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Edge Stabilization for the Incompressible Navier-Stokes Equations: a Continuous Interior Penalty Finite Element Method

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Academic year: 2021

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(1)Edge Stabilization for the Incompressible Navier-Stokes Equations: a Continuous Interior Penalty Finite Element Method Erik Burman, Miguel Angel Fernández, Peter Hansbo. To cite this version: Erik Burman, Miguel Angel Fernández, Peter Hansbo. Edge Stabilization for the Incompressible Navier-Stokes Equations: a Continuous Interior Penalty Finite Element Method. [Research Report] RR-5349, INRIA. 2004, pp.34. �inria-00070653�. HAL Id: inria-00070653 https://hal.inria.fr/inria-00070653 Submitted on 19 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Edge Stabilization for the Incompressible Navier-Stokes Equations: a Continuous Interior Penalty Finite Element Method Erik Burman — Miguel Ángel Fernández — Peter Hansbo. N° 5349 Octobre 2004. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5349--FR+ENG. Thème BIO. apport de recherche.

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(63) ‰Œ  K ›m wž C ‰„1› 2Š¸ y[žŸ‹ w„‡†•›—(K)  e0† G F  ŠÆԍŒ‹ ‹ ž Ÿy›—5†}euw‘wy›“•y„‡‰Buw‘Š‹m w‰×žŠ¹Ô‹„ “}x2‰º†˜‚ Ês¹Ô‹“3›m ƒ‚2¶*†˜uŠ¶<y[‹ “}y yŒyx2y e†F„ ‰K,„P›ÓKœw›—∈“F›—Tx2yuw†}y›n“P̃‰ºž  Šy[Ž œH›y[†* wž Œy[‰Œ Š›m„‡ŽÕ†3‹m‹m Î Šy†}uwŸ‹y½x2x x yT‹„‡u  h ≤ ρh ρ > 0 “}y[Žm‘Š›—“•‰º†˜‚m w‹m“3†•uŠyy“•“}‹“›m w›—Œ‚ „‡‰„[Ãe¶y„}uw›—Œ6‘w„}y¼†•uŠy¹Ô‹mŒŒ‹¶*‰º ŠŽ †•“•›Ÿy¨‰º ŠyTe‘w›—Œ‰×†˜‚   ÆÚ¥eÊ kvk ≤ C h kvk + h kvk ∀v ∈ H (K), ¶*uwy“•y C ‰„*›CŽy Šy[“}‰ŸŸ‹ w„˜†F›— e†*‰º Hž yœ"y wžŠy e†L‹—¹ h Æٹԋm“L›2œw“}‹ƒ‹—¹A„‡y[yP¾ ©mÅ Ã œ5Âs©—É—ËÙÊ w‹m“L› Žm‰ŒÌmy[ œŠ‰Œy[Ÿy¶*‰„‡yŸ‹m e†}‰Œ ƒ‘Š‹m‘w„¹Ô‘w wŸ,†•‰º‹  ϕ à †•uŠy3–˜‘Šx2œ JϕK ‹Ìmy[“3› yTž Žmy e ‰„Lž 'y 2w Šy[žˆƒ‚ ‰º¹ e 6⊂ ∂Ω, ( lim (ϕ(x + tn ) − ϕ(x − tn )), JϕK (x) = ‰º¹ e ⊂ ∂Ω, 0, ¶*uwy“•y n ‰Œ„L›  Š‹“}xP›m"‘w Š‰×†¼Ìmy[Ÿ†}‹“‹  e ›— wž x ∈ e  {µ ½†•uŠ‰„¼œH›—œ"y“1¶y%Œy† žŠy Š‹m†}y†•uŠy „‡†•›m wžŠ›m“•ž½„}œw›mŸy‹—¹sŸ‹m e†}‰Œ ƒ‘Š‹m‘H„3¹Ô‘Š wŸ†}‰Œ‹m w„¨‹—¹`œŠ‰Œy[Ÿy¶*‰„‡y œ"‹‚ƒ Š‹mx2‰›—B‹m“Fž y[“ k ≥ 1 à V K. h. 0. K. h. K0. −1 K. 2 0,∂K. 2 0,K. 2 1,K. K. 1. K. e. def. e. ›m wž. e. k h. def. Vhk =. H 2 (Th ). e. t→0+. e. . v ∈ H 1 (Ω) : v|K ∈ Pk (K),. †•uŠy„}œw›mŸy¼‹m¹AœŠ‰Œy[Ÿy¶*‰„‡y def. H 2 (Th ) =. . H2. ¹Ô‘w wŸ,†•‰º‹ w„. ∀K ∈ Th .. ∀K ∈ Th .. v : Ω −→ R : v|K ∈ H 2 (K),. w‹m“†•uŠyÛÌmy[º‹ Ÿ‰×†•‰ºyT„¶<yÕ¶*‰ŒºC‘w„}yӆ}uŠyۄ}œw›mŸy. ›— wž¹Ô‹“½†}uŠyҜŠ“}yT„}„}‘Š“•y§¶yÕ¶*‰ŒºC‘w„‡y Q = [V ]  µ {   • † Š u § y } „ [ y e  Š ‘ [ y V  * à  ¶ Á y Œ   y † ž  y Š   m ‹ } † ½ y • † Š u y§„‡†•›m wžŠ›m“•ž Íbœw“}‹m–˜y[Ÿ,†•‰º‹ X‹mœ"y“F›†}‹“Ö‹m e†•‹ †•uŠy ∩2H Š‰×†•y¼y[ºy[x2y e†„}œw›mŸy[„[ݛm wžP¶y1xP›—·πyL Š‹% w‹—†•›—†}‰Œ‹m w›mHž ‰By“•y wŸy1Lˆ"y†˜¶yy 2†•uŠy¨œŠ“}‹m–˜y[Ÿ†}‰Œ‹m P‹m e†•‹ †•uŠy*Ìmy[º‹ Ÿ‰×†˜‚›m wž%œw“}yT„}„}‘Š“•y„}œw›mŸy[„[Â+ÜÝyL›—„‡‹‰Œ e†}“•‹ƒžŠ‘wŸy3›œŠ‰Œy[Ÿy[¶*‰Œ„}yº‰Œ Šy[›m“”›—œŠœw“}‹n¸ ‰Œx2›—†}yTžÌmy[º‹ Ÿ‰×†˜‚ „}‘wŸFu†}uw›—† β ∈ [V ] ÆV£mÊ kβ − β k ≤ Ch kβk , ∀K ∈ T . »¼y Š‹m†}‰Œ ŠŽ½†•uŠy֜Š“•‹ ž ‘wŸ,†%„}œw›Ÿy W = [V ] × Q ‹‘Š“ 2w w‰×†•yÖyŒyx2y e†x2y†•uŠ‹ žÓ“}yT›mžŠ5„ E 2w Hž „‡‘HŸFu®†•uw›† (u , p ) ∈ W   ÆÚÉÊ A (u , p ), (v , q ) = F (v , q ) , ∀(v , q ) ∈ W , Vhk. L20 (Ω). h. h 0,∞,K. k def h. k h. h. h. * *. 2. 1 d h. h. h. k d h. æRST. EH. h. h. h. K. 1,∞,K. k d h. h. k h. h. h. h. h. k h. k h.

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(65) @& )    /K > P

(66)  '<  É. ¶*‰º†}u ÆbȗÊ.  def A (uh , ph ), (vh , qh ) = ah (uh , vh ) + bh (ph , vh ) − bh (qh , uh ) + ju (uh , vh ) + jp (ph , qh ), def. ÆÚŝÊ. ah (uh , vh ) = a(uh , vh ) − h2νε(uh )n, vh i∂Ω − huh , 2νε(vh )ni∂Ω D n E E D ν νo + γn max |β|, , uh · n, vh · n − hβ · n uh , vh i∂Ωin + γν uh , vh h h ∂Ω ∂Ω. ÆÚ¦Ê. def. bh (ph , vh ) = b(ph , vh ) + hph , vh · ni∂Ω , Z h2K (β · J∇uh K) · (β h · J∇vh K) ds kβk0,∞,K ∂K h K∈Th Z X J∇ · uh KJ∇ · vh K ds, γdiv h2K kβk0,∞,K + def. ju (uh , vh ) =. X. γβ. ∂K. K∈Th. def. jp (ph , qh ) =. X. γp ξ(ReK ). K∈Th. n. ƇÇ[ªÊ.  def F (vh , qh ) = (f , vh ),. †•uŠy‹m‘Š†˜¶›m“•ž®œH‹‰º e†}‰Œ ŠŽP Š‹“}xP›mH†•‹. h2K kβk0,∞,K. ∂Ω. hx, yi∂Ω. ƇÇmÇTÊ. J∇ph K · J∇qh K ds, ∂K. ʛm wž‘w„}‰º ŠŽ †•uŠy Š‹—†F›†•‰º‹ . kβk0,∞,K hK , ν Z X def = xy ds,. def. ReK =. Z. def. ξ(λ) = min{1, λ}, def. ∂Ωin = {x ∈ ∂Ω : (β · n)(x) < 0}.. t3uwy¨Ž“•›ž ‰Œy e†(–˜‘Šx2œ†•y“•xP„*„‡y[“}̝y¼†•uŠ“•yyœŠ‘Š“•œH‹e„‡yT„'E ÇmÂ*„˜†F›—ˆŠ‰ŒŒ‰ºÐT›†}‰Œ‹m ‹—¹A†}uwyŸ‹m ƒÌy[Ÿ,†•‰ºÌyL†•y“•x2„%Æن}uwy#2w“•„‡†L„‡‘wx ‰Œ ÓƇÇ[ªmÊ}ÊG © Â3Žm‰ŒÌƒ‰º ŠŽP›žŠž ‰º†}‰Œ‹m w›m5Ÿ‹m e†•“}‹"‹m¹

(67) †•uŠy‰Œ wŸ‹x œw“}yT„}„}‰ºˆw‰ºŒ‰×†˜‚ÖŸ‹m wžŠ‰×†•‰º‹ ÝÆԆ}uŠy%„}y[Ÿ‹m wž„}‘Šx‰Œ ÓƇÇ[ªmʕÊG ¤ŠÂ3xP›—·ƒ‰º wŽC†•uŠyž ‰„}Ÿ“}y†}‰ŒÐ[›—†}‰Œ‹m  54  

(68) 09 „‡†•›mˆŠºyÖÆԆ}uŠy„}‘Šx ‰º ÓƘǝÇTʇÊ ÜÝy%¶*‰ŒŒ

(69) „}yy%‰Œ †}uwyC›— H›—Œ‚ƒ„}‰„*†}uH›†L†•uŠy[„}y†•uŠ“}y[y‹mˆŠ–˜y[Ÿ,†•‰ºÌy[„¼›—“•y›—Œ

(70) ‹ˆ †•›m‰º ŠyTž‰º Á†}uŠy „}›mx y¹Ú›„‡uw‰º‹  2H›m w“•„‡ž††}‹muw“F›—ž †¼y“¨yT„}†}„}y[y“} ex†}‰Â2›—Œ{Œ‚P†%„}†}uŠuŠ‹myC‘ŠŽmž§“F›mž ˆH‰ŒyPy e Š†(‹m–˜†}‘ŠyTžÁx2œÁ†•uw‹›œH†y[¹Ô“•‹›—“†}‹m†}“LuŠy֟[›—Ÿ[ ½›m„}„‡yC†•›—‹mˆw¹s‰ºŒ†}‰ºuwÐ[y%yP›—‰º w ƒŸ‚‹mx2‰º wœŠ„‡†•“•›my[ˆŠ„•„‡‰Œº‰Œ‰ºˆŠ†˜Œ‚y œwÀ¼“}›n‹̝̃‹m‰ºy[·m“‡yT͘žÖ€e†}ˆƒ‹‚·myT› „ yTe‘w›†•‰º‹ w„2‰×†x ‰ŒŽmue†®ˆ"yϛž Ì›— e†•›mŽmy‹‘w„C†}‹Ò„}‘Šˆw„‡†}‰º†}‘Š†}y½†•uŠy½†}y[“}xMŸ‹ e†}“•‹mŒº‰Œ ŠŽÝ†}uŠy֖˜‘Šx2œw„Ö‰Œ X†}uŠy žŠ‰ºÌy“•Žmy HŸy2ˆƒ‚φ•uŠy®Ÿ›m„•„}‰ŒŸ[›—”Œy[›„˜†%„•e‘w›—“•y[„„‡†•›mˆŠ‰ºŒ‰ŒÐ‰Œ ŠŽ½†}y[“}x ‰º Û‹“•žŠy“†}‹ ·yy[œÏž ‹¶* Á†•uŠy2ˆw›— Hž ¶*‰×†•uϋm¹”†}uŠy2xP›†•“}‰º¸6 DL‹¶y̝y“L¹Ô‹“x ‹“}y (γŸ‹x h∇œwºy¸Á· uœŠ“},‹∇ˆŠŒy· xPv„)„‡‘wŸFu§›m„¨º‹¶3Í OϛmŸFA u w‹¶9†•uŠy3–˜‘Šx2œ†}y“•x ‰„3y¸ œ"y[Ÿ†}y[ž†•‹ uH›nÌmy„‡‹x2y›ž Ì›— e†•›mŽmyT„ „}„}‘Šx2‰º wŽÓ„}@‘ ?֟‰Œy e†P“•yŽm‘wŒ›m“}‰º†˜‚§‹m¹1†•uŠyy¸Š›mŸ†2„}‹mŒ‘ †}‰Œ‹m Î†}uwy›mˆH‹̝yֹԋ“}xC‘ŠŒ›—†}‰Œ‹m Î‰Œ„2„‡†}“•‹m ŠŽº‚ Ÿ‹m w„}‰„˜†•y e†[ e⊂∂Ω. e. . div. h. h. . å 5åÙí )(+*.

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(78) @ + 4 ÆÚÉÊ , 3/2+. d+1. h. k h. h.  A (u − uh , p − ph ), (vh , qh ) = 0,.   5C4 t3uŠ‰„A‰Œ„A›— C‰ºx2x2y[ž ‰›†•yŸ‹m w„}y[e‘Šy[ wŸy<‹—¹Š†•uŠy3Ÿ‹m H„‡‰„˜†•y wŸ‚‹—¹Š†•uŠy„‡†•›m wžŠ›m“•ž%Ñ›mºy[“}·ƒ‰Œ x2y†}uw‹ƒž ›m wžÏ†}uŠy2¹Ú›Ÿ,††}uw›—†‘Š wž y[“†}uŠyP“•yŽ‘Š›—“•‰×†˜‚½›m„•„}‘Šx2œ †}‰Œ‹m w„ j (p, q ) = 0 ›— wž j (u, v ) = 0 Ã+„}‰Œ wŸy ›— wž J∇uK = 0 ¹Ô‹m“L›mº6‰Œ e†}y[“}‰Œ‹m“*yTž ŽmyT„ e   J∇pK = 0 C A  F HG %Ò A $M

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(80) 7!&  C,K7&('   /  ,#93 & /=(= 7  <'

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(82) 7, -,. . ∗ h. γβ γlow. 4   v. 2. h. d. k d h.  1 γlow jβ (vh , vh ) ≤ kh 2 β h · ∇vh − πh∗ (β h · ∇vh ) k20,Ω ≤ jβ (vh , vh ). ∈ [Vhk ]d. h. *. , . jβ (vh , vh ) = γβ. X Z. h2K |β h · J∇vh K|2 ds..   5C4 Š‹m“¨y[›ŸFuÁ Š‹ ž y Ã6ºy† ˆ"y †}uŠy  ƒ‘Šx%ˆ"y“‹—¹<yŒyx2y e†•„Ÿ‹m e†•›m‰º Š‰Œ ŠŽ x ›m„¨›® w‹ƒžŠymÂt3uŠy[  ¶yž y2H Šy›2‘H›m„}‰×Í ‰º e†•y“•xœH‹Œ›m † nπ ‹—¹AžŠyŽm“•yy k ˆƒ‚ K∈Th. i. i ∗ h. def. w‹m“*yT›mŸFu®y[ºy[x2y e†. M<Œy[›m“}Œ‚mà  w‹ƒžŠy[„ δ xj. πh∗ v(xi ) = K ∈ Th. X. =0. 1 2. = hK. EH. v|K (xi ),. ∀v ∈ [H 2 (Th )]d .. {K : xi ∈K}.  def 21 δK = h K βh · ∇vh|K − πh∗ (βh · ∇vh )|K .. 1. æRST. 1 ni. Ÿ‹m H„‡‰ž y“†•uŠy¹Ô‘Š wŸ†}‰Œ‹m . 2 δK (xj ) = hK. * *. i. Ô¹ ‹m“LyT›mŸFu‰º e†•y“•‰º‹“* Š‹ ž y à < ¶  y w u ›n̝y ∈ ∂K K (xj ). ∂K. 1 nj 1 nj. X. ◦. x j ∈K. ¶*uŠy“•y[›„*‹m †}uwyyŒyx2y e†LyTž ŽmyT„ʉb ymÂ<¹Ô‹m“1›mº. βh · ∇vh|K (xj ) − ∇vh|K 0 (xj ). {K 0 : xj ∈K 0 }. X. X. {K 0 : xj ∈K 0 } e∈P (K,K 0 ). β h (xj ) · J∇vh Ke (xj ),. . ƇÇT©mÊ.

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(85)  '<  Å. ¶*uwy“•y „˜†F›— wžw„s¹Ô‹“s†•uŠy„‡y†‹m¹+y[žŠŽmy[„<ˆ"y†˜¶yy  ›m wž Æن}uwy¨„}uŠ‹m“}†}yT„˜†œw›†•uHÊ,Â`ÜÝy Š‹¶ ‰Œ e†}“•‹ ž ‘wPŸ(K, y¨†•uŠKy“})y¹Ôy“•y wŸy¼y[ºy[x2y e† Kˆ ›— wž6ʹԋm“*y[›ŸFu K ∈KT Æ}uŠKy›?2 wyx2›mœŠœŠ‰Œ ŠŽ 0. 0. h. ˆ + bK , FK (ˆ x) = BK x. ˆ ∀ˆ x ∈ K,. „}‘wŸFuφ}uw›—† F (K)ˆ = K Â

(86) ‰Œ w›mºŒ‚mÃ5Œy† ϕ ÃB¹Ô‹“ j = 1, . . . , k Ã6†•uŠy2ˆw›m„}‰„1¹Ô‘w wŸ,†•‰º‹ w„‹m  K Â2€ƒ‰º HŸy ¹Ô‹m“<y[›ŸFu ‰Œ e†}y[“}‰Œ‹m“” w‹ƒžŠy à ‰Œx2œŠŒ‰ºyT„`†}uH›† ‰Œ   δ (x ) = 0 t3uwy“•y¹Ô‹m“•ymÃ6ˆƒ‚§y[e‘Š‰ŒÌn›mºy[ wŸy2‹m¹< Š‹“}xPx„∈‹m ÕKž ‰kδ„•Ÿ“•y†}◦yPF„}œwk›mŸy[„[Ã6‘w=„}‰º0 ŠŽÁ›„‡†•›m wžŠ›—“FžÝδ„}Ÿ[›—◦ŒF‰º ŠŽ=›—“•Žm0‘wx y[Kˆ e† ÆV„‡y[y2¾ ©ŠÇ—Êœ5”¦ÉËÔÊ<›m wžÝƘÇT©Ê,ʉº†*¹Ô‹mŒŒ‹¶L„s†•uw›† K j ◦. K. K. j. j. 2 K 0,∂ K ˆ. K. K. K. kδK k20,K = det BK kδK ◦ FK k20,Kˆ ≤ C det BK kδK ◦ FK k20,∂ Kˆ Z 1 −T ˆ | dˆ = |δK ◦ FK |2 det BK |BK n s −T {z } | ˆ |BK n ˆ| ∂K ds Z T ≤ C|BK | |δK |2 ds ∂K Z ≤ ChK |δK |2 ds ∂K. ≤ ChK. Z. Ch2K. Z. ≤. ≤ Ch2K. Z. k X. ∂K j=1. 2 |δK (xj )|2 (ϕK j ) ds. k X 1 n ∂K j=1 j k X. ∂K j=1. ≤ Ch2K. X Z. 1 nj. e. {K 0. X. : xj. X. ∈K 0 }. X. 2 |βh (xj ) · J∇vh Ke (xj )|2 (ϕK j ) ds. e∈P (K,K 0 ). 2 |β h (xj ) · J∇vh Ke (xj )|2 (ϕK j ) ds. e∈E(K). |βh · J∇vh Ke |2 ds,. *¶ uwy“•ymÃw‰Œ ½†•uŠy†˜¶‹PŒ›„˜†¼‰º ŠyTe‘w›—Œ‰×†•‰ºyT„à E(K) ž y[ Š‹—†•y[„*†•uŠyC„}y†¨‹—¹`y[žŠŽmy[„1Ÿ‹m e†F›—‰Œ Š‰º wŽ®„‡‹x2y Š‹ ž y‹m¹ ¼|¼ †}uŠyC‹—†•uŠy“¼uw›— wž5Ãw†•uŠy%Œ‹ Ÿ›—

(87) ‘H›m„}‰+“•yŽm‘wŒ›m“}‰º†˜‚®‹m¹ ‰Œx œwº‰Œy[„L†}uw›—†1†}uwy%xP›¸ ‰Œx%‘Šx  ƒ‘Šx%ˆ"y“ K ‹m¹+‹ ŸŸ‘Š“}“•y HŸy[„<‹—¹(›%yTž Žmy¨‰Œ ›mº"†}uwy„}y†F„ E(K) ‰„ˆH‹‘Š wž TyTž®ˆƒ‚Ö› 2Š¸ y[žŸ‹m H„˜†F›— e†‰Œ wž y[œHy[ wž y[ †*‹m¹ ”t3uŠy +à ˆe‚„‡‘wx xP›—†}‰Œ‹m ‹m  K à ¶yŽmy†3†•uŠy‘ŠœŠœ"y“Lˆ"‹m‘w wž h e∈E(K). h. K. kh. 1 2. βh · ∇vh −. πh∗ (β h. · ∇vh ). . k20,Ω. ≤C. X. h2K. K∈Th. ≤C. X Z. K∈Th. X Z. e∈E(K). ∂K. e. |βh · J∇vh Ke |2 ds,. h2K |βh · J∇vh K|2 ds,. å 5åÙí )(+*.

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(101) )7, ν. cI 2. -,.. sup.  A (uh , ph ), (vh , qh ) ≥ C|||(uh , ph )|||∗ , |||(vh , qh )|||∗. 4   (u , p ) ∈ W ß Û² ± !#  ,#9  5 

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(118) 7. k ≥ 1. 1. 2 + C max kβk0,∞,K hk+ 2 kpkk+1,Ω ,.  7  7 $/K89/ '  . K∈Th.  . .  /.   5C4 z‚®†}uŠy„‡†•›— HžŠ›—“Fž®y[“}“•‹m“3yT„˜†•‰ºxP›†•y¨¹Ô‹m“3†}uwy L Í œŠ“•‹—–˜yTŸ,†}‰Œ‹m ÝÆڄ}yy2¾ŒÇnÈ[ËÔʶ<yuH›nÌmy C>0. γν γn γβ γdiv. γp. 2. 1. 1. kσ 2 (u − πh u)k0,Ω ≤ Cσ 2 hk+1 kukk+1,Ω .. :¼„‡‰Œ ŠŽ½ Š‹¶@†}uŠy ͵„˜†F›—ˆŠ‰ŒŒ‰×†˜‚Á‹m¹3†}uŠy Í œŠ“}‹m–˜y[Ÿ†}‰Œ‹m Ý‹m Óº‹ Ÿ[›—Œº‚Ϗe‘w›„‡‰ºÍ ‘Š Š‰º¹Ô‹m“•x«x2y[„}uŠy[„ÖÆV„‡y[y½¾ ¥mËÙÊ ¶y¨Žmy†Tà ¶*‰×†•u i HŠž y Š‹m†}‰Œ ŠŽ †}uŠy Š‹ žŠ›m6‰ºL e†}y[“}œ"‹m›— e†*›— wž›2„˜†F›— wžw›—“FžÖ‰Œ †•y“•œH‹Œ›—†}‰Œ‹m y“•“}‹“<yT„˜†•‰ºxP›†•ymà 1. 2. h. 1. 1. 1. kν 2 ∇(ih u − πh u)k0,Ω ≤ Ckν 2 ∇(ih u − u)k0,Ω ≤ Cν 2 hk kukk+1,Ω .. ÜÝy†•“}yT›†*†}uwy%ˆ"‹m‘Š wžw›—“•‚Ö†}y[“}xP„*‘H„‡‰Œ ŠŽ2†}uwy†}“F›mŸy‰º wy[e‘w›—Œ‰º†˜‚§ÆÔ¥ƒÊ3‰Œ ÁŸ‹mxCˆŠ‰Œ w›†•‰º‹ ¶*‰º†}u†•uŠy%›mˆH‹̝y yT„˜†•‰ºxP›—†}y[„¹Ô‹“3†}uŠy L Í  Š‹m“•x›— Hž®†•uŠy H Í „}yx2‰6 Š‹“}xà ym ŽwΈ 2. 1. ku − πh uk20,∂Ω ≤ C. X. e⊂∂Ω 2k+1. ≤ Ch. 2 2 h−1 e ku − πh uk0,Ke + he ku − πh uk1,Ke. kuk2k+1,Ω ,. . ƇÇT£mÊ. ¶*uwy“•y žŠy Š‹m†}y[„%†}uwy„}‰ºx2œŠŒy¸Ò„}‘wŸFuՆ•uw›† ÂÓt3uwy‰Œ e†}y“•‰Œ‹m“%œ"y H›—º†˜‚Ó†}y“•xP„C›m“}y †•“}yT›†•y[žK‰º †}uwy„}›mx y¨¹Ú›„‡uŠ‰Œ‹m ›m„†•uŠyˆ"‹m‘Š wžw›—“•e‚2⊂†}y“•∂K xP„Â`∩ÜÝ∂Ω yuw›n̝y j (u − π u, u − π u) ≤ j (i u − π u, i u − π u) ƇÇ[ÉÊ e. e. u. h. h. u. h. h. h. h. + ju (u − ih u, u − ih u).. * *. æRST. EH.

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(127) @& Q , (u, p) ∈ [H (Ω)] I4 &( k ≥ 1  Q-,. '

(128) @   4 ƇÇTÊ  / (u , p ) ∈ W <7  , '

(129) @  C4 ÆVÉÊ ,.' k+1. h. h. |||(u − uh , p − ph )||| ≤ C.  -,. d+1. k h. . kβk1,∞,Ω σ + σ 1/2 1 2. −1. . h. k+1. 1 2. + max{ν, kβk0,∞,Ω h} h. 1. 2 + C max kβk0,∞,K hk+ 2 kpkk+1,Ω ,.  7  7 $/K89/ '   C>0 K∈Th.  . .  /.   5C4 ¿+y†1ž yTŸ‹x œ"‹„}y¨†}uŠyy[“}“•‹m“ (u − u , p − p ) ‰º †˜¶‹ œH›—“}†•„ h. γν γn γβ γdiv. k. . kukk+1,Ω. γp. h. u − u h = u − π h u + πh u − u h = e π − e h , | {z } | {z } −eh eπ p − p h = p − π h p + πh p − p h = y π − y h . | {z } | {z } −yh yπ. å 5åÙí )(+*.

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