCLUSION

On a trouvé que le tenseur métrique est un tenseur covariant d'ordre 2. La dérivée absolue intrinsèque est une dérivée covariante par rapport à γ(t) et la dérivée absolue intrinsèque de γ

(t) pour le géodésique est nulle. On a aussi trouvé que nous avons le transport parallèle pour un vecteur quand sa dérivée absolue intrinsèque est nulle.

Bibliographie

[AMB56] W AMBROSE. Parallel translation of Riemannian curvature. Number 64. Ann of Math, 1956.

[BS12] JensBolte and Frank Steiner. Hyperbolic Geometry and Application in Quan-tum Chaos and Cosmology. Number 397. Cambridge University Press, 2012. [Car92] M. P. Carmo. Riemannian Geometry. Number ISBN : 0817634908 in

Mathe-matics : theory and applications. Boston, 1992.

[Gud07] Sigmundur Gudmundsson. An Introduction to Riemannian Geometry. Lund University, 2007.

[Hoy06] P. Hoyng. Relativistic Astrophysics and Cosmology :A Primer. Number ISBN : 1402045239. Springer-Verlag, Berlin, 2006.

[Kuh15] Wolfgang Kuhnel. Dierential Geometry. Number ISBN : 08221839888. Ame-rican Mathematical Soc, 2015.