Communications à grande efficacité spectrale sur le canal à évanouissements

Texte intégral

(1)Communications à grande eﬀicacité spectrale sur le canal à évanouissements Catherine Lamy. To cite this version: Catherine Lamy. Communications à grande eﬀicacité spectrale sur le canal à évanouissements. Electronique. Télécom ParisTech, 2000. Français. �NNT : ENST 2000 E008�. �pastel-00001484�. HAL Id: pastel-00001484 https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00001484 Submitted on 22 Nov 2010. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) P. A. R. I. S. Th se. pr sent e pour obtenir le grade de docteur de l'Ecole nationale sup rieure des t l communications Sp cialit : Electronique et Communications. Catherine Lamy Communications grande ecacit spectrale sur le canal vanouissements soutenue le 18 avril 2000 devant le jury compos de Hikmet Sari Jean-Yves Chouinard Emanuele Viterbo Alain Glavieux Philippe Godlewski Lionel Songeon Joseph Boutros. Prsident Rapporteurs Examinateurs Directeur de thse. Ecole nationale suprieure des tlcommunications.

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(4) P. A. R. I. S. PhD thesis. Ecole nationale sup rieure des t l communications Communications and Electronics department Digital communications group. Catherine Lamy High spectral eciency communications over the Rayleigh fading channel Defense date: April, 18th 2000 Committee in charge: Hikmet Sari Jean-Yves Chouinard Emanuele Viterbo Alain Glavieux Philippe Godlewski Lionel Songeon Joseph Boutros. Chairman Reporters Examiners Advisor. Ecole nationale suprieure des tlcommunications.

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(6) mes parents, pour l'ducation et l'exemple qu'ils ont su me donner.. tous ceux et toutes celles qui m'ont jour aprs jour appris le peu que je sais.. Parce que Barbara.

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(8) i. Remerciements Je tiens exprimer ici toute ma reconnaissance aux personnes qui m'ont aide, encourage, soutenue ou tout simplement supporte tout au long de mon travail de thse. Je veux tout d'abord remercier le professeur Hikmet Sari d'Alcatel Research and Technology de m'avoir fait l'honneur de prsider mon jury de thse. Toute ma gratitude va galement au professeur Jean-Yves Chouinard, de l'universit d'Ottawa, pour sa lecture attentive de mon manuscrit, ses remarques constructives et sa grande gentillesse. Mes plus vifs remerciements s'adressent Emanuele Viterbo, du Politecnico de Turin pour son rle de rapporteur mais aussi pour les direntes discussions que nous avons eues ensemble au sujet des modulations tournes et de l'tude de leurs capacits. Je remercie galement messieurs Alain Glavieux, professeur l'E.N.S.T. de Bretagne et Philippe Godlewski, professeur E.N.S.T., pour avoir accept de faire partie de mon jury de thse et pour leur intr t pour mon travail. Je n'oublie videmment pas Motorola Semi-Conducteurs (Toulouse) et Pascal Mabille en particulier, qui a t l'artisan de cette collaboration entre Motorola et le dpartement Communications et Electronique de l'E.N.S.T. Je remercie ici galement Lionel Songeon, pour avoir fait partie de mon jury mais aussi deux personnes dont la gentillesse n'a eu d'gale que leur disponibilit, savoir Maryline Richard et surtout Pierrette Capelle. Il ne saurait tre question de ne pas parler ici de Joseph Boutros, mon directeur de thse sans lequel ce travail n'aurait jamais vu le jour. Son dynamisme, son exprience, et son

(9) sens des communications numriques, sont autant de raisons pour lesquelles son encadrement fut extr mement protable. Joseph, je ne saurais trop te remercier pour ton temps, tes conseils et ta conance. Je pense pouvoir dire que le temps que j'ai pass au dpartement Communications et Electronique de l'E.N.S.T. fut pour moi une exprience fort enrichissante. Je tiens remercier le professeur Philippe Gallion pour m'y avoir accepte, les secrtaires Jany Bats, Laurence Monnot, Marie-Thrse Perucca et Danielle Childz pour leur aide, Robert Vallet pour ses conseils prcieux dans le domaine de l'estimation de canal et tous les autres permanents du dpartement..

(10) ii. Remerciements. Je tiens aussi et surtout remercier mes compagnons de voyage, collgues et camarades de l'E.N.S.T. avec lesquels j'ai partag des moments inoubliables entre bouilloire, prsentations et discussions scientiques ou plus personnelles animes : Loc Brunel et son genou, Olivier

(11) Gadget Pothier, Cline

(12) de souche Durand, Sandrine

(13) Step Vialle et sa thire, Christophe Brutel et les bires du vendredi, Hadi Sawaya bien qu' distance, Francesc Boixadera et Sabine

(14) blonde cendre Leveiller, mes compagnons en Josephie, mais galement Cdric Ware, dont dire qu'il est notre sys-admin astronome serait tellement restrictif, Amal Abou Hassan, terroriste du tetris, Bahram Zahir-Azami et les chevaux, Stefan Lauenburger, l'homme femmes venu du pays du chocolat, Mohamed Ratni, Daniela Boggio, Mohamad Aoud, Christophe

(15) Rabiche Gosset, Ammar Chkeif, Nicolas Ibrahim... et tous les autres. Merci enn celui qui a t l pour moi tout au long de cette aventure, tour tour, camarade, ami,

(16) secrtaire et tant d'autres choses : merci toi, FX, merci de toi, comme disait une chanteuse clbre. "Finishing a book is just like you took a child out in the yard and shot it." (Terminer un livre revient emmener un enfant dans le jardin et l'abattre). Truman Capote Paris, le 26 avril 2000.

(17) iii. R sum Du fait de l'explosion actuelle des tlcommunications, les oprateurs sont victimes d'une crise de croissance les obligeant installer toujours plus de relais, dcouper les cellules (zone de couverture d'un relais) en micro-cellules dans les grandes villes, an de faire face la demande toujours grandissante de communications. Les concepteurs des nouveaux rseaux de transmission sont donc constamment la recherche d'une utilisation plus ecace des ressources disponibles. Une solution est l'utilisation de modulations haute ecacit spectrale, c'est- -dire pour lesquelles chaque symbole mis contient un grand nombre de bits d'information. Par ailleurs, il est indispensable d'adapter l'mission aux caractristiques du canal radiomobile. En eet, contrairement au canal gaussien, la transmission sur canal radio-mobile est attnue svrement du fait des vanouissements lis aux obstacles et la propagation multi-trajets. Lorsque l'attnuation est trop forte, il est impossible de dterminer en rception le signal qui a t mis moins qu'une rplique moins attnue du signal ne soit galement disponible. L'existence de telles rpliques correspond l'utilisation d'une technique dite de diversit. Deux types de diversit sont traits dans ce mmoire de thse, qui permettent de combattre les vanouissements tout en assurant une transmission haute ecacit spectrale. Tout d'abord, nous considrons la diversit de modulation, cre par l'utilisation de rseaux de points tourns. Ensuite nous envisageons l'emploi d'une diversit d'antennes en rception, combine avec des antennes multiples en mission an de garantir une forte ecacit spectrale..

(18) iv. R sum.

(19) v. Abstract One of the eects of the explosion in the eld of telecommunications that we are experiencing at the moment is that the operators are, at every instant, victims of a growth crisis which forces them to install more relays, to cut the cells (covering the zones of a relay) into micro-cells in urban areas, in order to meet the growing demand in communications. The architects of the new transmission networks are therefore constantly in search of available resources. A solution is the utilisation of modulations with high spectral eciency, that is to say, for which each symbol emitted contains a large number of bits of information. What is more, it is necessary to adapt the emission to the characteristics of the mobile channel. In fact, unlike the Gaussian channel, the transmission on a mobile channel is severely attenuated by the phenomenon of fading linked to obstacles and the multi-trajectory propagation. When the attenuation is too strong, it is impossible to determine at reception the signal which has been emitted unless a less attenuated replica of the signal is equally available. The existence of such replicas corresponds to the utilisation of a technique called diversity. This thesis treats of two types of diversity which enable you to combat the phenomenon of fading while at the same time ensuring high eciency spectral transmission. The rst type encountered corresponds to the diversity of modulation, with utilisation of rotated lattices and the second corresponds to a multiple antennas diversity in emission in order to guarantee high spectral eciency..

(20) vi. Abstract.

(21) vii. Table des matires Remerciements R sum Abstract Table des matires Table des gures Liste des tableaux Liste des abr viations Liste des notations Introduction 1 Les r seaux de points. 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Dnition et prsentation des rseaux de points . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Paramtres fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Performances des rseaux de points sur le canal bruit additif blanc gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Performances des rseaux de points sur le canal avec vanouissement de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dcodage par sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Dcodage par sphres en prsence d'un bruit blanc gaussien . . . . 1.3.2 Dcodage par sphres en prsence d'un vanouissement de Rayleigh 1.4 Construction des rseaux de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Constructions A, B et D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Les rseaux de Barnes-Wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Dcodage sortie souple des rseaux de points selon le critre MMSE . . . 1.5.1 Dtermination du dtecteur retour de dcision (DFE) . . . . . . . 1.5.2 Rsultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i iii v vii xi xv xvii xix 1 5 5 6 7. 11 13 14 15 18 19 21 24 29 29 32 34.

(22) viii. Table des matires. 2 Les rotations et MAQ multidimensionnelles. 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modle du systme considr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Choix de la rotation pour le canal vanouissement de Rayleigh . . . . . . 2.3.1 Rotations choisies de manire exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Rotations algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Transforme de rotation rapide (FRT) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Rotations construites partir de familles de polynmes orthogonaux 2.3.5 D'autres rotations simples construire : rotations de Hadamard et rotations alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 tude de la distribution de diversit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Distribution de diversit de la FRT et de la FFT . . . . . . . . . . 2.4.2 Distribution de diversit de matrices de type Hadamard . . . . . . . 2.5 Dcodage sortie souple des rotations en faible dimension selon le critre ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Performances sur un canal avec CSI estim parfaitement en rception 2.5.2 Performances sur un canal avec CSI estim imparfaitement en rception : tude de la robustesse du dcodage . . . . . . . . . . . . . 2.6 Dcodage sortie souple des rotations selon le critre MMSE . . . . . . . . 2.6.1 Dtermination de l'galiseur retour de dcision (DFE) pour une rotation sur canal de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Performances sur un canal avec CSI estim parfaitement en rception 2.6.3 Performances du DFE sur un canal avec CSI estim imparfaitement en rception : tude de la robustesse du dcodage . . . . . . . . . . 2.7 Dcodage itratif des rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Ralisation du dcodage itratif par conversion des observations en probabilits a posteriori (APP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Rsultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 Modulations pour les antennes multiples. 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Modle du systme entres multiples et sorties multiples . . . . . . . . . 3.2.1 Modle du canal et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Performances des systmes multi-antennes . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Exemple : probabilit d'erreur par bit de la MAQ-4 (ou QPSK) non code avec deux antennes en mission et deux antennes en rception 3.2.4 Description du codeur entres multiples et des canaux considrs . 3.3 Description du dcodeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Conversion des observations en probabilits a posteriori (APP) . . . 3.3.2 Dtection itrative et dcodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Estimation des paramtres du canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Choix de la mthode d'estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Dnition des fonctions et paramtres utiliss . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Squence de symboles inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35 35 36 39 39 42 45 46 48 49 49 49 52 52 54 56 56 57 59 61 63 64 66. 69 69 71 71 71. 74 76 77 77 78 80 80 81 82.

(23) ix. Table des matires. 3.4.4 Squence de symboles pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.5 Rsultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89. 4 tude de la capacit. 91. 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2 Capacit d'un canal entres multiples et sorties multiples . . . . . . . . . 95 4.2.1 Calcul de la capacit d'un canal entres multiples et sorties multiples 95 4.2.2 Probabilit de coupure pour les canaux de Rayleigh par blocs . . . 96 4.3 Capacit d'un canal ayant pour entre une modulation tourne . . . . . . . 97 4.3.1 Modle du systme considr et notations . . . . . . . .` . . . . . . 97 4.3.2 Relation entre capacit et distance produit-` minimale dPmin . . . . 98 4.3.3 Relation entre capacit et diversit pour les modulations tournes :

(24) gaussianisation du canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.3.4 Calcul de la capacit d'un canal ayant pour entre une constellation tourne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.4 Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 ( ). Conclusions et perspectives 111 A Bornes sur la probabilit d'erreur pour les r seaux de points sur canal AWGN ou de Rayleigh 113 A.1 Performances sur le canal AWGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A.2 Performances sur le canal de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. B R capitulatif des matrices des di

(25) rents r seaux et rotations consid r s119 B.1 Rotations en dimension 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 B.2 Rotations en dimension 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 B.3 Rotations en dimension 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120. C Bornes sur la probabilit d'erreur pour di

(26) rents canaux C.1 C.2 C.3 C.4. Probabilit d'erreur d'une MAQ sur un canal AWGN . . . . . . . . . . . . Probabilit d'erreur d'une MAQ sur un canal de Rayleigh . . . . . . . . . . Probabilit d'erreur d'une MAQ sur canal de Rayleigh MIMO . . . . . . . Probabilit d'erreur d'une MAQ sur un canal de Rayleigh par blocs MIMO. 123 123 126 127 130. D Expression de la capacit d'un canal entr es multiples et sorties multiples 133 D.1 D.2 D.3 D.4. Notations et dnitions . . . . . . . . . . . Proprits des vecteurs spciaux gaussiens Capacit pour une valeur de H xe . . . Capacit d'un canal de Rayleigh MIMO . .. Bibliographie. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 133 134 135 136. 139.

(27) x. Table des matires.

(28) xi. Table des gures 1 2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12. L'volution des tlphones au cours du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple d'un canal sans l avec vanouissements . . . . . . . . . . . . . . Empilement cubique faces centres (vu de dessus). . . . . . . . . . . . . . Exemple de cellule de Vorono en dimension 3. . . . . . . . . . . . . . . . . Le rseau hexagonal A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le systme de transmission. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprsentation gomtrique de l'algorithme de dcodage par sphres. . . . Dcodage retour de dcision d'un rseau de points sur canal AWGN. . . . Taux d'erreur binaire pour le rseau de Barnes-Wall BW avec une ecacit spectrale =2 = 2:25 bits par dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . pdf en sortie d'un canal AWGN avec entre BPSK. . . . . . . . . . . . . . Inuence d'une rotation en dimension 2 sur la LLR en sortie d'un canal de Rayleigh indpendant avec entre BPSK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Illustration du gain en diversit par rotation d'une constellation QPSK. . . Modle du systme de transmission. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribution de diversit pour une FHT, FFT et FRT avec une ecacit spectrale de 1 bit par dimension et une dimension n = 8. . . . . . . . . . . Distribution de diversit pour une FHT, FFT et FRT avec une ecacit spectrale de 1 bit par dimension et une dimension n = 512. . . . . . . . . . Distribution d'nergie pour une FFT, FHT et FRT avec une ecacit spectrale de 1 bit par dimension et une dimension n = 256. . . . . . . . . . . . Comparaison des performances respectives des rotations de Hadamard, algbriques et alatoires sur le canal de Rayleigh avec dcodage ML pour une ecacit spectrale de 2 bits par dimension et une parfaite connaissance du canal (CSI parfait). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inuence d'une mauvaise estimation de l'vanouissement sur le canal pour la rotation algbrique ZZ a avec 1 bit par dimension et un facteur d'erreur allant de 0 8%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inuence d'une mauvaise estimation de l'vanouissement sur le canal pour la rotation algbrique ZZ a avec 2 bits par dimension et un facteur d'erreur allant de 0 8%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dcodage retour de dcision d'une rotation sur canal de Rayleigh. . . . . Taux d'erreur binaire pour une FRT de dimension n = 256 avec une ecacit spectrale =2 = 2 bits par dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 256. 1 2 6 9 9 11 15 30 33 36 37 38 38 51 51 52 53. 84. 55. 84. 55 56 58.

(29) xii. Table des figures. 2.13 Schma partiel de l'galiseur retour de dcisions avec les deux itrations du dcodeur de Viterbi interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 Taux d'erreur binaire pour une FRT de dimension n = 256 avec une ecacit spectrale =2 = 1 bit par dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Inuence d'une mauvaise estimation de l'vanouissement sur le canal pour une FRT de taille 256 avec 1 bit par dimension et un facteur d'erreur de 0, 1, 2, 4, 8, 16 ou 30%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16 Inuence d'une mauvaise estimation de l'vanouissement sur le canal pour une FRT de taille 256 avec 2 bits par dimension et un facteur d'erreur de 0, 1, 2, 4, 8, 16 ou 30%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17 Inuence d'une mauvaise estimation de la phase du canal pour une FRT de taille 256 avec 1 bit par dimension et une erreur de phase de 0 6 degrs ou 10 degrs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.18 Inuence d'une mauvaise estimation de la phase du canal pour une FRT de taille 256 avec 2 bits par dimension et une erreur de phase de 0 6 degrs ou 10 degrs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19 Systme combinant rotation et codage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.20 Taux d'erreur binaire pour un code convolutif de rendement combin avec des rotations en dimension 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.21 Taux d'erreur binaire pour un code convolutif de rendement combin avec des rotations en dimension 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 3. 3.1 Schma de principe d'un canal entres et sorties multiples. . . . . . . . . 3.2 Canal entres et sorties multiples avec coecients du canal. . . . . . . . . 3.3 Les bornes de la probabilit d'erreur pour une QPSK non code sur dirents canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 metteur pour antennes multiples adapt au codage des lments binaires. 3.5 Rcepteur pour antennes multiples adapt au codage des lments binaires. 3.6 Rcepteur pour antennes multiples adapt au codage des lments binaires avec estimation des paramtres du canal selon l'algorithme EM. . . . . . . 3.7 Taux d'erreur binaire pour un turbo code ( ) et un code convolutif (4) avec des trames de longueur Nc = 2000 et Nc = 200 respectivement sur canal de Rayleigh indpendant, nt = nr = 2 antennes. . . . . . . . . . . . . 3.8 Comparaison du taux d'erreur binaire obtenu pour le code convolutif de gnrateurs (133, 171) avec des trames de longueur Nc = 200 sur canal de Rayleigh indpendant en fonction de la mthode de calcul de l'APP, nt = nr = 2 antennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Taux d'erreur par trame pour un turbo code, de codes constituants RSC de gnrateurs (23,35), avec des trames de longueur Nc = 2000 sur un canal de Rayleigh vanouissements par blocs, nt = nr = 2 antennes. . . . . . . 3.10 Taux d'erreur par trame pour un code convolutif NRNSC, de gnrateurs (133, 171), avec des trames de longueur Nc = 200 sur un canal de Rayleigh vanouissements par blocs, nt = nr = 2 antennes. Comparaison entre le cas d'un CSI parfait et une estimation de canal par l'algorithme EM. . . .. 58 59 60 60 62 62 63 65 66 69 71 75 77 79 81 85 86 87 88.

(30) xiii. Table des figures. 3.11 Taux d'erreur par trame pour un code convolutif NRNSC, de gnrateurs (133, 171), avec des trames de longueur Nc = 200 sur un canal de Rayleigh vanouissements par blocs, nt = nr = 2 antennes. Comparaison entre le cas d'un CSI parfait et une estimation de canal par ajout de symboles pilotes. 89 3.12 Taux d'erreur par trame pour un code convolutif NRNSC, de gnrateurs (133, 171), avec des trames de longueur Nc = 100 sur un canal de Rayleigh vanouissements par blocs, nt = nr = 2 antennes. Comparaison entre le cas d'un CSI parfait et une estimation de canal par l'algorithme EM. . . . 90 4.1 Principe d'un systme de communication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2 La course des capacits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 Capacit et probabilit de coupure pour R = 1=2, sur un canal de Rayleigh MIMO, nt=nr =2 antennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4 Schma de principe d'un canal de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.5 Comparaison des performances d'une rotation en terme de distance produit` ) et de capacit pour direntes valeurs du paramtre ` minimale (dPmin en dimension 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.6 Les raies de la pdf en sortie de plusieurs rotations en dimension 8 pour une entre BPSK sur chaque composante (a): I (b): ZZ (c): ZZ a (d): Hada . 102 4.7 Capacit pour plusieurs rotations en dimensions 2, 5 et 8. . . . . . . . . . . 105 4.8 Zoom sur la capacit de plusieurs rotations en dimension 8. . . . . . . . . . 106 4.9 Zoom sur la capacit de plusieurs rotations en dimension 5. . . . . . . . . . 106 4.10 Zoom sur la capacit de plusieurs rotations en dimension 4. . . . . . . . . . 107 4.11 Zoom sur la capacit de plusieurs rotations en dimension 2. . . . . . . . . . 107 A.1 Illustration de la signication de la borne de l'union restreinte aux plus proches voisins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 C.1 Constellation PAM de taille M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 C.2 Constellation MAQ-4 avec tiquetage de Gray. . . . . . . . . . . . . . . . . 124 C.3 Constellation MAQ-16 avec tiquetage de Gray. . . . . . . . . . . . . . . . 124 C.4 Constellation MAQ-64 avec tiquetage de Gray. . . . . . . . . . . . . . . . 125 ( ). 8. 88. 84. 8.

(31) xiv. Table des figures.

(32) xv. Liste des tableaux 1.1 Quelques valeurs du gain de forme maximal s(C )max en fonction de la dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Quelques rseaux de points et leurs caractristiques. La dimension n, le nom

(33) , la densit , la densit centre (log () pour n 32), le gain en dB dB et le coecient d'erreur (

(34) ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Quelques rseaux de Barnes-Wall et leurs caractristiques. La dimension n, le nom

(35) , la densit , la densit centre (log () pour n 32), le gain en dB dB et le coecient d'erreur (

(36) ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 B.1 Rot : rotation obtenue par optimisation numrique des performances sur canal de Rayleigh d'aprs "29]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 B.2 ZZ : rotation obtenue par maximisation de la distance produit-` en dimension 4 d'aprs "16]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 B.3 ZZ a: rotation obtenue par plongement canonique dans le corps de nombres totalement complexe Qj ](e j= ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 B.4 Rot : rotation obtenue par optimisation numrique des performances sur canal de Rayleigh d'aprs "29]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 B.5 ZZ : rotation obtenue obtenue par plongement canonique dans le corps de nombres totalement rel Q(2 cos(2=11)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 B.6 Tchebi : rotation construite partir des polynmes de Tchebiche. . . . . 121 B.7 OP : rotation obtenue par optimisation numrique du taux de coupure "59].121 B.8 ZZ a: rotation obtenue par plongement canonique dans le corps de nombres totalement complexe Qj ](e j= ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 B.9 ZZ b: rotation obtenue par plongement canonique dans le corps de nombres totalement complexe Qj ](e j= ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 B.10 ZZ random: rotation obtenue par tirage alatoire en dimension 8. . . . . . . 122 B.11 ZZ : rotation obtenue par maximisation de la distance produit-` en dimension 8 d'aprs "16]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 B.12 Hada : matrice de Hadamard normalise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 B.13 Random : rotation obtenue par tirage alatoire puis optimisation numrique de la capacit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2. 2. 4. 44. 42. 2. 8. 2. 16. 2. 16. 5. 55. 8. 28. 84. 84. 84. 88. 8. 8.

(37) xvi. Liste des tableaux.

(38) xvii. Liste des abr viations Pour des raisons de lisibilit, la signication d'une abrviation ou d'un acronyme n'est souvent rappele qu' sa premire apparition dans le texte d'un chapitre. Par ailleurs, puisque nous utilisons toujours l'abrviation la plus usuelle, il est frquent que ce soit le terme anglais qui soit employ, auquel cas nous prsentons une traduction.. APP AWGN BPSK BICM. A Posteriori Probability Additive White Gaussian Noise Binary Phase Shift Keying Bit Interleaved Coded Modulation. CSI DFE EM fcc FFT FHT FRT GSM IES LLR MAQ MIMO ML MSE MMSE NRNSC. Channel State Information Decision Feedback Equalizer Expectation-Maximization face centered cubic (lattice) Fast Fourier Transform Fast Hadamard Transform Fast Rotation Transform Global System for Mobile communications Intersymbol Interference Log-Likelihood Ratio Quadrature Amplitude Modulation Multiple-Input Multiple-Output Maximum Likelihood Mean Square Error Minimum Mean Square Error Non-Recursive Non-Systematic Convolutional code Pulse Amplitude Modulation Probability Density Function Bit Error Rate Quaternary Phase Shift Keying Recursive Systematic Convolutional code Receiving (antenna). PAM pdf Peb QPSK RSC Rx. Probabilit a posteriori Bruit additif blanc gaussien Modulation de phase binaire Modulation code avec entrelacement de bits tat du canal galiseur retour de dcision (Rseau) cubique faces centres Transforme de Fourier rapide Transforme de Hadamard rapide Transforme de Rotation rapide Systme global pour les tlcommunications mobiles Interfrence entre symboles Logarithme du rapport des vraisemblances Modulation d'amplitude en quadrature Entres multiples sorties multiples Maximum de vraisemblance Erreur quadratique moyenne Erreur quadratique moyenne minimale Code convolutif non-rcursif non-systmatique Modulation d'impulsion en phase Densit de probabilit Probabilit d'erreur par bit Modulation de phase quaternaire Code convolutif rcursif systmatique (Antenne de) rception.

(39) xviii. SNR SISO TCM Tx ZF. Liste des abr viations. Signal-to-Noise Ratio Soft-Input Soft-Output (decoder) Trellis Coded Modulation Transmitting (antenna) Zero Forcing. Rapport signal bruit (Dcodeur) entres souples et sorties souples Modulation code en treillis (Antenne d')mission For$age zro.

(40) xix. Liste des notations Nous avons regroup ci-dessous les principales notations employes dans les dirents chapitres du document. Dans la mesure du possible, nous avons tent de conserver les m mes notations d'un chapitre l'autre. Nous prsentons tout d'abord une liste gnrale puis des listes relatives aux dirents chapitres. On notera que seules les notations qui dirent de celles prcdemment dnies seront donnes dans ces listes. Enn, certaines notations, apparaissant uniquement de manire ponctuelle, ont t omises.. Notations g n rales <(z ) =(z ) Cnk = nk dE (u1 u2) dH (u1 u2). ;. partie relle du nombre complexe z partie imaginaire du nombre complexe z produit composante par composante oprateur combinaison : nombre de manires de choisir k valeurs parmi n distance euclidienne entre les deux points (les deux vecteurs) u et u distance de Hamming entre les deux points (les deux vecteurs) u et u la matrice diagonale n n ayant sur sa diagonale principale les composantes u un du vecteur u esprance mathmatique de la variable u transpos de u (nombre, vecteur ou matrice) conjugu de u (nombre, vecteur ou matrice) transconjugu de u (nombre, vecteur ou matrice) matrice identit en dimension n fonction erreur 1. D(u). 1. E u]. ut u uh. In Q(x) = erfc px 1 2. 2. Les r seaux de points n = 2m p

(41) 0 = (0 0) M G = (&ij ). 2. 1. dimension de l'espace euclidien rang d'un rseau

(42) (trs vite, on a : p = n) un rseau de points point origine dans un espace de dimension n matrice gnratrice d'un rseau

(43) matrice de Gram d'un rseau

(44). 2.

(45) xx. Liste des notations. dEmin det(

(46) ) V (u). Vn (

(47) ) (

(48) ). distance euclidienne minimale d'un rseau

(49) volume fondamental d'un rseau

(50) cellule de Vorono d'un point u d'un rseau

(51) rayon d'empilement d'un rseau

(52) densit d'un rseau

(53) densit centre d'un rseau

(54) volume d'une sphre de rayon unit en dimension n coecient d'erreur d'un rseau

(55) gain fondamental d'un rseau

(56) C constellation tire d'un rseau

(57) (C ) gain total d'une constellation C ecacit spectrale par deux dimensions L diversit d'un rseau

(58) ou, de manire quivalente, d'une constellation C m(yjx) mtrique maximum de vraisemblance sur canal AWGN = (

(59)

(60) n)t vecteur des vanouissements sur le canal de Rayleigh m(yjx ) mtrique maximum de vraisemblance sur canal de Rayleigh C rayon de la sphre utilise dans l'algorithme de dcodage par sphres C Ca codes convolutifs utiliss pour construire des rseaux de points RM (r m) code de Reed-M%ller d'ordre r et de longueur m BWn rseau de Barnes-Wall en dimension n W matrice aller de l'galiseur retour de dcision (ltre transverse) G = (gij ) matrice retour de l'galiseur retour de dcision (ltre de retour) z vecteur entier en entre du rseau de points ^z vecteur estim en sortie du dtecteur seuil du DFE ~z version souple du vecteur estim ^z x point du rseau

(61) : vecteur en entre du canal y vecteur en sortie du canal b bruit additif blanc gaussien sur le canal considr N densit spectrale de puissance du bruit blanc gaussien en bande de base = (i) vecteur des multiplicateurs de Lagrange Eb=N Rapport signal bruit par bit d'information 1. 0. 0. 0. Les rotations et MAQ multidimensionnelles R = (rij ) matrice de rotation I IM contellation PAM de taille M z = (zi )t vecteur d'entiers appartenant une constellation MAQ multidimensionnelle x point appartenant la constellation MAQ tourne : vecteur en entre du canal G(i j ) matrice de Given correspondant la rotation d'angle dans le plan (0ui 0uj ) I^ rexion ou compose de rexions ZZnL version tourne du rseau cubique ZZn en dimension n de diversit L (x) polynme minimal de J Idal premier Tk (x) keme polynme de Tchebiche du premier ordre 1.

(62) xxi. Liste des notations. Hn Ll] Dd ] cj Ext(cj ) (cj ) APP (cj ) obs(cj ) 2. matrice de Hadamard en dimension n nombre de vecteurs de diversit l nombre de vecteurs d'nergie d bit cod information extrinsque sur le bit cod cj probabilit a priori du bit cod cj probabilit a posteriori du bit cod cj observation sur le bit cod cj 2. Modulations pour les antennes multiples nt nr canal (nt nr ) Es P (U ! V ). nombre d'antennes en mission nombre d'antennes en rception canal avec nt antennes d'mission et nr antennes de rception nergie moyenne d'un symbole probabilit d'erreur par paire : probabilit de dcoder V lorsque U a t eectivement mis en faisant abstraction des autres mots du code H = (hij ) matrice des vanouissements sur le canal MIMO M taille de la constellation laquelle appartiennent les symboles mis m = log M nombre de bits cods par symbole mis Nc nombre de bits cods par trame mise N taille de la trame mise (en nombre de symboles) u vecteur de bits d'information c vecteur de bits cods x vecteur des symboles mis y vecteur des symboles re$us Np nombre de symboles pilotes ajouts la trame de taille N ^ H estimation de H ^ N estimation de N = (N H ) paramtres du canal 2. 0. 0. 0. tude de la capacit H(X ). p(x) H(X Y ) H(X jY ) I (X Y ) RD C CjH. entropie de X densit de probabilit de X (de ralisation x) entropie conjointe des variables X et Y entropie conditionnelle de X tant donn Y information mutuelle entre X et Y constellation laquelle appartiennent les entres du canal dbit binaire de transmission sur le canal capacit en bits d'information par symbole capacit sachant la ralisation de l'vanouissement H.

(63) xxii. Liste des notations. ` dPmin Hn () M = 2m Cdim Ec=N ( ). 0. ditance produit-` minimale matrice de type Hadamard en dimension n impulsion de Dirac taille de la constellation tourne dont on calcule la capacit capacit en bits d'information par dimension Rapport signal bruit par bit cod.

(64) 1. Introduction Nous vivons dans l're des tlcommunications. Les tlphones mobiles, les messages lectroniques, le multimdia font dsormais partie de notre quotidien. & titre indicatif, prs d'un tiers de la population fran$aise dispose d'un tlphone portable (janvier 2000). Alors que ce phnomne avait commenc presque uniquement chez les hommes d'aaires et autres mdecins, on trouve prsent des utilisateurs de portables dans toutes les couches de la population : enfants, cadres, techniciens, employs voire retraits. Les prix des communications ont d'ailleurs, gr'ce des formules d'abonnement en tous genres, baiss de telle fa$on que le volume global des communications a pu s'accro(tre considrablement. Paralllement, le go)t du

(65) sans l s'tant dvelopp, son caractre pratique et la plus grande facilit de la maintenance jouant en sa faveur, il se pourrait qu' plus ou moins court terme les tlphones domestiques soient remplacs par des appareils sans ls (voir gure 1). Ainsi, arrive le moment o*, avec le m me numro, on pourra partir traverser le Sahara dos de chameau et pourtant avoir la certitude de pouvoir appeler, envoyer un message ou tre contact tout moment.. Fig. 1: L'volution des tlphones au cours du temps.. Un des eets de cette explosion des tlcommunications est que les oprateurs sont presque tout moment victimes d'une crise de croissance qui les oblige installer toujours plus de relais, dcouper les cellules (zone de couverture d'un relais) en micro-cellules dans les grandes villes, an de faire face la demande toujours grandissante de communications. Les concepteurs des nouveaux rseaux de transmission sont donc constamment la recherche d'une utilisation toujours plus ecace des ressources disponibles. Une des solutions est l'utilisation de modulations haute e cacit spectrale, c'est- -dire pour lesquelles chaque symbole mis contient un grand nombre de bits d'information. Par ailleurs, il est.

(66) 2. Introduction. Fig. 2: Exemple d'un canal sans l avec vanouissements. indispensable d'adapter l'mission aux caractristiques du canal radio-mobile, prsent en gure 2. En eet, contrairement au canal gaussien, la transmission sur canal radio-mobile est attnue svrement du fait des interfrences ou vanouissements lis aux obstacles et la propagation multi-trajets. Lorsque l'attnuation est trop forte, il est impossible de dterminer en rception le signal qui a t mis moins qu'une rplique moins attnue du signal ne soit galement disponible. L'existence de telles rpliques correspond l'utilisation d'une technique dite de diversit. Parmi les direntes techniques les plus classiques de diversit, on peut dnir trois grandes familles, savoir les diversits

(67) physiques , i.e. lies la propagation, les diversits d'antennes et la diversit de modulation. Par exemple, on trouve : la diversit en fr quence (

(68) frequency diversity ) : il s'agit de recevoir sur n frquences direntes des versions dcorrles d'un m me signal. Il est alors ncessaire de disposer de frquences direntes spares d'au moins la bande de cohrence du canal.. la diversit en temps (

(69) time diversity ) : il s'agit de recevoir en n instants dirents. des versions dcorrles d'un m me signal. Il est alors ncessaire de pouvoir sparer les instants de rception d'au moins le temps de cohrence du canal. Ces deux premires techniques sont fort co)teuses en terme d'ecacit spectrale, puisqu'elles supposent que l'on rpte le m me signal des instants ou sur des frquences direntes. Elles furent surtout utilises dans le domaine des communications analogiques.. la diversit de trajet (

(70) path diversity ) : en raison des conditions de propagation, elle est due aux rexions, rfractions et lments dispersifs sur le canal..

(71) Introduction. 3. la diversit d'antennes en r ception (

(72) space diversity in reception ) : elle suppose. la diversit d'antennes en mission (

(73) space diversity in emission ) : la mthode. la diversit de modulation (modulation diversity) : due au type de modulation, elle. que les n antennes sont spares d'au moins une demi-longueur d'onde. La diversit maximale possible est alors gale n. En pratique, plus il y a d'lments dispersifs proximit des antennes, plus les dcorrlations sont importantes. L'inconvnient est que cette technique n'est pas applicable aux communications par satellites (les angles d'arrives des direntes antennes sont les m mes) et peu aux mobiles (2 3 antennes semblent un grand maximum). la plus simple consiste pour l'metteur mettre le m me signal sur plusieurs antennes, supposes susamment spares. En rception on a alors de la diversit temporelle. Une autre mthode consiste remplacer la rptition des symboles en mission par un code correcteur d'erreurs de rendement plus lev. On gagne alors en puissance et en ecacit spectrale en raison de l'augmentation du rendement. correspond au nombre minimal de composantes dont deux symboles de la constellation utilise dirent.. Les systmes pratiques combinent souvent plusieurs types de diversit pour en tirer diffrents avantages et de manire gnrale une meilleure ecacit spectrale un moindre co)t. Ainsi le systme GSM regroupe-t-il : de la diversit temporelle (codage suivi d'un entrelaceur) de la diversit en frquence (sauts de frquence) de la diversit d'antennes en rception (sur la voie montante) de la diversit de trajet (prsence d'un galiseur pour utiliser cette diversit lie la propagation). Ce mmoire de thse traite de deux types de diversit permettant de combattre les vanouissements tout en assurant une transmission haute ecacit spectrale. Le premier type abord correspond la diversit de modulation, avec utilisation de rseaux de points tourns et le second correspond une diversit d'antennes en rception, avec utilisation d'antennes multiples en mission an de garantir une forte ecacit spectrale.. Organisation de la th se Ce document est divis en quatre chapitres et quatre annexes. Certains dveloppements analytiques ont ainsi t placs en annexe an de simplier au maximum les ides exposes dans le corps du document. On trouvera galement une liste des direntes matrices de rotation utilises dans ce mmoire pour des dimensions infrieures ou gales 8. Le chapitre 1 de ce document dbute par une introduction aux rseaux de points. Les paramtres principaux d'un rseau sont dcrits, ainsi que ses performances sur le canal bruit additif blanc gaussien (AWGN) et sur le canal de Rayleigh non slectif va-.

(74) 4. Introduction. nouissements indpendants. Nous rappelons ensuite l'algorithme de dcodage par sphres permettant de dcoder tout rseau en dimension infrieure ou gale 32 (limite pratique due la complexit de l'algorithme). Nous donnons galement les constructions A, B et D d'un rseau partir de codes correcteurs d'erreurs et appliquons cette dernire construction au cas des rseaux de Barnes-Wall. Nous proposons enn un nouveau dcodeur de rseaux en grandes dimensions sur le canal AWGN reposant sur le critre de minimisation de l'erreur quadratique moyenne MMSE. Dans le chapitre 2 nous passons en revue dirents types de rotations adaptes au canal de Rayleigh non slectif. Nous prsentons galement de nouvelles rotations : une adaptation en grande dimension des rotations algbriques avec la transforme de rotation rapide (FRT) et de nouvelles mthodes de construction comme l'utilisation de polynmes de Tchebiche ou l'utilisation de matrices alatoires. La distribution de diversit de certaines de ces rotations est alors calcule analytiquement. Trois dirents modes de dcodage pour une constellation tourne sont ensuite tudies : aprs avoir considr les performances et la robustesse du dcodage par sphres, nous proposons une adaptation de notre dcodeur reposant sur le critre MMSE au cas des rseaux tourns et enn exposons un nouvel algorithme de dcodage itratif reposant sur le calcul des probabilits a posteriori (APP) des bits cods. Nous proposons au chapitre 3 une nouvelle mthode de dcodage pour les systmes antennes multiples sur canal de Rayleigh ou canal de Rayleigh par blocs. Nous employons pour cela un dcodage itratif entres et sorties souples, dans lequel nous avons intgr une estimation itrative des paramtres du canal gr'ce l'algorithme EM. Choisissant d'mettre des symboles dirents sur chacune des antennes d'mission, on atteint ainsi de fortes ecacits spectrales. Le chapitre 4 traite de dirents calculs de capacit. Nous y rappellons tout d'abord la capacit et la probabilit de coupure (outage probability) des canaux entres et sorties multiples considrs au chapitre 3. Nous prsentons ensuite une tude sur la capacit des canaux de Rayleigh non slectifs vanouissements indpendants ayant pour entre une modulation tourne, et mettons en vidence le phnomne de

(75) gaussianisation que ces rotations engendrent. Finalement, les conclusions des direntes ides prsentes dans ce document sont donnes dans un chapitre nal, ainsi que quelques perspectives de recherches ultrieures sur le sujet. On notera les conditions gnrales dans lesquelles ces travaux ont t mens : nous supposons que la dmodulation est cohrente tout au long de notre tude et que le canal vanouissements est un canal de Rayleigh non slectif vanouissements indpendants ou par blocs. La modulation est soit une modulation de phase binaire (BPSK) soit une modulation d'amplitude en quadrature (MAQ)..

(76) 5. Chapitre 1 Les r seaux de points Prenez un cercle, caressez-le, il deviendra vicieux ! Eugne Ionesco, La cantatrice chauve. 1.1 Introduction Un rseau de points (lattice) est constitu de centres de sphres empiles possdant une structure de groupe "27]. Utiliss en mathmatiques pour les travaux sur les corps nis, les groupes et les formes quadratiques, mais aussi en chimie, o* les cristallographes les emploient an de modliser le comportement de certains composs chimiques, ils servent galement en communications numriques construire des modulations tant sur le canal bruit additif blanc gaussien (ou canal AWGN) que sur les canaux vanouissements (Rice, Rayleigh). En eet, en utilisant des empilements trs denses, il est possible de construire des modulations de grande taille nergie minimale, permettant ainsi d'eectuer des transmissions haut dbit binaire. Les constellations multidimensionnelles ainsi extraites des rseaux de points connaissent depuis l'apparition des modulations codes au dbut des annes 1980 un grand succs dans le monde des transmissions sur le canal AWGN. Elles ont galement t exploites pour des applications laires (tels le rseau de Gosset E ou le rseau Leech

(77) avec lesquels ont t construits des modems "46]). Plus rcemment, avec le dveloppement des transmissions radiomobiles pour lesquelles les rseaux performants sur le canal AWGN se sont rvls dcevants, on a pu voir l'utilit des rseaux de points grande diversit, qui permettent de rcuprer l'information perdue au cours de la transmission en tirant partie de la redondance liant les composantes d'un point d'un tel rseau. 8. 24. Aprs un rappel des dnitions et rsultats lmentaires sur les rseaux de points au Certaines parties de ce chapitre ont t publi es dans les journaux Annales des t l communica-. tions 82] et IEEE Transactions on Information Theory 84]..

(78) 6. 1. Les r seaux de points. paragraphe 1.2, et du fonctionnement du dcodage des rseaux de points gr'ce l'algorithme de dcodage par sphres (Sphere Decoder) au paragraphe 1.3, nous dcrirons au paragraphe 1.4 les mthodes de construction les plus classiques des rseaux de points partir de codes correcteurs d'erreur, et introduirons les rseaux de Barnes-Wall. Le paragraphe 1.5 prsentera alors le dcodeur DFE de rseaux en grande dimension que nous avons ralis, ainsi que des rsultats de simulation. Finalement nous tirerons quelques conclusions au paragraphe 1.6.. 1.2 D nition et pr sentation des r seaux de points Un problme fort ancien auxquel les mathmaticiens ont t confronts est celui de dterminer une mthode permettant d'entasser le plus grand nombre de sphres dans un espace donn. La solution, qui serait triviale si il s'agissait de cubes, fut formalise par Kepler en 1609 avec sa clbre conjecture, mais ne fut nalement prouve que tout rcemment par Hales "41]"57] : il faut, lorsque l'espace est trs grand, ranger les boules en couches planes paves par un motif de triangles quilatraux pour obtenir l'empilement le plus dense qui soit en dimension 3. Dans ce rangement, les centres des sphres constituent un groupe algbrique, appel rseau cubique faces centres (fcc) (ou rseau de p Kepler, prsent en gure 1.1). Le volume occup par les sphres reprsente alors = 18 74:048% de l'espace total.. Fig. 1.1: Empilement cubique faces centres (vu de dessus).. Ce problme de recherche des empilements de sphres optimaux se gnralise aisment en dimension suprieure 3, sans qu'il en soit hl s de m me pour la dmonstration. Nous allons donc nous intresser aux rseaux de points de dimension n, n entier naturel. Les notations suivantes seront utilises : IN est l'ensemble des entiers naturels, ZZ l'ensemble des entiers relatifs, IR l'ensemble des rels, et IRn l'espace euclidien rel de dimension n muni de sa distance. x = (x : : : xn)t est un vecteur (ou point) de IRn si ses composantes xi sont toutes des lments de IR. La notation ()t, utilis sur un vecteur ou une matrice indique la transposition. Pour tout rel a 2 IR, ax est le vecteur de composantes (axi). La norme euclidienne d'un vecteur x est note kxk. Une sphre dans IRn , de rayon et 1.

(79) 1.2. D finition et pr sentation des r seaux de points. 7. de centre u = (u : : : un), est l'ensemble des points x vriant jjx ; ujj = (x ; u ) + (x ; u ) + + (xn ; un ) = . 2. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 1.2.1 Param tres fondamentaux Nous allons commencer par dnir les dirents paramtres principaux d'un rseau de points, an de pouvoir d'une part comprendre ce dont il s'agit, ce que ces rseaux reprsentent et comment les caractriser. Donnons tout d'abord la dnition exacte d'un rseau de points :. D nition 1.2.1 (rseau de points) Un r seau de points est un sous-groupe discret de rang p, p n de IRn . Topologiquement, un rseau de points est donc galement l'ensemble des vecteurs. a v + a v + + apvp a : : : ap 2 ZZ 1. 1. 2. 2. 1. engendr par la famille de p vecteurs indpendants v v : : : vp de IRn. C'est ce que l'on appelle encore un ZZ-module engendr par les p vecteurs v v : : : vp. 1. 2. 1. 2. Le rseau, que nous nommerons

(80) sauf indication contraire, peut tre vu comme le groupe additif form par les centres des boules de l'empilement. Par dnition d'un groupe additif, le point 0 appartient

(81) , et de plus la topologie d'un groupe est invariante par toute translation d'un de ses lments donc il nous sura toujours d'tudier ce qui se passe autour de l'origine 0 pour conna(tre le comportement autour de tout point de

(82) .. D nition 1.2.2 (base du rseau) La famille des p vecteurs v : : : vp constitue une base du r seau et p est la dimension ou le rang de

(83) . 1. D nition 1.2.3 (sous-rseau) Un sous-r seau de

(84) est un sous-groupe de IRn inclu dans

(85) . Un rseau est dit entier s'il est sous-rseau de ZZn . D nition 1.2.4 (constellation) Une constellation C extraite d'un rseau de points

(86) est un sous-ensemble ni du rseau

(87) .. D nition 1.2.5 (matrice gnratrice) Les vecteurs v : : : vp de la base du rseau de points forment les colonnes d'une matrice appele matrice g n ratrice du rseau. 1.

(88) 8. 1. Les r seaux de points. crivons vi = (vi : : : vin) pour i = 1 : : : p. La matrice gnratrice M est alors la matrice n p dnie par 0 1 v vp ... C M = (v : : : vp) = B (1.1) @ ... A: v n vpn 1. 11. 1. 1. 1. Un point x = (x x : : : xn)t du rseau peut donc tre crit comme x = M z o* z = (z z : : : zp)t est un vecteur de ZZp. Le rseau

(89) peut alors tre vu comme le rsultat d'une transformation linaire dnie par la matrice M applique au rseau cubique ZZp. 1. 1. 2. 2. D nition 1.2.6 (matrice de Gram) La matrice de Gram G du rseau est la matrice dnie par. G = M tM. (1.2). o M est la matrice gnratrice du rseau.. Les lments &ij i j = 1 : : : p de la matrice de Gram d'un rseau sont P les produits scalaires des paires de vecteurs de la base du rseau, savoir &ij = vi:vj = nk vik vjk . La matrice G est dnie positive et symtrique, ses lments diagonaux tant gaux aux normes au carr des vecteurs de la base. =1. D nition 1.2.7 (paralllotope fondamental, volume fondamental) n. La rgion de l'espace P = fx 2 IR = x = a1 v1 + a2v2 + + apvp 0 ai < 1g est le parall lotope fondamental du rseau. Son volume fondamental est le volume du paralllotope fondamental, not vol(

(90) ).. Si le paralllotope fondamental d'un rseau n'est pas unique puisqu'il dpend du choix de la base du rseau, le volume fondamental est lui indpendant du choix de la base engendrant

(91) . Dans le cas o* p = n, le volume fondamental est encore gal la valeur absolue du dterminant de la matrice gnratrice jdet(M )j, que l'on note souvent, par abus de langage, det(

(92) ).. D nition 1.2.8 (cellule de Vorono). La rgion de l'espace associe un point u d'un rseau

(93) dnie par V (u) = fx 2 IRn. = jjx ; ujj jjx ; yjj . y 2

(94) g. (1.3). est appele cellule (ou rgion) de Vorono1 de u.. Les cellules de Vorono d'un rseau pavent donc l'espace euclidien entirement, remplissant l'espace compris entre les sphres de l'empilement. En gure 1.2-a est prsent en exemple 1 Elle est. galement parfois nomm e cellule de Dirichlet..

(95) 1.2. D finition et pr sentation des r seaux de points. (a) : cellule de Vorono d'une sphre dans l'empilement fcc.. 9. (b) : dodcadre rgulier recouvrant une sphre.. Fig. 1.2: Exemple de cellule de Vorono en dimension 3.. la cellule de Vorono du rseau faces cubiques centres, qui comporte 12 faces. & titre de comparaison, on a reprsent en gure 1.2-b le dodcadre rgulier recouvrant la sphre. Le rseau tant un groupe additif, on a la proprit de translation des cellules de Vorono V (0)+ u = V (u). Ainsi, toutes les cellules ont-elles le m me volume puisqu'elles sont gales ( une translation prs) la cellule de Vorono de l'origine V (0). D'aprs la structure du rseau, le volume d'une cellule de Vorono est gal au volume fondamental, vol(V (0)) = vol(

(96) ). De plus, le rseau tant gomtriquement uniforme "32], chaque cellule de Vorono est strictement identique aux autres, donc on parlera de

(97) la cellule de Vorono du rseau

(98) . Par la suite, nous ne considrerons que des rseaux engendrs par p = n vecteurs. La gure 1.3 prsente un exemple de rseau en dimension 2, savoir le rseau hexagonal A ainsi que ses dirents paramtres lmentaires. Continuons en introduisant des paramtres qui nous permettront de caractriser les performances de nos rseaux de points. 2. dEmin. v. Point du r seau 2. 0. v. Sphre de l'empilement. 1. R gion de Vorono v. Parall lotope fondamental. 2. v Fig. 1.3: Le rseau hexagonal A . 0. 1. 2.

(99) 10. 1. Les r seaux de points. D nition 1.2.9 (rayon d'empilement, rayon de recouvrement) Le rayon d'empilement (resp. rayon de recouvrement R) d'un rseau

(100) est le. rayon de la plus grande (resp. la plus petite) sphre inscrite (resp. circonscrite) la rgion de Vorono.. Les sphres de l'empilement ont toutes le m me rayon . La distance minimale dEmin entre les points du rseau est alors donne par : dEmin = 2 : (1.4). D nition 1.2.10 (densit d'un rseau). La densit de remplissage d'un rseau, ou densit est donne par le rapport du volume de la sphre de rayon sur le volume fondamental d'une sphre Vn n = volume = : (1.5) volume fondamental det(

(101) ) On dnit galement la densit centr e , souvent plus facile exprimer que la densit du rseau n (1.6) = V = det (

(102) ) n. o* Vn est le volume d'une sphre de dimension n et de rayon unit, donn par la formule 8 n=2 > n pair < n= n= Vn = ;(n=2 + 1) = > : (1.7) : n(n;1)=n2 n; = n impair 2. (. 2. 2)!. (( !. 1) 2)!. D nition 1.2.11 (coe cient d'erreurs) Le coecient d'erreur (

(103) ) (kissing number) d'un rseau

(104) est le nombre de sphres tangentes une sphre donne.. La valeur de (

(105) ) ne dpend pas de la sphre considre en raison de la proprit de translation du rseau.. D nition 1.2.12 (srie theta) La s rie theta (z) d'un rseau

(106) est dnie. (z) =. o q = ejz , j =. p ;1 2 C,. X x2. q. kxk2. =. X1 +. u=0. Nu qu. (1.8). u 2 IR . +. La srie theta d'un rseau est une srie de variable q, dont les coecients Nu reprsentent le nombre de points d'un rseau distance euclidienne u de l'origine..

(107) 11. 1.2. D finition et pr sentation des r seaux de points. 1.2.2 Performances des rseaux de points sur le canal bruit additif blanc gaussien Le modle du systme de transmission utilisant une constellation extraite d'un rseau de point est prsent en gure 1.4. Des bits d'informations, gnrs par une source binaire non reprsente, sont tiquets avant d' tre plac en entre d'un rseau (ou, comme nous le verrons au chapitre 2, d'une rotation). Ce dernier gnre un point x du rseau qui est mis sur un canal. Nous considrerons dans ce document deux types de canaux : le canal bruit additif blanc gaussien et le canal de Rayleigh non slectif vanouissements indpendants. En sortie du canal, dont l'tat (CSI) est fourni ou estim par le rcepteur, on procde l'opration de dtection et de dcodage, d'o* on tire les bits dcods. Pour notre calcul de performances, nous considrerons que le dcodage suit le critre du maximum de vraisemblance (ML). CSI Bits d'information. tiquetage. Rseau ou Rotation. canal AWGN ou de Rayleigh. dtection ML. Bits dcods. Fig. 1.4: Le systme de transmission.. Sur le canal bruit additif blanc gaussien, la probabilit d'erreur par point Pe d'un tel systme dcroit exponentiellement lorsque le rapport signal bruit Eb=N augmente. Pour une constellation cubique, la probabilit d'erreur est borne par (voir annexe A.1) 0. Pe (

(108) )Q. s. !. Eb 3 pdEmin det(

(109) ) N 2 x 2. n=2. (1.9). 0. R. o* Q(x) est la fonction erreur dnie par Q(x) = erfc p = p x 1 e;x2= dx e;x2= et est l'ecacit spectrale par deux dimensions (soit le nombre de bits d'information mis par deux dimensions). 1 2. 1 2. 2. 1 2. +. 2. 2. La borne sur la probabilit d'erreur nous conduit introduire la notion de gain fondamental d'un rseau. D nition 1.2.13 (gain fondamental) On appelle gain fondamental d'un rseau en dimension n le rapport dEmin = 4 n=p2 (

(110) ) = n=p (1.10) 2 det(

(111) ) 2. o* dEmin est la distance euclidienne minimale de

(112) , det(

(113) ) son volume fondamental et sa densit centre. galement appel constante de Hermite "27], (pp. 7174), ce rapport ne.

(114) 12. 1. Les r seaux de points. dpend que des caractristiques du rseau (d'o* son nom). Remarquons que (ZZn) = 1 : (

(115) ) reprsente le gain du rseau

(116) comparativement au rseau des entiers de m me dimension. Ce gain, dtermin par la haute densit du rseau, est le facteur crucial pour la probabilit d'erreur d'un rseau sur canal AWGN : plus le gain fondamental sera grand, meilleures pourront tre les performances du rseau. On note, avec la deuxime expression du gain fondamental dduite de l'quation (1.6), que la seule connaissance de la densit centre d'un rseau nous permet de calculer le gain fondamental de

(117) : cette densit est connue pour la plupart des rseaux utiliss ce jour. La formule (1.9) devient :. Pe (

(118) )Q. r 3 E. b. !. 2 N (

(119) ) : 0. (1.11). Intressons nous donc plus ce gain fondamental (

(120) ) : il est invariant si nous transformons

(121) par une application compose d'une rotation, d'une symtrie et d'une homothtie : en eet, il est clair que les symtries ou les rotations ne changent pas la distance minimale, ni le volume fondamental. Et par ailleurs, une homothtie de rapport a multiplie dEmin par a et det(

(122) ) par an, ce qui fait que le gain fondamental reste le m me. Lorsque la constellation C a une forme non cubique, le gain de C se trouve diminu ou augment suivant le moment de second ordre de la constellation. Ce moment d'ordre 2 n'est autre que l'nergie Ep (l'nergie moyenne par point) de C . Cette nergie est trs lie la forme de la frontire de C dans IRn . On peut donc dnir un nouveau gain, dit gain total de la constellation, qui tient compte des caractristiques fondamentales du rseau

(123) et de la forme de la constellation.. D nition 1.2.14 (gain de forme, gain total) Le gain total (C ) d'une constellation C issue d'un rseau de points

(124) est le produit du gain fondamental (

(125) ) par un coe cient s (C ) appel gain de forme. (C ) = (

(126) ) s(C ) :. (1.12). Par dnition, le gain de forme d'une constellation cubique est gal 1. La forme sphrique minimise l'nergie moyenne de C en raison de la rpartition homogne des distances l'intrieur d'une hypersphre. Ainsi, le gain de forme s (C ) est-il maximal lorsque C possde une forme sphrique. Il s'obtient par le rapport (1.13) (avec utilisation de l'intgrale de Dirichlet pour le calcul de l'nergie moyenne d'une constellation sphrique "16]) p(n + 2) : (1.13) s (C )max = jjjjxxjjjjcube = 12 n=2 ;(n=2 + 1) sphere 2. 2. Le tableau 1.1 montre quelquespvaleurs de s (C )max pour direntes dimensions. En appliquant la formule de Stirling ( n n! n=e), on peut montrer que le gain tend en fait vers.

(127) 13. 1.2. D finition et pr sentation des r seaux de points. e=6 1:533 dB lorsque n tend vers l'inni. On constate donc que le gain de forme est relativement faible compar au gain fondamental, ce qui explique pourquoi les constellations sphriques, diciles raliser sont peu utilises et se voient prfrer les constellations cubiques. Par la suite, nous ne considrerons dans ce document que ces constellations. n s (C )max s (C )max (dB) 2 1.0471976 0.200 3 1.0827159 0.345 4 1.1107201 0.456 5 1.1335383 0.544 8 1.1828123 0.729 16 1.2518465 0.976 24 1.2870060 1.096 32 1.3089071 1.169 48 1.3352909 1.256 64 1.3509280 1.306 128 1.3793392 1.397 256 1.3974023 1.453 Tab. 1.1: Quelques valeurs du gain de forme maximal s (C )max en fonction de la dimension.. 1.2.3 Performances des rseaux de points sur le canal avec vanouissement de Rayleigh Le systme de transmission prsent en gure 1.4 utilis sur un canal de Rayleigh admet pour borne suprieure de la probabilit d'erreur par paire, i.e. celle de dcoder d 2

(128) alors que c 2

(129) a t eectivement mis lorsque l'on fait abstraction des autres points du rseau (voir annexe A.2) Yn 1 P (c ! d) 21 (1.14) ci ;di 2 1 + i N0 (. =1. donc, haut rapport signal bruit, Y P (c ! d) 21. 1. ci ;di )2 ci 6=di 8N0 (. = 12 . ). 8. 1 ` ` Eb 8. dp (c d) ( ). N0. 2. (1.15). o* dp` (c d) est la distance produit-` normalise entre deux points c et d lorsque ceux-ci dirent en ` composantes. Q (ci ; di) i ` dp (c d) = ci 6 (dE=n (1.16) )` ( ). ( ). 2. =. 2.

(130) 14. 1. Les r seaux de points. o* le facteur de normalisation E correspond deux points soit E = n Eb .. D nition 1.2.15 (diversit) L'ordre de diversit ou diversit L d'un rseau

(131) est le nombre minimal de composantes dont deux points quelconques c et d dirent. L = mincd2 dH (c d) :. (1.17). L'ensemble des nombres de composantes dont deux points quelconques d'un rseau peuvent direr est appel distribution de diversit s du rseau.. Utilisant la borne de l'union, on peut donc exprimer la probabilit d'erreur pour une constellation de dimension n extraite du rseau

(132) comme. Pe . X. cd2 c6=d. P (c ! d) :. (1.18). Alors, en rempla$ant l'expression de la probabilit d'erreur par paire par sa borne suprieure obtenue dans l'inquation (1.15) on obtient n X 1 Pe 2 K` ` ` L Eb =. P. 8. (1.19). N0. A (`). o* K` = d(p`) d(pd`p) 2 , avec Ad(p`) le nombre de points d distance produit-` de c. On notera que la srie en Kl peut tre interprte comme une srie theta du rseau, pour peu qu'on considre la distance produit-` au lieu de la distance euclidienne "79]. (. ). Asymptotiquement, la borne sur le logarithme de la probabilit d'erreur Pe dcroit linairement avec une pente L.. 1.3 D codage par sphres De nombreux algorithmes existent, spcialiss ou non, permettant de dcoder les rseaux de points sur le canal AWGN. Citons titre d'exemple les travaux de Conway et al. "26], Sun et al. "68], Vardy "75], ou encore l'utilisation de l'algorithme sous-optimal GMD (Generalized minimum distance algorithm "33]). Dvelopps pour le canal gaussien, ces algorithmes reposent principalement sur le dcodage souple de codes linaires, utilisant un treillis ou un calcul sur une valeur de conance. Applicables au canal de Rayleigh non slectif, pour lequel les vanouissements multiplient tout simplement les composantes des points mis du rseau, ces algorithmes ne peuvent tre utiliss lorsque le rseau est tourn.

(133) 15. 1.3. D codage par sphres. avant de subir l'vanouissement (par application d'une rotation, comme nous le verrons au chapitre 2). Dans ce cas, du fait de la corrlation liant les symboles et leurs composantes entre eux, le dcodage par tages ou le dcodage souple des codes correcteurs d'erreurs ne sont plus possibles. Le seul algorithme qui reste applicable dans tous les cas est le dcodeur universel par sphres "78] reposant sur le critre du maximum de vraisemblance (ML). Il est utilisable aussi bien sur le canal AWGN que sur les canaux vanouissement de Rayleigh, et sa complexit est indpendante de la taille de la constellation utilise. Nanmoins, sa complexit limite son utilisation des dimensions du rseau infrieures ou gales 32. On notera que tout rcemment a t propos une version modie de cet algorithme pour le dcodage des systmes d'accs multiple par squences directes "20]"21].. 1.3.1 Dcodage par sph res en prsence d'un bruit blanc gaussien Pla$ons nous tout d'abord dans le cas o* le canal est bruit blanc additif gaussien. Le dcodage maximumde vraisemblance d'un rseau de points

(134) quelconque en dimension n utilis sur ce canal correspond la recherche, parmi tous les points du rseau, de celui qui est le plus proche du vecteur re$u, soit de celui qui minimise la mtrique. m(yjx) = ky ; xk = 2. n X i=1. jyi ; xij2. (1.20). o* x est le point du rseau mis sur le canal, y = x + b le point re$u et b = (b : : : bn)t le bruit sur le canal dont les composantes bi sont des variables alatoires gaussiennes de moyenne nulle et de variance = N . L'ensemble des points du rseau est M ZZn ou fx 2 IRn j9u 2 ZZn x = M ug, o* M est la matrice gnratrice de

(135) et o* u = (u : : : un ) est le vecteur composantes entires associ aux bits d'information. 1. 2. 0. 1. L'algorithme de dcodage par sphres se limite aux points du rseau

(136) se trouvant dans p une sphre de rayon C centre sur le point re$u, comme illustr en gure 1.5. y. pC. Fig. 1.5: Reprsentation gomtrique de l'algorithme de dcodage par sphres.. Le dcodeur recherche donc le vecteur w de plus petite norme possible dans le rseau translat y ;

(137) de l'espace euclidien IRn : minx2 ky ; xk = minw2y; kwk : (1.21).

(138) 16. 1. Les r seaux de points. Dnissons les notations suivantes x = Mu y = M w = M ( ; u) = M avec u 2 ZZn , = ( : : : n) 2 IRn , = ( : : : n ) 2 IRn . 1. 1. Du fait de la prsence du bruit sur le canal, les vecteurs et sont en eet des vecteurs rels. De plus, comme w = y ; x, on a pour tout indice i i = 1 : : : n i = i ; ui. Le point w est un point du rseau dont les coordonnes sont exprimes dans le repre translat centr sur le point re$u y. On veut que w appartienne une sphre centre en y (i.e. en p C , ce qui nous amne l'inquation en : 0 dans le nouveau repre) et de rayon gal kwk = F () = t M t M . = tG. 2. =. n X n X. &ij i j C :. i=1 j =1. (1.22). Dans ce nouveau systme de coordonnes, la sphre de centre y et de rayon au carr gal C est transforme en un ellipsode centr sur l'origine dnie par la forme bilinaire F ( ). La factorisation de Cholesky de la matrice de Gram G = M tM "25] donne G = Rt R, o* R = (rij )ij :::n est une matrice triangulaire suprieure, d'o*. =1. F ( ) = t Rt R. = kRk = 2. n X i=1. rii i +. n X. rij j. j =i+1. !. 2. C. :. (1.23). En posant. fii = rii i = 1 : : : n 2. on obtient. fij = rrij i = 1 : : : n j = i + 1 : : : n ii. F () =. n X. n X. i=1. j =i+1. fii i +. fij j. !. 2. C. :. (1.24). En s'intressant tout d'abord n et en poursuivant par les i i = n ; 1 : : : 1, on va dterminer un systmes de n quations dterminant les limites de l'ellipsode :. fn; n; ( n; 1. 8k 1 k n. 1. fnn n + fnn; n) + fnn n. n X 1. i=k. 1. fii i +. 2. n X. j =i+1. 2. fji j. !. C C. C:. 2. (1.25).

(139) 17. 1.3. D codage par sphres. Les bornes donnes par l'quation (1.25) nous permettent d'tablir la relation gnrale pour la ieme composante ui "77]"78]. & s ;. & s ;. C + fnn n. C ; fnn n + + f n; n; n n fn; n; 2. 1. 1. 1. '. '. 1. un . $s. un;1 . C + fnn n. $s. %. C ; fnn n + + f n; n; n n fn; n; 2. 1. 1. 1. %. 1. 3 2 v 0 1 u. ! u n n n 1 @C ; X f + X f A + + X f 7 u 66;u t `` ` `j j i ij j 7 77 i 66 fii j i ` i j ` 77 66v 0 1. ! n n n u 66u X X X 77 1 u @ A f`` ` + f`j j + i + fij j 5 ui 4t f C ; ii 2. = +1. = +1. = +1. 2. `=i+1. j =`+1. j =i+1. (1.26). o* dxe est le plus petit entier suprieur x et bxc le plus grand entier infrieur x. Les bornes trouves dans les inquations de la formule (1.26) nous apprennent que le dcodeur par sphres fonctionne avec n compteurs, 1 pour chacun des nombres ui. Il sut ensuite de faire varier les valeurs des dirents compteurs l'intrieur des bornes trouves, en tenant compte du fait que celles-ci dpendent des valeurs des autres compteurs. En pratique, ces bornes sont mises jour de fa$on rcursive "78]. L'intr t de cette mthode est que les vecteurs dont la norme est suprieure au rayon donn ne seront jamais tests : la complexit de cet algorithme est donc indpendante de la taille de la constellation considre. Cette mthode permet donc une estimation ML tout en vitant de fa$on drastique le nombre de points tester, en particulier lorsque la dimension augmente. p. Le choix du rayon de recherche initial C est un point crucial de l'algorithme : an d' tre s)rs p de toujours trouver un point du rseau l'intrieur de la sphre nous devons choisir C gal au rayon de recouvrement du rseau. Pour cela, il est par exemple possible de le choisir gal la borne suprieure de Rogers "27] (p. 40) p. s n. C = (n loge n + n loge loge n + 5n). pdet(

(140) ). (1.27) Vn o* Vn est le volume d'une sphre de rayon 1 en dimension n donn par la formule (1.7) et o* le volume fondamental du rseau

(141) peut tre aisment calcul comme la racine carre du dterminant de sa matrice de Gram. En pratique, on ajuste au fur et mesure le choix de C , le mettant jour avec la dernire norme euclidienne calcule pour un point de l'ellipsode..