ARTheque - STEF - ENS Cachan | Frein à sabot rigide

(1)

FREIN 8

SHOOT

RIGIDE

Problèrme de statit~ue lllllliilllll'e&llllll

T .S

eu Prépa.

latérêt:

- Etudier les perrormances d'un mécanisme réel

-Montrer qu'une approximation trop h1tive peut être dangereuse

- Montrer que l'étude mécanique peut permettre d'améliorer un schéma de principe.

Donaées: voir architecture rigure 1

OB

=

d

=

60mm , 00'

=

h

=

150mm , AB

=

k.d , k

=

5 <rapport d'amplitication du levier), tambour~ 2R = 200mm

Contact .sabot -+ talilbour: largeur l = 50mm; îacteur de

frottement 1=0,3 supposé constant; sabot symétrique d'angle 2a₀ =40•.

Toutes ilutres 1 iaisons supposées sans frottement.

Poids du levier et du sabot négligés dans cette première étude.

Piéces supposées rigides.

On veut assurer un couple de rreinage C

=

100 H.m Déterminer l'errort nécessaire

RESOLUTION

lsoleiiDeat da sgstèrme ( leuier + sabet ): figure 2 La symétrie permet d'adopter un schéma de calcul plan et les actions réparties du tambour~ sabot sont réductibles à un glisseur de composantes <T, H) au point C de l'axe (Q',z ). On pose O'C

=

r.

Equivalence ::} H

=

_JJ

p.dS.cos a +

JJ

p.î.dS.sin a

<

1 ) T

=

_JJ

P.t.ds.cos a

-

_JJ

P.ds.sin a (2) r.T

₌

_JJ

R.p.r.dS (3)

Eq. Moments/Dy ::} k.d.F

-

d.N + <h-r) T

=

0

<

4)

lsolellllœul!tat du taiiDbour :

Loi de répartitien des pressions de coll!llltact :

L'usure radiale du sabot <ou du tambour) est proportidnnelle i

la pression de contact. Pour un point Q du contact (îigure 3), l'usure radiale en Q est u

=

BQ. d~.cos<b-a)

(2)

Comme BQ.sin b = h R.cos a

.BQ.cos b = d + R.sin a < x sin a> < x cos a>

d'où BQ.cos(b-a) = h.sin a + d.cos a et ~ = (h.sin a+ d.cos a> d~

La pression de contact est de !a forme= p = q (h.sin a + d.cos aJ

Reœ~rqae= p

>

0 si tan a₀

<

d/h <cas défavorable a= -a₀ >

On suppose cette condition vérifiée pour la s~ite.

Alors =

<1>*

H

=

l.R.q [f-aa+aoch.sin a.cos a+ d.cos2a>da +

' f.f-aa+ao<h.sin2a + d.sin a.cos a)da

de m~me pour (2J et (lJ. Apr~s intégration.

<1> ~ N = l.R.q [(d+f.h>a₀ + 0,5 <d-f.h)sin 2auJ (1')

<

2 ) ~ T = 1 . R. q [

<

f . d-h )a₀ + 0, 5

<

f. d+h )sin 2aa

J

<

2 • >

(3) ~ r.T = 2.q.l.f.R2 _{.d.sin aa = C} _<3')

en éliminant Tet q entre <2') et <3' }, on obtient

r =---~--~~~~~--~--~~--~~--~~~~---_{<1- h/f.d><aa/sin aa> + <1 + h/f.d)cos •a}

si au pet i t r ~

et si a0 ~ 0 r ~ R on retro~ve bien le contact ponctuel en Qu·

Bpplicatiens nunaériq•e• :

h

-

150mm

<

p)O

r = 155 .. 5ma ; ( 5 )

=+

T = 643H ; ( 3 • ) * q = 0, 01624 H/am3

<

q ne dépend que de

c,

R.

f,

1 ..

au

>

pressions• PMaxi - 17.5 bars et Pmini -

o.e2

bar

( 1 , )

'*

N = 33'69 N ; ( 4)

*

F

=

685 "

0

Remarque: tan~ = T/H = 0.19 d'où p = 10.a• très différent de

l'angle de frotteaent ~ • 16.7• •

C~JcBJ si•pJJri~

e•

suppos~•t

BB

co•t~cr

?Oilhc.•tu~.l .sab~t/'ta.sbolll,. e.- Ua' T ₀ • C/R • 1000 H ;

H₀ = Tu/f = 3333 et F₀ = 500 H d'où ~ne erreur de 37Y. dans le

sens de l'insécurité en supposant cette vale~r F₀ comae correcte.

alors

h

=

150mm

w

>

0

H • = 1 . R. q [ ( d-f. h }a

0 + 0, 5( d+f. h >sin 2a.0 ]

(3)

8 - - · + 0 - - _1._rt:vier _{· -} _{· ·}

--

z

1 1 ' . Tam bovr

-

_x.

--~

--~'0~---~

1 ·rio-..

B l' éf(orfs a. éfefl,l!lffQ'tr(.S , ck COiffa cf 1

o'

A

-

F

(4)

r'

= = 75,9mm

T'

=

C/r'

=

1317 N

H" = 3165 H et F' = [d.N +(h-r'H]/k.d

F' = 958 H d'où un écart très important par rapport à l'autre sens de rotation.

CaJcuJ s f B p J j ; j ë e» S«PPOSa»~ UB CO»~ac~

PO»C~ueJ e» 0₀

T'a

=

1000 N N'a

=

3333 H F'a = 833 H

d'où une erreur de 15 Y. en insécurité si on suppose

F'

0 comme

va 1 eur correcte. '

BBDélioration du BDécaniis111111e :

Le comportement est très différent suivant le sens de rotation.

Essa..i

de h

=

0 r

rJ

L'articulatfon du levier est alors au m~me niveau que l'axe du tambour et r = r'

=

102mm d'où

T

=

T'

=

980

N

et N =

H'

=

3267

H

Pressions: p maxi

=

9,75 bars et p mini = 9.16 bars

w

<

0 F = 497 H w ) 0

F'=

810

H

Ess~i <ponctuel donne F11

=

490 H ) <ponctuel donne F' ₀ = 817 H )

de h

=

R

L'articulation du levier est ramenée au niveau du point de contact théorique Qa·

w

<

0 r = 132,4mm

T = 755 H H = 3334 N

P maxi

=

1~.7 bars p mini

=

3,6 bars F

=

748 H Contact ponctuel en Q₀ :

F₀

=

667 H d'où une erreur de 12 Y. en insécurité

w

>

0 :

r '

=

SJmm

T'

=

1205

li N'

=

3199

li

mêmes pressions et F • = 708 H

Contact ponctuel en Q₀ '

(5)

CONCLUSIONS

Tableau résumé: <efforts en newtons)

y

<

₀ y

>

₀ Ponc~uel

Ponctuel

h = 150 _' F = 685

Fo

= 500

F ..

o

= 833

F ..

= 958 37% 15X 7081 h=R= 100

1 F

= 748

1 Fo

= 667 _12%

F .. o

= 667 _6X

IF ..

= h = 0

F

= 497

_Fo

= 490

F ..

o

= 817

F ..

= ₈₁₀ 1 .. 5%

o .. ax

*

Ce frein présente l'inconvénient d'efforts de freinage F

et F' très dif~érents suivant le sens de rotation du taMbourj une

nette amélioration est obtenue en adoptant le cash= R .

*

La solution approchée du contact ponctuel conduit à des

erreurs très importantes dans le sens de l'insécurité.

*

Ce mécanisme est hyperstatique au niveau du schéma de

calcul plan. L'hyperstatisme <contact circulaire sabot/tambour effectif) ne peut être résolu que par l'usure du sabot, ce qui

conduit à un comportement aléatoire en début d'utilisation. En effet, suivant la position du point de contact unique qui s'établit avant usure, les valeurs de l'effort de freinage sont très variables.

On peut donc rechercher avantageusement un autre mécanisme isostatique pour lequel le contact circulaire sabot/tambour est assuré presque immédiatement, l'usure étant limitée au rattrapage des écarts de diamètres sur le sabot et le tambour; d'où l'idée d'un